大一轮复习讲义
DIJIUZHANG第九章
静电场
第
4
讲
目标
要求
1.掌握带电粒子在电场中的偏转规律.2.会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系.3.掌握带电粒子在电场和重
力场的复合场中的运动规律.4.会分析、计算带电粒子在交变电场中的偏转问题.
带电粒子在电场中的偏转
内容索引
考点一 带电粒子在匀强电场中的偏转
考点二 带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转
考点三 带电粒子在交变电场中的偏转
课时精练
考点一
带电粒子在匀强电场中的偏转
带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
梳理 必备知识
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
1.两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，
偏移量和偏转角总是相同的.
提升 关键能力
y、θ均与m、q无关.
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O
为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的
一半.
2.功能关系
例1 (2023·广某省市模拟)如图所示，正方形ABCD区域内存在竖直向上
的匀强电场，质子( )和α粒子( )先后从A点垂直射入匀强电场，粒子
重力不计，质子从BC边中点射出，则
A.若初速度相同，α粒子从CD边离开
B.若初速度相同，质子和α粒子经过电场的过程中速
度增量之比为1∶2
C.若初动能相同，质子和α粒子经过电场的时间相同
D.若初动能相同，质子和α粒子经过电场的过程中动能增量之比为1∶4
考向1 带电粒子在匀强电场中的偏转
√
例2 (2020·浙江7月选考·6)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒
子以速度v0从MN连线上的P点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的
匀强电场中.已知MN与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子
到达MN连线上的某点时
√
例3 (2023·广某省市模拟)示波管原理图如图甲所示.它由电子枪、偏转
电极和荧光屏组成，管内抽成真空.如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有
加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打在荧光屏中心，产生一
个亮斑如图乙所示.若板间电势差UXX′和UYY′随时间变化关系图像如丙、
丁所示，
考向2 带电粒子在组合场中的运动
则荧光屏上的图像可能为
√
UXX′和UYY′均为正值，两偏转电极的电场强度方向分别由X指向X′，Y
指向Y′，电子带负电，所受静电力方向与电场强度方向相反，所以
分别向X、Y方向偏转，可知A正确.
例4 如图装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距
为Δd的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L.加速电压为U0，两对
极板间偏转电压大小相等均为U0，电场方向相反.质量为m、电荷量为＋q的粒
子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入
平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力.下列说法正确的是
C.Δd与2L相等
D.只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
√
根据类平抛运动的特点和对称
性，粒子在两平移器之间做匀
速直线运动，它的轨迹延长线
分别过平行板中点，根据几何
关系可知Δd＝L，故C错误；
由B选项可得y1＝ ，由A选项可知当加速电压增大时，粒子进
入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏移量变小，粒子可
以离开平移器，位置比原来靠下，故D错误.
考点二
带电粒子在重力场和电场复
合场中的偏转
例5 如图所示，地面上某区域存在着水平向右的匀强电场，一个质量
为m的带负电小球(可视为质点)以水平向右的初速度v0，由O点射入该区
域，刚好竖直向下通过竖直平面中的P点，已知OP与初速度方向的夹角
为60°，重力加速度为g，则以下说法正确的是
√
例6 (2019·全国卷Ⅲ·24)空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P
是电场中的两点.从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m
的小球A、不带电，B的电荷量为q(q>0).A从O点发射时的速度大小为
v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为 .重力加速度为g
，求：
(1)电场强度的大小；
设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a.根据牛顿第二定律、
运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma ①
(2)B运动到P点时的动能.
答案 2m(v02＋g2t2)
联立③④⑤⑥式得Ek＝2m(v02＋g2t2).
考点三
带电粒子在交变电场中的偏转
1.带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做
变化(如方波)的情形.
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线
运动，沿电场方向的分运动具有.
2.研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利
用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段
求解带电粒子运动的末速度、位移等.
3.注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的和
空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物
理过程相关的临界条件.
4.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间
极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动.
例7 在如图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向变化
的交变电压，其T，现有一电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射
入.已知电子的质量为m、电荷量为e，不计电子的重力，问：
(1)若电子从t＝0时刻射入，在半个恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞
出时速度的大小为多少？
答案 见解析
(2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？
答案 见解析
t＝0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向A极板
方向偏转，半个电场方向反向，电子在该方向上做匀减速运动，再
经过半个，电子在电场方向上的速度减小到零，此时的速度等于初
速度v0，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动；要使电子恰能
平行于极板飞出，则电子在OO′方向上至少运动一个，故极板长至少
为L＝v0T.
(3)若电子恰能沿OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板
间距至少为多大？
答案 见解析
例8 如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射
装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下
极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，荧光屏足够长，
在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化
的图像如图乙所示.每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过
极板的过程中电压是不变的.求：
(1)在t＝ s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离；
答案 cm
(2)荧光屏上有电子打到的区间长度.
答案 30 cm
四
课时精练
1.(多选)如图所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电
场，电场方向水平向左.不计空气阻力，则小球
A.做直线运动 B.做曲线运动
C.速率先减小后增大 D.速率先增大后减小
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√
基础落实练
√
对小球受力分析，小球受重力、静电力作用，
合外力的方向与初速度的方向不在同一条直线
上，故小球做曲线运动，故A错误，B正确；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
在运动的过程中合外力方向与速度方向间的夹角先为钝角后为锐角，
故合外力对小球先做负功后做正功，所以速率先减小后增大，故C正
确，D错误.
2.(多选)(2023·辽宁某省市高三检测)如图所示，在竖直向上的匀强电场中，
A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它
们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，
下列判断正确的是
A.如果A球带电，则A球一定带负电
B.如果A球带电，则A球的电势能一定增加
C.如果B球带电，则B球一定带负电
D.如果B球带电，则B球的电势能一定增加√
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√
如果B球带电，由于B球的竖直位移较小，加速度较
小，所受合外力较小，则B球受到的静电力向上，应
带正电，静电力对B球做负功，电势能增加，故C错
误，D正确.
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平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移相同，故下落时间相
同，A球在上方，竖直位移较大，由h＝ at2可知，A球下落的加速度
较大，所受合外力较大，如果A球带电，则A球受到向下的静电力，
一定带负电，静电力做正功，电势能减小，故A正确，B错误；
3.如图所示，一电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点射入匀强电
场，入射方向与电场线垂直.粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场
线成30°角.已知匀强电场的宽度为d，方向竖直向上，P、Q两点间的电
势差为U(U>0)，不计粒子重力，P点的电势为零.则下列说法正确的是
A.粒子带负电
B.带电粒子在Q点的电势能为qU
√
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由题图可知，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子受到
的静电力方向竖直向上，与电场方向相同，所以该粒
子带正电，故A错误；
粒子从P点运动到Q点，静电力做正功，大小为W＝qU
，
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则粒子的电势能减少了qU，P点的电势为零，可知带电粒子在Q点的电势
能为－qU，故B错误；
4.(多选)(2021·全国乙卷·20)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、
(＋q,2m)、(＋3q,3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x
轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行.不计重力，下列描绘
这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是
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√ √
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因为四个带电的粒子的初速度相同，电场强度相同，水平位移相同，
所以偏转角只与比荷有关，(＋q，m)粒子与(＋3q,3m)粒子的比荷相同，
所以偏转角相同，轨迹相同，且与(－q，m)粒子的比荷也相同，
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所以(＋q，m)、(＋3q,3m)、(－q，m)三个粒子偏转角相同，但(－q，m)
粒子与上述两个粒子的偏转角方向相反，(＋q,2m)粒子的比荷比(＋q，m)、
(＋3q,3m)粒子的比荷小，
所以(＋q,2m)粒子比(＋q，m)(＋3q，3m)粒子的偏转角小，但都带正
电，偏转方向相同，故A、D正确，B、C错误.
5.如图所示，一电子枪发射出的电子(初速度很小，可视为零)经过加速
电场加速后，垂直射入偏转电场，射出后偏转位移为Y.要使偏转位移增
大，下列哪些措施是可行的(不考虑电子射出时碰到偏转极板的情况)
A.增大偏转电压U
B.增大加速电压U0
C.增大偏转极板间距离
D.将发射电子改成发射负离子
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√
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由于偏转位移y＝ 与粒子质量、带电荷量无
关，故将发射电子改成发射负离子，偏转位移不
变，选项D错误.
6.(多选)如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、Q
，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0且变化的电压，在
两板左侧紧靠P板处有一粒子源A，自t＝0时刻开始连续释放初速度大小
为v0、方向平行于金属板的相同带电粒子，t＝0时刻释放的粒子恰好从Q
板右侧边缘离开电场，已知电场变化T＝ ，粒子质量为m，不计粒子重
力及相互间的作用力，则
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√
√
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粒子进入电场后，水平方向做匀速运动，则t＝0时刻进入电场的粒
子在电场中运动时间t＝ ，此时间正好是交变电压的一个，粒子在
竖直方向先做加速运动后做减速运动，经过一个，粒子的竖直速度
为零，故粒子离开电场时的速度大小等于水平速度v0，选项A正确；
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7.(2023某省市高三模拟)如图所示，一圆形区域有竖直向上的匀强电场，
O为圆心，两个质量相等、电荷量大小分别为q1、q2的带电粒子甲、乙，
以不同的速率v1、v2从A点沿AO方向垂直射入匀强电场，甲从C点飞出电
场，乙从D点飞出，它们在圆形区域中运动的时间相同，已知∠AOC＝
45°，∠AOD＝120°，不计粒子的重力，下列说法正确的是
√
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甲、乙在电场中均做类平抛运动，沿初速度方向
做匀速直线运动，它们在圆形区域中运动时间t相
同，在水平方向上，根据题图中几何关系可得xAC
＝v1t＝R－Rcos 45°，xAD＝v2t＝R＋Rcos 60°，
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8.(2022·浙江6月选考·9)如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N
间存在匀强电场，板长为L(不考虑边界效应).t＝0时刻，M板中点处的粒子源
发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大
小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出.不计重力和粒子间的相互
作用，则
板电势高于N板电势
B.两个粒子的电势能都增加
√
能力综合练
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由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电
势高低，故A错误；
根据题意垂直M板向右的粒子到达N板时速度增加，动
能增加，则静电力做正功，电势能减小，则平行M板向
下的粒子到达N板时静电力也做正功，电势能同样减小，
故B错误；
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D.若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在M上
9.(多选)如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平
放置，板长为L，板间距离为d，距板右端L处有一竖直屏M.一带电荷量
为q、质量为m的质点以初速度v0沿中线射入两板间，最后垂直打在M上，
则下列说法中正确的是(已知重力加速度为g)
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√
√
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
据题分析可知，质点在平行板间轨迹应向上
偏转，做类平抛运动，飞出电场后，轨迹向
下偏转，才能最后垂直打在M屏上，前后过
程质点的运动轨迹有对称性，如图所示，
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10.(2023·黑龙江某省市第八中学调研)如图所示，两平行金属板A、B长L＝
8 cm，两板间距离d＝8 cm，A板比B板电势高300 V，一个不计重力的带正电
的粒子电荷量q＝10－10 C、质量m＝10－20 kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞
入电场，初速度v0＝2×106 m/s，粒子飞出平行板电场后，可进入界面MN和光
屏PS间的无电场的真空区域，最后打在光屏PS上的D点(未画出).已知界面MN
与光屏PS相距12 cm，O是中心线RO与光屏PS的交点.sin 37°＝，cos 37°＝
，求：
(1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离；
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答案 m
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水平方向有L＝v0t
(2)粒子射出平行板电容器时偏转角；
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答案 37°
设粒子射出平行板电容器时偏转角为θ，vy＝at
(3)OD两点之间的距离.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 m
11.(2023·辽某省市第八中学高三检测)如图甲所示，真空中的电极可连续
不断均匀地逸出电子(设电子的初速度为零)，经加速电场加速，由小孔
穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B的中线射入偏转电场，
A、B两板距离为d，A、B板长为L，AB两板间加变化的电场UAB，如图乙
所示，T，加速电压U1＝ ，其中m为电子质量、e为电
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子电荷量，T为偏转电场的，不计
电子的重力，不计电子间的相互作
用力，且所有电子都能离开偏转电
场，求：
(1)电子从加速电场U1飞出后的水
平速度v0的大小；
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电子在加速电场中加速，
(2)t＝0时刻射入偏转电场的电子离
开偏转电场时距A、B间中线的距离y
；
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(3)在0～ 内射入偏转电场的电子中从中线上方离开偏转电场的电子占离
开偏转电场电子总数的百分比.
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答案 50%
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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√
素养提升练
√
√
质子在匀强电场中受力恒定，故加速度恒定，
则质子从A到B的运动为匀变速运动，A正确；
质子在匀强电场中做抛体运动，在与电场垂
直的方向上分速度相等，设va与电场线的夹角
为β，如图所示.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
