不完全信息动态博弈
基本概念
不完全信息意味着至少有一个参与人拥有私人信息，
通常用类型表示拥有不同私人信息的参与人，类型由“
自然”或“上帝”给定。
博弈顺序： （1）“自然”选择参与人的类型，并
将类型告诉参与人自己，不告诉其他参与人，只将类型
分布告诉其他参与人；（2）参与人开始行动，参与人
的行动有先有后，后行动者能观察到先行动者的行动，
而不能观察到先行动者的类型。
先行动者
的类型
行动
后行
动者
推断
先行
动者
预测
后行动者
的行动
信息
后续博弈（continuation game): 从每一个信息集开始
的博弈的剩余部分。
与子博弈的区别：子博弈必须开始于单结信息集，并
且不能切割信息集，而后续博弈可以始于任何完全信息集
（不论是否为单结）。
完美贝叶斯均衡要求：（1）在每一个信息集上，决策者
必须有一个定义在属于该信息集的所有决策结上的一个概率
分布（信念）；（2）给定有关其他参与人类型的信念，参与
人的策略在每一个信息集开始的后续博弈上构成贝叶斯均衡；
（3）在所有可能的情况下（贝叶斯法则能适用），参与人使
用贝叶斯法则修正有关其他参与人类型的信念。
完美贝叶斯均衡吸取了子博弈完美纳什均衡和贝叶
斯均衡的精华，是贝叶斯均衡、子博弈完美均衡和贝叶
斯推断的结合。
子博弈完美纳什均衡：策略不仅必须是整个博弈的
纳什均衡，还必须是其中每一个子博弈的纳什均衡。
完美贝叶斯均衡：策略不仅必须是整个博弈的贝叶
斯纳什均衡，而且还必须构成每一个后续博弈的贝叶斯
纳什均衡。
例：在图表示的博弈中，自然赋予参与人1两种类
型，L或H，将类型告诉参与人1，但只将参与人1的类型
分布告诉参与人2. 参与人1有两个行动L和R，参与人2有
行动A和B，参与人2能够观察到参与人1的行动，但是不知
道参与人1的类型（或自然的行动）。
图 海萨尼转换后的情形
N
11
L[ ] H[
]
L R L R
A A BB
(,3)
(,3)
(3,3
)
(2,1)(1,2
)
(1,1)
2
图
1
2
L M R
BA BA
(,3)
(2,1)(1,2)(1,1) (3,3)
博弈有两个纯策略纳什均衡，（L, A）和(R, B)。
给定参与人1选择L，参与人2的信息集没有达到；给
定参与人2选择A，参与人1的最优选择是L，因此，
（L, A）是一个纳什均衡。因为这个博弈只有一个子
博弈（从广义的角度看），即原博弈，所以（L, A）
和(R, B)都是子博弈完美均衡。完美纳什均衡（L,
A）依赖于一个不可置信的威胁：当参与人1偏离L而
选择其他行动时，参与人2的最优行动是选择B，所以,
参与人1不应该相信参与人2会选择A。
（L, A）的剔除：假设参与人2认为参与人1选择
M和R的概率分别为q和1-q。给定这个信念，参与人2
选择A的预期效用是 ,选择B的预期效用是
, 这样，参与人2一定会选择B.
给定参与人1知道参与人2将选择B，参与人1的最
优选择是R。但给定R是参与人1的最优策略，当参与人
2观察到参与人1没有选择L时，他推断参与人1一定选择
了R，即 。
因此，这个博弈的唯一完美贝叶斯均衡是
不完全信息下的博弈与决策
服务行业的市场进入模型，博弈顺序为：
（i） 进入者决定进入（E）或不进入（O）；
（ii） 在位者选择高价（H）或低价（L）；
（iii）自然选择需求，正常需求（N）的概率为，萎缩需求（R）
的概率为；
在正常需求的情况下，如果进入者选择不进入，则进入者的支付为
0，在位者选择低价时的支付为40，选择高价时的支付为200；如果进
入者选择进入，则当在位者选择低价时，进入者的支付为-80，在位者
支付为-40，当在位者选择高价时，进入者和在位者各得支付80。在萎
缩需求时，在每种情况下，在位者的支付比正常情况少了40；而进入
者选择进入时，其支付比正常情况下也少了40。
不完全信息下的博弈与决策
根据上面的的行动顺序，可以画出进入者的决策树
（decision tree)，见图。
进入者
在位者
自然 自然
O E
L H
R N R N
0
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]-120 -80 40 80
图 市场进入决策树
不完全信息下的博弈与决策
市场进入博弈树
市场进入博弈树
进入者
在位者
O E
在位者
自然
L H
R N
[
]
[
](0,0) (0,40
)
自然
R N
[
]
[
]
自然
L H
R N
[
]
[
]
自然
R N
[
]
[
]
(0,160
)
(0,200
)
(-120,-
80)
(-80,-40) (40,40
)
(80,80)
信号博弈的完美贝叶斯均衡
信号博弈
信号博弈中有两个参与者，具有信息优势的一个称为信号发送者
（S），另一个称为信号接收者（R），博弈顺序为：
（i）自然从可行的类型集 中赋予发送者类型 的先验概率
为 ，并告知接收者 ，而告知发送者 ，接收者不知道发送
者的类型 ， ；
（ii）发送者从信号集 中选择一信号m发送；
（iii）接收者观察到m后，从可行行动集 中选择行动a ；
（iv）发送者的效用函数为 ，接收者的效用函数为
或给出接收者的最优反应函数 ，两者为共同知识。
后验概率 表示观察到信号m，接收者相信是 类型发送的概率。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
定义
（i）
（ii）
（iii） 是接收者使用贝叶斯法则从先验概率 、观察
到的信号 和发送者的最优策略 得到的（在可能的情况下）
。
定义 信号博弈的完美贝叶斯均衡（perfect Bayesian
equilibrium）是策略组合 和后验概率 的结合，它
满足：
信号博弈的完美贝叶斯均衡
定义
如果不知道接收者的效用函数，但知道完全信息下接收者的
最优反应函数，那么，定义中的（i）用下面的（i´）代替
（i´）
信号博弈的完美贝叶斯均衡可以分成三类：分离均衡、混同
均衡和准分离均衡。更加具体地，它们分别定义如下：
分离均衡（separating equilibrium） 这种均衡中，不同类型
的发送者以概率1选择不同的信号，也就是说，没有两种类型选
择同一信号。在分离均衡中，信号准确地表现类型，特定的类型
发送特定的信号。接收者完全可以通过信号准确判断出发送者的
类型，即后验概率 要么为0要么为1。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
定义
混同均衡（pooling equilibrium）在这种均衡中，不同类型
的发送者选择了相同的信号，换句话说，没有任何类型选择与其
他类型不同的信号。这时，接收者无法从信号中得到新的信息，
也就无法对先验信念进行修正。因此，后验概率 等于自
然赋给信号发送者类型 的概率 。
在混同均衡中，对于任何类型的信号发送者，选择均衡信号
比选择其他任何信号的效用都高，即
, ,
准分离均衡（semi-separating equilibrium） 一些类型的发送
者随机地选择信号，另一些类型的发送者选择特定的信号。接收
者得到某些信号时能够准确地判断出发送者的类型，得到另外的
信号时尽管不能完全判断发送者的类型，但是能够修正自己的信
念。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
直观标准的含义是，在非均衡路径中，接收者认为发送者不
会选择无论接收者怎样采取行动发送者的效用总小于均衡时发送
者效用的信号。
直观标准 如果m之后的信息集处于均衡路径之外，且m为类
型 的均衡劣信号，即均衡效用 ，
则（在可能的情况下）接收者的推断 。
信号博弈的完美贝叶斯均衡中一般存在不可置信( (incredible)的
均衡，为了剔除之，可以采用Kreps(1984)或Cho和Kreps(1987)的
直观标准（intuitive criterion）。接收者对类型 发出的信号m
所采取的行动记为 ，以替代效用函数中的a，下同。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
Cho和Kreps(1987)的“啤酒和热狗(beer and quiche”信号博弈中，
博弈顺序为 ：
（iv）发送者和接收者的效用见图，两者为共同知识。
（i）自然从可行的类型集 中赋予发送者类型 的概率
为 ，并将 告知接收者，而将 告知发送者，接收者不
知道发送者的类型 ， 且 ；
（ii）发送者从信号集 中选择一信号发送；
（iii）接收者观察到信号后，从可行行动集 中选择行动；
在博弈顺序中，类型 代表软弱型（wimpy）， 代表粗暴型
（surly）；B代表啤酒，Q代表热狗；D代表与发送者冲突（duel），
N代表不与发送者冲突。 [p]表示当接收者接收到信号 后，认为发
送者的类型为 的概率，即 。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
图 “啤酒和热狗”信号博弈
b,1
d,0
0,-1
b+d,0 d,0
0,1
b,-1
b+d,0
D
N
D
N
D
N
D
N
Q B
Q B
[p]
[1-p]
[q]
[1-q]
R R
N
信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
支付的定性特征是，软弱型宁愿热狗，粗暴型
宁愿啤酒，两种类型都不愿意与接收者冲突，而接
收者宁愿与软弱型冲突，但不愿与粗暴型冲突。具
体地，对两种类型的发送者来说，偏好的早餐价值
，不偏好的早餐价值为0，而避免冲突价值 。
对接收者来说，与软弱型（粗暴型）冲突的支付为
1（-1），所有其他支付为0。
“啤酒和热狗”信号博弈
在啤酒和热狗博弈中， 是发送者的一个分离策略，这里
代表在发送者是软弱类型的情况下，选择热狗。如果 ，那
么，发送者的策略 和接收者的策略 以及后验概率
和 是这个博弈的完美贝叶斯均衡。这里 代表在发送
者选择热狗的情况下，接收者选择冲突，也可以类似地解释 。
b,1
d,0
0,-1
b+d,0 d,0
0,1
b,-1
b+d,0
D
N
D
N
D
N
D
N
Q B
Q B
[p]
[1-p]
[q]
[1-q]
R R
N
信号博弈的完美贝叶斯均衡
• “啤酒和热狗”信号博弈
当 时，是否啤酒和热狗有其他完美贝叶斯均衡？发送者可能
选择的其他策略是 、 和 。当
时，软弱的发送者选择热狗得到的最低支付 超过选择啤酒时得
到的最高支付 ，这样软弱型将不选择啤酒，发送者也许选择的
其他策略为 。类似地，粗暴发送者选择啤酒得到的最
低支付 超过选择热狗得到的最高支付 d ， 这样粗暴型将不选择
热狗，策略 不能成为完美贝叶斯均衡策略。于是，当
时，上面取的分离完美贝叶斯均衡是该信号博弈的唯一完美贝叶
斯均衡。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
当 时又是怎样的呢？现在，没有分离完美贝叶斯均衡。但是，
有两个混同完美贝叶斯均衡。可直接证明，当 时，发送者
的策略 、接收者的策略 以及后验概率 和
一起构成一个混同完美贝叶斯均衡（事实上，对任何 也成
立）。这个混同均衡可解释为：粗暴类型获得它偏好的早餐并避
免冲突；因为 ，软弱类型宁愿隐藏自己的类型信息，而不愿
有偏好的早餐。软弱型假装成粗暴型而避免冲突，获得更高利润。
b,1
d,0
0,-1
b+d,0 d,0
0,1
b,-
1
b+d,0
D
N
D
N
D
N
D
N
Q B
Q B
[p]
[1-p]
[q]
[1-q]
R R
N
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
考察下面的信号博弈模型（斯彭斯，1974）：在模型中，有两个参
与人，一个雇主和一个雇员，记雇员为参与人1（信号发送者），雇
主为参与人2（信号接收者），雇主是不知情的参与人。博弈顺序为：
（i）自然从可行的类型集 中赋予雇员类型 的先验概率为
，并将 告知雇主，而将 告知雇员，雇主不知道雇员的类型
， ；
（ii）雇员从信号集 中选择一信号 发送；
（iii）雇主观察到 后，从可行行动集 中选择行动（工资）
；
雇员的效用为 ，雇主的效用函数为 ，两者为共同
知识。
注意到 ，我们有 。于是，由先验概率计
算出的预期生产力为
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
假设教育成本是 (分离条件(sorting condition))。如果参与
人1的类型是 ，且得到工资 ，其效用是：
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
w
e
w
e
L
H
A
B
图
图中给出了两类型各自的无差异曲线。类型L
的无差异曲线要比类型H的无差异曲线陡，这是因为，
类型L增加一个给定教育水平的成本比类型H的成本更
高；因此，类型L会要求工资有一个较大幅度的上升，
这样才能使它的效用保持不变。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
雇主的效用函数为
只有当 时，雇主才会接受雇员的条件。
对任何一个教育水平而言（特别地，它为0），任
何一个 总会被接受，而任何一个 总
会被拒绝。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
分离均衡 在这个均衡中，两种类型的雇员选择两种不同的教育水
平，不同类型的雇员得到不同工资。低生产力类型L必然会选择
。（如果他投资 ，他的效用等于 ，将会比他在不投资
时得到的效用低，后者至少等于L）。高生产力类型选择 ，让
我们用 和 来定义教育水平 。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
低生产力类型在不进行教育投资并被企业识别为低生产力类型
（能够要求得到工资L），与进行教育投资 并被企业误认为是高生
产力类型（能够得到工资）这两者之间是无差异的。虽然，高生产
力类型进行超过 的投资，他会被雇主识别为高生产力类型（同时，
如果他不进行投资，他得到的工资至少是L），但是，他不会进行这
样的投资。明显地，一个分离完美贝叶斯均衡的教育水平 位于区
间 之中，这是由于它必须满足激励相容约束 和
。而 中的任何一个 都是一个完美贝叶斯均衡的组成部分。规
定，对不在 中的均衡以外的教育水平 而言，雇主会认为雇员
不能要求得到超过L的工资，而且，很容易证明，类型L选择教育0而
类型H选择教育 。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
但是，当我们讨论均衡以外的推断时，一旦剔除弱劣策略，则只会
有一个分离均衡存在。为了这个目的，我们注意到，对类型L而言，
任何严格大于 的 都劣于教育水平0。（类型L投资0，他得到的工
资至少是L；类型L投资 ，他得到的利润至多是 。）特
别地，根据直观标准， 中的任何一个 都应该引导出后验概
率 （因此，可以要求得到工资 ）。因此，为使企业
识别出自己的类型，H类型的投资不必多于 ，我们得到一个唯一的
分离均衡，其中，高生产力类型在“最小成本分离均衡水平”进行
投资，投资为 。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
斯彭斯的劳动力模型
混同均衡 这里还存在许多混同完美贝叶斯均衡。假定两种类型都
选择教育水平 。相应地，他们可以要求得到工资 。为得到这样
一个均衡，最好的办法是，对 ，你选择非均衡推断
，因而，教育为 的工资等于L。像过去一样，这给出了偏离 的最
小积极性。现在，由于有这种推断，最有利的偏离是选择 ，
因此，为使成为一个混同均衡，我们需要 和
。
因此，得到一个混同均衡连续统，混同均衡的教育水平
位于区间 之中， 。
斯彭斯的劳动力模型
简单剔除策略并不能使混同均衡集缩小，
但是，直观标准剔除了所有的混同均衡。
让我们从图来考察这个问题。假定
两种类型在点 混同。如果参与
人1偏离混同均衡而选择
B点包括更多的教育和更高的工资，对高生产力类型而言，工资
提高足以抵消教育成本的增加，但这对低生产力类型而言不成立。
因此，对类型L而言，选择B是均衡非优的（但对类型H不成立）。
这样，在 B点，雇主应该形成的推断是 ，其预
期利润应该是 。注意到 ，我们有，若 是小
的，则雇主应该接受雇员的出价。因而，类型H应该选择B而不
是A。这样，在A点的混同均衡是不满足直观标准的。
w
e
w
e
L
H
A
B
信号博弈的完美贝叶斯均衡
PhD录用博弈
假设一所大学知道种群中80%的人憎恨经济学(H)，并且在他的
PhD计划中是不适当的，20%的人喜欢经济学(L)，并且健康发展。
此外，它不能观察到申请者类型。如果大学拒绝(R)一个申请，它
的支付为0，申请者的支付为-1。如果大学接受(A)憎恨经济学的
人的申请，大学和学生的支付都为-8，但是，如果申请者喜欢经
济学，每个参与人的支付为16。图给出了博弈的扩展式。种
群百分比用自然选择学生是经济学爱好者或憎恨者的结点表示。
在图中，学生选择申请（A）和不申请（NA）。
信号博弈的完美贝叶斯均衡
录用博弈
图 录用博弈
N
S2
S1
H
L
-8,-8
-1,0
16,16
A
NA
A
NA
U1
U2
A
A
R
R
0,0
0,0
-1,0
信号博弈的完美贝叶斯均衡
PhD录用博弈
分离均衡：爱好者申请，憎恨者不申请；大学允许；大学推断申
请者的类型为经济学爱好者，而不申请者为憎恨经济学的学生，
即 ， 。分离均衡不必指出非均衡信念，无
论两个可能的行动“申请”和“不申请”什么时候发生在均衡中，
贝叶斯规则都可以应用。
PhD录用博弈是一类信号博弈，有几类完美贝叶斯均衡，非
均衡信念（out-of equilibrium beliefs）不同，但均衡可以分成两
类：分离均衡，在这一均衡中经济学爱好者申请，而憎恨者不
申请；混同均衡，没有一类学生申请，大学的后验推断不变。
具体来讲，有：
信号博弈的完美贝叶斯均衡
PhD录用博弈
混同均衡：爱好者不申请，憎恨者不申请；学校拒绝；
， ，其中 表示申请。后验推断支持混同均衡。两类
学生避免申请，因为他们相信自己将被拒绝，并收到－1的支付；
大学宁愿拒绝申请的任何学生，并相信80%的概率是憎恨者。
在Cho和Kreps(1987)的直观标准下，如果有一类知情的参与人，
不管不知情的参与人持有什么样的信念，他都不能从非均衡行
动中收益，那么，不知情的参与人的信念必须认为那种类型的
概率为0。这里，在任何可能的大学信念下，憎恨者不能从申请
中收益，因此，大学认为申请者是憎恨者的概率为0，即
。直观标准不支持混同均衡，因此，如果大学持有这样的信念，
它将接收任何申请的人。
完美贝叶斯均衡的再精练
参与人的策略在每一个子博弈中都构成纳什
均衡这个要求还是太弱，因为在不完全或不
完美信息博弈中几乎没有什么子博弈。
序贯均衡
•现象
•“状态
”（assessment）由所有参与人的（混合）策略组合和所有
信息集上的（后验）概率分布构成，即
序贯均衡
•记号
包含结点x的信息集
在结点x进行选择的参与人
给定混合策略组合 p，达到结
点x和信息集h的概率
参与人i(x)到达信息集h(x)时在
结点 上的信念
•序贯理性
如果对于任何信息集h和可选的策略 ，都有
则 是序贯理性的
如果对于 中的某个序列 有
令 为所有状态 的集合，
是所有 为严格混合策略的状态
的集合
则状态 是一致的(consistent)
注意：
•策略 不一定是完全混合的
•一致性的定义不能将“颤抖”的概念运
用到自然的行动上
•颤抖使得贝叶斯法则适用于博弈的
所有路径
•序贯均衡
一个满足序贯理性和一致性条件的状态
。
例子
参与人1在这两个结点上以相同的概率 偏离
即颤抖确保参与人的信念遵照信息结构
序贯均衡与完美贝叶斯均衡
•一致性条件比贝叶斯法则更强，满足一致性条件
的均衡一定满足贝叶斯法则，但逆命题不成立。
•每一个序贯均衡都是完美贝叶斯均衡，但并
不是每一个完美贝叶斯均衡都是序贯均衡
•定理（Fudenberg和Tirole，1991） 在一个
类型相互独立的不完全信息多阶段博弈中，如果每
个参与人最多只有两种可能的类型，或者博弈只有
两个阶段，那么，贝叶斯法则等价于一致性条件，
因此，完美贝叶斯均衡与序贯均衡是重合的。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
Selten(1975) 使用策略式博弈引入颤抖手完美均衡的概
念。颤抖手完美均衡的基本思想是，在任何一个博弈中，
每一个参与人都有一定的可能性犯错误；一个策略组合，
只有当它在允许所有参与人都可能犯错误时仍是每一个参
与人的最优策略的组合时，才是一个均衡。
通过引入“颤抖”，博弈树上的每一个决策结出现的概率
都为正，从而每一个决策结上的最优反应都有定义，原博
弈的均衡可以理解为被颤抖扰动后博弈的均衡的极限。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
I II C1 C2
R1
R2
表
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
（纯策略）纳什均衡：(R1,C1)和(R2,C2)。
I II C1 C2 C3
R1
R2
R3
表
现在将表的博弈扩展到表。参与人有与前面
同样的策略（并具有同样的效用支付），不过，每个
参与人分别增加第三个策略。
新策略R3和C3似乎吸引了两个参与人，因为当两参与人选择这个
策略组合时，每个参与人将获得5单位的效用，这比表所示博
弈的任何策略组合都要好。然而，策略R3和C3都是劣策略，对于
参与人I，R3是R1的严格劣策略；对于参与人II，C3是C1的严格劣
策略。这些劣策略应该被剔除，这样，没有一个参与人想单独选
择第三个策略。因此，表和表示的博弈有同样的纳什均
衡 和 。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
Selten（1975）将非均衡事件的发生解释为“颤抖”
(tremble)：当一个参与人突然发现一个不该发生的事件
发生时（即博弈偏离均衡路径），他把这个不该发生的
事件的发生归结为某一个其他参与人的非蓄意错误。设
想参与人知道想选择或避免哪个策略，但是，在最后时
刻，做选择的手颤抖了并且意外地选择了其他策略。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
•允许参与人有可能犯错误，结论如何？
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
当有颤抖时，参与人I怎样才能够有更多的理由偏好表中的
而不是表中的R1。当有颤抖时，参与人I有理由相信参与人
II以一定的概率选择策略C3。当这发生时，如果参与人I选择R1
，他将获得8单位；如果参与人I选择R2，他将得到-1单位。类
似地，当参与人II预期参与人I的手可能颤抖而选择R3时，那么，
他的最优反应是选择C1。因此，两参与人的选择结果为
(R1,C1),即使颤抖从未发生（即，甚至R3和C3没有被选择）。
这样，可能的颤抖帮助两参与人从两个均衡中选择一个。
•帮助选择一个纳什均衡
完美贝叶斯均衡的再精练
参与人I预测参与人II不会选择C3，因为后者是劣策略的。然而，
他预测到参与人II将以正概率选择C1或C2。令 表示参与人I预
测到参与人II将选择C1的主观概率。因为参与人I预测到参与人
II不选择C3，所以，他的完全预测是：参与人II以概率 选择C1
，以概率 选择C2。那么，参与人I又将做什么呢？
•颤抖手的临界频率
•不允许颤抖
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
如果他选择策略R1，他将以概率 获得支付4，以概率 获
得支付-1。这样，他选择获得的预期效用为
类似地，如果他选择R2，他的预期效用为
完美贝叶斯均衡的再精练
这样，当 时，即, 如果 ，参与人I将选择策略R1。
换句话说，假设参与人I预测到参与人II将以小于 的概率试图获
得结果C2，参与人I将选择策略R1去获得结果 (R1,C1)，参与人I
获得的效用为4。
两个参与人也许在选择时犯错误，无意识地选择了第三个策略。令
这个误差的概率为 。从参与人I的角度看，参与人II错误地选择
的概率为 ，不犯这样的错误的概率为 。在不犯错误的情况下，
他将以概率 选择 ，以概率 选择 。这样，参与人II在可
能犯错误的情况下，选择 的概率为 ，选择 的概率为
，选择 的概率为 。参与人I的预期效用则调整为
•允许颤抖
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
为了看到犯错误（颤抖）的影响，考虑下面的例子，例如，假设
参与人I预测到参与人II将以概率 选择策略C1。从上面的
式子可知，在没有颤抖的情况下， 使得 等于 ，这
意味着参与人I对策略R1和R2是无差异的。然而，很容易看到，
当颤抖变得可能时，预期效用平衡已经打破。对任意 ，当
时，有 ，这样，参与人I将选择策略R1而不是
策略R2。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
为了进一步阐明颤抖手的作用，假设参与人I预期到一个稳定的
（非颤抖的）参与人II以概率 选择C1。在没有颤抖时，参
与人I应该选择R2。然而，如果参与人I预测到参与人II将以大于 （
即 ）的概率错误地选择C3，那么，有 。这样，
参与人I将再次选择R1。一般地，当以概率 颤抖地选择C3时，参
与人I将选择R1当且仅当（if and only if） ，即
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
定义 在n人策略式表述博弈中，纳什均衡 是一个颤
抖手完美均衡，如果对于每一个参与人 ，存在一个严格混合策
略序列 使得下列条件满足：
（i）对于每个 ， ；
（ii）对于每一个 和 ，策略 是对其他参与人策略组
合 的最优反应，即：对于任何可选
择的混合策略 ，有
上述定义中关键的一点是 必须是严格混合策略（即选择每一
个纯策略的概率严格为正）。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
定理 在有限两人策略博弈中,一个策略组合是颤抖手完美
均衡，当且仅当它是一个(混合策略)纳什均衡并且两个参与人
的策略都不是弱劣的。
定理的结论对三个参与人的博弈不成立，如表所
示的博弈。在此博弈中纳什均衡 非劣，但不是颤抖手
均衡（因为只要参与人2和3分别赋足够小的正概率给 和 ，
则参与人1对 的支付超过他对 的支付）。在这个三人策略
式博弈中，纳什均衡 是颤抖手完美均衡。
完美贝叶斯均衡的再精练
颤抖手均衡
表 三人策略式博弈
L R
T 1, 1, 1 1, 0, 1
B 1, 1, 1 0 ,0, 1
L R
T 1, 1, 0 0, 0, 0
B 0, 1, 0 1 ,0, 0
均衡概念之间的关系
在有限博弈中（策略式或扩展式），至
少存在一个在代理人策略式下的颤抖手
均衡（Selten, 1975)。一个颤抖手完美
均衡是序贯的，但反之不一定成立；然
而，对于一般的博弈来说，这两个概念
是重合的（Kreps和Wilson, 1982)。
•颤抖手完美均衡一定是序贯均衡，序贯均衡
一定是完美贝叶斯均衡，完美贝叶斯均衡一
定是子博弈完美均衡，而子博弈完美均衡一
定是纳什均衡。
声誉效应
KMRW声誉模型
考虑一个两时期的声誉模型。在第一时期，市
场上有两家企业1和2。只有企业1（“在位者”）采
取行动：“掠夺”或“和解”。在第二时期，只有
企业2选择行动：“坚持”或“退出”。两参与人1
的支付都为两个时期的支付和，博弈的扩展式表述
见图。
声誉效应
KMRW声誉模型
图
N
1 1
理智 疯狂
掠夺 和解 掠夺
坚持 退出 坚持 退出 坚持 退出
2
2
声誉效应
KMRW声誉模型
在图中， ， ，即一家理智企业1喜欢
采取的是和解行动而不是掠夺行动，但是，企业1更愿意成为
一名垄断者，这样他每期得到的（垄断）利润是 ； 表示企
业1的类型是理智的先验概率，从而 表示企业1的类型是
疯狂的先验概率；在第一时期只有企业1行动，在第二时期，
只有企业2行动， 为两时期之间的贴现因子，每个参与人的
支付由两部分组成，在前面乘以 的表示第二时期的支付；
疯狂的企业1总是选择掠夺，而理智的企业1在第二时期不会选择掠
夺性策略，这是因为它没有理由在博弈的终点建立并维持声誉。
声誉效应
KMRW声誉模型
假设疯狂的类型总是选择掠夺行动。于是，我们要研究的
有趣问题是，理智类型企业的行为是怎样的？从一个静态的观
点来看，如果企业1是理智的，他应愿意在第一期采取和解行
动。但是，如果它采取掠夺行动，也许会使企业2相信它的类
型是疯狂的，这样就会引致企业2退出（由于 ），并因此
使自己第二期的利润增加。
声誉效应
KMRW声誉模型
不同类型的企业1在第一期中选择不同的行动。这里，它意味
着，理智类型企业采取和解行动。在一个分离均衡中，在第二
期，企业2具有完全信息：如果 表示进入者在第二期（事后）
关于在位者类型的后验推断，那么
分离均衡
声誉效应
KMRW声誉模型
两种类型的企业1在第一时期选择相同的行动。这里，它意味
着，理智类型企业采取掠夺行动。在一个混同均衡中，当观察
到均衡行动时，企业2并不修正推断：
这里可能还存在杂合或准分离均衡。举例而言， 声誉博弈中，
理智类型企业1可以在“掠夺”和“和解”之间进行随机选择
（即在分离与混同二者之间进行随机选择）。这时，我们有
•混同均衡
声誉效应
KMRW声誉模型
（）
让我们首先寻找分离均衡存在的条件。在这样一个均衡
中，理智类型的企业1采取和解行动，并因此显示出自
己的类型，得到利润 ；企业2采取坚持行动，这
是因为它预计在第二期， 。如果企业1采取掠夺行
动，这就会使得企业2相信它是疯狂的，这时它将会得
到 。于是，分离均衡存在的一个必要条件是
声誉效应
KMRW声誉模型
反过来，假定条件（）是满足的。分离完美贝叶
斯均衡由下面的策略和推断组成：理智的在位者采取
和解行动，而进入者（正确地）预计到在位者是理智
的并采取坚持行动；疯狂的在位者采取掠夺行动，而
进入者（正确地）预计到在位者是疯狂的并采取退出
行动。
声誉效应
KMRW声誉模型
（）
现在，考虑混合均衡存在的可能性。在这种情况下，
两种类型企业1都采取掠夺行动。当掠夺行动被观察
到时，就像我们所看到的那样， 。理智类型的企
业在第一期失去利润 ，它必须引致企业2采取
退出行动（至少，企业2退出这一事件的概率充分大）
。因此，企业2在第二时期的预期利润必须非正，即
声誉效应
KMRW声誉模型
反过来，假设条件（）成立。考虑下面的策略和推断：两种
类型的企业1都采取掠夺行动，并且，当进入者观察到掠夺行动时，
它的事后推断是 ，采取退出行动；当它观察到和解行动时，
事后推断是 ，采取坚持行动。理智类型的均衡利润是
；当它采取和解行动时，利润会是 。因此，如果条件
（）被破坏，则这个策略和推断组合就构成一个混同完美贝
叶斯均衡。如果条件（）得到满足，则存在着一个连续统混
同均衡。如果式（）和（）都被破坏，唯一的均衡是一
个杂合完美贝叶斯均衡（当进入者观察到掠夺行动时，它进行随
机选择）。
声誉效应
KMRW声誉模型
备注 这个模型中完美贝叶斯均衡的（一般性的）唯
一性来源于“强”类型（疯狂的在位者）总是掠夺的
假定。这样，掠夺就不是一个0概率事件，进一步讲，
如果疯狂的类型以正的概率和解，则和解就不会揭示
参与人1是理智的。在上面的模型中，理智类型的参
与人1选择掠夺行动就是在第一时期建立声誉，使得
企业2认为它是疯狂的，从而迫使企业2在第二时期退
出，这样，它可以在第二时期获得更多的利润。
KMRW定理 在T阶段重复囚徒困境博弈中，如
果每个囚徒都有 的概率是非理性的（即只选择
“针锋相对”或“冷酷策略”），如果T足够大，那
么，存在一个 ，使得下列策略组合构成一个完
美贝叶斯均衡：所有理性囚徒在 阶段选择合作
（抵赖），在 阶段选择不合作（坦白）；并且，
非合作阶段的数量 只与 有关而与 无关。
声誉效应
KMRW声誉模型
声誉效应
KMRW声誉模型
在定理中，“针锋相对”（tit-for-tat）是指：开
始选择“抵赖”（合作），然后在 阶段选择另一个
囚徒在 阶段的选择；
“冷酷策略”（grim strategy）是指：开始选择合作，
直到对方在 阶段选择不合作，然后从 开始选
择不合作直到 阶段。冷酷策略意味着绝对不允许
对方的任何背信弃义行为。
声誉效应
声誉模型的一些结论
定理 对于L类企业，上一阶段的声誉可以诱使下一阶段更
高的信号。
定理 如果L类企业在第一阶段假装成H类企业，且在第二阶
段利用声誉，则在均衡时，他第一阶段的效用小于或等于不考
虑声誉时他第一阶段的效用，即成立不等式
定理 如果L类企业在第一阶段假装成H类企业，且在第二阶段
利用声誉，则在均衡时，他第二阶段的效用大于不考虑声誉时第二
阶段的效用，即成立
