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第七章 参数估计
参数估计的一般问题参数估计的一般问题
一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计
两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计
样本容量的确定样本容量的确定
注意：注意：
①①本章内容：在抽样分布的基础上，依据本章内容：在抽样分布的基础上，依据
统计量的分布推断所关心的参数。统计量的分布推断所关心的参数。
②②本章估计都是在简单随机重复抽样简单随机重复抽样的条
件下来讨论的。
参数估计的一般问题
.估计量与估计值
.点估计与区间估计
.评价估计量的标准
.估计量与估计值
1)估计量：用来估计总体参数的统计量的名称。
如样本均值，样本比例、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2)参数用 表示，估计量用 表示
3)估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体
值
如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
参数估计的方法
矩估计法矩估计法
最大似然法最大似然法
最小二乘法最小二乘法
估 计 方 法
点 估 计 区间估计
.点估计与区间估计
点估计与区间估计是统计估计的两种具体的
方法。二者的基本出发点是不同的。
点估计主要是想利用统计量来估计总体参数
的一个定值。
区间估计则是利用统计量的相应分布，估计
包含总体参数的随机区间。
共同的是二者都是对总体参数的一种估计。
点估计(point estimate)具体方法
1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值
的估计
例如：用两个样本均值之差直接作为
总体均值之差的估计
2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3.点估计的方法有矩估计法、最大似然法、最
小二乘法等
评价估计量的标准（一般含义）
1、无偏性： ，称
是 的无偏估计量 。
2、有效性。一个具有较小变异的统
计量的意义在于将有更多的机会产生
一个更接近于总体参数的量。
3、一致性。随着样本容量的增大，
点估计量的值越来越接近被估计总体
参数。
无偏性(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数
PP(( ))
BA
无偏无偏 有偏有偏
有效性(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
A
B
的抽样分布的抽样分布
的抽样分布的抽样分布PP(( ))
一致性(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的
值越来越接近被估计的总体参数
A
B
较小的样本容量较小的样本容量
较大的样本容量较大的样本容量PP(( ))
为 的无偏、有效、一致估计量；
为 的无偏、有效、一致估计量
为 的无偏、有效、一致估计量。
区间估计(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范
围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体
参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
样本统计量样本统计量
((点估计点估计))
置信区间置信区间
置信下限置信下限 置信上限置信上限
置信水平=1-
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，（σ2已知）来自该
总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分
布，x 的数学期望为μ，方差为σ2/n
即x～N(μ,σ2/n)
00
临界值临界值-z-z值值
/2 /2 /2/2
统计量统计量
1 - 1 -
置信水置信水
平平
区间估计的数学表达方式：
区间估计基本表达（以估计 为例）：STAT
区间估计的图示
x
95% 95% 的样本的样本
xx ++xx
99% 99% 的样本的样本
- - xx + +
90%90%的样本的样本
xx ++xx
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间
包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信
水平
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为: ，，
的值: , , (记住)
置信水平
置信区间与置信水平
均值的抽样分布均值的抽样分布
(1 - (1 - ) % ) % 区间包含了区间包含了
% % 的区间未包含的区间未包含
1 – 1 – //22 //22
影响区间宽度的因素 p207
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2. 样本容量，
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
•1. 置信水平为95%的置信区间，意思是在构造
的所有置信区间当中，包含总体参数真值的区间
占95%。
•2. 总体参数的真值是固定的、未知的，而用样
本构造的置信区间是不固定的。一个样本构造一
个区间，不同样本构造不同的区间，因此置信区
间是随机区间。置信水平是针对随机区间而言，
不是所有区间都包含总体参数的真值。
•3.在实际问题中，进行估计时，往往只抽取一
个样本。由该样本所构造的区间是一个特定的区
间，而不再是随机区间，因此该区间是否包含总
体参数的真值，我们是不知道的。
对置信区间的理解须注意：
一个总体参数的区间估计p211
. 总体均值的区间估计
. 总体比例的区间估计
. 总体方差的区间估计
1.一个总体参数的区间估计
总体参数 符号表示 样本统计量
均值
比例
方差
总体均值的区间估计(大样本
)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知或者未知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z(标准化)
3. 总体均值总体均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为
边
际
误
差
总体均值的区间估计(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量
是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，
测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，
且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，
置信水平为95%
25袋食品的重量
总体均值的区间估计(例题分析)
解解：：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=。根
据样本数据计算得：
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
该食品平均重量的置信区间为~
总体均值的区间估计(例题分析)
【【例例】】一一家家保保险险公公司司收收集集到到由由3636投投保保个个人人组组成成的的随随机机样样
本本，，得得到到每每个个投投保保人人的的年年龄龄((周周岁岁))数数据据如如下下表表。。试试建建立立投投
保人年龄保人年龄90%90%的置信区间的置信区间 （总体分布不知，大样本）（总体分布不知，大样本）
36个投保人年龄的数据
23 35 39 27 36 44
36 42 46 43 31 33
42 53 45 54 47 24
34 28 39 36 44 40
39 49 38 34 48 50
34 39 45 48 45 32
总体均值的区间估计(例题分析)
解解：：已知n=36, 1- = 90%，z/2=。根据样本数据
计算得： ，
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
投保人平均年龄的置信区间为岁~岁
计算样
本统计
量
确定样
本统计
量分布
确定临
界值保
证概率
确定置
信区间
区间估计步骤 （以估计 为例）： STAT
其中：
STAT
例：由532名《商业周刊》订阅者
组成的样本表明，其每周使用因特网的
平均时间为小时。如果总体标准差为
小时，求该周刊订阅者总体每周平均
花费在因特网上时间的95％置信区间。
均值的区间估计
则：该置信区间为：
正态总体或非正态总体但大
样本，总体方差未知
均值的区间估计
STAT
总体均值的区间估计(小样本)
1. 假定条件
总体服从总体服从正态分布正态分布,,且方差且方差((２２)) 未知未知
小样本小样本 ((nn < 30) < 30)
2. 使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间
为
正态总体小样本，总体方差未知 p214
均值的区间估计
t 统计量
总体均值的区间估计(例题分析)P175
【【例例】】已已知知某某种种灯灯泡泡的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布，，现现从从一一
批批灯灯泡泡中中随随机机抽抽取取1616只只，，测测得得其其使使用用寿寿命命((小小时时))如如
下。建立该批灯泡平均使用寿命下。建立该批灯泡平均使用寿命95%95%的置信区间的置信区间
16灯泡使用寿命的数据
1510 1520 1480 1500
1450 1480 1510 1520
1480 1490 1530 1510
1460 1460 1470 1470
总体均值的区间估计(例题分析)
解：解：已知已知ＸＸ~~NN((，，22))，，nn=16, 1-=16, 1- = 95%= 95%，，tt/2/2==
根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： ，，
总体均值总体均值在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为
该该种种灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命的的置置信信区区间间为为小小时时～～
小时小时
均值推断方法的选择 p217
n是否为大样本
是否已知 是否正态总体
是否已知
用S 估
计 用S 估
计
增大样本
容量到30
以上
是
是 是
是
否
否
否
否
.总体比例的区间估计
. 假定条件假定条件
总体服从二项分布总体服从二项分布
可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似
. 使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z z 查教材P155
3. 3. 总体比例总体比例在在1-1-置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为
总体比例的区间估计(例题分析)P218
【例】某城市想要
估计下岗职工中女
性所占的比例，随
机地抽取了100名下
岗职工，其中65人
为女性职工。试以
95%的置信水平估
计该城市下岗职工
中女性比例的置信
区间
该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比例例的的置置信信
区间为区间为%~%%~%
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
2. 假设总体服从正态分布
3. 总体方差 22 的点估计量为S22,且
4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
总体方差的区间估计(图示)
1-
总体方差总体方差
1-1- 的置信区间的置信区间
自由度为自由度为nn-1-1的的
总体方差的区间估计(例题分析)
【【例例】】一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，，现现从从某某
天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525袋袋，，测测得得每每袋袋重重量量如如
下下表表所所示示。。已已知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布。。以以95%95%
的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
25袋食品的重量
总体方差的区间估计(例题分析)
解解::已知已知nn＝＝2525，，1-1-＝＝95% ,95% ,根据样本数据计算得根据样本数据计算得
ss2 2 ==
22置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为
该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区
间为间为~~
正态总体未来观察值的预测区间估计
p220
1. 预测随机变量未来的观察值，并希望求出各某个未来观察
值的取值范围，这个范围就是对某个未来观察值的预测区
间估计
以为例，估计一个新灯泡使用寿命的区间
2. 预测误差的期望为， ，预测误差的方差为
3. 未来观察值经标准化后服从标准正态分布，当用样本方差
s2代替总体方差2后，则服从t分布
4. 新观察值95%的预测区间为
未来观察值的预测区间估计p222
【例】利用例的数据，假定你要购买一只新的灯，
以95%的置信水平建立该只灯泡的预测区间
1490±=(，)，该只新灯泡使用寿
命95%的预测区间为～时之间。与
总体均值的置信区间(，)相比，新灯
泡的预测区间要长得多
解：根据已知结果得
区间估计练习
一、假定容量n=100的一个随机样本
产生均值为81和标准差s=12。要求：
①构造总体均值%置信水平下的置信区间；
②构造总体均值% 置信水平下的置信区间。
二、一个容量为400的随机样本取自均值和标准差
均未知的总体。已经计算出下列值：
=14592要求：
①构造总体均值95%置信水平下的置信区间；
②构造总体均值99%置信水平下的置信区间。
81±2× ；81±3× ； (±×2/20)
样本容量的确定(P234)
√1. 估计总体均值时样本容量的确定
√2. 估计总体比例时样本容量的确定
3. 估计两个总体均值之差时样本容量的
确定
4. 估计两个总体比例之差时样本容量的
确定
1. 估计总体均值时样本容量n为
2. 样本容量n与总体方差 2、边际误差E、可
靠性系数Z或t之间的关系为
与总体方差成正比
与边际误差成反比
与可靠性系数成正比
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体均值时样本容量确定 ((例题分析例题分析))
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生
年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计
年薪95%的置信区间，希望边际误差为400
元，应抽取多大的样本容量？
估计总体均值时样本容量确定 ((例题分析例题分析))
解解:: 已知已知 =500=500，，EE=200, =200, 1-1-=95%=95%，， zz/2/2==
1122 / /2222置信度为置信度为90%90%的置信区间为的置信区间为
即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本
注意：注意：计算结果有小数时一律进位。计算结果有小数时一律进位。
1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为
估计总体比例时样本容量的确定
2. E的取值一般小于
3. 未知时，可取最大值
其中：其中：
估计总体比例时样本容量确定 ((例题分析例题分析))
【【例例】】根据以往
的生产统计，某
种产品的合格率
约为90%，现要
求边际误差为
5%，在求 95%
的置信区间时，
应抽取多少个产
品作为样本？
解解 ::已已 知知 =90%=90%，， ==，，
zz/2/2==，，EE=5%=5%
应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为
应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本
确定样本容量时注意：
1、计算结果有小数时一律进位。
2、总体方差不知时，可用历史方差、
样本方差代替。如有多个方差共选用，
一般选取最大的方差；
3、 未知时，可取最大值
