第五章
切比雪夫不等式及大数定律
中心极限定理
基本极限定理
第五章
切比雪夫不等式
一、切比雪夫不等式
二、大数定律
第 一 节
与大数定律
1.背景:
频率的稳定性,用频率代替概率的科学性.
引言
2.内容:
用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一
系列定理统称为大数定律.
3.如何刻画:
①
②
即
(大数定律)
×
一、切比雪夫不等式
或
定理1:
设随机变量
的数学期望
方差
则对任意的
有
注:切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时,对事件
发生的概率进行估计.
例1.
为, 且它们开关与否相互独立, 试用切比雪夫不等式
估计夜晚同时开灯7800~8200盏之间的概率.
解: 设X表示夜晚开灯数, 则
又E(X)=8000, D(X)=1600,
这说明学校只要供应8200盏灯的电力就能以相当大的概
率保证这10000盏灯的正常使用.
已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率均
则由切比雪夫不等式知
1.切比雪夫大数定理
定理2：设相互独立的随机变量
具有有
限的数学期望和方差, 若存在常数C使
则
有
二、大数定理
即
注: 该结论的实际意义在于,在进行精密测量时,为了
减少随机误差,常常重复测量多次,用测量的平均值来
代替真实值 a，即
推论:
设相互独立的随机变量
服从相同
的分布,且
则
有
即
2. 伯努利大数定律 (切—大数定理的特殊形式)
P是事件A在每次试验中发生的概率，
则
有
定理3: 设
是n重Bernoulli试验中事件A发生的次数，
即
注:该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以
用事件发生的频率来代替其概率.
