部分可逆投资与基于消费效用的资产定价* 杨金强1, 2 杨招军1,† (1. 湖南大学金融与统计学院，长沙 410079；2. 上海财经大学金融学院，上海 200433) 摘要：本文考虑一个面临随机需求风险的企业家，如何通过消费平滑、风险管理及有成本的动态调整资本资产规模，实现消费效用最大化的公司金融问题。运用动态随机控制方法，得到了非完备市场与非风险中性下企业资本的平均价值与边际价值的半闭式解及相应的最优经营策略。基于经典的资本资产定价（CAPM）理论，得到了企业家的期望收益率、企业的贝塔系数和风险溢价。数值结果表明，在非完备市场下企业家的风险态度对企业资本价值、贝塔系数、风险溢价、企业家的期望收益率及相应的最优经营策略等都具有显著的影响。 关键字：风险厌恶，非完备市场，消费效用无差别定价，风险溢价，公司金融 Optimal Investment and Consumption Utility-Based Asset Pricing with Costly Reversibility Jinqiang Yang1, 2, Zhaojun Yang1 1School of Finance and Statistics, Hunan University, Changsha 410079 2School of Finance, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433 Abstract: This paper considers an optimal investment problem for a risk-averse entrepreneur facing stochastic market demands to maximize the expectation of total consumption utility through consumption, hedging and business investment with costly reversibility. Utilizing dynamic stochastic control, we derive semi-closed-form solutions for the average value and marginal value of the capital and the corresponding optimal strategies under an incomplete market in a non-risk-neutral world. In addition, we obtain the expected return, beta coefficient and risk premium based on CAPM. The numeric results show that the risk attitude of the entrepreneur has a significant effect on the value of the capital, beta coefficient, risk premium, expected return and the optimal control strategies under an incomplete market. Keywords: Risk aversion; Incomplete market; Consumption utility-based indifference pricing; risk premium; Corporate finance JEL classification: D92; E22; G12 * 国家自然科学基金项目(70971037)；国家留学基金委员会资助项目“留金出[2009]3012号”。 † 通信作者，湖南省长沙市石佳冲，湖南大学金融与统计学院，邮编410079。E-mail: zjyang@。 1 / 13
一、引言 经济波动导致的市场需求风险往往会引起实体企业价值的巨大波动，怎样通过战略调整企业资本存资来控制企业规模进行产出优化、风险控制及相应的企业资本资产定价一直是公司金融的一个经典和热门的话题，其开创性工作始于Jorgenson (1963)的无摩擦可逆动态投资理论的研究，他得到了“最优投资使得资本的边际价值等于资本的边际成本”这一经典的经济学结论。随后引起广大学者对动态公司金融理论的极大研究热情，并以此为基础进行了多元化扩展，如Eisner and Strotz (1963)、Rothschild(1971)和Nickell (1978)分别对具比例成本和固定成本的资本规模调整问题的研究，Arrow (1968)对企业不可逆投资进行的相关分析，Tobin (1969)提出的公司资产定价Q理论，随后Mussa (1977)和Abel (1983, 1994)分别就确定性模型及随机模型进行了进一步探讨，Abel and Eberly (1996)和Guo, Miao and Morellec (2005)研究了不确定市场需求下的部分可逆和不可逆投资问题，Abel and Eberly (1999)和Le and Jones (2004)对不确定市场需求下的动态随机均衡资产定价问题进行了实证分析。 上述研究都是基于风险中性下的定价，本质上沿袭了经典的“金融资产定价等于现金流贴现和”的理论，因而忽视了投资者的风险态度在资产定价中的决定作用。应该承认，风险中性假设便于模型计算且具有一定的合理性：例如，在完备市场下，利用Arrow-Debreu的分离原理可将企业家的最优化问题分解成先财富最大化后效用最大化的问题，这表明，完备市场下企业家的风险态度对最优投资与企业资本资产定价没有任何影响。 然而，市场往往是不完备的（即存在不可对冲的风险）。例如，对于中小型未上市企业的权益拥有者（企业家）来说，往往面临着不可对冲的随机需求风险（经济繁荣导致市场需求增加，经济萧条促使市场需求减小，而繁荣和萧条是随机发生的，其风险不可对冲）。 现在已经普遍知道，在非完备市场条件下，投资者的风险态度对于项目评估和资产定价具有重要的影响，始终坚持在风险中性条件下讨论投资定价问题显然是不科学的，更何况经济理论表明：风险中性并不具有经济学的合理性，相反，企业家（投资者）往往是风险厌恶的。因此，基于效用（风险态度）的消费投资定价理论得到迅速发展：如Henderson (2007)、Miao and Wang（2007）、Ewald and Yang (2008)及Chen, Miao and Wang（2010）采用实物期权分析方法研究了基于消费效用最大化目标下的企业最优投融资问题。胡援成和姜光明（2006）得到了企业家效用最大化下的最优资本结构，叶文忠、杨招军和郑毅（2010）给出了抵押贷款证券的效用无差别定价。 本文的创新体现在：针对上述经典公司金融模型的“风险中性假设”的缺陷，研究企业家在非完备市场下通过平滑消费、控制实业投资规模及金融投资策略选择来最大化无限期内的消费总效用的经营决策问题，通过与风险中性下的经典结果进行对比分析，发现风险态度对企业资本价值、贝塔系数、风险溢价、企业家的收益率及最优策略所具有的显著影响。 本文其余部分安排如下：第二章为经济建模，分别对实业投资、金融投资、消费及财富动态和企业家的目标函数进行详细刻画。第三章探索模型的求解方法，给出了解的最优性条件及在CARA(Constant Absolute Risk Aversion)消费效用函数条件下模型的具体解，且用两个定理分别总结了非完备市场和完备市场下的主要理论结果。第四章利用数值计算分析了风险（厌恶）态度对企业资产定价及最优投资的影响。第五章对本文进行总结。附录给出了本文两个定理的推导细节。 二、经济建模 1. 实业投资 2 / 13
假设企业家拥有企业的全部权益，企业的纯收入π取决于当前时刻t的固定资本存资K和市场需求X，① 它满足 tt1 π(K,X)=hXλK−λ, (1) tt1−λtt其中，0<λ<1为柯布-道格拉斯生产系数，h为资产创造价值的能力系数。假设市场需求是纯外生的，服从如下的几何布朗运动： dXt=µ+σZx xdtxd, (2) Xtt其中µx与σx是常资，分别表示市场需求的增长率与波动率，Zx为标准的布朗运动。 t 企业家根据市场需求现状，可以通过买卖资本资产而动态调整企业规模：例如，经济繁荣市场需求增加时，企业家会买入资本资产扩大企业规模；相反，当经济萧条市场需求减小时，企业家会卖出资本资产减小企业规模。假设单位资本资产的买入价格为pb、卖出价格为p。因一般存在市场摩擦（如流动性，交易成本等），故假设p≤p，这时称投资ssb是部分可逆的。特别地，若p=psb，则意味着市场上没有摩擦，这时称投资是完全可逆的。顺便说，与此相对，在实物期权理论中，投入的沉没成本（sunk costs）常假设为完全不可逆投资。 定义B和S分别为从0时刻到t时刻累积买入的资本资与累积卖出的资本资，显然Bttt与S是时间的非递减函数。进一步假设资本的折旧率为δ(δ≥0), 则企业资本存资（K）tt的动态过程为： dK=dB−dS−δKdt. (3) tttt2. 金融投资 假设金融市场中存在无风险资产及一个风险资产（如某个投资组合，下称风险资产组合），其中无风险利率为 r，风险资产组合价格M 服从以下扩散过程： tdMt dmM=µmt+σmdZ, (4) tt其中µm与σm为常资分别表示风险资产组合的回报率与波动率，Zm为标准布朗运动，且Zmtt与Zx之间的相关系数为ρ(ρ≤1)。定义η=(µm−r)/σm>0为金融市场的夏普比率t(sharpe ratio)。记Φ为企业家在风险资产组合的投资额。 t3. 消费及财富动态 企业家通过消费获得效用，定义C、U(C)分别为t时刻的消费及消费效用。于是，企tt业家的流动性(金融)财富过程W满足如下动态过程： tdW=rW−Φdt+Φµdt+σdZm()(m)−Cdt+π(K,X)dt−pdB+pdS, (5) ttttmttttbtst 其中右侧第一项与第二项表示无风险资产与风险资产组合的收益，第三项表示消费支出，第 ① 柯布-道格拉斯生产函数在经济学及公司金融中有着广泛的应用，见Abel and Eberly (1996), Hartman and Hendrickson(2002), Guo and Miao and Morellec (2005)。 3 / 13
四项是企业的营业收入，第五项对应买入资本的成本支出，第六项是卖出资本的收入。 4. 企业家的目标 企业家作为一个未上市公司的私人权益所有者从事企业的经营管理工作，他的目标是根据当前的企业资本存资、市场需求以及自身的流动性财富水平，通过选取最优消费策略C、动态调整企业规模（dB与dS）、以及规划金融投资策略Φ，最大化如下无限期内tttt期望消费总效用（值函数）①： J(,,)m∞KXW=ax E{e−ruU(C)Φt∫u (6) udBudS},,,tuu三、模型求解 1. 最优性条件 直觉上②，由于市场存在摩擦，市场需求的瞬时增加或减小并不一定导致企业家实时买入或者卖出资本来扩大或缩小企业规模（见Abel and Eberly，1996），他会根据企业当前的资本存资K与流动性财富水平W做出最优选择。所以当p<p时，只有当市场需求高于某sb一上边界Xb(K,W)时企业家才会买入资本，当市场需求低于某一下边界X(K,W)时企业家s才会卖出资本。因此利用标准的动态最优控制原理，当X∈(X,X③)时sb可得值函数V满足下面 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程： 22=max {(−+σδµ+xXrJUC)KJXJJCΦKxX2XX, (7) 22 +rW+mΦ(Φ(m−)−+)W+σµrCπJJWW+ρσxσmXΦJXW}.2上式很像资产定价公式，表示值函数的回报率（左侧）等于瞬时消费效用（右侧第一项）与其他各状态变资总的期望改变率（右侧其它项）。利用最优消费策略C与金融投资策略Φ的一阶优化条件，可得： UC(C)=JW, (8) Φ=−ηJW−ρσxXJXW. (9) σmJWWσmJWW(8)式表示最优策略应使得边际消费效用等于财富的边际效用。(9)式意味着其右侧第一项的均值方差（mean-variance）需求与第二项的套期保值（hedge）需求决定了其金融投资策略。 下面我们来分析值函数的边界条件。首先考虑上边界问题，即对于当前的需求一旦超过X>Xb(K,W)企业家需要立刻买入资本∆K使得X=Xb(K+∆K,W)，买入资本前后应该满足价值函数匹配条件（value-matching condition）： J(K,X,W)=J(K+∆K,X,W−pb∆K). (10) ① 其中还要求投资消费满足可积条件tt22∫Φ<+∞,∫C<+∞，这些条件数学上保证模型计算有意0t0t义，经济学上意思是禁止恶意透支。 ② 亦可参见Wang (2010)。 ③ 为叙述方便，以下有时会省略相应的状态变资，如X≡X(K,W),X≡X(K,W),及ssbbJ≡J(K,X,W)等。 4 / 13
因为企业家可以及时调整公司规模，即当X→Xb(K,W)时，有∆K→0。利用泰勒展开式，不难得到 JK(K,Xb,W)=pbJW(K,Xb,W). (11) 同时买入资本前后还应该满足价值函数的平滑粘性条件（smooth-pasting condition）： ∂J(K,X,W)=∂J(K+∆K,X,W−pb∆K) . ∂K∂K于是有 JKK(K,Xb,W)=pbJWK(K,Xb,W) (12) 利用同样的分析可得其下边界的价值函数匹配条件与平滑粘性条件： JK(K,X,W)=pJ(K,X,W), (13ssW) s JKK(K,X,W)=pJ(K,X,W) (14) ssWKs2. CARA效用函数下模型的解 一般来说，CRRA（Constant Relative Risk Aversion）族效用函数比较受经济学欢迎，但在分析多维变资的经济学问题时，CARA(Constant Absolute Risk Aversion)族效用函数在降维方面具有显著优势①。本文为简化问题而又不失突出本文的研究主旨，我们采用CARA效用，即指数类效用函数 U(C)=−(eγC−1)/γ, (15) 其中参数γ表示企业家的风险厌恶系数。通过猜测-验证的方法②，可得价值函数有如下形式： 2−ηγrW+V(K,X)+γ2e2r=−−1 J(K,X,W) (16) γr其中，V(K,X)是企业的（隐含的）资本价值，实际上它也可以解释为企业消费效用无差别价值③或者是企业的确定性等价财富(certainty equivalent wealth)。我们可以用下面的2个定理来总结本文的主要结论（推导细节见附录）。 定理1 如果企业家面临着不可分散的非系统风险（非完备市场）且企业家是风险厌恶(γ>0)的。那么对于企业家来说企业的资本价值为V(K,X)=Q(x)K，其中x≡X/K为市场需求-资本存量比，Q(x)为企业资本的平均价值，它满足下面的自由边界非线性常微分方程(ODE)： (+)=hα+(−+)+x2σ2222xQγr(1−ρ)xσrδQxxµρησδxQ′xx2()()′′(x)−Q′(x),1−xx (17) α22且具有如下边界条件： ① 见Miao and Wang(2007)及Wang, Wang and Yang(2010)采用CRRA效用函数分析流动性财富水平对企业价值的影响。 ② 见Miao and Wang(2007)。 ③ 见Yang and Yang (2010)及Miao and Wang(2007)。 5 / 13
Q(xb)−x′bQ(xb)=p′′b, Q(xb)=0, Q(x)−xQ′(x)= (18) p, Q′′(x)=0.sssss 企业资本的边际价值和最优消费策略分别为 2 q(x)=Q(x)−xQ′(x), C=ηrW+VKX+(,). (19) 2γr2企业家的最优动态调整企业资本的策略为：当x>xb时企业家买入资本使得x=xb，当x<xb时企业家卖出资本使得x=x。而当x≤x≤xssb企业规模保持不变。企业家的最优套期-需求比率和最优金融投资策略分别为： =−ρσ−Φ=ηφx1 h(x)(Q(x)xQ′(x)), +φhX. (20) σmγσmr企业家的期望收益率和贝塔系数分别为： xQxγrρ2σ22()(1)(xQ′(x))µ=+′ρησ+−xρσβ=′xxQ(x) e(x)rx,(x). (21) Q(x)2Q(x)σmQ(x)企业的系统风险溢价和非系统风险溢价分别为： 222xQ′(x)γr(1−ρ)σ(xQ′(x)) β(x)(µ−r=ρησαx=xm)x,(). (22) Q(x)2Q(x)定理2 如果市场是完备的或者企业家是风险中性(γ=0)的。则企业资本的平均价值Q(x)与边际价值q(x)分别为： Q()=Hλ−λH−ψψ()−λHxxθGxλsxs1−θ(G)xλ−ψbxψb (23) 1−λ−ψψs−ψψs(1)(1)ssbbHH q(x)=Hxλ−λλ−ψ−λθ(G)xsxψs1−θ(G)xλ−ψbxψb (24) ψsψssb其中 2ψσ2x−2µx−ρησx+δ±(σ2−µ−ρησ+δ)+r+δσ2()2()8()sxxxxψ= b2σ2x (25) ≡hψψψbλHsbG≡xb,,θ(G≡G−G )(r+δ)(λ−ψ)(λ−ψ)xGψb−Gψssbs且ψ<0<1<ψ. G是下面的方程的解 sbpb FGGFG1()−λ−()=0 (26) ps其中 F(GH)1−λ(G)−λ≡θ1−θ(G) (27) hψψsb 6 / 13
且最优资本买卖边界为： 11pλλ=bpxx=sb,.1s1 hFG−()hFG−()且企业的非系统风险溢价为零。 现在我们对以上结果进行简单的分析：首先（17）式中的最后一项−γr−ρ2σ22Q2(1)′xx(x)/2直接体现了非风险中性定价对企业资本平均价值的影响作用。在非风险中性条件下，风险厌恶系数γ或者非系统风险22(1−ρ)σx越大，企业的资本价值越小。（18）式则体现了Jorgenson (1963) 的“最优投资使得资本的边际价值等于资本的边际成本”这一经济学结论。（19）式为最优消费策略，该式表明最优消费恰好为企业家的所有财富产生的无风险“利息收入”，这些财富包括流动性财富W、隐含的非流动性财富V以及隐含的金融风险投资的超额收益η2/γr2(2)。通过（20）-（22）式我们发现相关系数ρ对套期保值策略，企业家期望收益率以及企业的贝塔系数和系统风险溢价都具有直接影响。而非系统风险22(1−ρ)σx对企业家期望收益率和非系统风险溢价有直接影响。（23）式则表明企业（隐含）价值具有期权的特性，即市场需求较小时企业家有以固定价格卖出资本的权利，其相应的期权价值为 −λHθ−(G)xλψxψss>0, (1−ψψs)ss而当市场需求较大时他有以固定价格买入资本的权利其相应的期权价值为 −λH1−θ−ψψ(G)xλbxb>0. −ψψs(1b)b四、数值结果分析 1. 参数选择 在本文的数值分析中，我们参考了经典论文的参数选择，假设基本的模型参数为：① δ=, r=（见Veracierto (1998)）；② λ=, µx=, σx=, h=（见Abel and Eberly (1999)）；③ σm=, η=（见Zakamouline and Koekebakker (2009)）。 2. 需求-资本存量比x的影响 在图1—图2中的红色虚线给出了风险中性下，企业价值、投资策略、企业家收益及企业的贝塔系数与市场需求—资本存资比x的变化关系。随着x的增大，企业的平均价值、边际价值和贝塔系数逐渐增加，企业家的收益率逐渐增大，买空金融资产进行套期保值的数资也越来越多。这些都与经济学直观一致：x小则意味着市场低迷，则企业价值低，企业家收益率低且对金融市场变化的敏感度低，对冲企业风险的动机小。而x大则意味着市场繁荣，则企业价值高，企业家收益率高且对金融市场变化的敏感度高，对冲企业风险的动机大。 3. 风险厌恶系数γ的影响 图1与图2同时分别给出了风险厌恶系数γ对企业价值、投资策略、企业家收益及企业的贝塔系数和风险溢价的影响。风险厌恶系数的增加减少了企业资本的平均价值，增加企业资本的边际价值，且x越大影响越大，显著地减小了资本买入的边界值xb。这是符合经济直观的，因为企业家越厌恶风险，对特定的随机收益流的定价就会越低，为规避风险，他就会提 7 / 13
前买入资本，通过扩大企业规模变相地来减小市场需求的波动。而风险厌恶系数对资本卖出的边界影响不大，因为x很小时意味企业收入的绝对波动率就很小，因此风险态度对企业家的决策及企业价值影响都很小。 企业家越厌恶风险，他就会卖空更多的金融资产，更大程度上进行风险对冲，而当他承受相同的风险时，则对非系统风险溢价与期望收益率的要求也就越高，同时他对系统风险溢价的要求相对就会降低，从而导致期望收益率相对市场变化的敏感程度降低。 图1 风险厌恶态度对企业资本的平均价值和边际价值的影响 套期保值-资本存资比率: φ(x)h企业家的期望收益率为: µ(x) γ=γ=γ= 1234512345市场需求-资本存资比：x市场需求-资本存资比：x企业的贝塔系数-4: β(x)x 10 非系统风险溢价: α(x)市场需求-资本存资比：x市场需求-资本存资比：x 图2 风险厌恶态度对企业家的套期保值，收益率以及企业的贝塔系数和非系统风险溢价的影响 8 / 13
4. 相关系数ρ的影响 图3与图4分别给出了市场需求与金融风险资产之间的相关系数ρ对企业价值，投资策略，企业家期望收益率及企业的贝塔系数和风险溢价的影响。从定理2中不难看出，在风险中性或者完备市场下经过风险调整后的企业收益率为µx−ρησx，所以在非完备市场下表现出的相近的规律并不足为奇。如：相关系数的减小会导致企业的平均价值和边际价值的增加，提早买入和卖出资本，企业家的期望收益率减小和贝塔系数减小，这些都可以找到解析结果。当相关系数越小时，企业家要求的非系统风险溢价也就越高。而当绝对的相关性ρ越低时，其风险对冲的动机也就越小则套期保值的风险资产越少。 图3 相关系数ρ对企业资本的平均价值和边际价值的影响 套期保值-资本存资比率: φ(x)企业家的期望收益率为: µ(x)he ρ=ρ=ρ= 市场需求-资本存资比：x市场需求-资本存资比：x企业的贝塔系数-4: β(x)x 非系统风险溢价 10: α(x)市场需求-资本存资比：x市场需求-资本存资比：x 图4 相关系数ρ对对企业家的套期策略，收益率以及企业的贝塔系数和非系统风险溢价的影响 9 / 13
五、结论 本文假设一个拥有企业全部权益的企业家面临着随机市场需求风险，他通过最优消费、调整实业投资规模及优化金融投资，从而达到最大化无限期内消费总效用的目的。运用随机最优控制方法、资本资产定价及消费效用无差别定价理论，得到了企业资本的价值、最优控制策略、企业家的期望收益率、企业的贝塔系数和风险溢价，同时与经典的Abel and Eberly (1996)结果进行比较分析发现：风险厌恶系数的增加显著减少了企业资本的平均价值、贝塔系数及套期保值的金融投资数额，且推迟扩大实业投资规模的时机，同时会增加企业资本的边际价值、非系统风险溢价及企业家的期望收益率。本文还发现，金融资产与市场需求之间的相关性对企业家的控制策略及资产定价在完备市场和非完备市场下具有相似的影响。 总体来说，与现有理论方法相比，本文考虑理性企业家厌恶风险的事实，对企业资本资产给出了更为科学的价值评估，基于这种定价机制的最优经营策略，能够更加有效地对冲经济波动导致的市场需求风险，从而为预防经济金融危机提供了更加有效的理论依据及具体操作方案。 最后指出，本文并没有考虑企业的负债融资、税收效应以及基于我国金融市场的实际数据的实证研究，对此我们将另行研究。 附录 定理1的推导过程： 通过猜测-验证的方法可得值函数的形式为 η2−γrWVKX+(,)+2γ2rW=−e−JKX1 (,,). (28) γr分别把它代入(7)、(8)、(9)并整理可得： 2CW=1 rx+V(K,X)+ηηρσ, Φ=−XVK(K,X),(29) 2γr2γσmrσm22222=−KV+−XVσxXVγr(1−ρ)σπδµρηxXrVKX2 (,)K(xσx)X+XX−VX. (30) 22令x=X/K，V(K,X)=Q(x)K，代入(22)得 Φ=η1−ρσx X(Q(x)−xQ′(x)). (31) γσmrσm其中η1是标准的均值方差投资需求（见Merton, 1971）,因此企业家的套期保值需求为γσmrρσΦ=−xhX(Q(x)−xQ′(x)). σm所以套期-需求比率为Φh−ρσφ==xh(Q(x)−xQ′(x)).把V(K,X)=Q(x)K代入(30)得 Xσm 10 / 13
22+δQ=h+−++x−1−222()µρησδ2 ()(x)xλσ()xγrρxσrxQ′(x)Q′′(xx′xx)Q(x). (32) 1−λ22将V(K,X)=Q(x)K代入(12)-(14)可得 Q(xb)−xbQ′(xb)=pb, Q(x)−xQ′(x)=p (33) ssss其中xb=Xb/K,x=X/K。定义Re为企业家的累积收益率，则得： ss=π(K,X)dt+dVKXdR(,)eV(K,X)Vπdt+V−δKdK+VµXd22()(t+XσdZx)+XXkXxxXσxdt=2Vh22λ−()+(+xσxδQxµδ)xQ(x)x′x+Q′′(x)1−λ2xσ′=+xQ(x)dtdZxQ(x)Q(x)xQ(x)γr(1ρ2σ22)(xQ′(x))=′−xxσ′++()xQxrρησxdt+dZx Q(x)2Q(x)Qx)((34) 所以企业家的期望收益率µe为： 2EdR22[e]+xQ′(x)+γr(1−ρ)σ(xQ′(x)x)µe(x)==rρησx (35) dtQ(x)2Q(x) 企业的贝塔系数β为： CdMovdRe,M==ρσ′βxxxQ(x) () (36) VdMdMσmQ(x)arM,M 企业的系统风险溢价为： xQ(x)β(x)(µm−r)=′ρησx (37) Q(x) 企业的非系统风险溢价α为： γr−ρ2σ22(1)(xQ′(x)) α(x)=µ(x)−r−β(x)(µ−r)=xem. (38) 2Q(x)定理2的推导过程： 如果企业家是风险中性的（γ=0），则与Abel(1996)的情形相同。如果市场是完备的，则企业家的经营风险可以完全被分散掉。假设存在一个与企业非系统风险完全相关的资产，其价值服从如下的布朗运动①： ① 因为在完备市场上这个资产不承受系统风险，所以其收益率为r。 11 / 13
dYt=rdt+σydZy , (39) Ytt其中Zx=ρZm+1−ρ2Zy。定义∆为企业家在这一资产上的投资额。则新的HJB方程应ttt为 22=max ()−++σxXrJUCδKJµXJJ+rW+Φµ−r−C+πJCΦ∆KxXXX((m))W, ,2 σ2222 mΦ+σ∆+y JWW+(ρσ2 mΦ+1−ρσy∆)σ利用一阶最优条件可得： UC=ηJW−ρσxXJXW∆=−1−2Φ=−ρσXJCJxXW ()W,,. (40) σmJWWσmJWWσmJWW然后再结合(25)式，可得 +hx22 (rδ)Q(x)=xα+(µ−ρησ+δ)xQσ′x+xx()Q′′(x). (41) 1−αx2此时与Abel and Eberly (1996)的情形相同，因篇幅所限，这里不再累述，可参见Abel and Eberly (1996)的推导细节，因此可得定理2。 参考文献 Abel, A. B. 1983, Optimal Investment under Uncertainty. American Economic Review, 73(1), 228-33. Abel, ., & Eberly, . 1994, A unified model of investment under uncertainty. American Economic Review, 84, 1369-1384. Abel, ., & Eberly, . 1996, Optimal investment with costly reversibility. Review of Economic Studies, 63, 581 593. Abel, ., & Eberly, . 1999, The effects of irreversibility and uncertainty on capital accumulation. Journal of Monetary Economics, 44, 339-77. Arrow, . 1968, Optimal Capital Policy with Irreversible Investment. in J. N. Wolfe, ed., Value, capital and growth. Papers in honour of Sir John Hicks. Edinburgh: Edinburgh University Press, 1-19. Chen, H., & Miao, ., & Wang, N. 2010, Entrepreneurial Finance and Non-diversifiable Risk. Review of Financial Studies, forthcoming. Eisner, R., & Strotz, R. H. 1963. Determinants of Business Investment. In Impacts of Monetary Policy, studies prepared for the Commission on Money and Credit. EnglewoodCliffs, .: Prentice-Hall. Ewald, ., Yang, .. Utility Based Pricing and Exercising of Real Options under Geometric Mean Reversion and Risk Aversion Toward Idiosyncratic Risk. Mathematical Methods of Operations Research, 2008, 68(1): 97-123. Guo, X., & Miao, . & Morellec, E. 2005, Irreversible investment with regime shifts. Journal of Economic Theory, 122, 37-9. 12 / 13
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