四、标志变异指标（Dispession）
概念
标志变异指标是反映变量分布离散趋势、与平均指标相匹配的指标。
（1）反映变量分布的离散趋势；
（3）是对事物发展均衡性的量度。
（2）是对平均数的代表性程度的量度；
作用
概 念 计 算 特 点
数列中最大值
与最小值之差
1．极差
（R）
R=最大值-最小值
优点：容易理解， 计算方便
缺点：不能反映全部数据分布状况
2．平均差
（A、D）
各标志值与
均值离差绝
对值的算术
平均
简单：
加权：
优点：反映全部数据分布状况
缺点：取绝对值 ，数字上 不尽合理
概 念 计 算 特 点
各标志值与均值离差平方的平均。
方差的平方根（取正根）
3．方差（σ2） 和
标准差(σ)
优点：反映全部数据分布状况，数字上合理。
缺点：受计量单位和平均水平影响，不便于比较
4．标准差系 数
（Vσ）
标准差与均值
之商，是无量
纲的系数
简单：
加权：
优点：适宜不同数据集的比较
缺点：对数据结构变化反应不灵敏
方差（σ2）和标准差（σ）是应用最广的标志变异指标
σ2和σ的简易计算公式
由组方差（或组标准差）求总方差（或总标准差）
平均组内方差
组间方差
标准差的应用
测定分布的偏度
1.偏度系数
SK=0
SK>0
SK<0
2.偏度系数
X=m3/σ3 (m3——三阶中心矩)
物理学中的矩：
设变量X有许多取值，形成一个分布
定义M=∑(X-A)k/n为变量X关于A的k阶矩。
当A=0，即以原点为中心，上式称为““K阶原点矩”。
K=1，2，3时，有：
一阶原点矩M1=∑(X-0)1/n=∑X/n
二阶原点矩M2=∑(X-0)2/n=∑X2/n
三阶原点矩M3=∑(X-0)3/n=∑X3/n
当A= ，即以 为中心，上式称为“K阶中心矩”。
K=1，2，3时，有：
一阶中心矩
二阶中心矩
三阶中心矩
三阶中心矩可用原点矩计算：
m3=M3-3M2M1+2M13
左
右
相 加
<0（右边<左边）
=0（右边=左边）
>0（右边>左边）
所以，m3可以测定偏度。为消除量纲，转变为系数，再除以σ3。
<0负偏态
=0对称分布
>0正偏态
计算标准分
即将原始分数X经过线性变换转变为标准分Z。反映各原始分的平均数为中心的相对位置。
X
O
任何原始分在总体中的位
置，用Z倍的σ来测定。
根据切比彐夫定理，利用标准差进行比例推算
切比彐夫不等式：在任何数据集中，超过平均数K倍，标准差的数据所占比例至多为1/K2，而在平均数K倍标准差范围之内的数据则为（1-1/K2 ）.
-1
1
-2
-3
2
3
计算抽样误差（以平均指标为例）
设：
抽样误差就是样本平均数分布数列的标准差。
