两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数
=
与列数, 且对应元素相等。即
第二节 矩阵的运算
设矩阵
定义
一、矩阵的加法
同型
运算律
设 A, B, C 为同型矩阵, O 为同型零矩阵，则
(1) A + B = B + A ( 加法交换律) ;
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律);
(3) A + O = O + A = A；
(4) 设 A = ( aij )m n , 称矩阵
为 A 的负矩阵，记作 - A 。
显然有
A + ( - A ) = ( - A ) + A = O
由此可定义矩阵的减法：
A - B
def
A + ( - B )
例 设
(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因;
(2) 求 C 的负矩阵.
定义 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数,
称为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(简称数乘).
二、矩阵的数乘（数与矩阵相乘）
运算律
设 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则
(1) 1A = A;
(2) k(lA) = (kl) A;
(3) k(A + B) = kA + kB;
(4) (k + l)A = kA + lA.
矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算.
结合律
分配律
例 设
求矩阵 X .
也有移项规则
解：
引例 总收入和总利润
设某地有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都生产
产 品
工 厂
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
甲
乙
丙
20 30 10 45
15 10 70 20
20 15 35 25
(单位: 个) 如下表所示:
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4 种产品。已知每个工厂的年产量
三、矩阵的乘法
已知每种产品的单价 ( 元/个 ) 和单位利润(元/个)
项 目
产 品
单 价
单位利润
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
100 20
150 45
300 120
200 60
求各工厂的总收入与总利润.
如下表所示:
甲厂：
乙厂：
丙厂：
解 各工厂的总收入为
各工厂的总利润为
甲厂：
乙厂：
丙厂：
设计算法：
规定
称C是A与B的乘积
定义
设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, …, n
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
C = (cij)m×n , 其中
注意: 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
乘法运算图示：
(2)
(1)
内
判定是否可乘
确定C的型号
外
如何确定C的元素？
1. A与自身可乘
A为方阵
称A与B可交换
思考：
例 1 求矩阵
的乘积 AB、 BA 及 AC.
例 2 设
求 AB 与 BA .
(1) 矩阵乘法不满足交换律.
左乘 B”或“B 右乘 A”.
在作乘法时, 应指明它们相乘的次序.
AB 读作“A
（一） 与“数的乘法”不同之处
矩阵乘法的运算律
(3) 矩阵的乘法不满足消去律, 即如果
例如
AB = CB, B O, 不一定能推出 A = C.
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
例如
即AB=O / A = O或B = O。
BA = BC
（二）与“数的乘法”相似之处
(1) Ok×mAm×p=Ok×p , Am×pOp×n=Om×n ;
(2)
(5) k(AB) = (kA)B = A(kB). （数乘结合律）
(B + C)A = BA + CA; （右分配律）
(4) A(B + C) = AB + AC,（左分配律）
(3) (AB)C = A(BC); （结合律）
例 3 设矩阵
试求出所有与 A 可交换的矩阵.
由矩阵乘法满足结合律，可得到方阵的幂.
设 A 为 n 阶矩阵，对于正整数 m，记
Am = AA A
m 个
规定
A0 = E .
设 k , l 为任意非负整数，则有
AkAl = Ak + l , ( Ak )l = Akl
称之为 Ａ 的 m 次幂。
引申出方阵的多项式
例4 设
计算 A2, A3, An (n>3).
例 5 (p38) 证明
几何法：
代数法：
1. 对于线性方程组
若令
矩阵乘法的应用
则上述线性方程组可写成如下矩阵方程形式:
AX = b
2. 线性变换
利用矩阵的乘法，可记作
Y = AX
其中
