正态分布的重要结论
1.若
则
2.若
且X1,X2独立
则
一般地:
若
则:
一般地:
若
则:
例:
设X与Y独立并且都服从N(0,1),求Z=X+Y
的密度函数.
解:
利用卷积公式:
即:
证明:
当y<0时,
0
定理:如果 ,则
3.若
则
当y≥0时,
称为
分布.
分布的可加性:
若 Xi ~N(0,1) 分布,且Xi 相互
独立,则
称为具有n个自由度的 分布.
随机变量的数字特征
定义1 设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,…
如果
有限,定义X的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果
有限,定义X的数学期望为
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C;
4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);
注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
不一定能推出X,Y独立
方差与标准差的定义
方差的算术平方根 称为标准差
设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2<∞，则称.
D(X)=E[X-E(X)]2
为X的方差.
方差的计算式: D(X)=E(X2)-[E(X)]2
三、方差的性质
1. 设C是常数,则D(C)=0;
2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X);
3. 若X1与X2 独立，则
D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);
可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则
X1 与X2不一定独立时，
D(X1 +X2 )=？
请思考
研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:
与
大数定律
中心极限定理
§大数定理的概念:
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的
废品率
……
§切贝谢夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 ，
则对于任给 >0,
或:
证明:
如果X是离散型随机变量,那么:
如果X是连续型随机变量,可证明结论成立.
如果X是连续型随机变量.
说明:
1.切贝谢夫不等式成立的条件是:
存在.
2.切贝谢夫不等式给出了随机变量的离差的绝
对值 与其方差DX的关系.
方差DX越小,
随机变量X与其期望EX的
离差也越小.
EX
( )
X
EX的代表性强.
3.切贝谢夫不等式:
由此:
当EX和DX已知时,可估计对称区间的概率
但精确度不高.
例:
设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定
ε=1,2实际计算
并验证
切贝谢夫不等式成立.
解:
因为X的概率函数是:
下面验证切贝谢夫不等式:
当ε=1时:
而:
结论成立.
例
设电站供电网有10000盏点灯,夜晚每一盏灯
开灯的概率都是,而假定开,关时间彼此独立,估
计夜晚同时开着的等数在6800与7200之间的概率?
解:
令X表示在夜晚同时开着的灯数,
它服从
参数n=10000,p=的二项分布.
EX=
np=7000
DX=
npq=2100
P(6800<X<7200)=
=
§ 切贝谢夫定理
一. 依概率收敛于a的定义.
若存在常数a,使得对于任何 有:
1.
是随机变量序列.
2.
是指随机变量序列收敛于a.
…..(*)
3. (*)说明当n增大时, 几乎是必然事件.
定理1（切贝谢夫大数定律）
设 X1,X2, …是相互独立的随
机变量序列，它们都有有限的期
望EXi和方差DXi，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …，
切比雪夫
则对任意的ε>0，
证明:
令:
则:
由切贝谢夫不等式得:
注意定理的几个条件:
1.独立性:
相互独立.
2.均值,方差的存在性.
存在.
3.所有方差都有共同的上界.
由此看出:切贝谢夫定理的条件比不等式的强.
随机的了，取值接近于其数学期望几乎是必然事件.
即当n充分大时，
差不多不再是
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
P
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.
推论:
设X1,X2, …是独立随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…,
则对任给 >0,
说明:随机变量的算术平均值依概率收敛于其
均值.
说明:
1. X1,X2, …是独立.
2.均值,方差的存在性.
存在.
3.所有方差都有共同的上界.
下面给出的贝努里大数定律.
贝努里
设X是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，
引入
i=1,2,…,n
则
是事件A发生的频率
Xi
0
1
pk
p
1-p
于是有下面的定理：
设X是n重贝努里试验中事件A发生的
次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，
定理3（贝努里大数定律）
贝努里
说明:
当试验次数增大时,
事件发生的频率稳定于概率.
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率X/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.
贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.
或:任给ε>0，
贝努里大数定律
请看演示
蒲丰投针问题中解法的
理论依据就是大数定律
当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值.
针长L
线距a
解:
因为针长L与平行线的交点数m成正比.
a
为求k,令L=
做n次试验,
其交点个数为2n,
于是:
只需要令:
试验2212次,其中交点有704次,则:
下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.
设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
定理2（辛钦大数定律）
辛钦大数定律
辛钦
请看演示
例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.
A.一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件
组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为,为
使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作
求整个系统起作用的概率
B. 一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组
成,每个部件的可靠性为,且必须至少有80%的部
件工作才能使整个的系统正常工作,问n至少为多大
才能使系统的可靠性不低于?
1.预习§中心极限定理.
2. P115 1. 3. 4 . 5.
作业:
