管理工程学报. Joumal of lndustria1 EngineeringlEn伊neeringManagement 2002年第1期考虑随机方差的最优消费和投资决策问题刘海龙，吴冲锋摘要研究在证鼻价格服从一个带有随机方革几何布朗运动情况下的最优消费和技责问题η首先建立T最优消费和技费问题随机最优控制草宇模型.运用随机最优控制理论，得到了最优南费和技贵随机最优控制问题的值品数所满足的偏植命方程，其次，基于最优控制问题的值晶耻蛤出T具有且馈形式的最优消费和投青草略，并与经典MeMon问题进行了比较分析3最后，进行丁算例分抖。关篱坷.矗饨，宵费和技膏，随机;;-草，随机革优控制;i直品批中图分羹号。文醺标iH码:A艾章编骨1004伽212(02)01-0047-04经典的展优消费和证券选择问题又称Merton问题该+向(t)d"，o(')'以0)σ。(2)问题假没投资占拥有两种可供选掉的资产一一风险资产和其中•a( tl是一随机变量.表示证券债期收益率波动的方差; ’o 无风险资产。投资者通过陶选自这两种资产组成的证券组表示证券预期收益的初始波动率;μ.占.<.卢是正常敬，分别合使自己的财富增加.并通过消费这些财富使自己的效用最表A证券的预期收益率、随机方羞的预期变化率、随机11差大化。研究是优消费和证券启择问题，对于资产管理公司从的波动平均恼和随机方差的波动率，叫(t)和W.(，)分ßIJ表事资产管理乃'i':个人确定是杏由银行贷款提前消费以且提示证券价格和方差σ(tl服从的标准维纳过程，其相关革数前消费的期限、数量等具有特别重要的现实意义。为ρ。经典的原优消费和证券选择问题要求证券价格服从标在以上假设条件下.投资者的总财富过秤.(1)满足如准的儿何布朗i且动。事实上ìiE券价格并4、真正服从标准几下随机微分方程何布朗运动，即使证券价格服从标准几何布朗运动，也会由dx(t) = [,,(1) + (尸-,)x(tlu(!) -c(,)Jd’ 于在辨识过秤中对参数估讨产生误差，而使模型的可靠悍度+ .( ,) u( 1)σ(，)dw，(')'X(O) x (3) 太太降低。为此.许多学者在经典的最优消费和证券选择问其中.X为初始财富价值•c( tl表刀之投资者的消费过程，u( ,) 题的革础上，远!p放宽某些假设晶件来研究这-问题，取得表示e时刻投资在风险资产中财富的比例。如果投资者的了件多成果但其主要研究集中在兰个方面·是带有消费和证券选择(c(t).u(，))使财富过程满足.(，)>0(，注交易费用的量优消费和投资问题μ"ζ二是具有本确定收入。).则称们(，).叫，))为允许策略ω允许策略构成的集告记的最优消费和投资问@î[t(; =气是在证券价格服从带有跳跃为A(..a).假设投资者的目标函数为一-扩触过程的几何布朗运动情况下的虽优消费租技费问J(t.川，)叫f," F, (巾))由+F，(x(叫Ifjr川丰文将研究另二种非完全rli场情况下的最优消费(4) 和投资问题.即考虑、证券价格服从带有随机方差的几何布朗其中.E.表示条件期望算于，F, (.)在示消费的敢用函数.运动情况下最优消黯和证券选择问题，得到了基于值函数的最优消费'fu投资策略，最后进行了算例分析。F，卜)表m期末资严的敬用函徽.À表示贴现四于，À越大表示未来消费的贴现率越大。1 问题描述首先对金融市场作如下假设2最优消费和投资策略1)市场是尤摩擦的，即不幸虑税收和交易费用，股票不首先定义随机最优控制问题。)、(3)和(4)的值函数付红利，没布买空卖空限制。V(，...a)sup j(,.) (5) (, ~f ~(<.al 2)市场巾存在-个风险资产和-个利率为r的无风险由随机!l优控制理论.1知道.值函数满足如下IUB资产可供投资者选持。(Hami1ton-Jacobi-Bellman)偏微分占畏3)风险资产的价格p(，)服从个具有随机h差的几何布朗运动dp( tl ~ r<p( tl d, +σ(t)p(l)dw，(tl (1) 由(t)~-&(tl(σ(t)- )d, 嗷稿目翻E朋11-2J(悔改稿).悻者单位，上梅交通大学管理学院.上悔篇阳52‘童项目·国靠自然科学基盘贾助项目(70173田1)，因草杰出青年再晕晕盘贾助项目。∞23303)-47 -?췲랽쫽뻝噮맜샭릤돌톧놨䨰䕮䵡㈰뾼쇵컢햪쿻몯뇇맘훐?컄뺭컊컞뫏듳쫂잰ힼ뫎폚쳢쇋붻뗄ꆪ뫍퓋ퟮ⮽⠲뇭쪾캪퓚쿂돶⮣⠳伩䨨斡ꆢ⠴ꎬ㇎쫗㋗䤩뢶礨⠵㈩평⡈㌩늼짳⠱쫕ꆮ㐷?ㄶて䥮웤돶?畭游〲䵥좦쿗헂럧쪹뮯쿻뗄늼퓚탭틗ꆱ춶뚯씨늨죕쯦⢡帨캴䦣⡦샊ꇶ뫐튪럑쫽璴뗤쳢듳ퟮꆪ폇쪾횤틔ꎺ쿈쫐뫬닺ꎮ摵몣돥갨犣끆쫌ퟭ훐⢡돳㥥쓪湯럖뇪뇠쿕ퟔꆣ닺럑벸샊뇦뛠ꆰ쟩ꇪ횤뚯믺뫍퓲窣살뚨깺ꎮ퓋죕솧乯獭싇ꎺ뫍쯹쪣뗄볙붵믹폅삩쿻횤좯짏曊⣒뛔엏뎡샻뿉?浥ꎬꎮ쇺럦ꆮ걸椱⤽ꎮ慬ꋨ뗚滎샠楽뫅ㆡ벺퇐맜뗄뫎퓋쪶돉폃ꆰ컊뿶⥤좯욽캢㵛횤돆꺡쿻틥ꎬ碣뚯웚쒿湴퇐쫚싺뫗ퟮ짨뗍뒡쿻즢럑愨좯볛볙⫎놿䖣묩뷰﮷쫇ꎬ훐릩㷒?泆ꎬ쫌뫅泂ꎺꨰ닺뗄뺿샭웚늼뚯맽맻ꆣ쳢쿂ꆱ뻹럖뗱⦢좯⢡ꍪ⡣럑쯦搩걤䦡쯦幮昩ꪳ겱믇뺿ퟣ폅춶짏럑맽뫍풤룱篬쳍뇭죚톺컞쎻듦?ꎺ〴ꆣ닆ퟮ쓋쿞샊ꎬ돓ꆮ뎵ꎮ풤횵랽⡴톡ꌨ뗄믺漰맺撣⡳ꎡ⡦쫇﨨퓚컊뗄엏㿐쿻캪ꎬ뫍돌웚꿌뛗쪾쫐췍쒦폐뿘枣〲멁⠩㞡춶뢻폅훁ꆢ퓋벴훐㊡컄⠱⤫퓱昩볙쳹異掣볛〰볒믺쯦벲뻌昩挩걣⤩ꏒ⦳횤쳢욫탁﮷㈱㒡ꨰ꒷헟퓶쿻룶쫽럑뚯쪹뛔듋훰궡춶뗄붫뾼⦣쫕쯦랽⡆쫔⡣ꎮ짨웚쿖뎡뛗닁폅싲깵튻훆룱ꆪퟔ걅믺울⡤쮱ꨶ?헟볓럑죋솿ꆣ횤닎ꎵ퇐싇겿믺ꆪ뿚⡦渨춶ꎬ돶싊뿘뭊瀨ㄱ좻좯쯦캢톺펵뫍ꎮ늽벸닟틦닮ﻏ?쒩ퟷ쪲뗄뿕룶샭톡뇤뮼ﻆ⡉랽ꆰ좽〶춨ꎬ뫍좷뗈쫂좯쫽ꯆ뺿횤?싊랽爩⦣昩풽훆ꎮ뿆볛믺럖췍췖폐횤탭럅컊뫎싔뗄愨슣⡦ꋲ⮣죧?싴럧싛퓱憡꺿솿??⧒쾷㉩맽늢횤뚨뻟쪵볛맀춶쇭좯〩ꆢ닮ꆻ겡⧎헟듳컊럾㉬톧퓁룱ퟮ랽뛗솽좯뛠뿭쳢늼ꎮ죍ꆮ곍떣헗닺쿂?벴뿕쿕ꆣ뭽⧓⤽갲ꎡ?닮훎쳍춨좯쫇폐짏룱볆튻볛㶿쯦뗄⡣뀨ꆣ쳢듓⣐믹뇭깣⦳럾폅돌쪣꿑훖톧쒳ꆱ샊ퟮ쪼⦷뛗쪲뗄볙늻쿞㇖ꋲ퓬맽톡럱쳘횤럾닺컊훖룱?믺늨⥈쒡昩쫐쒿䖡⡺⠲ꍢ튻紩?뷰쪾⡣펣?듓뿘ꎻ믋ꇔ뿉헟킩퓋뫳뛉ﺴ쫕𥳐킧짨뾼훆닺ꪵ뗄믗평쿻퓱쇭좯짺킾쳢럇럾?랽뚯⢡⧊뇪⦡룶쓰ꌨꍬ⡲榣倨敥횤⦱겣튻훆웤릩헢럑컊틸뚣볛뇪컳퓚볙뾼ꆰ槗뚯췪듓뷸닮싊펵?킲릲?몯폃ꎺ싇ꈨꆣ뫍삣뻟ꌩ훺좯겡ㄩ⤩깂昩物솽헢쳢탐훘룱ힼ닮꿖ꆰ좫듸뗄ꎻ튻풡㌩폐ꎮ쿮ퟮ룶쫽듎覆쫌톡뺭짨쟩싊쒱쓗울몯쮰껖풤믍ꌨ경훖킩ꎬ듻튪늢벸탔ꎻ汦폐풤⊡挨ꎮ뮹ꏔ캪?뫍敵쯦폄ퟷ쒿듸톧ꎬ붲퓱뗤쳵?뿶쇋?뮰쫽쫕룶떺ꆰ웚뛗ꆤ닆뛔뿮뗄킡뫎뛸?뛾䪳쯦뗃웚ꌨ昩ﶳ쫐⠴믺헟⠷폅砨浡폐쒣믹횳뗄쟳볾쿂쯣쫕炣볎울?⦱ꎬ뫍샻꿊?탁닺뢻폚쳡쿖헦늼쪹ﶸ쫇ꇇ믺떽뇤ꇪ巑쳂⦵랽떥냈틦?쯦탍폚믋왍횤ퟮ살꾼뗄샽곁계뮹〩죀庱붻싊ﷂ温ꆰ쯋ퟩ쪹잰쪵헽샊쒣뻟랽쇋뮯⦺?𧻓?쓖닮캻㜳쿻싊쓏뻏믺ꎬퟮ敞닺좯폅퇐?럖욣즹ﶡ틗캪𧻓돉ퟔ쿻틢럾퓋탍뷃폐닮믹싊춡㵸풹떺욫뗄?ꎺ〳늨﮷랽퓋폅릷𧻓潮ꆪ뗄벺맜럑틥볛듓뚯쿻뺿늻습폚컶꺳ꆢ놡ﶳﭺꏈ⢡릳뻌꿊犵벸짏ㄩ캢뚯톹통럑훎횤뗄샭틔ꆣ뇪ꎬ뿉뫒좷쓗벸횵쯦ꌨ즵?뫎몣ꎻ닮폃뿘ꆺꆪ룱럑헢ﺴ쿻떣첣⠱紐쓎뗄ﶳ쒽럖좯킧릫벰ힼ튲뾿믊뚨뫎몯믺昩㸰쒼붻맺벸쯦훆얿뿚럧럾뫍튻펴럑곂곆⧂훒ꎬ?슢랽첣쳓뫍?ퟩ폃쮾쳡벸믡잴쫕엏늼쫽랽럖⢡꾺춨볒뫎믺컊?ꆿ쿕듓횤뫍닮곊𧻓겡뛗쎺막듓평뛈죫﮷샊뗄닮뇰쾼듳뷜돌ꎻ뀨꿊늼ퟮ쳢욣뇪좯탌쟕쫕펣욱춶?뇭톧돶撡琩ﶣ샊폅뗄믖ꆭ닺톡ꎬﶳ???걞늻맜쟠?퓋뿘횵떻ꎮ뫍퓱좡?컊ꏊ뗊풽샭쓪톧뿆뚯룮몯궷룃컊뗃ﶣ?듳풺톧뻶쟩샭쫽?겷뇭ꎬ믹뿶싛룸횱짏뷰닟쿂ꎮ돶?몣뗄뗃쇋㈰훺컊ퟮ떽뻟〰쿮㔲죕폅쇋폐쳢⠷쿻ퟮ랴ꇞ럑폅삡ꆱ뫍ꆷ탎㌰춶짌쪽㌩퓰럑뗄컊뫍ퟮ쳢춶폅ꆣ쿻쫗쯦럑쿈믺뫍붨ퟮ춶솢폅쇋뿘닟ퟮ훆싔폅컊ꎬ쳢뺮뗄폫횵뺭
刘海龙等:考虑随机方革的最优消费和技责决策问题当时t)= E是常数时，有日=p= 0，这时这一问题恰好等1: …()(!()E)tr()几价经典最优消费和证券选择问题，现在来看一下这仲关系。-~J1 + msKR( u) + maxL(c) 0 为了便于比轮.与Merton问题一样选取具体的效用函般为HA且A型[101即V( T，x，σ) 0 F,(x), V(l，O，σ) 0 F,(O) (6) F,(x) = F，(笃γ.，xγ， 0 < y < 1 (18) 其中，V的下角烁，。分别及示"关于相应变量的偏哥这时偏微分方程(15)变为数，算f-R( u)和L(c)分别定义如Fl;()AV R(u) = (" -，)x(t)u(叶飞+仲x(t)u(t)o'(t)V.(19) -~<"(μr)2V:IV"" = 0 l +卡1( t) u{ (7) t} li ( t) VI I V(T,X> = F,(x),y("O) = F,(O) L(c)=-dtlV,+F,(c(t)) (8) 新的偏徽分方再(19)有特棘形式的值函数通过求HJß解h再(6)中的两个优化问题，可以得到基V(t,x) = J町117"z’ (20) 于值函数的最优消费和投资策略。将值函数(20)代人偏微分方程(19)中.然后两边除以γ，" 问题l得1. maxL(c) maxIF\(c(t)) -c(t)飞1.(9) [()f()(÷()扫) L 解&"=0得最优解为、王(21)d,) U'，'γ'( V,) (10) +(]-y)([(,)1 =0 最优值为I(T) = 1 L = F,((F,’)"(V,)) -(I’;)"(V,)V, (11) 令a=卡'(μ-rf于于1川h=γ-1 问题2则常微分方程(21)可以写成RZIr卢(u)=?ff{(μ-，)x{t)u(t)们忡)u( t) (f(<l二./('斗)+ b(j(t))’., (22) 川几++X2(t)山I( T) = 1 解万徨(22)得aR 解it= 0得最优解为1(<) [-~ + (1 + ~)e而(T_,) ] 1-Y (23) (/l -r)几+月同(t)V. u( ( 13) Il 工(，)σ'(<l V. h再(22)存在正僻的条件是_3.(I+~)c 出"ο>0, a飞a, 最优值为这时.将函数(23)代人式(20)中得值函数为R =--1-[("二二]飞+如仆-"，，"J'(14) V( "X) 1 -主+1I +土1，产r(T川l\-rr-lx~(24) o’(,)v. a飞a, 将式(Ij)和(14)代人lUB方程(6)中得段后，由式(16)、(17)、(18)和(24)得是优消费相投资策略分别为v, + ",( Il v, - o( <l( o(仆的民++ ’o’(,)V. ε(!) [-~+(I+~)，击{川]'x(25) -,\V+ F,((F;)"(V,)) -(F;)"(V,)V, ιl-μ)和-t1 l(严-，)几+肉同(!)'pu--投一y(26) -策2σ'( ,) V. 这正是经典晨优消费资略V( T，x，σ) = I’,(x), V("O,o) = F,(O) ( 15) 4 算例因为对一般的放用雨数F，(叶.F，(川，偏微分占程(15)假设某投资者i且过分析认为，从现在(，= 0)卅抬到来期是高度的非线作J::.系，因此很难求出解忻解，用数值解法求(T= 3)三年的时间中.投资风险资产的预期收益率μ=0, 1, 出偏微分Ji再(15)的值函数V("X，o)，最后再将V("x，σ) 风险资产的波动率为σ=E=，是常数，B士ß= p 0 0;假设代人式(10)和(13)叮以得到以(x，σ)为状态的反馈控制器投资者消费的效用函数和终期资产的效用函数均为F，(X) = (μ-dV‘+战双(<)v (x. (1) :...!.一一一一一丁一一一-一一-(16) F，(κ) =γ1矿(y=)，假设银行存款为元风险资产，无风险x( 00’(1) V. c’ (笨，σ)= U’,’)., (飞)(17) 利率，=，'l!:求未来消费的贴现率λ=。投资者现有财富，(0)= 10万元，不考虑其它收入，那么由式(25)和式(26) ，可以确定投资者的消费投资策略为·投资在风险资产3 与Merton间匾的比较-48一?췲랽쫽뻝쇵䬫튻礨⠶웤쫽刨⮡⠷䰨⡳춨폚컊䚣⠹뷢挨⠱ퟮ䰽普퓂뷭硬붫?㈨ꆰ爨틲쫇돶듺窣採㏓떱볛캪䷫䙴〼헢䔫幐倨탂훝⠲砷뗃ꎬ⬨ꆮ쇮퓲箣䲡⢣솦헚뇰⡺허㓋볙⡔럧㖣춶㈩샻潬닆?䰽暣禣ꎬ뷢礼?㔩ꆣ爩犣ㆣ훐ꎬ挩맽횵쳢긨ㄩ〩폅櫌㈩걤꺣幹昩暣캪룟욫죋꼨㜩愨⡸㠩쪱㤩뗄璣㊡뎣끲몣뫳猩㘩뇒짨쿕곊砩帱쪽뺭뻐㴳ꎻ싊뢻몣쉺쇋䠩浡횿ꆢ?⡲랽䠨筽㇒㋗쪮겡걏ꎬ쯣㷒쟳몯?挨㴨횵ꎮ⮣禡걸갰뛔뛈캢쪽碣琩⤽욫⠱꺡깦갩ꆯ퓧쒳잳헟㴷춶㈨璣ꌨ㜫⡉뗤춡愽⡴⧈볙爽砨췂⤽돌쇺ꆯ뇣ꋩ뮣ꎬ犵曔㴨뭣䡊쫽挩ꎺ캪⠨ꎻ겣?ꎮ튻뗄럖⠱걡㶡䘲캢⥋⤽붫평훕춶닺ꏊ쿻ꆮ昩⡦稨뭹浡⡣䤩ퟮ놡?⠲ﷄ짨澣〩뿉켣䲡뗈걤搩쓏숨⡦⢡䊽뗄⧒椩ꎬ긨냣럇랽〩⤽溡쫊폚럖㵆⠲몯쪽쳮ﶡ럑ꆣ헟튻昩껐걸挩ꎬ⥟澵㈩뫺뫍폅궣筲⦣틸기㴱틔禡⤽㶣슽ꆰퟮ뭣権⥲⡆㵆뗄쿟뫍⡦잳랽?㈨⢣〩⤨돌쫽⠱헟늨ꌸ砷쿖ꎺ⦡ꍮ뇈ꆫ浡⢡?뗃⢢⡊쿻겼랫쓊탐㎣ネ좷ꎬ갲잱⦺犡䬫돌폅⠱쏗⡴ㄨ権㈨쯒탔汦ꏊ㵹砩갩듺⠲㘩⤽춨뚯㶿킧⠷폐꺡硪欫㷒쒢㈩⦣㶡뾼ꏒ뀲ꎻ컊뷏ꎬ⠰쵌쪮⠶쿻⥋?䰩毖㐩ㄨ砩〩폃룪㔩㌩⦡럑튻⠱禡죋⡐ㄩ몡ꆢ맽놼싊?㴰듦곒뚨뀩犣ꩲꎺ싇⡊?ꎬ⡣⡉ꆯ⧖럑⧒犣ꎮ몯쾵뗄뿉뀨쳢놣ꆮ㔩礨㤩ꩺ욫⠱緈럖캪瀽⭭듺뫍뿮ꪣ춶믇튻ꆰ筺듦몡⦣窣⦷⦡ㄨ킵뫍얽묨갩톪쫽ꎬ횵틔䬩곓뇤暣폐ꆯ캢죋㜩컶愽ィ㊵묩?쯦懕⥤庢뗄횤폫彲뻒킣캪겲﨨?겿횱挨쓁춶ꎬ쟺⧒틲몯뗃킿㞣캪갰쳘럖⤱킴쪽ꆢﶡ죏ꇊ뮼뫍ﴨ좯껍컞듀뮿헟믺㈨뇈킲⡲갨퓚뻒뮡?ㄩ붸ㅪ풣묨ꎮ듋쫽떽??쓏⤽쫢랽돉⠲⠱캪㴰?훕昩挩⢡톡뒣⤲뮡뛗럧듏볂뗄랽횱꣒ꇪ?닟⦡ꎬ⠪뫜爨틔뷏瀽삪䘲탎돌〩㠩쨲웚ꌩ㴰멩돌퓱쪷쿕﮷쟆쿻얻싔뀨ꇪ뭻椩⦣쓑暣⡸ィ⠰쪽⠱ꆧ헽훐믮뫍숫듓닮⡡⥫滎⤨ꎺ⥈뛾꿎ꆣ琩릾⠶걆쟳꺣ꎬ껕컊?뗄㤩뒣숫뗃⠲쿖닺통럑뗄⡐⡦빽쫌?⡡⡋ꎺ돶겣搩횵훐ꆣ㐩퓚뗄⦡⧖쳢㚡뷢먫⠭헗닺쓌ﳊ춶ퟮ㞹⥕⡺뷢깡캪뇕몯ꆣꇂ뗃⠱킧킵ꎮꋸ⢡쪲ꎬ紐허⥕튻⧒⡦?꺿⦣컶ힴ쫽좻ퟮⴰ폃폅뀲믑꺣뗄⢡⮡?쿖蝹컞훂닟?⯐짒뎸곆뷢곗첬믎뫳캪폅⦿몯뮡㜩⧒㷒쿻퓚六䘨ꆰꐫ쓔럧쩞계싔풵ꯎꎬ뗄쫌솽쿻쫽눨⢡䡌갨쳵ꐫ숩살꓆쿕㵯쟃캪럑쨩ꚱ쎵뭥ꊷ폃랴ꇈ뇟벵뻹稨ㄩ붻훁쫽?삡ꆺ뾴돽栽ꇂ뫍뷄?캪듓ꎺ뫍ꆾ烒渫⥋ꋭ볾旄뾵?昩욳횵ꭹ뿘쎵틔춶꧆䚣튻헒짊用좥춶?쓆차뷢⡦훆?긨篂⭻쿂㟒⥥봨用튻ꆣ쫇쾡ꮵꇪㄵ램ꎮ웷뮡닟砩헢쪡㈵퓚묡갲?슬쟳碣싔뻶쓐⥤ꆮ훖뭬쓏넽⦺럧㈨뒭걡?튻럖놡닟搲㊡ꟓ컉맘澣췊쿕㈨쟦?⥴컊뼨쾵쎺ꆱ긱?琩笫쓏낡⡉ꨲㄩꆣꎬ닺쳢⯐꿊탒⥫?⠱欩ꆣꆱ꽝↶눨쫀⥫?뮡당⭻ꆰꆣꆮ츫⥥ꆿꆣ⦡ㄳꎺ뀨ꆯꆣ?ﺶ帩ꆮꆯ믷ꆣ?ꆱ㞣﹪ꆰ겡ꆭꆯꭸꎬ㜨ꎺ澣ꆱ?ꎻꎻꎻꎻꎻ採ꑳꎬ
Vo1 管理玉程学报, 年第l期uu缸'榜缸震3 3 / / \ 、、\ 。0 02 04 05 06 02 03 07 08 09 圈(.1植动罩f圈(hl效用函'盟的罪戳y<.5 45 品口lE 章::[\\二 、飞、飞、------一-一一一、~ 0 004 05 OJi 07 固101无凤幢和l惠r圄Idl预期收董事μ固输出711 =~1 _0.旧、)..，时.t=0时割的最优璃噩噩晒与草动事主阔的荒草;Ihl绘出了μ;r;、r霉。03、，=、<=时，时'目的最优消费'曹略与效用画'由的罩颤YZn司的某罩;1 01始出Tl’ =,<=" =、γ=o.~肘，t=0时刻的量优i自费'畸与圭凤幢利率r主{司的共罪;Idl蜡出7fl =、r= o.四、λ=、军=时.l= 0时刻的矗优睛..略与预期收董事l'之间的主事o上的资金万且，用于消费的资金ωl万元.银行存款消费和证券边怦问题的推1"0经典员优消费和证券边择问!朋万JL:ö如果改变参数。=<=，y=，其余不题是本文所得结论的特例，ill:而说明丰文所附究的问题是变，则投资者的消费投资策略为，投资在J<\险资产上的资金经典最优消费和证券选排问题的深入和发展。关T偏微分万元，用于消费的资金元.银行抨款h再(15)的数值解法1H量优消费和投资策略对4崇敬的敏感万元(负数表示向银行贷款.假设存款利率和贷款性分析将进步深入研究仰事带立献利率相同，均为，=)，II J Merton R C. Optimum consumplion皿dproßolio rules in a ('onlinuou~ 由式(26)"1以明显岳出，当妻数μ、r、草、y不变时，虽优time mudel [J 1 . Jouma1 f Economic Th~早1971，8(3):373、413风险资产投贸比例u(t)是常数，当μ或y增加时.葳优风[2 J Cox J. HUal!JI C. Optimum consumption and pmtfoliu阳Jicieswhen 险资产投资比例u(<1也增加.当，(r <尸)或f增加时，最优8Sset follow川iIIlCIÎ川proce8s[J]. Joumal of Ecnnomic: Tht'uη. 1989. 风险资产投资比例uCt)则减少。而囱125)则不容易看出消49( 1),J3 -R3 费dtl句参数,;:, r的荒草，因此，下面用固例给出T=[3J Han~n 1. 1>. Si吨letonK J. Stocha血cconsumplion, n!lk ave~ion. 11点划线)、T=2(点钱)、T=3(革;线)五种情况下，初始时刻and Ih~ If’mporal ~havil)c "fωset retums l J J . Joum<11 nf Politil:w 的消费策略川的与参数μ、r、4‘γ之间的关系。Economy .1983,91 (2) : 249 -265 从图中口[以看出.正常情况下(E>，，<，γ<), [4J Z呵，ho阳ulouT. Inve时"""'归nsnmplionmode w抽tranf\"f:提初始时刻用于消费的资金，(0)随着风险资产顶期收益率μIlnd Markuv-chaîll阳ramtlers[ J J. SIAM Jouma1 of Conlrol 和到期期限T的增加而减少，但是对参数"<、y的敏感性。:613-636[.5] Shreve S F.. ~n~r H M. Optin时inveslmentand <:onsurnpt川with却很小。从而说明初始时刻的消费策略，(旧的变化主要取transaclion Cosω[JJ _T I1C AmlUal of Applied Probahility _ ( 3) 决于到期期限T和风险资产预期收益率110饭"阳的Z[61 Domenico C. Optirnal f’onsumplion flJld叩ilibrillrnpT˛<’es wilh po刑。lio5 结束语 and例。cwtiC!incomr. L J J _ Jo山咀1oC t:conomic刊凹町，综上所述，丰立所得到的证券价格服从带有随机方差的1押(1),33 -73 几何布朗运动情况下矗优消费和证券选择策略是经典显优49一?췲랽쫽뻝噯맜쫄캧춼挩㈨룗좢늰좦ィ㵏뗄짏㔰㎣뇤ㄵ㈱튻샻〳평럧쿕럑ꆰ듓?䦣㘩돵뫍좴뻶㖽ퟛ벸쿻쳢뺭뒣탔닎ㄱ佰ꋨ周嬲捯䪣灭쟒潦㐹嬳䢡傣獴慮璢浴䩯䕣嬴窳汮曷灡짤佄嬵獨䚣潭瑲䅐偭嬶䑯ね僟敱灞ㄹ?ば务䵡ㄶ乯걲⠱걳䅍畭湴灬業?ꆾ⡢⡤ퟮ⦡ꆿ깈摴潮읳牭㡴扡扬깊浱㤷컞⤰기뗄㥬긹ꎮ〹㞣싊쪽쿕뗣쿻쪼떽뫜폚쫇뗤돌럖뾼瑬ꑬ幵갷짏뫎럑꺡ꎬ샭挨캧㰰⦣没ㄱ쳰浉楥慬쒡汬쒿䲡汭憡⧐ꆿ폅?䵥瞣痵浵튻䥴潭瘭瑉ꆭ汳桬ふタꎬꆣ⢢ꎮ癥럧㋄㎡췲㤰㔵긷쿠⠲닺뮮럑쪱웚킡떽놾ퟮ⠱컶컄涡瑢먳끅ꆣ梡?ꆰ♯굉㴰퓲쯹늼뫍?獳楻捨뾲ꟓ풤쿻湯긱쉧湳禣?쮧汬淖ꝣ㜲릤昩훐ㆣ㎡汥ꍰ㘹뇟楬뿀쿕ꉞ뷰풪㧍㛍㘶춬㘩닺춶쿟닟뿌웚ꆣ컄폅㔩붫쿗ꩬ浮쳰泇ꢶ쎺웚럑곑?㤷璡ꆾ갱潵玡瑬ꆮ륯ꆰꎮ춶쫶샊횤뭈㗊湮돌샻?㴰㎣ꎬꎮ㧍畔춶폫⦡싔븼폃쿞듓웚?쯹쿻뗄뷸뺣ꇫꝮ捨쳰歵즾좡榡渱꾹꿊쫕닟没㤸빊뎹禣⦣ꆭ汮謹㖣?ꎬ퓋좯죕뱥림웚ﶵ틦ꎮ싔긵틸說ꪣ뻹틔뇈ꉲ挨쪮犵뛸쿞뗃럑쫽늽ꌸ畮㎣汯捯긱몡톧뚾빉ꝵ죕룸놣ꆱ쓏싊폫곆헟놾뚯톡⠳갹獂㤹뇒?〱췲탐ꏈ깟ꨨ캪쏷뇈샽㴲〩쿻쓔쮵犺뷡뫍횵짮걤瀰?桨ꆭ癥ꋨ놨뗊ꋴ풤쫽뾴⤳ꆰꆾ㒣潮ꆭ淊묷ꆢ?듦뗄ꆾ뢺爽쿔샽用⢵폫럑쏷춷컄쟩퓱싛횤뷢죫쿲돶깉湬ﵹ웚㜳즾㈩獴䩝긴?ꇊꎬ뿮﮸䥉쫽?뾴用挩ꆰ벡닎돶뗄펶돵좯램퇐敊ꋭ⪡ꆭㄹꋲ烘퐸쿻쯹뿶컊쫕ⴴꎺꎮ⠳浭周㴰폃쒱폚뇭돶ꇪ튲⡴?쫽쪼헗쳘톡벰뺿浥쇋틦ㄳ㈴彣弱⦣?럑犣ꎬ뗃쿂쳢䥬湤ꎢ汯ꎮ싊폚쿻쪾ꎬ⧊퓶⧔ꆢꆰ뷰쪱쪲샽퓱ퟮꆣ孊没ꆭ?⊡㦡㤲ㅭ?춶떽ퟮ뗄淐겡헽捨浮牯ꨲ廴ꋴ㏊쪱쿻컊럑쿲떱잳볓뚡ꆢ挨?뿌䀹ꆣ폅濟횮폅췆ꆭ㘵걵놣럑ﵤ뗄틸닎ꏊꎻ쪡㴳犡뎣伩겵꓆뷸쳢쿻嵊桥깊ꆤ뙤彉慧볤굤풽㵯뿌닟횤犣죉깴뗄㵻탐쫽ﶣ떱?⣊ꊡ쯦ꯊ쿻?뛸럑벡熣뗄ꉹ쟩て?瑩⡭㴰싔뷰듻ꆰ뮵爨ꎶ뗏쪡ퟅ잶럑헒좯꺡쮵짮뫍ꆣ?ꆤ炡ꆭ㌰맘ꎮ뗄뿶빐敻쪱쾵뷰?뿮ꆢ놢ꎬ?ꉹ럧풲닟쏷죫춶ꋨ캪볛뫍ꎾ撡갱ꆣ뿌?ꎮ犡㲢줨맘죽횮쿂쿕컊싔쪿놾뫍畲ꝯ呬ꎺ룱횤궵䥩㇒솿汉灴뗄볙ꉥ㈵훖볤ﵲ挨?컄랢닟쾵⡢뺢㤸捭춶럾좯ퟮ짨ꆢ퓶믲⧔쟩뗄닺〩?쯹햹싔滨溣㚡ꋳ뭯폅닡ꎬ듓톡ꋲ氪폅듦禲볓緔뿶맘풤ꇊ뗄퇐ꆣ뛔㦣睬퓚듸퓱엏쿻뿮뮱쪱믈틲쿂쾵웚ꆢ뇤뺿맘닎훌걮뼳?ꎮ?럑샻ꎮ폊?ꎬꆣ쫕㞵뮯폐닟﮷뗄뚡쫽짐瑨듋?엁닟럑싊놣ퟮힿ돵틦쓃훷컊욫뗄獫撡ꆪ쿕쯦싔톺ꎬ싔뫍껗폅곗뒳쪼싊튪쳢캢쏴믺쫇췖疡ꆢ닟낡굴폫듻럧쿂쪱뿚탐좡쫇럖룐採ꆭ㘳닺랽뺭킧뿮?뿌쏦帽싔짏닮뗤꿑끰?폃굫괱汯폃뗄ퟮꇔ몯ィ폫쫽粹폅?ꋨ溣ꆭ뗄뷰?기컞쾵?ꋨ孊샽쫽没럧秖룸湉ꆿꉦ꺼쿕돶爽没㵯샻쒹䩯?ꎮ싊궡떣䳇묨㋊狖挩?視룸놣껎돶쇋?곍쪵渽ィ쒹깉쪱?ꆢ紽뿌얣ィ긲뗄뮣ꆢ帽ퟮ뭻ィ기폅搩没쿻ꈷ룸럑돶닟쇋싔䘽폫ィ늨긲뚯ꆰ싊ィ횮기볤㎡뗄ꉞ맘㵏쾵ꎮꎺ佬筢ꆢ䦸紽ィ긳쮡쪱츽ꎮィㄽ긱濊ꆧ놿?
刘海龙等:考虑随机方差的最优消费和投资决策问题[7j 拙seK K. OptimaJ因此foliodivel’8ification in 8 general conlinuous y(lrk:SprilJ萨r--Verl唱1998ti町rm.π时d叫[J川].s8剧1-盹Q8..H旧AR阳A川山t山H问t竹Y[J].，J0扣四叫。o(悦e<凹<0o删阳皿e岛0y阻皿e回@剧dI:on惘叫.I.[8) A困æ吨守t"K K. Adrni!飞m‘喃吨s滔ibleinvestm刷e.忱t白st，r川a't俨4哥pe侥:&m COI山I】让巾".u阳阳mu黑tradì吨n~[回(问}:753 -782 Stodwti们Pmce6S9nd Their Applicat on. 1988，30(2)。却l啕301l 9 J Kscndal R审时hasticdifferential lqul:ltion~[ M1 . fourth Edition. Ncw 贵任捕..杜健-50一䑹?췲랽쫽뻝?쇵䅡ヒ擣来汉牲僭㡬䆢䅤汮湭䱭獴ㄱ䯍獉摬䖶䘰䕤奯䓃䒣瞣䡥ㅮ楮睬畴䩏散㤹퓰?냐ꆱ浥튻癥潣퉮ꋲ畮톪䱬뭬햤ꍌ즽곃걳랫㞣죎簰ꆮ庣揖쟺泮몣?敲㤸㕴棷撢ꎻ䡁浭涡珄棱䥭쮧앥潮긲뇠깩ꆭ憡摥浥?퇐멳?剁祛깁湧ꩰ뽢汯ꎮ쿲뚢汩ㄨ벭쇺뺡湉汣溡즾汛쏦땬?ァ긽䥥汣빉湈乥ꆰ䢣?㒣ꎺ灰㙣볏뗈붲䩊ㅮ?滴斡ꏇ孍걈긵뛅汴ꆧ𤋮ꎮ捯ꆿ땐?빥⦣붡ꎺ浵慴ㅮ?捭먷潵珐摮嚶뾧뾼?㔳굣얾ꋇ牫ꎻ杛ꆪ싇梲뚢?摳擉ꎬ㜸뽴갱ꆭ?쯦ㄹ汣䅰㤹㠸믺빮?ꎮ랽灬㌰닮훝䥣⠲뗄⦣ퟮ慴ꎬ먲폅㤱汯쿻ꆫ㌰럑溣?뫍갱춶㤸뻶㒣닟컊갱쳢㠨ㄩꎺ
