第12卷第1期Vol. 12 No. 1 工业工程2∞9年2月Fe bruary 2009 Industrial Engineering Journal 延期支付条件下基于EPQ模型的最优补货策略马可郭伟1，2张聪慧付春林3(1.天津大学管理学院，天津3仪lO72;2.天津大学机械工程学院，天津3∞072;3.南昌航空大学航空与机械工程学院，江西南昌330063) 摘要:以由一个生产商和一个零售商所组成的供应链为研究对象，在考虑了产品补货率有限的前提下，根据生产商给予零售商的延期支付期限的不同，从零售商的视角，讨论了零售商的最优补货策略的制定方法，建立了零售商总成本数学模型。通过灵敏度分析的方法，结合具体算例，说明参数的变化对最优补货策略的影响。关键词:供应链;延期支付;经济订货批量;经济生产批量;补货策略中图分类号:C931文献标识码:A文章编号:1∞7-7375(2∞9)01拍28-06Optimal Replenishment Decisions under the Conditions of Permissible Delay in Payments based on the Model of Economic Production Quantity l23 Ma Ke, Guo Wei , Zhang Cong-hui, Fu Cun-lin’ ’ ( 1. School of Management. Tianjin University, Tianjin 3αlO72， China; 2. School of Mechanics Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China; 3. School of Aeronautic and Mechanical Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 33∞63， China) Abstract: This paper takes as the objective of a supply chain consisting of a supplier and a retailer. Under the conditions of finite replenishment rate, the paper proposes optimal replenishment decisions for the re›tailer according to the credit period of time offered by the supplier, and establishes a total cost mathematical model for the retailer. The sensitivity analysis of an example demonstrates that parameters of the model in›fluence the optimal replenishment decisions. Key words: supply chain; permissible delay in payments; economic order quantity; economic production quantity; replenishment decision 在传统的库存管理中，经济订货批量模型期支付是供应链契约的一种形式，它通常被认为是(EOQ)已经被广泛地应用于实际问题中。EOQ模型价格折扣契约的等价形式[IJ。通常要求建立在及时支付的假设基础上，即EOQ模1 文献综述型默认地假设货物一到达仓库就立即支付货款。然而，现实生活中，供应商为了激励零售商的购买行很多学者对延期支付策略进行了深入的研究，JGoyal[2为，通常会采取延期支付策略，即在支付货款的过程第一个提出了在延期支付条件下的经济订中提供给零售商一定的延期期限，允许零售商延期货批量模型。Chand和Ward['J利用经典的EOQ模J支付货款。在延期支付期限到达之前，零售商可以型，分析了Goyal[2所提出的问题，得出了不同的结JJ通过合理利用所积累的销售收人获得额外的利息收Aggarwal和Jaggi[3Goyal[2论。扩展了所提出的模入(这里假定零售商将积累的销售收人存入银行获型，研究了变质产品的延期支付策略问题。JamalJ得利息收入);当超出了延期支付期限的时候，零售等[4J扩展了Aggarwal和Jaggi[3所提出的模型，研究商则不得不为超出的部分支付一定额外的费用。延了允许缺货情况下的延期支付策略问题。Shin和收稿日期:2∞8-D5-19 基金项目:国家863/CIMS主题资助项目(2∞7AA04Z115) 作者简介:马可(1981-)，男，辽宁省人，博士研究生，主要研究方向为供应链与物流管理.
第1期马可，郭伟，张聪慧，等:延期支付条件下基于EPQ模型的最优补货策略29 Hwang[5]研究了在与订货批量相关的延期支付条件库存均为零。等问]和下的最优定价和最优订货量问题。LiaoSar3 模型ker等[7]考虑了通货膨胀环境下的延期支付问题。[9]川、其他学者，如Chang和DyeChang等Salameh , 3. 1 成本构成等[叫也对延期支付策略进行了相应的研究。零售商单位时间内的总成本是由下面几部分成以上学者的研究通常是建立在假设产品补货率本构成的:无限大的情况下进行研究的，在现实生活中，产品的1 )单位时间内的订货成本为jroHuang[ll]补货率常常是有限的。Chung和研究了在有限补货率条件下，基于延期支付的最优补货策略。D1页。2)单位时间内的库存持有成本为亏里。Huang[ll]然而，Chung和假设单位产品零售商的采购价格和零售价格是相同的，这与实际情况有些不3)单位时间内的利息支付费用需要分3种情况符。本文在延期支付条件下，基于经济生产批量模进行考虑。型(EPQ)，考虑了有限补货率、单位产品零售商的采(1)当h譬毗单位时间内的利息支付费用购价格和零售价格不相等的情况，在Chung和11]吨[Hua模型的基础上，提出了相应的最优的补货c1kP{Dr为四T\ 2 2 J’ 策略。同时，通过运用灵敏度分析的方法，针对产品年需求率、产品年补货率、单位产品零售商的采购价(2) M~T~~ 于毗单位时间内的利息支付费格、单位产品零售商的零售价格的变化对最优补货策略的影响进行了相应的分析O(T;M)~]用为丰[!2; 2 符号说明及假设(3)当O<T~M时，此时没有利息支付费用。4)同样，单位时间内的利息收益需要分3种情 符号及其含义况进行考虑。本文模型中所用到的符号及其含义定义如下。D:产品年需求率;(1)当。于时，单位时间内的利息收益费用P:产品年补货率;A:发生一次订货的订货费用;; 为丰(年)ρ川-2;(2) M~T~告时，单位时间内的利息收益费~ C:单位产品零售商的采购价格:s:单位产品零售商的销售价格;; 用为手(丰)h.单位产品单位时间库存保管费用(除利息支(3 )当oT~< 三M时，单位时间内的利息收益费付之外的费用); le:单位库存年利息收益;+DT(M-用为有芋T)]。单位库存年利息支付;h:根据上面的分析我们可以得到:单位时间内的M:延期支付期限;总成本=单位时间内的订货成本+单位时间内的库T:补货周期;存持有成本+单位时间内的利息支付费用-单位时T* :最优补货周期;间内的利息收益。用公式表示即为。:订货数量，则Q=DT;PM =DT*TVC当T注时;(T), 旷:最优订货数量，则旷; 1 DTVC( T) 零售商单位时间内的总成本。:TVC(T) PM = TVC(T) 当M~T运时;, 2 模型假设71 为了便于建立模型，本文给出下列假设:)产TVC(T) 当O<T运M时。, 3 品年需求率D是常数;2)产品年补货率P是常数;其中，3) P~D;4)时间区间是无限的;5)只考虑一种产肌(T)=生+半+字(字-号年初与期末l品，不允许缺货;6)s~c;7) Ik~/e;8)期44
工业工程第12卷30 凸函数，TVCz'( T)是单调递增函数，同时有TVC(T)寸+牛牛严严立]_s ~[年l2 lim TVC/( T) = -∞<0， T-> TVC丐(T)=生+旦旦望-句应+DT(M-T) 1。J’-’ T. 2 TL2 -’J ~~" TVCz’ (T) = D(乓生)>0。 模型分析因此，在(0，+∞)之间必然存在唯一的极小值本文的目的就是要找出使单位时间内的总成本点T*，使得TVC'(叮)=0。22最小的补货周期。为此，需要进行如下分析。同理，因为TVC气T)>0，由此可知TVC(T)是33首先，分别对TVC(T)、TVC(T)和TVC(T)求123凸函数，TVC/(T)是单调递增函数，同时有取一阶导数得出TVC/(T) = -∞<0， 22rA + DM2( c/-sle)-cl[>,’M. ,... (h + c/\ k k1k TVC’(T)= 1 ~~ 1+刷一一|127’" r \ 2 J (hρ+ sle \ li巴TVC/(T) = Dt.-r ~ --e ) 2TVCz’ (T) = [2A+ (工s/.)DM]+D(飞剖，因此，在(0，+∞)之间必然存在唯一的极小值点T*，使得TVC/(T*)=0。33叭'(T) = -生+D(飞斗。由此，可以得到定理1。22 分别令TVC(T)、TVC(T)和TVC(T)的一阶定理11)当2A+DM(cl-s/.) -clPM>0时，123k k导数等于零，解得TVC(T)在(0，+∞)之间存在唯一极小值点Tt1 2 2 2 2 ’2A + DM(cl-sle) -clPM当2A+ DM(cl-sle) -clPM~O时，TVC(T)在k kk k1TJ= Dρ(h + cl) k(0, +∞)是单调递增函数。2)TVC(T)在(0，+∞) 22ZA + DM(c/k -s/.) 之间存在唯一极小值点T*0 3) TVC( T)在(0，+∞) 23 T* = 2D(hρ+ cl) k之间存在唯一极小值点TJ。2A 证明定理1的证明如前面所述。T* = 3D(hp +s/.)。分别对TVCJT)、TVC(T)和TVC(T)求二阶4 补货周期的确定23导数，得到2 2 通过计算可知，TVC1(子)=肌2(节，且2A + DM(c/-s/.) -clPMk kTVC气1T)=俨TVC(M) = TVC(M)，因此TVC(T)是连续函数。23 2 + (cl-s/.)DMk 1 PM\ PM\ TVCz"( T) = 民俨>0, 又TVC1ri)-) = TVCz’l-i)-), TVCz’ (M) = TVC’ (M)。32A {PM\ _ ’l’HF"’ , ( PM\ TVC/,( T) =~. >0。为了方便起见，令Al=TVCI'iE-i=TVGlE-L 2 由前面分析可知，当2A+ DM(c/-sle) -k ..1=TVC’(M) =TVC/(M)，同时可知..1;::::..1，由此2 212 2 clPM>0时，TVC气T)>0，由此可知TVC(T)是k11可以得到定理202凸函数，TVC'(T)是单调递增函数，同时有2 1定理2在2A+ DM(cl-sle) -clPM>0条k k出TVC'(T)= -∞<0， 1件下，1)当..1<0且..1<0时，TVC ( T* ) = TVC ( Tt ) , 121 h + cl, \ TJ为最优补货周期。2)当..1> 0且..1> 0时，12KTVCJ(T)=Dph什>0。TVC( T* ) = TVC( T* ) , T*为最优补货周期。3)当33因此，在(0，+∞)之间必然存在唯一的极小值..1;::::0且L12~三0时，TVC ( T* ) = TVC ( T* ) ，T2*为最12点Tt，使得TVC'(Tt)=0。1优补货周期。2 当2A+ DM(cι-sIe)-cIKPM2运O时，证明TVC’ (T) > 0，此时，TVC(T)在(0，+∞)是单调递①当..1<0且..1<0时，可闹到Tt>誓，11 12增函数。PM T* >万一，T*> M, T* > M。因此，当O运T~三M时，223同理，因为TVCz"(T)>0，由此可知TVC(T)是2
第1期马可，郭伟，张聪慧，等:延期支付条件下基于EPQ模型的最优补货策略31 TVC( T)在T=M时取得最小值TVC(M);当M运3在T=叮时取得最小值TVC(T* ) ;当M运k子33PM_. _.___, ,._ PM_.~_，~_ . ’-’-_._ IPM\ T~亏时，TVC(T)在T=万时取得最小值TVC2l'~'); 时，TVC(T)在T=M时取得最小值TVC(M);当T2PM 当T~'ÏJ'时，TVC (T)在T= Tt时取得最小值4日才，TVC(T)在T=节日才取得最小值W叫苦)。TVC(Tt)。又因为TVC(M)=TVC(M),TVC(M) > 又因为TVC(T* ) < TVC(M), TVC(M) = TVC(M), 1 322 333 3 2 I PM\ _._ I PM\ _._ I PM\ _._ I PM\ I PM\ _.._ I PM\ _._ I PM\ TVC1万l，TVC2ilTl=TVCIlE-l,TVCI l万)> WC2(M)〈TVCJE-l，TVCIlE-l=TVCllE-)。2TVC(Tt )。因此，可以得到当T= T*时，TVC(T)取得最小1 3因此，可以得到当T=Tt时，TVC(T)取得最小值TVC(T* ) ，即TJ为最优补货周期。33PM 值TVC(Tt ) ，即Tf为最优补货周期。1②当.1>0且.1运0时，可以得到T*<’~ . , 122PM ②当.1>0且.1>0时，可以得到TJ〈77，T;〈12T* > M, T* > M。因此，当O~三T~三M时，TVC(T)在23PM T=M时取得最小值TVC(M);当M运k晋时，万一，T*<M,T* <Mo因此，当O运T运M时，TVC(T) 233TVC( T)在T=T*时取得最小值TVC( T* ) ;当T~PM 222在T=T*时取得最小值TVC( T* ) ;当M运T运万一333PM _ . ~_，~ _ ’-’-_.._ I PM\ 万时，TVC(T)在T='ÏJ'时取得最小值Tvc1切。1时，TVC(T)在T=M时取得最小值TVC(M); T~ 2PM_. _..___，.~_ PM_.~，~_ . ’-’-_.._ IPM\ 又因为TVC(M) < TVC(M) , TVC(M) = TVC(可), 32 3 2 7时，TVC(T)在T=万时取得最小值TVCt. ~')。1I PM\ _._ I PM\ __._ I PM\ TVC2(7)=TVCI(17)，TVC2(万)> TVC( T* )。2 2又因为TVC( T* ) < TVC(M) , TVC(M) = TVC(M) , 333 3 2 I PM\ _.._ I PM\ _._ I PM\ 因此，可以得到当T= T*时，TVC(T)取得最小2TVC2(M)〈TVCJE-l，TVCJ7l=TVCll7)。值TVC(T* ) ，即TJ为最优补货周期。22因此，可以得到当T= T*时，TVC(T)取得最小35 算例及灵敏度分析值TVC(T* ) ，即TJ为最优补货周期。33PM 罢王0时，可以得到下面应用具体的算例来说明补货策略制定方③当.11~O且.12Tt<万'法，并通过算例来说明某些参数的变化对总成本模PM T* <万，可>M, T* > M。因此，当O运T~M时，23型最优解的影响。例1产品年需求率变化对总成本模型最优解TVC(T)在T=M时取得最小值TVC(M);当M运T~3的影响。孚盹TVC(T)在T=T*时取得最小值TVC(T* ) ;当222设产品年补货率P=5000;发生一次订货的订货费用A= 250;单位产品零售商的采购价格c= h节日才，TVC(T)在T4日才取得最小值TVC(节。1100;单位产品零售商的销售价格s= 120;单位产品又因为TVC(M) = TVC(M) , TVC(M) > TVC(叮), 32 2 2 单位时间库存保管费用h=5;单位库存年利息收益I PM\ __._ I PM\ __._ I PM\ /.=;单位库存年利息支付I=;延期支付期kTVCJ-l=TVCli-l,TVC l-i>TVC2(TJ)。\ D J -.. "’1 \ D J’" "’2 \ D J 限M=。具体计算结果详见表1。因此，可以得到当T= T*时，TVC(T)取得最小2例2产品年补货率变化对总成本模型最优解值TVC(T* ) ，即TJ为最优补货周期。22的影响。2 2定理3在2A+ DM0(c/-sl.) -cIPM运条k k设产品年需求率D=2500;发生一次订货的订件下，1)当.1>0且.1>0时，TVC(T市)=TVC(Tn, 12货费用A=100;单位产品零售商的采购价格c=40; T;为最优补货周期。2)当.1>0且.1运O时，12单位产品零售商的销售价格s=50;单位产品单位时TVC( T*) = TVC( T*) ，T*为最优补货周期。22间库存保管费用h= 5;单位库存年利息收益Ie=证明①当.1>0且.1>0时，可以得到T*< ;单位库存年利息支付I=O . 15;延期支付期限kPM M=。具体计算结果详见表20王一，T*< M, T* < M，因此，当O~三T~M时，TVC(T) 23
工业工程第口卷32 表1产品年需求率的变化对总成本模型最优解的影晌22 拿D 2A +DM(cl-sl俨，), T。*TVC(T’) k k2 3000 T* =0. 1076 。2*= < 0 > 0 < 0 23250 < 0 1048 。2'= > 0 < 0 T* = < 0 = 。2'= > 0 < 0 T’ 23750 < 0 > 0 < 0 T; = Q2* = 376. 1 4000 < 0 T’ = 1 Qz* = > 0 > 0 3表2产品年补货率的变化对总成本模型最优解的影晌22 布P 2A +DM(cl-sl.) , T。*TVC(T*) k k2 3000 > 0 < 0 T* = Q; = > 0 23250 T; = Q; = > 0 > 0 < 0 3500 T; =0. 110 1 Q; = > 0 > 0 < 0 3750 < 0 > 0 < 0 T; = Qz* = 576. 7 4000 < 0 T; = Qz’ = 604. 7 > 0 < 0 例3单位产品零售商销售价格的变化对总成例4单位产品零售商采购价格的变化对总成本模型最优解的影响。本模型最优解的影响设产品年需求率D=2500;产品年补货率p=设产品年需求率D=2500;产品年补货率p=3000;发生一次订货的订货费用A= 250;单位产品3000;发生一次订货的订货费用A= 250;单位产品零售商的采购价格c=100;单位产品单位时间库存零售商的销售价格s= 120;单位产品单位时间库存保管费用h=5;单位库存年利息收益Ie=O . 1 ;单位保管费用h= 10;单位库存年利息收益Ie= O. 1 ;单位库存年利息支付Ik= O. 15;延期支付期限M=库存年利息支付Ik= O. 15;延期支付期限M= O. 10 0 具体计算结果详见表30具体计算结果详见表4。表3单位产品零售商销售价格的变化对总成本模型最优解的影晌22 噜2A +DM(cl-sl,) , .1T。*TVC(T*) k k2 110 > 0 < 0 < 0 Tt =0. 1342 。t= 1 115 T( = > 0 < 0 < 0 。t= 120 > 0 < 0 < 0 T; = Q; = 125 > 0 > 0 < 0 T; = Q2’ = 130 > 0 T; = 。;= > 0 < 0 表4单位产晶零售商采购价格的变化对总成本模型最优解的影晌22 咖C 2A +DM(c/-sl,) , .1Tk k2 Q* TVC(T*) 90 > 0 > 0 < 0 T; = Q; = 1 95 > 0 > 0 < 0 T; = 。;= 1 100 > 0 > 0 < 0 T; = Q; = I 105 > 0 > 0 < 0 T; = Q2* = 1 147. 1 110 > 0 T’> 0 < 0 = I 。;= 1 z从上面的4个算例可以看出:3)随着单位产品零售商销售价格的增加，补货1)随着产品需求率的增加，补货周期将逐渐缩周期将逐渐缩短，补货数量将逐渐降低，零售商单位短，补货数量将逐渐增加，零售商单位时间内的总成时间内的总成本将逐渐降低;本会逐渐降低;4)单位产品零售商采购价格的增加，补货周期2)随着产品补货率的增加，补货周期将逐渐缩将逐渐缩短，补货数量将逐渐降低，零售商单位时间短，补货数量将逐渐降低，零售商单位时间内的总成内的总成本将逐渐增加。本将逐渐增加;
第1期马可，郭伟，张聪慧，等:延期支付条件下基于EPQ模型的最优补货策略33 [5] Shinn S W, Hwang H. Optimal pricing and ordering policies 6 总结for retailers under order-size-dependent delay in payments J[ JJ. Computers and Operations Research, 2003, 30 (1): 本文在Chung和Huang[ll研究的基础上，修正35-50. 了单位产品零售商的采购价格和销售价格相等的假[ 6 ] Liao H C, Tsai C H, Su C T. An inventory model with dete›设。研究了在产品补货率有限的前提下，基于供应riorating items under inflation when a delay in payment is 链延期支付策略的最优补货问题，通过算例的灵敏permissible [J J. International Journal of Production Eco›度仿真分析，归纳总结出模型中参数的变化对最优nomics, 2α泊，63 (2): 207-214. 总成本的影响情况。[ 7 ] Sarker B R, Jamal A M M, Wang S. Supply chain model for 通过最终的灵敏度分析可以看出，产品需求率perishable products under inflation and permissible delay in 的增加、产品补货率的降低、单位产品零售商销售价payment [J J. Computer百andOperations Research, 2创泊，格的增加和单位产品零售商采购价格的降低均可以27 (1) : 59刁5.[ 8] Chang H J, Dye C Y. An inventory model for deteriorating i›达到模型中最优总成本下降的目的。tems with partial backlogging and permissible delay in pay›ments [1]. International Journal of Systems Science, 2001, 参考文献:32 (3) : 345-352. [ 1 ] Chand S, Ward J. A note on economic order quantity under [9] Chang H J, Hung C H, Dye C Y. An inventory model for conditions of permissible delay in payments [J J. Journal of deteriorating items with linear trend demand under the condi›Operational Research Society, 1987, 38 (1) : 83-84. tion of permissible delay in payments [J J. Production Plan›[2] Goyal S K. Economic order quantity under conditions of p肘'ning and Control, 2∞1， 12 (3): 274-282. missible delay in payments [J J. Journal of Operational Re›[ 10 ] Salameh M K, Abboud N E, EI-Kassar A N, et al. Contin›search Society, 1985, 36 (4) : 335-338. uous review inventory model with delay in payments [J ] . [3] Aggarwal S P, Jaggi C K. Ordering policies of deteriorating International Journal of Production Economics, 2003, 85 items under permissible delay in payments [J J. Journal of (1):91-95. the Operational Research Society, 1995, 46 (5) : 658 ..6 62. [ 11 ] Chung K J, Huang Y F. The optimal cycle time for EPQ in›[ 4 ] Jamal A M M, Sarker B R, Wang S. An ordering policy for ventory model under permissible delay in payments [J ] . deteriorating items with allowable shortages and permissible International Journal of Production Ecnomics, 2003, 84 delay in payment [J J. Journal of the Operational Research (3): 307-318. Society, 1997, 48 (8) : 826-833. 咖年古部也悔句如电旷协4年句公岛，也得咖，萨勾亭台都吃生，也j\>"'....略 和鸣、也6也际电喝~.......啕 悔吗"吻悔自鼻息刷刷也制梅搏精"导飞.""句是~哇梅边坏峙"""妹也审噎将退辄也旷悻崎..，.在悔电.-保8柿、电A输冉伽感句古咏唱市由辱吻你拗幢峙d申均卢....梅 ~-幅由市炮制句是输6惜-梅-ψ街~"'....* 怀也审均应输电均由W绚醉喝醉也.，.，......包 骨啦..审 串静曹卑句也晶(上接·第27页)[ 5 ] Dana J, Spier K. Revenue-sharing and vertical control in the [8] Wang Yun-zeng, Jiang Li, Shen Zuo-Jun. Channel perform›video rental industry [ JJ. Journal of Industrial Economics, ance under consignment contract with revenue sharing [ J ] . 2001,49 (3) : 223-245. Management Science ，2∞4，50(2) :34-47. [ 6 ] Gerchak Y, Wang Y. Re盯ven时ule咱咄hari[9] Pasternack B. Using revenue sharing to achieve channel co›contracts in assembly 叮sys剑temswith random demand [ 盯›ordination for a newsboy type inventorγmodel [ RJ. Fulle›duction and Operations Management, 2∞4，13 (1): 23-33. rton: CSU Fullerton, 1999. [7] Mortimer J H. The eff岛E优ectsof revem田幡4祉sl四[ 10] Ilaria Giannoccaro, Pierpaolo Pontrandolfo. Supply chain welfare in ver此ticall均yseparated markets: evidence from the coordination by revenue sharing contracts [ J J. Prod町tvideo rental industry [ RJ. Los Angeles, CA: University of Economics, 2∞4，89(1) : 131-139. Califomia at Los Angeles ,2000.
