统计与决策2008年第5期(总第257期)
摘 要:文章首先介绍了久期和凸度的基本概念以及它们的重要性质,然后在不考虑提前还款的条
件下,推导了在任意结算日,按期等额本息还款和按期等额本金还款两种还款方式的固定利率住房贷款
的久期和凸度。最后对它们的久期的敏感性进行分析,发现无论是按期等额本息还款的固定利率住房贷
款,还是按期等额本金还款的固定利率住房贷款,其久期都是距离下一还款日的递增函数,同时也是剩
余还款次数的递增函数。
关键词:住房贷款;久期;凸度;敏感性
中图分类号:F830 文献标识码:A 文章编号:1002-6487(2008)05-0048-04
固定利率住房贷款的久期与凸度研究
杨 俊
(重庆大学 经济与工商管理学院,重庆 400044)
近年来,国内一些商业银行陆续推出了固定利率住房贷
款。固定利率住房贷款的推出,一方面满足了借款者锁定融
资成本,消除市场利率波动的不确定性和规避利率风险的需
要;另一方面随着利率市场化进程的深入,固定利率住房贷
款可能会因市场利率变动给商业银行造成损失。因此,如何
防范固定利率住房贷款的利率风险,成为当前商业银行经营
管理中迫切需要解决的重要问题。当前利率风险管理的主流
方法是久期缺口模型和凸度缺口模型[1]。因此研究固定利率
住房贷款的久期与凸性很有必要。本文在不考虑提前还款的
条件下,给出了在任意结算日,按期等额本息还款和按期等
额本金还款两种还款方式的固定利率住房贷款的久期与凸
度的计算方法,这将有助于编程计算以及对利率风险的进一
步分析。本文还对它们的久期的敏感性进行了分析。
1久期和凸性概述
久期的概念及其重要性质
久期这一概念最早由麦考莱为研究债券的期限结构于
1938年提出,因而被称为麦考莱久期[2],随后久期广泛应用
于各种资产与负债的利率风险管理。它是资产在未来产生现
金流的时间的加权平均,其权重是各期现金流现值在资产现
值中所占的比重,用公式表示为
D=
n
t=1
! Rtt
(1+r)
t
P
(1)
其中 D表示麦考莱久期,t表示资产产生现金流的时
刻,Rt表示第 t期的现金流,r表示考虑到风险因素的贴现利
率,n表示资产产生现金流的期数,P表示资产的现值。久期
不仅仅是一个时间概念,其真正价值在于它反映了资产现值
对利率变动的敏感性。下面对久期的这一特性进行分析。
资产现值 P为:
P=
n
t=1
! Rt
(1+r)
t
(2)
则
dP
dr
=-1
1+r
n
t=1
! Rtt
(1+r)
t=-
D
1+r
P"dP
dr
1
P
=-D
1+r
=-MD (3)
其中 MD=D
1+r
,称为修正久期,本文探讨的久期特指修
正久期。从式(3)可以看出,修正久期反映了资产现值对利率
变动的弹性,因而可以被用来衡量利率风险的大小。久期具
有非常重要的可加性[3],即对由m项资产组成的资产组合,设
资产组合的久期为 D,资产组合的现值为 P=
m
j=1
!Pj,Pj为第 j
项资产的现值,并记 wj=
Pj
P
,则 D=
m
j=1
!wjDj,Dj为 j项资产的久
期。
凸度的概念及其重要性质
由于久期概念的本质是银行资产负债现值变化对利率
变化的一阶泰勒展开,只有当利率变化较小时,这种线性近
似才成立;而利率变化较大,或者利率期限结构发生了非平
行移动时,则一阶近似就会产生较大误差,此时就需要进行
二阶项的调整,此二阶项就是凸度[4]。凸度是指资产现值的变
化率和利率变动关系曲线的曲度,是资产现值对利率的二阶
导数除以现值,即
C=1!
2P
P!r2
(4)
其中,C表示凸度,P表示资产的现值,r表示考虑了相应
资产风险情况下的利率。相对久期的概念而言,运用凸度可
以提高利率风险计量的精确度,从而提高利率风险管理水
平。于是,知道一项或一组资产的凸度对于利率风险管理有
着重要的意义。凸度也有重要的可加性[5],即对由m项资产组
成的资产组合,设资产组合的凸度为 C,资产组合的现值为
决 策 参 考
48
统计与决策2008年第5期(总第257期)
P=
m
i=1
!Pj,Pj为第 j项资产的现值,并记 wj=Pjp,则 C=
m
j=1
!wjCj,
Cj为j项资产的凸度。
2固定利率住房贷款的久期与凸度
固定利率住房贷款按还款方式的不同有两种基本的形
式,即按期等额本息还款和按期等额本金还款。下面分别求
两种还款方式住房贷款的久期与凸度。
固定利率下按期等额本息还款的住房贷款的久期与凸
度
假设贷款以一个月为一期并在每期期末还款,贷款总额
为A,月固定利率为r,贷款期限为n年,每期还款额为A0。记
该住房贷款为资产一,则
A=
12n
i=1
! A0
(1+r)i
"A0= A12n
i=1
!(1+r)-i
=Ar(1+r)
12n
(1+r)12n-1
(5)
现对任意结算日t,记s为该结算日的贴现利率,[t+1]-t=
!,12n-[t]=m,其中[·]是高斯函数,即对括号内的值取整。于是
! 代表结算日距下一还款日的时间,m代表剩余的还款次数。
则未来还款在结算日的现值为
P1=
A0
(1+s)!
+ A0
(1+s)!+1
+⋯+ A0
(1+s)!+m-1
=A0[(1+s)
m-1]
s(1+s)!+m-1
(6)
下面计算资产一的久期MD1,P1对s求偏导数得
"P1
"s=A0(1-!)s
-1(1+s)-!+A0s-2(1+s)1-!-m-
A0s-2(1+s)1-!-A0(1-!-m)s-1(1+s)-!-m (7)
把式(6)和式(7)代入式(8)就可以得到资产一的久期:
MD1=-
"P1
"s
1
P1
(8)
下面计算资产一的凸度C1,P1对s求二阶偏导数得
"2P1
"s2 =2
(1-!-m)s-2(1+s)-!-m+2s-3(1+s)1-!+(1-!-m)(!+m)s-1
(1+s)-1-!-m-2(1-!)s-2(1+s)-!-(1-!)!-1(1+s)-1-!-2s-3(1+s)1-!-m)(9)
把式(6)和式(9)代入式(10)就可以得到资产一的凸度。
C1=
"2P1
"s2
1
P1
(10)
固定利率下按期等额本金还款的住房贷款的久期与凸
度
假设贷款以一个月为一期并在每期期末还款,贷款总额
为A,月固定利率为 r,贷款期限为 n年,显然,借款人每期偿
还的本金为 A
12n
,记第 j期偿还的贷款总额为 Aj,偿还的利
息为Bj,记该住房贷款为资产二,则
Bj=(1-
j-1
12n
)Ar (11)
Aj=
A
12n
+Bj (12)
现对任意结算日t,记s为该结算日的贴现利率,[t+1]-t=
!,12n-[t]=m,其中[·]是高斯函数,即对括号内的值取整。于是
! 代表结算日距下一还款日的时间,m代表剩余的还款次数。
则
A[t-k]=
A
12n
+m+1-k
12n
Ar (13)
其中k=1,2,⋯m。记C0=
A
12n
,C1=
A
12n
。则
A[t-k]=C0+(M+1-k)C1 (14)
P2=
C0
(1+s)!
+ C0
(1+s)!+1
+⋯ + C0
(1+s)!+m-1
+ mC1
(1+s)!
+
(m-1)C1
(1+s)!+1
+⋯ + 1
(1+s)!+m+1
=C0[(1+s)
m-1]
s(1+s)!+m-1
+ C1m
s(1+s)!-1
-
C1[(1+s)m-1]
s2(1+s)!+m-1
(15)
下面计算资产二的久期MD2,P2对s求偏导数得
"P2
"s=C0(1-!)s
-1(1+s)-!+C0s-2(1+s)1-!-m+C0s-2(1+s)1-!-C0(1-
!-m)s-1(1+s)-!-m+C1(1-!-m)s-2(1+s)-!-m+2C1s-3(1+s)1-!-2C1s-3
(1+s)1-!-m-C1(1-!)S-2(1+s)-!+C1m(1-!)s-1(1+s)-!-C1m-2(1+s)1-!
(16)
把式(15)和式(16)代入式(17)就可以得到资产二的久
期:
MD2=-
"P2
"s
1
P2
(17)
下面计算资产二的凸度C2,P2对s求二阶偏导数得
"2P2
"s2 =2C0
(1-!-m)s-2(1+s)-!-m+C0(1-!-m)(!+m)s-1(1+s)-1-!-m+
2C0s-3(1+s)1-!-2C0(1-!)s-2(1+s)-!-C0(1-!)!s-1(1+s)-1-!-2C0s-3
(1+s)1-!-m+4C1(1-!)s-3(1+s)-!+6s-4(1+s)1-!-m+C1(1-!)!s-2(1+s)-1-!-
4C1(1-!-m)s-3(1+s)-!-m-6C1s-4(1+s)1-!-C1(1-!-m)(!+m)s-2(1+
s)-1-!-m+2mC1s-3(1+s)1-!-2mC1(1-!)s-2(1+s)-!-mC1(1-!)!s-1(1+
S)-1-! (18)
把式(15)和式(18)代入式(19)就可以得到资产二的凸
度:
C2=
"2P2
"s2
1
P2
(19)
上面推导出的固定利率住房贷款的久期与凸度的计算
公式将有助于编程计算以及对利率风险的进一步分析。
3久期的敏感性分析
久期的敏感性在这里是指随着 !、m的变化,久期的变化
特点。下面就固定利率下按期等额本息还款的住房贷款的久
期与固定利率下按期等额本金还款的住房贷款的久期,分别
讨论它们的敏感性。
固定利率下按期等额本息还款的住房贷款的久期的敏
感性
现求久期MD1对m的敏感性,MD1对m求偏导数得
"MD1
"m =
"(-"P1"s
)
"m P1-
-"P1
"s
"P1
"m
(P1)2
=
决 策 参 考
49
统计与决策2008年第5期(总第257期)
(A0)2s-2(1+s)1-2!-m
(P1)2
[m1n(1+s)+(1+s)-m-1] (20)
显然(A0)2>0,(P1)2>0,又 s>0,1≤m≤12n,所以 s-2(1+s)
1-2!-m>0,记
D(s,m)=m1n(1+s)+(1+s)-m-1 (21)
则 D(s,1)=1n(1+s)-s(1+s)-1,又 D(0,1)=0,当 s>0,
dD(s,1)
ds
= s
(1+s)2
>0,于是对任意s>0,D(s,1)>0。当s>0,m≥
1时:
"D(s,m)
"m =1n
(1+s)-(1+s)-m1n(1+s)>0 (22)
于是D(s,m)>0,于是 "MD1"m >0
,所以久期 MD1是 m的递
增函数。也就是说剩余还款次数越多,资产一的久期越大。
现求久期MD1对 ! 的敏感性,MD1对 ! 求偏导数得
"MD1
"m =
"(-"P1"s
)
"! P1-
-"P1
"s
"P1
"!
(P1)2
=(A0)
2s-2(1+s)1-2!
(P1)2
[(1+s)-m-1]2 (23)
显然(A0)2>0,(P1)2>0,又 s>0,1≤m≤12n,所以 s-2(1+
s)1-2!>0,[(1+s)-m-1]2>0。于是 "MD1"! >0
,所以久期MD1是 ! 的
递增函数。也就是说结算日距下一次还款日越远,资产一的
久期越大。
固定利率下按期等额本金还款的住房贷款的久期敏感
性
现求久期 MD2对 m的敏感性,为了分析问题的方便
性,把资产二分解成两项资产即资产二一和资产二二,其现
值分别是P21和P22,则
P2=
C0[(1+s)m-1]
s(1+s)!+m-1
+ C1m
s(1+s)!-1
-C1[(1+)
m-1]
s2(1+s)!+m-1
=P21+P22 (24)
其中 P21=
C0[(1+s)m-1]
s(1+s)!+m-1
,P22=
C1m
s(1+s)!-1
-C1[(1+)
m-1]
s2(1+s)!+m-1
。记
资产二一的久期为MD21,资产二二的久期为MD22。因为
P1=
A0[(1+s)
m
-1]
s(1+s)
!+m-1
P21=
C0[(1+s)
m
-1]
s(1+s)
!+m-1
#
%
%
%
%
%%
$
%
%
%
%
%
%
&
(25)
所以久期 MD21对 m敏感性与久期 MD1对 m敏感性一
致,即久期MD21是m的递增函数。
现求久期MD22对m的敏感性,MD22对m求偏导数得
"MD22
"m =
"("P22"s
)
"m P22-
"P22
"s
"P22
"m
(P22)2
=
(C1)2(1+s)1-2!-m
(P22)2
[-ms-4(1+s)1n(1+s)+s-4(1+s)1+m-s-4(1+s)]-s-4+
s-4(1+s)-m-m2s-31n(1+s)+ms-41n(1+s) (26)
显然(C1)2>0,(P22)2>0,又 s>0,1≤m≤12n,于是(1+s)1-2!-m,
欲比较 "MD22
"m
和零的大小,只需比较式(26)方括号内算式和
零的大小。记
E(s,m)=-ms-4(1+s)1n(1+s)+s-4(1+s)1+m-s-4(1+s)-s-4+s-4(1+s)-
m-m2s-31n(1+s)+ms-41n(1+s) (27)
则E(s,0)=0,对任意s>0,
"E(s,m)
"m =-s
-4(1+s)1n(1+s)+s-4(1+s)1+m1n(1+s)+s-41n(1+s)-s-4
(1+s)-m1n(1+s)-2ms-31n(1+s) (28)
欲比较 E(s,m)和零的大小,只需比较 "E(s,m)"m
和零的大
小,记F(s,m)="E(s,m)"m
,则F(s,0)=0,对任意s>0:
"F(s,m)
"m =s
-4(1+s)1+m1n2(1+s)+s-4(1+s)-m1n2(1+s)-2s-31n(1+s)
(29)
欲比较 F(s,m)和零的大小,只需比较 "F(s,m)"m
和零的大
小,记G(s,m)="F(s,m)"m
,则对任意s>0:
G(s,0)=s-41n(1+s)[21n(1+s)+s1n(1+s)-2s] (30)
显然 s-41n(1+s)>0,记 H(s)=21n(1+s)+s1n(1+s)-2s,则 H(0)
=0,则对任意s>0:
dH(s)
ds
=1n(1+s)- s
1+s
’ (1+s)dH(s)
ds
=(1+s)1n(1+s)-s
(31)
记I(s)=(1+s)dH(s)
ds
,则 I(0)=0,dI(s)
ds
=1n(1+s),对任意 s>
0,dI(s)
ds
>0,于是dH(s)
ds
>0,于是G(s,0)>0,又
"G(s,m)
"m =s
-41n3(1+s)[(1+s)1+m-(1+s)-m] (32)
对任意 s>0,m>0,"G(s,m)"m
显然大于零。于是 F(s,m)>0,
于是E(s,m)>0,于是 "MD22"m >0
,于是久期 MD22是 m的递增函
数。由久期的可加性可知久期 MD2是久期 MD21和久期MD22
地加权平均,且权数都为正数,所以由函数单调性的性质可
得久期MD2是 m的递增函数。也就是说剩余还款次数的越
多,资产二的久期越大。
现求久期MD2对 ! 的敏感性,先分别久期 MD21和久期
MD22对 ! 的敏感性。
因为 P1=
A0[(1+s)m-1]
s(1+s)!+m-1
,P21=
C0[(1+s)m-1]
s(1+s)!+m-1
,所以久期
MD21对 ! 敏感性与久期 MD1对 ! 敏感性一致,即久期 MD1
是 ! 的递增函数。
现求久期MD22对 ! 的敏感性,MD22对 ! 求偏导数得
"MD22
"! =
"(-"P22"s
)
"! P22-
-"P22
"s
"P22
"!
(P22)2
=(C1)
2(1+s)1-2!
(P22)2
[2ms-3(1+s)-m-2s-3-2s-4(1+s)-m+s-4+
决 策 参 考
50
统计与决策2008年第5期(总第257期)
s-4(1+s)-2m+m2s-2] (33)
显然(C1)2>0,(P22)2>0,又 s>0,1≤m≤12n,于是(1+s)1-
2!>0,欲比较 "MD22"!
和零的大小,只需比较式(33)方括号内算
式和零的大小。记
O(s,m)=2ms-3(1+s)-m-2ms-3-2s-4(1+s)-m+s-4+s-4(1+s)-2m+m2s-2
(34)
则O(s,0)=0,对任意s>0:
"O(s,m)
"m =2s
-3(1+s)-m-2ms-3(1+s)-m1n(1+s)-2s-3+2s-4(1+s)-
m1n(1+s)-2s-4(1+s)-2m1n(1+s)+2ms-2 (35)
欲比较 O(s,m)和零的大小,只需比较 "O(s,m)"m
和零的大
小。记P(s,m)="O(s,m)"m
,则P(s,0)=0,对任意s>0:
"P(s,m)
"m =
(1+s)1-2!-m[-4s-31n(1+s)+2ms-31n2(1+s)-2s-41n2(1+
s)+4s-4(1+s)-m1n2(1+s)+2s-2(1+s)m] (36)
因为 s>0,1≤m≤12n,所以(1+s)1-2!-m>0,于是,欲比较
"P(s,m)
"m
和零的大小,只需比较式(40)方括号内的值和零的
大小,记
Q(s,m)=-4s-31n(1+s)+2ms-31n2(1+s)-2s-41n2(1+s)+4s-4(1+s)-
m1n2(1+s)+2s-2(1+s)m (37)
则Q(s,0)=2s-2[s-11n(1+s)-1]2>0,对任意s>0:
"Q(s,m)
"m =2s
-31n2(1+s)-4s-4(1+s)-m1n3(1+s)+2s-2(1+s)m1n(1+s)(38)
欲比较 Q(s,m)和零的大小,只需比较 "Q(s,m)"m
和零的大
小,记R(s,m)="Q(s,m)"m
,则 R(s,0)=2s-41n3(1+s)[ s
1n(1+s)
+
s2
1n2(1+s)
-2],因为s>0,所以(1+s)>0,s>1n(1+s),于是R(s,0)>0。
又
"R(s,m)
"m =4s
-4(1+s)-m1n2(1+s)+2s-2(1+s)m1n(1+s) (39)
因为s>0,故1n(1+s)>0,所以 "R(s,m)"m >0
。于是对任意 s>
0,m>0,R(s,m)>0,有 Q(s,m)>0,P(s,m)>0,O(s,m)>0,"MD22"! >0
,
于是久期 MD22是 ! 的递增函数。由久期的可加性性可得久
期MD2是久期MD21和久期 MD22地加权平均,且权数都为正
数,所以由函数单调性地性质可得久期 MD2是 ! 的递增函
数。也就是说结算日距下一次还款日越远,资产二的久期越
大。
4结论
本文首先介绍了久期和凸度的基本概念以及它们的重
要性质;然后在不考虑提前还款的条件下,推导了在任意结
算日,按期等额本息还款和按期等额本金还款两种还款方式
的固定利率住房贷款的久期和凸度。研究结果将有助于编程
计算以及对利率风险的进一步分析;最后对它们的久期的敏
感性进行分析,发现无论是按期等额本息还款的固定利率住
房贷款还是按期等额本金还款的固定利率住房贷款,其久期
都是距离下一还款日的递增函数,同时也是剩余还款次数的
递增函数。
由于没有考虑前提还款因素,本文推导的计算公式也存
在一定的应用局限性,一个简单的处理方式是根据历史统计
数据,在任意结算日,预测下一个还款日提前还款的比例,然
后对这部分还款寻找新的且与负债匹配的投资项目。更好地
解决这个问题还需要做进一步的研究。
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(责任编辑/李友平)
决 策 参 考
51
