点估计(PPT 22).ppt

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一一 、、 参数的点估计参数的点估计 设总体X的分布函数的形式为已知,但它的一个或多 个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知 参数的值的问题称为参数的点估计问题. 例1 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数 Ｘ是一个随机变量,假设它服从以>0为参数的泊松分布 ，参数为未知。设有以下的样本值，试估计参数 。 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生K次着火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 =250 解 由于X()故有=E(X).我们自然想到用样本 均值来估计总体的均值E(X).现由已知数据计算得到 得估计 E(X) =的估计值为。 点估计问题的一般提法：设总体X的分布函数 F(X;) 的形式为已知,为待估参数。X1 ,X2 ,. . ., Xn是X的一个 样 本， x1 ,x2 ,. . .,xn是相应的一个样本值. 点估计问题就 是要 构造一个适当的统计量 (X1 , X2 , . . . , Xn), 用它的观 察值 (x1 ,x2 , . . . ,xn)来估计未知参数, 我们称 (X1 ,X2 ,...,Xn)为 的估计量， (x1 ,x2 , . . . ,xn)为的估计值.在不致混淆 的情 况下统称估计量和估计值为估计。并都简记为 。 如在例1中，用样本均值估计总体均值。即有估计量 估计值 二、 矩估计法 设X为连续型随机变量, 其概率密度为f(x;1, 2 , ...,k),或X为离散型随机变量, 其分布规律为PX = x = p(x;1 ,2 ,…,k)其中1,2,…,k为待估参数,X1 , X2 , . . ., Xn是来自X的样本, 假设总体X的前 k 阶距 (X连续型) 或 (X离散型) l = 1 , 2 , · · · , k (其中R(x)是x可能取值的范围)存在. 一般来说, 它们是 1, 2 ,...,k的函数。基于样本矩 依概率收敛于总体矩 l ( l = 1 , 2 , · · · , k)样本矩的连续函 数依概率收敛于相应的总体矩函数，故用样本矩作为总 体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体 矩的连续函数的估计量，这种方法称为矩估计法，具体 作法是：令 l = Al ， l = 1 , 2 , · · · , k 这是包含k个未知参数1,2,...,k,的联立方程组， 用解 1, 2,…, k作为估计量,这种估计量称为矩估计量。 矩估计量的观察值称为矩估计值。 例2 设总体X在[a ,b]上服从均匀分布, a, b未知. X1, X 2, . . ., Xn是一个样本,试求a ,b的矩估计值。 令 解上述联立方程组，得到a，b的矩估计量为 例3 设总体X的均值及方差s2都存在，且有s2 >0. 但, s2均未知。又设X1, X2 , ···· , Xn是一个样本。 试求 ,s2的矩估计量。 或即 解 1=E(X)=, 2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2 =s2+2, 令 = A1 , s2+2=A2 . 解上述方程组，得和s2的矩估计量分别为 所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因 不同的总体分布而异。 例如，X~N(,s2), , s2未知，即得, s2的矩估计量 为 三三 、、 极大似然估计法极大似然估计法 例 1 某学员与一位神枪手一同进行实弹射击,各打 一发,同一靶,仅中一发,试问认为这一发是谁打中较合 理？ 例 2 假设在一罐中放有许多白球和黑球，并知两种 球的数目之比是1:3; 但不知那种球的颜色多. (现抽一球, 为黑的概率可能是3/4，也可能是1/4)。今连抽两球，全 为黑球。问袋中黑球多还是白球多？ 解 直观上可以回答。现以概率的角度考虑。设抽 一球为黑球的概率为p，抽n个而出现x个黑球的概率服 从b(n, p). 这就是说，罐中黑球多时，出现两个全黑的的概率 比白球多时出现两个全黑的概率大的多,或说使n=2的样 本来自p=1/4的总体的可能性大的多。用到“概率最大 的 事情最可能出现”原理, 从参数角度，对总体p 有 供选择者较多，自然选最大者作p的估计，此方法称为极 大似然估计法。 设X为离散型, 分布律为P{X=x}=p{x;,(连续型, 其 概率密度f(x,)), Q的形式已知,为待估参数，Q是 可能取值的范围。设X1, X2 , ···· , Xn是来自X的 样本，则 X1, X2 , ···· , Xn的分布律(联合密度)为 易知样本X1, X2 , ···· , Xn取到观察值x1, x2 , ···· , xn的概率 即事件{X1,= x1 , X2 ,=x2, ···· , Xn=xn}发生的概率 这一概率随的取值而变化，它是的函数。 L()称为样本 的似然函数 由Fisher引进的极大似然估计法，就是固定样本观察 值x1, x2 , ···· , xn，在 的可能取值的范围Q内 挑选 使概率L(x1, x2 , ···· , xn; )达到最大的参数值， 作为参数的估计值 。即取使 若总体X为连续型，设x1, x2 , ···· , xn是相应于 样本X1, X2 , ···· , Xn的一个样本值, 则随机点(X1, X2 , ···· , Xn)近似地落在点(x1, x2 ,···· ,xn) 的邻域(边长为dx1, dx2 , ···· , dxn的n维立方体)内 的概率近似为 这样得到的 与样本观察值x1, x2 , ···· , xn有关， 记作 称为参数的极大似然估计值，称统计量 类似，引入函数 为的极大似然估计量。 则L()称为样本的似然函数。若 为的极大似然估计值，称 求法：若p(x ; )或f(x ; )可微, 这时可从方 程 求得，也可从 为的极大似然估计量。 求得 例4 设X~B(1, p). X1, X2 , ···· , Xn是来自X的一 个样本， 试求参数p的极大似然估计量。 解 设x1, x2 , ···· , xn 是来自X1, X2 , ···· , Xn 的一个样本 值。Ｘ的分布律为 　　　　　　　　　　 P{X=x}=px(1-p)1-x , x=0, 1. 故似然函数为 而 令 解得p的极大似然估计值 p的极大似然估计量为 极大似然估计法适用于多个参数。若似然函数为 L(1 ,2 ,····,k)，则求关于i的偏倒数即可。 例5 设X~N(,s2), , s2为未知参数 , x1, x2 , ···· , xn 是来自X的一个样本值。求, s2的极大似然估计量。 解 X的概率密度为 似然函数为 而 令 因此得, s2 的极大似然估计量分别为 它们与相应的矩估计量相同。 例6 设总体X在[a, b]上服从均匀分布，a, b未知， x1, x2 , ···· , xn是一个样本值, 试求a, b的极大似然估计 量。 解 记 x(1)=min(x1, x2 , ···· , xn), x(n)=max (x1, x2 , ···· , xn). X的概率密度是 于是对于满足条件ax(1), bx(n) 的任意a, b有 由于a x1, x2 , ···· , xnb，等价于ax(1) , x(n) b.作为a,b的 函数的似然函数为 即L(a,b)在a=x(1) , b=x(n)时取到最大值(x(1) -x(n) )-n.故 a, b 的极大似然估计值为 a, b的极大似然估计量为 极大似然估计的性质 当总体分布中含有多个未知参数时，也具有以上性 质。例如，在例5中已得到的极大似然估计为 根据上述性质，得到标准差s的极大似然估计为 其中x1, x2 , ···· , xn)是X的一个 样本值。