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BOT模式下收费道路价格竞争博弈模型1
摘 要：BOT模式广泛应用于各国基础设施建设，而 BOT收费道路项目是其应用的重
要领域之一。 本文主要研究某两地之间已有一条 BOT收费道路的情况下，其他项目公
司再建造一条平行的 BOT 收费道路，从而带来的价格竞争博弈问题。在考虑收费道路
通行容量和时间成本的基础上，本文建立了项目公司的价格竞争博弈模型，分析纳什均
衡解的性质，并与垄断阶段的价格和收益进行对比，得到很多重要的结论，对 BOT 模
式在收费道路项目的应用有着重要的指导意义。
关键词：BOT；收费道路；博弈论；纳什均衡
1 引言
近年来， 随着 BOT（Build-Operate-Transfer）模式在各国基础设施建设中的广泛应用，
在学术界也吸引了众多学者对 BOT 模式的研究和讨论。肖条军[1]建立了 BOT 交通项目的投
资对策模型，并证明了 Nash 均衡的存在性，给出了解的性质。. Yeo, Robert . Tiong[2]
讨论了如何在 BOT 项目中对风险进行有效的管理和控制；Michael 和 Charles Y[3]运用实物期
权理论分析了 BOT 项目在特许权期内的收益。关于收费道路及其效益的问题也受到许多学
者的关注。Yang 和 Meng [4-5]研究了高速公路 BOT 项目的容量选择和最优通行费的问题，并
考虑了弹性需求下收费道路的定价和道路容量的最优决策问题。Louie 和 John[6]城市交通系
统的效率问题进行了研究。Mills[7]在一个道路网络系统上研究了收费道路的盈利及其社会效
益之间的关系，并指出可盈利的收费道路可能导致整个网络系统社会效益的下降。杨宏伟等
[8-9]研究了项目公司在 BOT 模式下建造并经营收费道路的收益和社会效益，并研究了两地之
间已有一条免费道路的情况下，私营财团再建造一条平行的 BOT 收费道路，从而带来的道
路收费价格和建设投资的决策问题。
根据文献[9]的研究思想，本文的研究中也充分考虑到收费道路的容量和通行时间成本，
对消费者选择和项目公司定价决策的影响。本文主要研究某两地之间已有一条 BOT 收费道
路的情况下，其他项目公司再建造一条平行的 BOT 收费道路，从而带来的价格竞争博弈问
题。通过建立在位者和进入者的价格竞争博弈模型，分析纳什均衡解的性质，并与垄断阶段
的价格和收益进行对比。
2 在位者的垄断决策模型
在本文的研究之中，首先假设两地之间已存在一条 BOT 收费道路项目处于垄断地位，
特许权期已定，项目公司拥有自由定价的权力。收费道路的容量和流量分别用 1M 和 1q 表示，
垄断价格记为 1p ，项目平均运营成本为 1c 。设消费者通过收费道路的时间成本为 1 1( , )T M q ，
它是该项目容量和流量的函数， 1 1/ 0T M∂ ∂ < ，表示道路容量越大，通行时间成本越小；
1 1/ 0T q∂ ∂ > ，表示道路流量越大，通行成本越大[9]。则消费者通过道路的总成本为
1本课题得到国家自然科学基金项目（70371045）的资助。
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1 1 1( , )C T M q p= + (1)
假设通行道路在每个时间段的总流量为消费成本的减函数，
Q a bC= − (2)
其中 , 0a b > 分别为社会总需求和需求-成本弹性系数，则垄断者的决策模型为，
1
1 1 1 1: u =( )pMAX p c q− (3)
假设时间成本具有以下形式[9]，
1 1 1 1( , ) ( )T M q k M q= (4)
由（1）、（2）、（4）式可将 1q 表示为，
1
1
11 ( )
a bpq
bk M
−= + （5）
则根据决策模型最优一阶条件可得最优通行价格，
*
1 1( ) 2p a bc b= + （6）
垄断收益为，
2
* 1
1
1
( )
4 (1 )
a bcu
b bk
−= + （7）
3 价格竞争博弈模型及分析
均衡价格
进入者修建的道路容量用 2M 表示，其项目平均运营成本为 2c ，在位者和进入者的通行
流量分别为 1q 和 2q ，消费者通过进入者收费道路的总成本与垄断模型中通行总成本具有相
同的形式，即 2 2 2( , )T M q p+ ，其中 2 2 2 2( , ) ( )T M q q k M= ，为了表达方便，在后文中用 1 2,k k
分别表示 1 2( ), ( )k M k M 。假设消费者对通行时间成本有充分的观察能力，则可以得到，
1 1 1 2 2 2( , ) ( , )T M q p T M q p+ = + （8）
若等式（8）不成立，那么通行成本较高收费道路的部分消费者将会转移到通行成本较低的
收费道路，消费者的转移导致高通行成本道路的时间成本降低，而低通行成本的收费道理成
本升高，直至两条道路通行成本相等达到平衡状态。
因此，双寡头竞争情况下收费道路单位通行成本为，
1 1 1 2 2 2( , ) ( , )C T M q p T M q p= + = + （9）
两条道理的总流量由（2）式确定，可得，
1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q q q a b k q p a b k q p= + = − + = − + （10）
2 1 1 2
1
1 2 1 2
( )k a bp p pq
k k bk k
− − += + + （11）
1 2 2 1
2
1 2 1 2
( )k a bp p pq
k k bk k
− − += + + （12）
此时在位者的决策模型如下：
- 3 -
1
1 1 1 1: ( )pMAX u p c q= − （13）
结合（11）式对 1p 求上式的最优一阶条件得在位者对进入者的最优反应为，
* 1 2 2
1
2
( )
2 1
a bc k pp
bk
+ += + （14）
同理可得进入者对在位者的最优反应为，
* 2 1 1
2
1
( )
2 1
a bc k pp
bk
+ += + （15）
根据 NASH 均衡的性质，可求双方的均衡价格分别为，
* 1 1 2 2 1
1
1 2
( )(2 1) ( )
(2 1)(2 1) 1
a bc bk k a bc kp
bk bk
+ + + += + + − （16）
* 2 2 1 1 2
2
1 2
( )(2 1) ( )
(2 1)(2 1) 1
a bc bk k a bc kp
bk bk
+ + + += + + − （17）
模型的进一步分析
三个价格的比较分析
由（6）、（16）式可得，
* * 1 1 2
1 1 1 2
1 2
( ) ( )
(2 1)(2 1) 1
bk c cp p c c
bk bk
−− = =ℵ⋅ −+ + − (18)
易证式ℵ为正。
由(16)、（17）式可得，
2
* * 1 2 1 2
1 2
1 2
2 ( )
(2 1)(2 1) 1
b k k c cp p
bk bk
−− = + + − （19）
由（18）、（19）式可得性质 1，
性质 1 当进入者的平均运营成本 2c 高于（低于、等于）在位者时，进入者的竞争均衡价格
*
2p 高于在位者的竞争均衡价格 *1p ，而 *1p 高于（低于、等于）在位者垄断最优价格 *1p 。
从性质 1 可以看出，相对于进入者的竞争均衡价格 *2p ，在位者的均衡价格 *1p 总是更接
近于在位者垄断最优价格 *1p （除开三个价格相等的情况）。给定在位者平均运营成本 1c ，则
具有不同运营成本的进入者（此时假设 2c 为一变量）进入竞争时三个价格的关系表示如图 1。
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p
2c2 1c c=
*
1p
*
1p
*
2p
*
1p
*
2p
0
图 1 * * *1 1 2, ,p p p 关系图
Relationship of * * *1 1 2, ,p p p
通过（19）式易证 1 2c c> 时， * *1 2 1( ) / 0p p k∂ − ∂ > ， * *1 2 2( ) / 0p p k∂ − ∂ > ，可得性质 2，
性质 2 给定在位者和进入者平均运营成本不等的情况下，两条收费道路的通行容量 1M ，
2M 越大（即 1k ， 2k 越小），双方均衡价格差额的绝对值越小；反之，则越大。
进一步的假设
（一）假设潜在竞争者所建道路的最大通行容量 2M 等于在位者的 1M ，可得 1 2k k k= = ，
代入（16）、（17）式可分别求出两者的均衡价格 *1ep ， *2ep ，
* 1 2 1
1 2 4( 1)e
a bc c cp
b bk
+ −= + + （20）
* 2 1 2
2 2 4( 1)e
a bc c cp
b bk
+ −= + + （21）
将（20）、（21）式代入（11）、（12）分别求得双方均衡通行量为，
* 1 2 1
1
2( )( 1) ( )
4( 1)( 2)e
a bc bk b c cq
bk bk
− + + −= + + （22）
* 2 1 2
2
2( )( 1) ( )
4( 1)( 2)e
a bc bk b c cq
bk bk
− + + −= + + （23）
由（17）、（18）、（19）、（20）式可得双方的均衡收益分别为，
2
1 2 1
1 2
[2( )( 1) ( )]
16 ( 1) ( 2)e
a bc bk b c cu
b bk bk
− + + −= + + （24）
2
2 1 2
2 2
[2( )( 1) ( )]
16 ( 1) ( 2)e
a bc bk b c cu
b bk bk
− + + −= + + （25）
（二）假设在位者的平均运营成本相同， 1 2c c c= = 。
由（16）、（17）式可知此时双方的均衡价格相等，为，
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* * * 1 2 1 2
1 2
1 2
( )(2 )
(2 1)(2 1) 1
a bc bk k k kp p p
bk bk
+ + += = = + + − （26）
由（8）式可得双方通行流量的比值为，
1 2 1
2 1 2
1/
1/
q k k
q k k
= = （27）
由此可得性质 3，
性质 3 在位者与进入者平均运营成本相同时，双方通行流量之比等于双方流量对时间成本
影响系数的倒数之比，即道路容量较大的一方通行流量较大，相同时间内的收益也更大。
（三）假设 1 2k k k= = ， 1 2c c c= = 同时成立
1) 若在位者与进入者合作，联合最优决策模型为，
c: u =2( )pMAX p c q− （28）
由（2）、（8）式可得，
2
a bpq
bk
−= + （29）
将（29）式代入（28）式再根据最优一阶条件可得，
2c
a bcp
b
+= （30）
则最大联合收益为，
2( )
2 ( 2)c
a bcu
b bk
−= + （31）
此时在位者与进入者平分最大联合收益。
2) 在位者与进入者进行非合作博弈，根据（20）、（21）式可得
* * *
1 2 2e c
a bcp p p p
b
+= = = = （32）
再由（24）、（25）式可得，
2
* * *
1 2
( )
4 ( 2) 2
cua bcu u u
b bk
−= = = =+ (33)
由（32）、（33）式可得，
性质 4 当在位者和进入者道路容量和平均运营成本相同时，非合作博弈的均衡价格和均衡
收益与双方合作时无差异。
由（7）、（31）式可得，
1
1
2
cu bk
u bk
= + + （34）
由上式可见，在已有一条收费道路的情况下，再建造一条相同容量且具有相同平均运营成本
的收费道路，在位者和进入者获得的收益小于在位者垄断收益 *1u ，却大于 *1 / 2u ，所增加的
总收益占原垄断收益的比重随bk 的增加而增加。一种极端的情况便是 0bk = ，即通行总流
量对通行总成本不敏感，或时间成本对道路容量不敏感时，新增一条相同规模与运营效率的
收费道路，无论在位者与进入者采取合作或非合作的态度，双方的总收益皆等于在位者的垄
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断收益。当通行总成本对通行总流量的影响系数和道路容量对时间成本的影响系数都较大时
（bk 越大时），再建造一条相同容量且具有相同平均运营成本的收费道路，所增加的总收益
也相应的较大，从而，此时潜在竞争者进入的可能性也就更大。
4. 结论
本文针对某两地之间已有一条 BOT 收费道路的情况，其他项目公司再建设一条平行的
BOT 收费道路，从而带来的价格竞争博弈问题，通过建立在位者和进入者的博弈模型，分
析解的性质，并与在位者垄断阶段的情况进行对比，可以得到以下结论：
结论 1：在位者均衡价格与垄断最优价格，或与进入者均衡价格的大小关系，只与双方
的平均运营成本有关。若进入者平均运营成本高于在位者，那么双方均衡价格均大于在位者
垄断最优价格，且，在位者均衡价格小于进入者；反之，存在对称的结论。
结论 2：在现实的 BOT 收费道路寡头竞争之中，当双方的平均运营成本存在较显著的
差异，若任意一条收费道路的通行容量越小，消费者通行时间成本对通行流量就越敏感，那
么此时双方均衡价格差额的绝对值就越大。换句话说，此时双方所提供服务的异质性也就更
强，平均运营成本较高的一方提供较高的通行价格和较低的通行时间成本，平均运营成本较
低的一方提供较低的通行价格和较高的通行时间成本。
结论 3：当双方平均运营成本相同时，道路容量较大的一方，其通行流量较大，相同时
间内所得收益也就更大，当然，容量较大也就意味着投资成本也就更大。
结论 4：当在位者和进入者道路容量和平均运营成本相同时，双方的均衡价格可以使收
益达到帕累托最优，也就是说，双方在非合作博弈中的总均衡收益与合作情况下联合最优收
益相同。得到这个结论与本文研究考虑到道路通行容量和时间成本这些因素有关，从而可以
看到，现实中非合作博弈中的一些矛盾，可能通过共同关注一些条件或环境因素而弱化，因
此，在现实的 BOT 收费道路运营之中，能否充分考虑到道路通行容量和时间成本这些因素
及其影响关系，对该项目的成功运营，尤其是存在竞争的收费道路运营，是十分重要的。
结论 5：由图 1 可以看到，进入者的平均运营成本直接决定竞争均衡价格是否高于垄断
最优价格，若进入者的平均运营成本较在位者高，将带动两个项目总的平均运营成本提高，
从而使均衡价格皆高于垄断最优价格；反之，存在对称的结论。因此，政府若关注 BOT 收
费道路带来的社会福利，必然希望竞争能带来通行价格的降低，那么，在组织建设第二条
BOT 收费道路的时候，政府应尽量选择运营效率更高的项目公司，以提高该项目为社会带
来的福利。
总之，本文不仅为 BOT 收费道路项目中项目公司的定价决策提供了理论方法，而且为
政府组织建设 BOT 收费道路项目提供了决策依据和战略思想，具有一定的理论价值和实际
意义。
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参考文献
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[10] 张维迎. 博弈论与信息经济学[M]. 上海：上海人民出版社，1996.
Game Model of Price Competition of BOT Toll Road
Projects
Tan Wei，Tan Deqing
Scholl of Economics and Management Southwest Jiaotong University，Chengdu (610031)
Abstract
BOT mode was widely used in the infrastructure projects of many countries., and BOT roll road project
was one of them. This paper deals with the game of two concessionaries, one of which plans to build a
BOT toll road when there exists a BOT toll road that is owned by the other one. With the consideration
of project’s capability and consumers’ time cost ,this paper establishes the game model of the
competition ,analyzes the nash equilibrium, and compares the equilibrium with the things of
monopolization period ,and comes to some important conclusions, which are significance in .BOT roll
road projects practice.
Keywords：BOT，toll road，game theory，nash equilibrium
作者简介：谭伟（1984-），男，湖北人，项目管理。
