统计、抽样方法
一、教学目标
1.随机抽样。
2.用样本估计总体。
3.变量的相关性。
二、知识提要
1.抽样
当总体中的个体较少时，一般可用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般可用系
统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般可用分层抽样，而简单随机抽样作为一种
最简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位.实施简单随机抽样，主要有两种方
法：抽签法和随机数表法.
系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样就显得不方便，
系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均匀分后的每一段进行
抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样.
分层抽样在内容上与系统抽样是平行的，在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系
统抽样，分层抽样也是等概率抽样.
2.样本与总体
用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法.当总体中的个体取不同数值很少时，
其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图，
当总体中的个体取不同值较多，甚至无限时，其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本
数据的知识.
用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外，还可以从特征
数上进行估计，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估
计总体的方差（标准差）.
3.正态分布
正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺寸
等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验.
4.线性回归直线
设 x、y 是具有相关关系的两个变量，且相应于 n 组观察值的 n 个点大致分布在一条直
线的附近，我们把整体上这 n 个点最接近的一条直线叫线性回归直线.
三、基础训练
1.一个总体中共有 10 个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为 3 的样本，则
某特定个体入样的概率是( )
A. B. C. D.
2.（2004 年江苏，6）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到
他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这
50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )
3
10C
3
8910
3
10
3
10
1
h h h h
3.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且 Eξ=3，Dξ=1，则 P（－1＜ξ≤1）等于( )
Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）
C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）
4．.为考虑广告费用 x 与销售额 y 之间的关系，抽取了 5 家餐厅，得到如下数据：
广告费用（千元）
销售额（千元）
现要使销售额达到 6 万元，则需广告费用为______.（保留两位有效数字）
四、典型例题
【例 1】 某批零件共 160 个，其中，一级品 48 个，二级品 64 个，三级品 32 个，等外
品 16 个.从中抽取一个容量为 20 的样本.请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样
法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同.
【例 2】 已知测量误差ξ～N（2，100）（cm），必须进行多少次测量，才能使至少有一
次测量误差的绝对值不超过 8 cm 的频率大于 ?
五、达标检测
1.对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽取的概率为 ，
则 N 等于( )
2.设随机变量ξ～N（μ，σ），且 P（ξ≤C）=P（ξ>C），则 C 等于( )
B.σ C.－μ D.μ
3.（2003 年全国，14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆、6000 辆和 2000
辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿
车依次应抽取______辆、______辆、______辆.
4.某厂生产的零件外直径ξ～N（，）（mm），今从该厂上、下午生产的零件中各
随机取出一个，测得其外直径分别为 mm 和 mm，则可认为( )
A.上、下午生产情况均为正常 B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常，下午生产情况异常D.上午生产情况异常，下午生产情况正常
5.随机变量ξ服从正态分布 N（0，1），如果 P（ξ<1）=，求 P（－1<ξ<0）.
6.公共汽车门的高度是按照确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如
果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？
20
15
10
5
人数(人)
时间(h)0
基础训练
1．解析：简单随机抽样中每一个体的入样概率为 .
答案：C
2．解析：一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生数的比，即
= h.
答案：B
3．解析：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故 P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）
=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.
答案：B
4．解析：先求出回归方程 =bx+a，令 =6，得 x= 万元.
答案： 万元
典型例题
【例 1】剖析：要说明每个个体被取到的概率相同，只需计算出用三种抽样方法抽取个
体时，每个个体被取到的概率.
解：（1）简单随机抽样法：可采取抽签法，将 160 个零件按 1～160 编号，相应地制
作 1～160 号的 160 个签，从中随机抽 20 个.显然每个个体被抽到的概率为 = .
（2）系统抽样法：将 160 个零件从 1 至 160 编上号，按编号顺序分成 20 组，每组 8 个.
然后在第 1 组用抽签法随机抽取一个号码，如它是第 k 号（1≤k≤8），则在其余组中分别抽
取第 k+8n（n=1，2，3，…，19）号，此时每个个体被抽到的概率为 .
（3）分层抽样法：按比例 = ，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 48
× =6 个，64× =8 个，32× =4 个，16× =2 个，每个个体被抽到的概率分别为 ， ，
， ，即都是 .
综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是 .
评述：三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同，这样样本的抽取体现了
公平性和客观性.
思考讨论：现有 20 张奖券，已知只有一张能获奖，甲从中任摸一张，中奖的概率为
，刮开一看没中奖.乙再从余下 19 张中任摸一张，中奖概率为 ，这样说甲、乙中奖的
概率不一样，是否正确?
【例 2】解：设η表示 n 次测量中绝对误差不超过 8 cm 的次数，则η～B（n，p）.
其中 P=P（ |ξ |<8）=Φ（ ）－Φ（ ）=Φ（）－1+Φ（1）=－
1+=.
由题意，∴P（η≥1）>，n 应满足 P（η≥1）=1－P（η=0）=1－（1－p）n>，
N
n
50
ŷ ŷ
160
20
8
1
8
1
160
20
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
48
6
64
8
32
4
16
2
8
1
8
1
20
1
19
1
10
28
10
28
∴n> = =.
因此，至少要进行 3 次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过 8 cm 的概率大于 .
达标检测
1．解析：∴ =，∴N=120.
答案：C
2．解析：由正态曲线的图象关于直线 x=μ对称可得答案为 D.
答案：D
3．解析：因总轿车数为 9200 辆，而抽取 46 辆进行检验，抽样比例为 = ，而
三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按 比例分别有 6 辆、30 辆、10 辆.
答案：6 30 10
4．解析：根据 3σ原则，在 8+3×=（mm）与 8－3×=（mm）之外时为异常.
答案：C
5．解：∴ξ～N（0，1），∴P（－1<ξ<0）=P（0<ξ<1）=Φ（1）－Φ（0）=－
=.
6．解：设公共汽车门的设计高度为 x cm，由题意，需使 P（ξ≥x）＜1%.
∴ξ～N（173，72），∴P（ξ≤x）=Φ（ ）＞.
查表得 ＞，∴x＞，即公共汽车门的高度应设计为 190 cm，可确保 99%
以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
)(
)(
1
N
30
9200
46
200
1
200
1
7
173x
7
173x
