一种零相关区序列偶集1
张金波，许成谦
燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛（066004）
摘 要：本文提出了一种由两个子集组成的零相关区序列偶集的构造方法。此种方法所构造
的零相关序列集所具有的一个的特性是两个不同子集的序列偶的互相关函数有较大的零相
关区。其中每个子集所含的序列的数量是总数的一半。当此种零相关序列偶集被用于
AS-CDMA 系统中时，如两个子集分别被分配到离基站远近不同的用户，可以得到比普通方法
更大的零相关区。
关键词：零相关区序列偶集；近似同步码分多址；最佳序列偶；扩频通信
中图分类号：
1 引言
最近，准同步CDMA系统得到大量的研究。在这些系统中, 系统的同步误差可允许控制在
一个或几个码片周期范围内。这就不再要求扩频序列在整个周期内都具有理想的相关特性。
即只要在该误差范围内具有理想相关特性就能保证良好的系统性能。零相关区 ( )ZCZ 序列
[1]恰好适应了这一需要。但是, 由于ZCZ 序列的设计受到许多条件的限制, 尤其二元 ZCZ
序列的存在更是有限。最近序列偶[2]相关理论被扩充到序列的设计中, 它实际上是用两个序
列来形成一个最佳信号, 这就使得序列的可选取空间得到扩展。
本文提出了一种构造由两个子集[3]组成的零相关区序列偶集[4]的方法。此方法构造的序
列偶集的零相关区长度接近理论上限。从实际应用的角度来看，此方法构造的序列偶集有较
强的实用性。
2 基本概念
定义1[2]：设 ( ) ( ) ( )( )0 , 1 , , 1a a a a N= −K 和 ( ) ( ) ( )( )0 , 1 , , 1b b b b N= −K 分别是长
度为 的序列，称 和 构成了一个长度为 的序列偶N a b N ( ),a b 。
定义２[4]：若序列偶的周期自相关函数满足以下条件：
( ) ( ) ( ) ( )
1
*
,
0
0 0
0 0
N
a b
i
F
R a i b i
ττ τ τ
−
=
≠ =⎧= + = ⎨ ≠⎩∑ (1)
其中， ,则称( )modi iτ τ+ = + N ( ),a b 为最佳序列偶。
1 本课题得到国家自然科学基金项目(60872061); 教育部留学回国人员科研启动基金项目(教外司留[2005]546 号); 教育部高
等学校博士学科点专项基金项目(教技发中心函[2006]225 号); 河北省自然科学基金项目（F2008000855）资助。
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1
定义３[4]：设 ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 1 1 1 1, , , , , , , , ,i i M MZ s t s t s t s t− −= K K 是由M 个 长序列偶构
成的集合，如果集合中任意两个序列偶
N
( ),j js t 与 ( ),k ks t 之间的周期互相关函数如式：
( ) ( ) ( ) ( )
1
*
,, , ,
0
0 0,
( ) ( ) 0 0,
0 1
j kj j k k
N
s t j ks t s t
i
F j k
R R s i t i j
L
τ
τ τ τ τ
τ
−
=
k
⎧ ≠ = =⎪= = + = = ≠⎨⎪ ≤ ≤⎩
∑ (2)
那么该集合Z 是一个零相关区长度为 的L ZCZ 序列偶集 ( ), ,ZCZ N M L 。
定义４[5]：将一个ZCZ 序列偶集合与理论限的接近程度称作这个ZCZ 序列偶集合的渐
近率，记为λ，且有
( )1M L
N
λ += 。 (3)
当集合参数满足 ( )1M L N+ = 时， 1λ = ，代表集合达到了理论限，λ越接近于1 则
表明集合越接近理论限。达到理论限在某种程度上意味着最佳，因此一个ZCZ 序列偶集合
越接近理论限代表它的性能越好。
3 由两个子集构成的零相关序列偶集
设G和 为两个零相关序列偶集H ( ), ,ZCZ N M L ，他们集合内序列偶的长度都为 ，
集合内都有
N
M 个序列偶，零相关区长度都为 。我们将 表示为 L G
( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 1{ , , , , , , , , ,p p M MG u v u v u v u v− −= K K } (4)
其中，
( ) ( ) ( ) ( )( )0 , 1 , , , , 1p p p p pu u u u q u N= −K K
( ) ( ) ( ) ( )( )0 , 1 , , , , 1p p p p pv v v v q v N= −K K 。
类似的，
( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 1{ , , , , , , , , ,p p M MH x y x y x y x y− −= K K } (5)
其中，
( ) ( ) ( ) ( )( )0 , 1 , , 1 , , 1p p p p px x x x x N= −K K
( ) ( ) ( ) ( )( )0 , 1 , , 1 , , 1p p p p py y y y y N= −K K
如果 和 满足下列条件，对于任意G H , 'p p ，0 τ≤ ≤ Λ。
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2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )('' '
1 *
, , ,
0
mod 0
pp p p p
N
pu v x y
q
R u q y qτ τ−
=
)N= +∑ =
)N
(6)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )(' '
1 *
', , ,
0
mod 0
p p p p
N
p
p pqx y u v
q
R x q v qτ τ−
=
= +∑ = (7)
设W G ，我们称 为由两个子集组成的零相关序列集。H= U W Λ为 和 的零互相关区
的长度。我们将W 记为
G H
[ ]( , 2 , ,ZCZ N M L )Λ 来表示所有参数。
4 序列偶集的生成方法
设 l为正偶数。( ),a b 为一个最佳序列偶，长度 N l= ，它满足式(1)。设 为正整数，
且满足：
0 1,l l
0 1 12 2 2
ll l l l= ≤ ≤ 。
)
(8)
对 ( 按下面方法进行循环移位，得到序列偶集 和 。如下： ,a b 0G 0H
( ) ( ) ( ) ( )1 10 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 1{ , , , , , , , , ,p p l lG u v u v u v u v− −= K K }。 (9)
其中，
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0 0 0 0 00 , 1 , , 1 ( , 1 , , 1 , 0 , , 1 )plp p p pu u u u l a a pl a pl a l a a pl= − = = + −K K
(
−K
) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0 0 0 0 00 , 1 , , 1 ( , 1 , , 1 , 0 , , 1 )plp p p pv v v v l b b pl b pl b l b b pl= − = = + −K K −K
样可得 同
( ) ( ) ( ) ( )1 10 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 1{ , , , , , , , , ,p p l lH x y x y x y x y− −= K K } (10)
其中，
) ((( ) ( ) ( ) )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 00 0 1 0 1 0 1 0, 1 , , 1 ( , 1 , , 1 , 0 , , 1 )p l lp p p px x l a a p l l a p l l a l a a p l l+− = = + + + − + −K K K0 0 0x x=
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 00 0 0 0 1 0 1 0 1 00 , 1 , , 1 ( , 1 , , 1 , 0 , , 1 )p l lp p p py y y y l b b p l l b p l l b l b b p l l+= − = = + + + −K K + −K
设 和 为nC nD 1 1l l× 矩阵。其中 n*n nC C n I⋅ = ⋅ ， n*n nD D n I⋅ = ⋅ 。
为 的第 行
( ), 10 , 1ni jc i j l≤ ≤ −
nC i j列元素。同样 ( ), 10 , 1ni jd i j l≤ ≤ − 为 的第 行nD i j列元素。所以我们有
1k1 1
0, 1 0, 1
1 1
1 0* *
, ,
0 0 0
l l
n n n n
k k k k k k k k
k k
l k
c c d d
− −
= =
=⎧= = ⎨⎩∑ ∑ 其它情况。 (11)
利 和 ，我们可以得到一个有 个元素，长度为 的序列偶集 ，定用 0G nC 1l 1nll ( )1nG n ≥
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3
义为
( ) ( ) ( ) ( )1 10 0 1 1 1 1{ , , , , , , , , ,n n n n n n n n ni i l lG u v u v u v u v− −= K K }。 (12)
( ) ( ) ( ) ( )( )10 , 1 , , , , 1n n n n n ni i i i iu u u u j u ll= −K K
( ) ( ) ( ) ( )( )10 , 1 , , , , 1n n n n n ni i i i iv v v v j v ll= −K K
( ) [ ]( )
1 1
1
, mod mod 1
n n n
i i j l j lu j c u j l
−= ， ( ) [ ]( )
1 1
1
, mod mod 1
n n n
i i j l j lv j c v j l
−=
其 0 1,0 ni l j ll≤ ≤ − ≤ ≤ − ，中 1 1 1 [ ]1j l 表示最大的不超过 1j l 的整数。
利用 和 ，我们可以 到一个 为 集 同样， 得 有 1l 个元素，长度 1n的序列偶0H nD ll
( )1H n ≥ ，定义为
( )
n
( ) ( ) ( )1 10 0 1 1 1 1{nH = , , , , , , , , , }n n n n n n n ni i l lx y x y x y x y− −K K 。 (13)
( ) ( ) ( ) ( )( )10 , 1 , , , , 1n n n n n ni i i i ix x x x j x ll= −K K
( ) ( ) ( ) ( )( )10 , 1 , , , , 1n n n n n ni i i i iy y y y j y ll= −K K
( ) [ ]( )
1 1
1
, mod mod 1
n n n
i i j l j lx j d x j l
−= ， ( ) [ ]( )
1 1
1
, mod mod 1
n n n
i i j l j ly j d y j l
−=
设 n，那么我们可以得到如下定理。
定理１：由前 序列偶集 ，它的参数可以表示为
n nW G H= U
面定义的两个子集 nG 和 nH 所构成 nW
1 14 4, 2 , ,n n nl lZ ll l l l− −
⎛ ⎞
1 1 1 1 12 2
CZ l⎡ − ⎤⎞−⎛ ⎞ ⎛ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎜
。
为了证明定理1，下面我们给出引理２，如下。
n n n− − −
[ ]( )1 1 1, ,n n nM L− − −Λ ，那么通过式(11)，(12)引理２：如果W G H= U 是1 1 1 1, 2nZCZ N −
可得到 nW 是 [ ]( )1 1 1 1 1 1 1, 2 , ,n n n nZCZ N l M l l− − − −Λ 。
们 来证明 的相关性。
L
证明：我 先 nG
0 1 0 1, , ,k k τ τ 如下定义：
0 1 1k k l k 0 1 1 0 0 1 1 1 1, ,0 , 1,0 ,n k P k lτ τ τ τ τ−= + = + ≤ ≤ − ≤ ≤ − (14)
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4
( ) ( ) ( )( )
[ ]( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 10 1
1 1
0 1 1 1 1 1
11
0 1 11 1 1 1 1 1 1
1 0
*1
1,
0
1 *1 * 1
, mod mod 1 1, mod mod
0
11
* 1 1
, 0 0 0 1 1 1, mod mod
0 0
mod
mod
n
n n
i i
n
n
N l
n n
i iu v
k
N l
n n n n
i k l k l i k l k l
k
Nl
n n n n
i k ki k l k l
k k
R u k v k ll
c u k l c v k l l
c c u k v k k l
τ τ
τ τ
τ τ
τ
τ τ
−
−
−
−
=
−
− −
+ +
=
−−
− −
+ +
= =
= +
= +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + ⎡
∑
∑
∑ ∑ ( )( )
( ) ( ) ( )
+
( )1 1 10 1 1 1 1 1 mod1 1 1 1
1
*
1
1
*
, 0 1 1 1, mod ,
0
mod
n n
k k l
n
l
n n
i k i k l u v
k
P
c c R k l
ττ τ τ− −+
−
−
+
=
⎤⎣ ⎦
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑
(15)
当 且0 1i i= 0 1 0τ τ= = 时， ( )0 1 1 1 0k lτ τ+ + =⎡ ⎤⎣ ⎦ ，
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu vR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ≠ , (16)
( )
1
0 1 1 1 1 1
1
1
1 1 *
, , mod
0
0
l
n n
i k i k l
k
c c τ
−
− −
+
=
≠∑ 。 (17)
在其它情况下，当 0 0τ = 时，因为 1 0τ ≠ 或 0i i1≠ ，
( )
1
0 1 1 1 1
1
1
*
, , mod
0
0
l
n n
i k i k l
k
c c τ
−
+
=
=∑ ； (18)
当 0 10 1nLτ −< ≤ − 时， ( )0 1 1 10 nk l Lτ τ 1−< + + ≤⎡ ⎤⎣ ⎦ ，因此
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu vR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ = ； (19)
当 1 1 0 1 1n n nN L Nτ− − −− ≤ ≤ − 时， ( )1 1 0 1 1 1n n nN L k l Nτ τ 1− − −− ≤ + + ≤⎡ ⎤⎣ ⎦ ，因此
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu vR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ = 。 (20)
当 0 1nLτ −= 和 1 0τ = 时， ( )0 1 1 1 nk l Lτ τ 1−+ + =⎡ ⎤⎣ ⎦ ，因此
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu vR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ =
i
。 (21)
从上面可以知道，
( )
0 1
0 1
0 1,
1 1
0 0,
0 0,
0 1
n n
i iu v
n
E i
R i i
L l
τ
τ τ
τ −
≠ = =⎧⎪= = ≠⎨⎪ ≤ ≤⎩
(22)
因此， 的零相关区长度nG 1 1n nL L l−= ，满足引理2，同理可证， 的零相关区长度
，也满足引理2。我们再来证明 与 的互相关性。
nH
1 1n nL L l−= nG nH
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( ) ( ) ( )( )
[ ]( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 10 1
1 1
0 1 1 1 1 1
11
0 1 11 1 1 1 1 1 1
1 0
*1
1,
0
1 *1 * 1
, mod mod 1 1, mod mod
0
11
* 1 1
, 0 0 0 1 1 1, mod mod
0 0
mod
mod
n
n n ii i
n
n
N l
n n
iu y
k
N l
n n n n
i k l k l i k l k l
k
Nl
n n n n
i k ki k l k l
k k
R u k y k ll
c u k l d y k l l
c d u k y k k l
τ τ
τ τ
τ τ
τ
τ τ
−
−
−
−
=
−
− −
+ +
=
−−
− −
+ +
= =
= +
= +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + ⎡
∑
∑
∑ ∑ ( )( )
( ) ( ) ( )
+
( )1 1 10 1 1 1 1 1 mod1 1 1 1
1
*
1
1
*
, 0 1 1 1, mod ,
0
mod
n n
k k l
n
l
n n
i k i k l u y
k
P
c d R k l
ττ τ τ− −+
−
−
+
=
⎤⎣ ⎦
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑
(23)
当 0 10 1nτ −≤ ≤ Λ − 时， ( )0 1 1 10 nk lτ τ 1−≤ + + ≤ Λ⎡ ⎤⎣ ⎦ ，因此
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu yR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ = ； (24)
当 1 1 0 1 1n n nN Nτ− − −− Λ ≤ ≤ − 时， ( )1 1 0 1 1 1n n nN k lτ τ 1N− − −− Λ ≤ + + ≤⎡ ⎤⎣ ⎦ ，因此
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu yR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ = 。 (25)
当 0 1nτ −= Λ 和 1 0τ = 时， ( )0 1 1 1 nk lτ τ 1−+ + = Λ⎡ ⎤⎣ ⎦ ，因此
( ) ( )( )1 1 mod1 1 1 1 0 1 1 1, 0n nk k lu yR kτ τ τ− −+ l+ +⎡ ⎤⎣ ⎦ = 。 (26)
从上面可以知道，
( ) ( )
0 1
1 1,
0n n
i i
nu y
R lτ τ −= ≤ Λ 。 (27)
由上可知， 与 的零互相关区长度nG nH 1 1n n l−Λ = Λ ，满足引理2。结合前面，证得引理2成
立。
下面，我们来证明定理1。
定理1证明：首先证明 的情况。 1n =
0 1 0 1, , ,k k τ τ 如下定义：
0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1, ,0 , 1,0 ,k k l k l k l k l 1.τ τ τ τ τ= + = + ≤ ≤ − ≤ ≤ − (28)
中相关性如下： 1G
( ) ( ) ( )( )
[ ]( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) [ ] ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )
1
1 1 0 10 1
1
0 1 1 1 1 1
1
0 1 1 1
1 0
0
1
1 1
1,
0
1 *1 0 1 * 0
, mod mod 1 1, mod mod
0
1 1 *
1 1 *
, mod 1 1 0 1 1 0, mod
0 0
,
mod
mod
mod mod mod mod
i i
ll
i iu v
k
ll
i k l k l i k l k l
k
l l
i k l i k l
k k
i
R u k v k ll
c u k l c v k l l
c c a k l k l l l b k l k l l l
c
τ τ
τ
τ τ
τ
τ τ
−
=
−
+ +
=
− −
+
= =
= +
= +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦
=
∑
∑
∑ ∑
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1
1 0
1 1
1 1 * *
0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0, mod
0 0
mod (( mod ) mod )
l l
k i k l
k k
c a k k l l b k k l k l l lτ τ τ τ
− −
+
= =
+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑
(29)
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我们设
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0
1
*
1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0
, , mod (( mod ) mod )
l
k
k a k k l l b k k l k l lρ τ τ τ τ τ−
=
= + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ l
)1 0 1
(30)
则式(29)可以表示成
( ) ( ) (11 1 0 1 1 1 10 1
1
1
1 1 *
, , mod,
0
, ,
i i
l
i k i k lu v
k
R c c kττ ρ τ τ
−
+
=
= ∑ 。 (31)
从上式我们可以得到
( )
( )
( )( )
0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 1 0
, , mod mod
0
F k
k k l l k l
τ τ
ρ τ τ τ
⎧ l
l
+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎪= + =⎨⎪⎩ 其他情况
。 (32)
和 只取下列值1 0k l ( )( )1 1 1modk τ+ 0l l 00 0 0 10, , 2 , ,l l l l l−K 。当 0 00 2lτ≤ ≤ − 时，那么
( )0 1 1 1 00 1k l lτ τ≤ + + ≤ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ，所以
( ) 0 11 0 1 0, , 0
F
k
τ τρ τ τ = =⎧= ⎨⎩ 其他情况 。 (33)
同样，当 0 01 1l l lτ− + ≤ ≤ − 时， ( )0 0 1 1 11l l k l lτ τ− + ≤ + + ≤⎡ ⎤⎣ ⎦ ，所以
( )1 0 1, , 0kρ τ τ = 。 (34)
（当 时，1 0k = ( )1 1 1 0k lτ+⎡ ⎤⎣ ⎦ = ）。当 0 0 1lτ = − 时，
( ) 1 1 11 0 1 1, 1, , 0
F l k
k
τρ τ τ = − ≥⎧= ⎨⎩ 其它情况 (35)
同样，当 0 0l lτ = − 时，
( ) 1 1 11 0 1 1, 2, , 0
F k l
k
τρ τ τ = ≤ −⎧⎨⎩＝ 其它情况 (36)
从上面式子可得，当 2 2lτ ≤ − 时，
( )1 1
0 1
1 0
,
0,
0i iu v
Fl i i
R
ττ 1= =⎧= ⎨⎩ 其他情况 (37)
所以， 为1G ( 1 1, , 2 2ZCZ ll l l − )。用同样的方法可以证得 也为1H ( )1 1, , 2 2ZCZ ll l l − 。
和 的互相关函数如下： 1G 1H
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( ) ( ) ( )( )
[ ]( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) [ ] ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )
1
1 1 0 10 1
1
0 1 1 1 1
1
0 1 1 1
1 0
0 1
1
1 1
1,
0
1 *1 0 1 * 0
, mod 1 1, mod mod
0
1 1 *
1 1 *
, mod 1 1 0 1 1 1 0, mod
0 0
,
mod
mod
mod mod mod mod
i i
ll
i iu y
k
ll
i k l k i k l k l
k
l l
i k l i k l
k k
i k
R u k y k ll
c u k l d y k l l
c d a k l k l l l b k l k l l l l
c
τ τ
τ
τ τ
τ
τ τ
−
=
−
+ +
=
− −
+
= =
= +
= +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦
=
∑
∑
∑ ∑
( ) ( )( ) ( )
+
( )( )1
1 1 1
1 1
1 1 * *
0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0, mod
0 0
mod (( mod ) mod )
l l
i k l
k k
d a k k l l b k k l k l l l lτ τ τ τ
− −
+
= =
+ + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑
1 0
(38)
我们设
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0
1
*
1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0
0
' , , mod (( mod ) mod )
l
k
k a k k l l b k k l k l l lρ τ τ τ τ τ−
=
= + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ l
)1 0 1
(39)
则式(38)可以表示成
( ) ( ) (11 1 0 1 1 1 10 1
1
1
1 1 *
, , mod,
0
' , ,
i i
l
i k i k lu y
k
R c d kττ ρ τ τ
−
+
=
= ∑ (40)
从上面的式子可以得到
( )
( )
( )( )
( )
0 1 1 1
1 1 1 1 0 1 0
1 0 1
mod
' , ,
mod
0
F k
k l l l
k
l
τ τ
τρ τ τ
⎧ l
k l
+ + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ + + =⎪= ⎨⎪⎪⎩ 其他情况
(41)
当 0 00 1lτ≤ ≤ − 时，那么 ( ) ( )( )0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1mod 2l l k l k l l l lτ τ τ≤ + + + + ≤⎡ ⎤⎣ ⎦ ，又因为，如
果 ，那么1 0k = ( )1 1 1 0k lτ+⎡ ⎤⎣ ⎦ = ，所以
( )1 0 1' , ,kρ τ τ 0= 。 (42)
同样，当 0 0 1l l lτ− ≤ ≤ − 时，
( ) ( )( )0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0mod 2 modl l l k l k l l l l l l lτ τ τ− ≤ + + + + + ≤ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ，又因为当
时，
1 1 1k l= −
( )1 1 1 0k lτ+ ≠⎡ ⎤⎣ ⎦ 或 ( ) ，所以 1 1 1mod 0k lτ+ ≠
( )1 0 1' , , 0kρ τ τ = (43)
当 0 l0τ = 时， ( ) ( )( )0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1mod 2 1l l l k l k l l l l lτ τ τ+ ≤ + + + + + ≤ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ，所以
( ) 1 1 11 0 1 1, 0' , , 0
F l k
k
τρ τ τ = − =⎧= ⎨⎩ 其它情况 (44)
当 0 0 1l lτ = − − 时，，所以
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( ) ( )( )0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 01 mod 2l l l k l k l l l l l l lτ τ τ− − ≤ + + + + + ≤ −⎡ ⎤⎣ ⎦ 2 mod
( ) 1 1 11 0 1 1, 1' , , 0
F k l
k
τρ τ τ = = −⎧= ⎨⎩ 其它情况 (45)
从上面几个式子我们可以得到，当 12 2l lτ ≤ + − 时， ( )1 1
0 1,
0
i iu y
R τ = 。同样可得，当
12 2l lτ ≤ + − 时， 。 ( )1 1
0 1,
0
i ix v
R τ =
由此可知， 为1W 1 1 1
4 4,2 , ,
2 2
l lZCZ ll l l⎛ − − ⎞⎡ ⎤+⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠。
对 1W 运用引理2递归，可以得到定理1的结果。定理1得到证明。
5 例子
设最佳序列偶 ( ),a b 为：
( )
( )
1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - 1 11 -1 -1
b 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1
a =
=
其中，设 ， ， 。 16l = 0 2l = 1 4l =
1
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 12
1 1 1 1
C
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎝ ⎠
1
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 12
1 1 1 1
D
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
按照前面方法，用0表示-1，并用16进制来表示，得到
1
0
1
0
(766440088899BBFF)
(78694B0F8694B0F8)
u
v
=
=
1
1
1
1
(BAA88CC444557733)
(B4A587C34A587C34)
u
v
=
=
1
2
1
2
(DCCEEAA222331155)
(D2C3E1A52C3E1A52)
u
v
=
=
1
3
1
3
(EFFDD99111002266)
(E1F0D2961F0D2961)
u
v
=
=
1
0
1
0
(00113377FEECC880)
(0E1C3870F0E1C387)
x
y
=
=
1
1
1
1
(33220044CDDFFBB3)
(3D2F0B43C3D2F0B4)
x
y
=
=
1
2
1
2
(55446622ABB99DD5)
(5B496D25A5B496D2)
x
y
=
=
1
3
1
3
(66775511988AAEE6)
(687A5E169687A5E1)
x
y
=
=
经过验证， 满足定理1，其中1 1W G H= U 1 1 6L = ， 1 10Λ = 。 为1G [ ]( )64,8, 6,10ZCZ 。
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6 理论界限的分析
对于 11 1 1 1 1
4 4, 2 , ,
2 2
n n nl lW ZCZ ll l l l l−
⎛ ⎞⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
1n−+ ，序列偶集合的渐近率为
( )1M L
N
λ += 。因为 1 11 1 14 4 4min ,2 2 2
n nl l lL l l l 11
nl− − −⎛ − − ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ，所以
( ) ( )11 1 1 1
1
1 1
42 1
1 4 22 4 21
n
n
n n
ll l
M L l l l
N ll ll l
λ
−
−
⎛ − ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠⎝ ⎠= = = = − +
1
nll
。 (46)
由此可见，随着 l的增大，λ越接近1，所以上面所述方法构造的序列偶接近理论界限。
６在 AS-CDMA 中的应用
ZCZ 序列偶主要应用在AS-CDMA系统中。在基站中对所有的用户信号进行同步是非常困
难的。但是AS-CDMA系统通过使用零相关区的性质，并不要求对信号进行准确的同步。我们
假设对所有的用户同时在相同的时间传送信号，在这种情况下，时延由基站到用户的距离决
定。零相关区必须能保证最大时延差包含在其内。我们设计的序列偶可以用在此AS-CDMA系
统中。如图1所示，一方面最大的时延差出现在离基站最近和最远的用户之间，另一方面，
距离相近的用户之间时延差最小。因为 nL n< Λ ，所以，我们可以把 分配到离基站距离
较近的用户，而把 分配到离基站距离较远的用户。这样，时延差较小的用户间使用较小
的零相关区 ，时延差较大的用户间使用较大的零相关区
nH
nG
nL nΛ 。
nH
2r
rnG
7 结论
本文提出了一种由两个子集组成的零相关区序列偶集。此方法构造的序列偶集的零相关
区长度接近理论上限。他们可以比普通方法获得更大的零相关区，在实际应用中，比普通方
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法性能更加优越。
参考文献
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zero correlation zone [J]. Electronics Letters, 2001, 37(19): 1021-1023.
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the 6th WSEAS Int. Conference on Telecommunications and Informatics[C], Dallas, Texas, USA: WSEAS,
2007:1-6
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IWSDA’07[C]. Chengdu: IEEE Press, 2007:288-291.
[5] 梁清梅.准同步 CDMA 系统中零相关区序列偶集合的设计[D]. 秦皇岛市：燕山大学，2005:28-33
A Kind Of ZCZ Sequence Pairs Sets
Zhang Jinbo , Xu Chengqian
College of Information Science and Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao China
(066004)
Abstract
The present paper proposes a kind of ZCZ sequence pairs sets which consist of two subsets. A
property of the proposed ZCZ sequence pairs sets is that the cross-correlation function between two
arbitrary sequence pairs which belong to different subsets has quite a large zero-cross-correlation zone.
Each subset is a ZCZ sequence pairs set of which the family size is half of the original one. When the
proposed ZCZ sequence pairs sets are applied to AS-CDMA systems, one subset is assigned to users
near to a base station and another subset is assigned to users far from it. By this allotment, the proposed
sets can hypothetically achieve larger zero-correlation zones than conventional ZCZ sequence sets.
Key words：ZCZ Sequence Pairs Sets; AS-CDMA; perfect sequence pairs; spread spectrum
communications
作者简介：
张金波，男，1984年生，山东省日照市人，硕士研究生，主要研究方向是扩频序列设计。
许成谦，男，1961年生，陕西城固人，1997年获北京邮电大学信号与信息处理专业博士学
位，现为燕山大学教授、博士生导师。主要研究方向为编码理论、密码学、信号设计等。
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1引言
2 基本概念
3 由两个子集构成的零相关序列偶集
4 序列偶集的生成方法
5例子
6理论界限的分析
６在AS-CDMA中的应用
7结论
