层次分析法
由美国著名运筹学家萨蒂（）在70年代初提出的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP）是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
运用层次分析法进行决策，可分为以下五个步骤：
一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节）和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排列起来形成一个层次结构图（图）。在这个层次结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次的某个元素。
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
二、构造判断矩阵
建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定了。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系，构造如下的判断矩阵：
其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度。通常按下表的方式定义。
显然判断矩阵B= （bij）有关系式
bij＞0，bii=1，bji= ，i,j=1，…，m
因此对于m阶判断矩阵，我们仅需要对m（m-1）/2个元素给出标度即可。
标 度 值
意 义
说 明
1
Bi与Bj同样重要
Bi，Bj对一个目标贡献相同
3
Bi比Bj重要性稍高一些
二者间判断差异轻微
5
Bi比Bj重要性明显高
二者间判断差异明显
7
Bi比Bj重要性明显多
二者间判断差异强烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可能范围的下限度
2，4，6，8
表示相邻判断的中间值
用于需要达成妥协场合
上述各值的倒数
相应的反比较，即Bi和Bj比较其相对重要性用上述之一值进行标度，则Bj和Bi比较以该值的倒数标度。
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要条件是它的最大特征值λ*=m。
三、层次单排序
利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题，即对于判断矩阵B，求解满足
BU=λU
的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合理，于是我们可用
CI=
作为检验B的一致性的指标。
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大，CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根，然后取平均值得λ，于是得到
RI=
对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
RI
0
0
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整判断矩阵。
四、层次总排序
为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组合权重，这个过程称为层次总排序。
层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案优先次序的相对权重。
一般来说，对于最高层之下的第二层次单排序即为总排序。假设上一层所有元素A1，A2，…Ak的层次单排序已完成，得到的权重为a1, a2,…ak,与Ai(1≤i≤k)对应的本层次元素为B1,B2,…Bm单排序结果为
其中若Bj与Ai无关，,我们有如下层次排序表
层次A
层次B
A1
A2
…
AK
B层次总排序
a1
a2
…
aK
B1
…
B2
…
Bm
…
其中B层m个元素相对总体目标组合排序权重向量即为
显然
即层次总排序是一正规化向量。
五、一致性检验
为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与层次单排序类似的检验量，记
CI——层次总排序的一致性指标
RI——层次总排序随机一致性指标
CR——层次总排序随机一致性比例
其中
CIi为Ai对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。
RIi为Ai对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。
当CR≤时，则认为层次总排序计算结果的一致性可以接受。
由上面的五个步骤可以看出，层次分析法计算的主要问题是如何计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。这里我们介绍在精度要求不高的情况下，简化计算的两种近似方法——和积法和根法。
和积法
（1）将判断矩阵B每一列正规化；
（2）每列正规化的判断矩阵按行相加；
（3）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要求的特征向量W；
（4）计算判断矩阵B的量大特征值λ*
中（BW）i表示向量BW的第i个元素。
根法
（1）将B的元素按行相乘
（2）所得乘积分别开m次方
（3）将方根向量正规化即得排序所要求的特征向量W
（4）计算
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