第五章成本函数与供给分析研究生产者生产技术的目的在于寻找解释市场供给的规律，基本结论是，竞争性市场中，商品供给是理性生产者最优选择的结果。生产技术：生产集——生产函数（技术约束）市场供给的规律：一是基于利润最大化的选择，二是基于成本最小化的选择。（市场约束）分析工具：成本函数和利润函数，供给函数及其决定要素及其变动厂商理论可分为生产理论和成本理论两部分。以生产函数为基础的生产理论强调实物量分析，即要素投入和产出之间的关系。在上一章“利润最大化”中，我们通过生产函数求解要素使用量、产量水平以及厂商最大化利润。从本章开始，我们逐步转向应用成本理论来分析厂商决策。成本理论以成本函数为基础，强调价值量分析，通过比较不同产量水平下的成本和收益进行利润最大化决策。生产1
理论在分析厂商利润最大化行为中，通过利润函数求解最优的要素使用量，同时得出相应的产量水平，成本理论根据与要素价格相关的成本函数求解最优产量水平，同时得出相应的厂商利润。生产理论成本理论以生产函数y=f(x,x)为以成本函数c=c(y)为基12基础，强调实物量分析础，强调价值量分析通过利润最大化可得出通过成本最小化可得出要素需求函数条件要素需求函数生产理论和成本理论存在密切联系本质上是一枚硬币的正反面。其中，“成本最小化”是联系生产理论和成本理论的桥梁；给定要素价格下，通过成本方程和条件要素需求函数，我们就可以由生产函数得出成本函数。第一节成本最小化一、成本的一般讨论成本厂商在生产经营活动过程中的生产投入和要素支出。成本最小化2
当价格、产量一定时，成本最小化是在可行技术约束下寻找最低成本的要素组合。二、成本最小化一阶条件xwf(x)假定生产函数为，投入要素为，要素价格为，y产出水平给定。成本最小化形式化表述：(x)≥yx≥0不考虑边界解的特殊情况：L(λ,x)=wx−λ[f(x)−y]一阶条件：∂f(x)w−λ=0i=1,L,ni∂xiw=λDf(x)则w∂f(x)∂xii=i,j=1,L,nw∂f(x)∂xjj在产出水平不变的前提下，其技术替代率等于要素价格之比。3
三、成本最小化二阶条件成本最小化的选择满足二阶条件，等产量线必须不低于等成本线。除了成本最小点之外，在等成本线上的其它任何点进行生产都会导致产量下降。以两种投入要素的生产函数为例。Th=(h,h)假设是投入要素的微小变动，要素投12f(x,x)入的变动必引起产出量的变动，由变动到12f(x+h,x+h)。采用泰勒级数展开，1122∂f∂ff(x+h,x+h)≈f(x,x)+h+h11221212∂x∂x122221∂f∂f∂f22+[h+2hh+h]1122222∂x∂x∂x∂x1122矩阵形式：4
f(x+h,x+h)1122hffh⎛⎞⎛⎞⎛⎞1111121≈f(x,x)+(f,f)⎜⎟+(h,h)⎜⎟⎜⎟121212⎜⎟⎜⎟⎜⎟hffh2⎝⎠⎝⎠⎝⎠2212221T2=f(x)+Df(x)h+hDf(x)h2由于变动后的要素组合仍然处在等成本线上，所以有wh+wh=0。1122∂f(x)再由成本最小化的一阶条件（w−λ=0）可得出i∂xiwh+wh=λfh+λfh=λ(fh+fh)=0112211221122即泰勒展开后的一次项全为0。由此，在等成本线上，投入要素任何偏离最小点的变动都会导致产出下降，亦即ffh⎛⎞⎛⎞11121⎜⎟⎜⎟(h,h)≤012⎜⎟⎜⎟ffh21222⎝⎠⎝⎠h⎛⎞1⎜⎟(f,f)=012(h,h)⎜⎟即对于所有满足。12h⎝2⎠在成本最小点，相切于等成本线的一阶移动意味着产出保持不变，二阶移动意味着产出下降。其二阶条件可表述为：生产函数的海塞矩阵是满足线性约束的半负定矩阵。5
T2hDf(x)h≤0，∀h满足wh=0四、成本最小化分析的应用边界与利润最大化分析的应用存在应用边界问题相对应，成本最小化的分析也存在应用边界问题。主要体现在：（1）主要用于可微分的生产函数表示。当生产技术无法用可微分生产函数表示时，采用成本最小化的微分技术是不妥当的。比如列昂惕夫技术。（2）成本最小化一阶条件仅对可行区域内有效。当成本最小化问题出现在可行边界上时，一阶条件必须修正成为：∂f若x=0则λ−w≤0ii∂xi库恩-塔克条件∂f若x>0则λ−w=0ii∂xi（3）成本最小化一阶条件只是必要条件，表示的是局部最小化点。6
第二节成本函数一、成本函数概念y一般而言，所谓的成本函数是指由产出和投入要素价C=C(w,y)w格所决定的成本水平，即。n成本方程：C=wx=wx，当i=2时，就变成∑iii=1C=wx+wx。1122经济分析中，通常将成本定义为从投入要素集V(y)中选择成本最低的要素组合时的支出。成本函数的经济学定义为：f(x)yx在给定产出的情况下，为非负投入要素，生w产函数，投入要素价格，则成本最小化问题为minwxx≥(x)≥y其最优解即为成本函数，C=C(w,y)。∗条件要素需求函数：x(w,y)αβ例：生产函数为，求条件要素需y=f(x,x)=xx1212求函数和成本函数。min(wx+wx)1122αβ=y127
构造拉格朗日函数aβL=wx+wx+λ(y−xx)112212一阶条件为：α−1β∂L∂x=w−λaxx=（01）1112αβ−1∂L∂x=w−λβxx=（02）22121()wxαwβwα1121⇒=⋅⇒x=⋅x或x=⋅x12212wχxβwαw()2212αβxx=y分别代入得：12αα1α+β⎛⎞⎛⎞αwβwβα+β21⋅x⋅x=y⇒x=y⋅⎜⎟⎜⎟222βwαw⎝1⎠⎝2⎠ββ1α+β⎛⎞⎛⎞βwαwαβα+β12x⋅x=y⇒x=y⋅⎜⎟⎜⎟111αwβw⎝2⎠⎝1⎠条件要素需求函数和成本函数分别为：1βαw*2α+βα+βx=x(w,w,y)=y()1112βw11αβw*1α+βα+βx=x(w,w,y)=y()2212αw28
min(wx+wx)带入目标函数得成本函数:1122αβ1β−αααα+βα+βα+βα+βα+βC(w,w,y)=y[()+()]ww1212ββ简化为1α+βC(w,w,y)=yQΦ(w,w)1212αββ−αααα+βα+βα+βα+β其中，Φ(w,w)=ww。Q=()+()1212ββ二、短期成本函数短期中，厂商投入生产过程中的部分要素是不变的。将x不变的生产投入要素称为不变投入或固定投入，记成，fx将可变的生产投入要素称为可变投入，记成。由此全部投vT入要素为x=(x,x)，相应的要素价格为w=(w,w)。fvfv短期成本函数：C=C(w,y,x)=wx(w,y,x)+wxfvvfff①短期总成本STC=SVC+FC=wx(w,y,x)+wxvvfff②短期平均成本C(w,y,x)STCfSAC==yy③短期平均可变成本9
wx(w,y,x)vvfSAVC=y④短期平均固定成本wxffSAFC=y⑤短期边际成本∂C(w,y,x)∂STCfSMC==∂y∂yα(1−α)例：设有一个短期的C—D技术：。y=xk1求解该成本函数的最小化问题，可以得到：1(α−1)αx=[yk]1则各项成本函数为1(α−1)αSTC=C(w,w,y,k)=w[yk]+wk12121−αykαSAC=w()+w12ky1−αyαSAVC=w()1k10
kSAFC=w2y1−αwy1αSMC=⋅()αk三、长期成本函数长期中，所有成本都是可变的，所以没有可变和固定之分。长期成本有三个：长期总成本、长期平均成本和长期边际成本。长期总成本函数为：LTC=C(w,y)=wx(w,y)+wx(w,y)=C[w,y,x(w,y)]vvfff长期平均成本C(w,y)LTCLAC==yy长期边际成本∂C(w,y)∂LTCLMC==∂y∂yαβ例：生产函数为，其中α,β>0。y=xx12成本函数:11
1β−ααβααα+βα+βα+βα+βα+βC(w,w,y)=y[()+()]ww1212βββ−ααβ1αβwwααα+βα+βα+βα+βα+β12[()+()]ww=(α+β)()≡a12αβββαβ1α+βLTC=C=ay1−α−βα+βLAC=ay1−α−βa1α+βLMC=y=LACα+βα+βα+β<1时，C是凸的，规模报酬递减；α+β=1，C是线性的，规模报酬不变；α+β>1时，C是凹的，规模报酬递增（对偶性）。四、成本曲线12
(1)平均成本曲线与边际成本曲线的关系边际成本分别与短期平均成本和短期平均可变成本交于后两者的最低点。∗当y表示最小平均成本点时的产量时，∗当y<y满足C(y)d()<0dyy′yC(y)−C(y)C(y)′C(y)<<0，即，也就是边际成本2yy小于平均成本。13
C(y)∗′当y>y时，C(y)>，即边际成本大于平均成本。yC(y)∗′当y=y时，C(y)=，即边际成本等于平均成本。y在产出为0时，平均可变成本恰好等于边际成本。C(y)0vSAVC=的表达式变为型的不定式。0y′C(y)C(0)vvlim=y→0y1（2）长期成本曲线与短期成本曲线的关系长期成本线与短期成本线的最低投入点相切，是其包罗线。14
五、成本函数的性质如上讨论生产要素最优组合时，都假定生产要素价格不变。但实际上生产要素价格不仅是变动的，而且还会对生产要素产生影响。也就是说，对一定的产出而言，投入要素价格的变动，必然引起投入要素间的替代，引起生产投入结构调整以及成本函数的变动。y如果生产集是闭集，满足自由处置（即额外数量投入或产出能被无成本自由处置），X(w,y)为条件要素需求函数，当投入要素价格变动时成本函数具有如下性质：（1）C(w,y)关于w是非递减的其经济含义是：当要素价格较高而产量不变时，产量对应的最小成本也较高。（2）C(w,y)是关于w一次齐次的C(tw,y)=tC(w,y)，t>0其经济含义是：若要素价格上涨为原来的t倍，则最小成本也扩大为原来的t倍。（3）C(w,y)对于w具有凹性′′[]Ctw+(1−t)w≥tC(w,y)+(1−t)C(w,y)，0≤t≤1，15
成本函数的凹性说明：如果其他要素价格不变，只有某一种要素价格上升，厂商会用其他要素替代该要素。所以成本提高的比率小于该种要素价格上升的比率。（4）C(w,y)对于w是连续的。六、条件要素需求函数与谢泼德引理（Shephard’slemma）条件要素需求函数也称条件要素需求对应，即在给定产x(w,y)量的前提下，成本最小化的要素投入记为，它是成本最小化问题的解。条件要素需求函数与成本函数的关系可由谢泼德引理界定。谢泼德引理：x(w,y)i设是厂商对第中投入要素的条件需求，如果iw>0(w,y)i=1,L,n成本函数在点可微，而且，，则存i在∂C(w,y)x(w,y)=i=1,L,ni∂wi产出不变时，成本函数对要素价格的偏导数恰恰是该要素的条件要素需求。谢泼德引理说明，在由条件要素需求确定的成本函数具有凹性时，成本函数在滞后成本函数之下。由既定的成本函数派生出条件需求函数，那么由成本函16
数的性质可以导出条件要素需求函数的性质。（1）关于要素价格的零次齐次性。对于任意的非零常数t，有：()()xtω,y=xω,y就是说，当产量y不变时，要素价格扩大t倍，维持成本最小的投入量不会改变。由于这里的x代表投入要素簇，因而x的价格扩大t倍可视作所有的投入要素价格均扩大t倍。（2）对称性。xxj对于任意的两种要素i和，均有：()∂xω,y()∂xω,yji=∂ω∂ωji但须注意，此式并不保证两种要素的需求交叉弹性一定相等。这是因为，在一般情况下是：ω∂x∂xωjjii⋅≠⋅∂ωx∂ωxjiij（3）要素自身价格效应为负。其数学表达式为：17
()∂xω,y⎧i≤0⎪∂ω⎪i⎨()∂xω,yj⎪≤0∂ω⎪j⎩这说明投入要素的需求量随其自身价格的上涨（下降）而减少（增加）。∗∗xw设为价格时的成本最小化投入要素向量，要素1∗ww的价格由变动到，厂商此时的调整要素滞后成本函数11为n∗∗∗C=wx+wx∑11iii=2C(w,y)最小化成本一定处于滞后成本函数曲线下方。谢伯特引理也说明了这一点。∗∂C(w,y)∗∗x=w=w1两条曲线在重合，相切，。11∂w118
w由谢伯特引理可知，在成本最小点处，价格的变动1会直接影响要素1的耗费量，间接改变要素组合。七、价格变动对投入要素的影响利用条件要素需求函数可分析要素价格变动对厂商生产投入要素和要素组合比例变化的影响。条件要素需求函数x(w,y)满足一阶条件：f(x(w,y))=yw−λDf(x(w,y))=0（(x)≥y）x≥0考虑只有两种投入要素的情况其一阶条件为：f(x(w,w,y),x(w,w,y))=y112212∂f(x(w,w,y),x(w,w,y))112212w−λ=01∂x1∂f(x(w,w,y),x(w,w,y))112212w−λ=02∂x2对w求导，可得：1∂x∂x∂f∂f12⋅+⋅=0∂x∂w∂x∂w112119
22∂x∂x∂f∂f∂f∂λ121−λ(⋅+⋅)−⋅=02∂w∂x∂x∂w∂x∂w∂x112111122∂x∂x∂f∂f∂f∂λ120−λ(⋅+⋅)−⋅=02∂x∂x∂w∂w∂x∂w∂x2111212⎡⎤∂λ⎢⎥∂w10−f−f0⎡⎤⎡⎤⎢⎥12∂x1⎢⎥⎢⎥⎢⎥−f−λf−λf⋅=−111121⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂w1⎢−f−λf−λf⎥⎢0⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21222∂x2⎢⎥∂w⎢⎥⎣⎦1利用克莱姆法则，有00−f2−f−1−λf121−f0−λf∂x2221=0−f−f∂w121−f−λf−λf11121−f−λf−λf21222H令表示分母行列式的值，由二阶条件可知，成本最小化2f>0H<0需要。而分子行列式为，则有22∂xf12=<0∂wH1因此，条件要素需求曲线向右下方倾斜。20
0−f01−f−λf−1111−f−λf0∂x2122=0−f−f∂w121−f−λf−λf11121−f−λf−λf21222∂xff221=−>0∂wH1∂xff112=−>0∂wH2∂x∂x12=∂w∂w21要素需求价格交叉影响对称，自身价格影响为负的结论。21
第三节要素需求、产出供给与利润函数一、相关概念理性生产者利润最大化选择行为是由两方面确定的：①购置生产投入要素决策②向市场供给产品数量的决策通过要素需求函数、供给函数、利润函数三个函数加以描述。Tf(X)X=(x,x,L,x)生产技术，其中的表示生产12nW=(w,w,L,w)投入要素向量，表示生产投入要素价格向12n量。则企业利润最大化问题为π(p,w)=maxpy−(x)≥y(x,y)>0∗X求出利润最大化问题的解，即为最优要素投入向量，∗f(X)y再根据求出最优产出水平。投入要素需求函数：*x≡x(p,w)供给函数：*y≡y(p,w)利润函数：π(p,w)，对产出y和投入要素x的选择是最优的，即对22
(p,W)py−wx(y,X)于给定的可以得到，使得最大。*注意：投入要素需求函数x≡x(p,w)和条件投入需求函数x=x(p,w,y)的区别。其中前者是由利润最大化确定的，后者是由产出水平确定的要素投入水平。利润函数只有当生产技术表现为规模报酬递减时才存在。证明：①假设生产技术是规模报酬递增的。′′f(X)=y′X如果投入要素组合为，产出则为，利′′π(p,W)=pf(X)−WX润最大化为t>1由于存在规模报酬递增，所以当时，存在′′f(tX)>tf(X)则′′′′′′pf(tX)−WtX>tpf(X)−WtX=t[pf(X)−WX]=tπ(p,W)′′π(p,W)=pf(X)−WX显然，与为最大利润的假设矛盾。所以，当生产技术规模报酬递增时，不存在利润函数。②假设规模报酬不变。如果在某种投入水平下存在大于0的利润，那么厂商就可以通过扩大生产规模使利润无穷大，故而不存在利润最大23
化函数，即′′f(tX)=tf(X)由于则′′′′′′pf(tX)−WtX=tpf(X)−WtX=t[pf(X)−WX]=tπ(p,W)如果在某投入水平下只能获得0利润，此时利润最大化虽然存在，但数值总是0，所以投入规模对厂商而言没有意义，亦即在任意投入水平下，厂商都能够获得最大利润，对于研究而言意义不大。二、价格对要素需求与产出供给函数的影响分析要素需求与产出供给函数是以价格为自变量的特定形式的利润最大化问题的解。由此，把市场价格和利润最大化联系起来，实现了从价格既定到价格变动的分析思路的转变。意义在于把市场价格约束，也就是消费者愿意以什么价格购买商品、其他厂商的生产对市场供给产生什么样的影响以及价格变动后厂商如何调整生产要素需求和商品供给等问题纳入到厂商理论的分析框架。比较静态分析指从一个均衡状态到另一个均衡状态后两个均衡状态之间的比较，不考虑中间的变动过程，也称为灵敏度分析（瓦24
里安，1978）。分析价格变动对厂商决策的影响，一般采用比较静态分析方法。一种投入，一种产出的利润最大化模型：maxpf(x)−wxx(p,w)f(x)如果可微，要素需求函数满足一阶条件和二阶条件，即′pf(x(p,w))−w=0′′pf(x(p,w))≤0w一阶条件对求导有dx(p,w)′′pf(x(p,w))−1=0dw′′f≠0如果存在一个最大值使，则可得出要素需求函数随价格变动的关系式dx(p,w)1=′′dwpf(x(p,w))因此，要素需求函数具有如下性质：①如果生产函数的二阶导数值很大，则随价格变动的要素需求变化会很小。′′f(x(p,w))<0②要素需求曲线向下倾斜，由于，dx(p,w)<0则，如图5-7dw25
产出价格p=1，当n=2时，要素需求应满足一阶条件为：∂f(x(w,w),x(w,w))112212=w1∂x1∂f(x(w,w),x(w,w))112212=w2∂x2ww分别对和求导12∂x∂x12f+f=11112∂w∂w11∂x∂x12f+f=02122∂w∂w11∂x∂x12f+f=01112∂w∂w22∂x∂x12f+f=12122∂w∂w22写成矩阵形式26
∂x∂x⎛⎞11⎜⎟ff10⎛⎞⎛⎞∂w∂w1112⎜⎟12⎜⎟⋅=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂x∂x⎜⎟ff0122⎝⎠⎝⎠2122⎜⎟∂w∂w⎝⎠12由于存在利润最大化点，要求海塞矩阵是严格负定且满′′f(x)秩的（即一维时的二阶导数小于0），则可得出∂x∂x⎛⎞11⎜⎟−1ff⎛⎞∂w∂w1121⎜⎟12=⎜⎟⎜⎟∂x∂x⎜⎟ff22⎝⎠1222⎜⎟∂w∂w⎝⎠12结论：∂xi（1）<0，i=1,2，∂wi要素需求曲线向右下方倾斜，要素需求是自身价格的减函数。∂x∂xji（2）=，i,j=1,2，∂w∂wji一种要素需求对另一种要素价格变动的反应等于那种要素的需求对该种要素价格变动的反应。可以将上述讨论推广到使用n种要素投入，产出仍然为一种产品的情况。例：27
αβC−D设技术的生产函数为，其中y=Axx12α,β>0，α+β<1（规模报酬递减），A>0利润函数：αβπ=py−wx−wx=pAxx−wx−wx1122121122一阶条件∂πα−1β=pαAxx−w=0，121∂x1∂παβ−1=pβAxx−w=0，122∂x21−ββ1αβγγx=()()(Ap)=Φ(w,w,p)γ1112ww12α1−α1αβγγx=()()(Ap)=Φ(w,w,p)γ2212ww12γ=1−α−β其中的。当要素价格w或w提高时，x或x将下降。12121−ββ1αβγγx+∆x=()()(Ap)γ11w+∆ww112β1−β1−β1βααγγγ()∆x=()Ap[()−()]γ1ww+∆ww2111由于∆w>0，而128
1−β1−βααααγγ<，()−()<0w+∆www+∆ww111111所以∆x<01当产品价格p提高，即∆p>0时，x和x将上升：121−ββ1αβγγx+∆x=()()(A(p+∆p))γ11ww121−ββ111αβγγγ∆x=()()A[(p+∆p)−(p)]>0γγ1ww12同理有α1−α111αβγγγ∆x=()()A[(p+∆p)−(p)]>0γγ2ww12要素自身价格上升，要素需求减少；产品价格上升，要素需求增加。三、利润函数的性质价格向量p中既包含投入要素价格，也包含产出价格，则π(p)=∈yy<0y>0其中的表示要素投入，表示产出。（1）利润函数是产品价格的非减函数，是投入要素价29
格的非增函数。′p≤p′p≥p即对于产品价格，投入要素价格都会jjii′π(p)≥π(p)存在。pyπ(p)=py给定价格向量，而为最大净产出，，′′py而给定价格，而为最大净产出，由最大化定义，显然′′′py>py有。′p≤py≥0′y≤0p≥p由于对于，，而对于，，iiiiii′py>py所以有，从而有′′′′π(p)=py≥py≥py=π(p)（2）利润函数是价格p的一次齐次式。p′yy∈y给定价格向量，为最大净产出，对于，有′′′py≥pytpy≥tpyy∈y，那么对于任意的，成立，tpy即意味着是价格为时的利润最大化净产出，所以π(tp)=tpy=tπ(p)（3）利润函数是价格p的凸函数。′′′p=tp+(1−t)pt∈[0,1]设，而，则′′′π(p)≤tπ(p)+(1−t)π(p)′′p′pp设当价格向量为、、时最大利润净产出分别为′′′yyy、、，于是有30
′′′′′′′′′′′′′′π(p)=py=[tp+(1−t)p]y=tpy+(1−t)py由利润最大化定义可知′′tpy≤tpy=tπ(p)′′′′′′(1−t)py≤(1−t)py=(1−t)π(p)相加之后有′′′π(p)≤tπ(p)+(1−t)π(p)（4）利润函数是p的连续函数。四、包络定理与霍泰林引理（1）包络定理（TheEnvelopetheorem）a任意最大化问题，目标函数依赖某个参数（外生变M(a)=maxf(x,a)M(a)a量），，其中的是参数的x函数，同时又是目标函数的最大值。xxx(a)设是目标最大化时的值，也就是说，如果是使目标函数达到最大化的变量，则最优值就是该函数变量在最优值时的取值。a考虑参数的变动对最优值的影响问题，即dM(a)∂f(x(a),a)dx(a)∂f(x(a),a)=+da∂xda∂a∂f由于x(a)是使f最大化的x值，就是说=0，即dx31
∂f(x(a),a)=0。∂xdM(a)∂f(x(a),a)=da∂a包络定理用文字表述为：值函数关于参数的全导数，等于在最优点求导的偏导数。dM(a)∂f(x(a),a)=da∂ax=x(a)意义：当参数a变化时，有两种效果，一是，a→f；二是，a→x→f。（2）霍泰林引理（Hotelling’slemma）（导数特性）π(p,W)y(p,W)考虑利润函数、供给函数、要素需求x(p,W)函数dp=0如果固定产品价格，即则df(X)p−W=0dX即要素的边际收益等于要素价格。π(p,w)=pf[x(p,w)]−wx(p,w)∂π(p,w)∂f[x(p,w)]∂x∂x=p−[w+x(p,w)]∂w∂x∂w∂w∂f[x(p,w)]∂x=[p−w]−x(p,w)∂x∂wdf(X)p−W=0代入，有dX32
∂π(p,w)=−x(p,w)∂w（负号存在的原因是要素价格的增加必然会导致利润的减少）同样的，如果固定要素价格W，有∂π(p,w)=y(p,w)∂p霍泰林引理的经济解释：pπ当产品价格有一个微小变化时，会对利润产生两个效应：①直接效应，产品价格p上升，在继续生产同样水平的产出的情况下会导致利润π上升；②非直接效应，产品价格p上升，诱使厂商改变产出水平，不过由于当前产出已经处于最大利润水平上，所以厂商对产量的微小变动所导致的利润变动为零。五、莱·查特列尔—萨缪尔森（L·Chatelier—Samuelson）原理在经济实践中，比较厂商长期和短期对价格的反映可知，厂商长期反应比短期反应要大（长期中厂商可以对更多的要素进行调整）。理论来源于法国化学家莱·查特列尔（1844）“如果一个系统处于稳定状态，条件之一发生变动，那么平衡将会以33
趋于消除这一条件变化的方式改变”。萨缪尔森（1947）从数学上系统分析并得出了比较静态分析的一般性结论并将其引入经济学，即L&S原理。假设多种投入只有一种产出。投入要素价格不变，短期利润函数为π(p,z)，其中的sz为短期内固定的投入要素。z(p)z假定的长期最大化需求由表示，则长期利润函数π=π(p,z(p))。ls***设p是给定的产出品价格，z=z(p)是z要素在产出*价格为p时最优长期需求。由于长期可以调整要素集，所以长期利润总是大于短期利润的，即**h(p)=π(p)−π(p,z)=π(p,z(p))−π(p,z)≥0lsss*h(p)在价格为p时，长期利润等于短期利润，即在∗p=p时达到最小，一阶偏导为0。由霍泰林引理可知，在*产出价格为p时，各商品短期净供给和长期净供给相等。*h(p)由于在p时，最小，所以二阶导数非负，即2*2**∂π(p)∂π(p,z)ls−≥022∂p∂p使用霍泰林引理有34
***2*2**dy(p)∂y(p,z)∂π(p)∂π(p,z)lsls−=−≥022dp∂p∂p∂p*即在z=z(p)时，长期供给对价格的反应至少大于等于短期供给对价格的反应，即长期供给曲线更平缓。六、供给函数求解（1）由利润函数求解供给函数。(1−α)αwxk例如，y=xk，是固定投入，为价格，111pwk为价格，为产出价格，则2利润函数为：(1−α)απ=pf(x,k)−wx−wk=pxk−wx−wk11121112利润最大化一阶条件(1−α)(α−1)p(αxk)=w11(α−1)α−1−1−1x=wpαk11利润最大化的最优解11−1−111α−1α−1α−1α−1α−11−α1−αα−1x=wpαk=pwαk111最大化利润α1αα−11−α1−απ(p,w,w,k)=pwα(1−α)k−wk1221最大化产出（供给）（借助霍泰林引理）35
ααα∂π(p,w,w,k)12α−11−α1−αy==pwαk1∂p（2）由生产函数求解供给函数。αβ对于，有：y=Axx121−ββ1αβγγ()x=()()Ap；γ1ww12α1−α1αβγγx=()()(Ap)γ2ww12αβγ=1−α−β其中，代入到，可得y=Axx121−ββα1−α11αβαβαβγγγγy=A[()()(Ap)][()()(Ap)]γγwwww1212（3）由成本函数求解供给函数。αβ生产函数为，成本最小化问题y=f(x,x)=Axx1212为：min(wx+wx)1122αβ=y12条件要素需求函数为1−1βαw*2α+βα+βα+βx=x(w,w,y)=yA()1112βw136
1−1αβw*1α+βα+βα+βx=x(w,w,y)=yA()2212αw2成本函数为1−1β−ααβααα+βα+βα+βα+βα+βα+βC(w,w,y)=yA[()+()]ww1212ββ1α+βC(w,w,y)=yQΦ(w,w)1212−1β−ααβααα+βα+βα+βα+βα+βQ=A[()+()]Φ(w,w)=ww其中，。1212ββ边际成本函数为1−α−β1α+βMC=yQΦ(w,w)12α+β根据利润最大化一阶条件MC=p，有1−α−β1α+βyQΦ(w,w)=p12α+β1设，则a=QΦ(w,w)12α+β1−α−βα+βay=p从而供给函数为α+βp1−α−βy=()a37
第四节厂商最优化理论的代数分析框架之前的分析都是借助微分工具进行的，分析中需要提供生产函数、成本函数、要素需求函数、供给函数的具体形式。然而实际上，我们只能通过观察得到厂商的价格向量、产出向量、投入要素向量的观察值。是否可以不用关心基于主观认识而构建的各种函数形式，而只是从直接观察到的经济变量得到成本最小投入组合和最大化利润产出的结果呢？本节使用代数方法，给出了解决上述问题的一个基本分析框架。代数方法说明，对于一系列有关价格、产出和投入的观察值，只要满足某些必要条件，就可以得到厂商行为的最优化结果。一、利润最大化弱公理（WAPM）tp对厂商生产经营活动观察后，得到价格向量和净产出38
ty向量，则利润最大化模型意味着，如果厂商处于利润最大tp化状态，在观察到的价格水平上，厂商净产出的观察值所对应的利润必然大于等于厂商在其他产量水平上的利润。虽然我们难于观察到厂商所有行为的净产出观察值，但sy总可以得到一部分可行的净产出观察值，比如，由此得出利润最大化弱公理（WAPM）：ttts对于所有的t有：p⋅y≥p⋅y1211p⋅y≥p⋅y如图5-8（a），违反弱公理，而图5-81112p⋅y≥p⋅y（b）满足弱公理，利用利润最大化弱公理推导一些有用的结论。st设有两组观察值，用和表示，对每组观察值使用利润最大化弱公理，有tttspy≥py39
ssstpy≥py即ttsp(y−y)≥0sts−p(y−y)≥0二者相加有tsts(p−p)(y−y)≥0tsts令∆p=(p−p)，∆y=(y−y)，则上式为：∆p⋅∆y≥0经济意义：产出价格变动与产量变动之积非负。二、寻回性（Recoverability）利润最大化弱公理涵盖了所有利润最大化行为的条件，但是这种方法是否合理呢？识别的方法是构造一项与可观察的利润最大化技术选择相一致的技术。如果能构造出来，利润最大弱公理就是合理的。其研究的方法就是寻回性操作。Y事实上，总是可以找到一个闭的而且凸的生产集，其内包含一项技术使可观察的选择是利润最大化的。构造两个生产集，真实技术内界、真实技术外界首先分析内界40
YY设真实生产集是凸的单调的，包含ttyyt=1,2,L,T（），所以内边界自然包含，而且是最小的凸集、单调集，记为tYI={y:t=1,L,T}的凸单调壳。如图5-9（a）。YI对于技术而言，我们所要做的就是检查对于所有的ttpyt，是否是当价格为时的利润最大化选择，即ttty∈YIpy≥py，反证法：yy∈YI如果上式不成立，对于观察值存在，当时，ttttttspy<pypy<py，也就是说，在观察集中存在，tttpy≥pyy∈YI这显然违反弱公理，所以当，必有成立。41
YI给出了实际技术的内部边界，实际上还可以找到一YO个实际技术的外部边界，也就是找到一个集合，使它包含与观察值一致的任何技术。YO建立集合的方法是采用排除任何不可能技术，集合YO中保留全部可能的技术。所以定义非集合，即tttNOTY={y:py>py,对某些t}NOTY显然，集合包含了所有比可观察技术的净产出产出更多的利润技术，也就是，厂商如果是一个利润最大化者，上述的技术必然是不可行的，不然的话厂商就会采用这样的YNOTY技术生产。定义可行集的外部边界为的补集，即tttYO={y:py≤py,t=1,LT}YO如图5-9（b），集合是理性生产者的实际可观察行tyYO为的选择，构成了包含与观察值的一致生产集。因此，YO和YI形成了由观察值产生的实际生产集外部和内部的边界。三、成本最小化弱公理（WACM）成本最小化弱公理（WACM）：stttts对于所有的t和s，满足y≥y时都有：wx≤wx42
tsts同样有：(w−w)(x−x)≤0∆w⋅∆x≤0要素需求向量与要素价格向量的变动方向相反。tt内部边界：VI(y)={x:y≥y}的凸单调外壳。即内部边界是至少能生产数量为y的产品所有可观察投入构成的集合。外部边界：ttttVO(y)={x:wx≥wx,对所有t满足 y≤y}。即，外部边界是由除生产产量低于y但成本投入却超过生产y的生产技术之外的技术投入要素所组成的集合。43
VI(y)⊆V(y)⊆VO(y)。VI(y)包含在V(y)之中是很明显的。用反证法证明。44
