金融保险财务金融上的一个数学
问题
財務金融上的壹個數學問題
傅承德教授
中央研究院統計研究所
2001/06/09在中央大學數學系的演講內容
張紘誠、邱淑惠整理
財務與數學
我所要講的題目是財務金融上的壹個數學問題。我們知道當壹個學問
逐漸成熟的時候，數學問題就會產生，如今就我所了解財務金融上的
壹些成熟問題，能够用數學來解決。
接下來，我從網路上见到壹篇文章，內容是介紹今年美國最新的職業
評比年鑑，把美國的各行各業做了排名。這是美國的職業排名，而台
灣即將加入 WTO，所以職業的優劣將很有可能會跟美國壹樣。在 250
個行業中，今年最佳行業的第壹名為財務規劃師，去年第壹名的網路
經理人則落居第二，電腦系統分析師則落居第三，保險 X公司精算師
與電腦程式設計師並列第四。連續兩年排名前十名的行業都與數學或
電腦有關，可見數學不只是壹門有趣的學問，而且還很實用，換句話
說就是還能够賺錢，壹般來說財務規劃師是薪水比較高的職業。壹個
財務規劃師的年薪是 10萬美金，比較有名的則有 30萬美元。
那麼財務規劃師到底在做什麼事情呢？跟數學又有什麼關係？我舉
壹些最簡單的例子來說明。
我們先來介紹近代財務數學。它本身是財務上的壹個問題，後來
變成數學上的壹個問題，所以近代財務數學成為壹個重要的方法。壹
個投資的法則，在最理想的狀況下如何運作。我引用馬可夫的博士論
文來說明，其細節就不多談，他後來得到諾貝爾經濟獎，可是他本身
卻是做數學出身的。
選擇權理論
我們今天最主要的重點就是要講選擇權理論，選擇權理論這個被提出
來的模型是財務上的壹大突破。
什麼是選擇權呢？它基本上是壹種付訂金的契約行為，假設我們
去買壹棟房子或是買車子，在買之前通常要付訂金，付了訂金之後他
就壹定要賣給你。在這裡也是壹樣，在股票市場上也是這種情形。假
設現在股票很低了，聯電只有 80塊，你期望壹年以後它會漲，可能
漲到 120塊，就能够跟券商簽壹個合約，壹年以後你能够用 100塊的
價位跟他買股票。如果壹年後股票真的超過了 100塊，你就能够用 100
元向券商買股票，他壹定得賣給你；如果壹年後股票沒有超過 100元，
那麼你也能够不用向券商買股票。
這個合約见起來是對買的人有利，假設壹年後真的漲到 120塊，
那我能够用 100塊向券商買，我就賺到了 20塊；假設壹年後跌了剩 90
塊，不到 100塊，那我也能够不要買。在這利益之下，這就跟買車子
是壹樣的，簽合約之後他就壹定得把車子賣給你，可是買車子之前壹
定要先付訂金，在這裡股票也是壹樣，要不然永遠都只有對買方有利
而已，這就是最基本的選擇權理論。
數學模型
這裡又出現壹個新的問題，壹開始要付多少的訂金才是合理的呢？這
是壹個很簡單財務上的壹個數學問題。早期的數學問題，不管是物理
還是機械問題，都需要壹個模型，在財務上也需要有個模型。當壹個
模型給定之後，我們用壹個數學概念及財務上的概念來算
optionprice，而且模型當然要符合股票市場，跟著股票市場走。
考慮壹個最簡單的模型，以壹個月為單位，假設現在的股票是 10
元，它是二項分佈，跟擲骰子壹樣，不是正面就是反面。假設這 10
元的股票壹個月後不是 12元就是 8元，那要如何來算呢？我們就說
壹個想法，假設我們的資金投資只有兩種方法，壹種是只能放定存，
壹種是買股票。如果 10元放定存，假設月利率為百分之十，則壹個
月後 10元就變成了 11元，這個利潤是固定不會變的。如果拿錢買股
票，它的價錢會變來變去，壹個月後可能變 12元，也可能變 8、7元，
這是不固定的、有隨機性的。
我們都不太會處理隨機性，壹般人都會希望沒有隨機性，因為有
隨機性我們沒有辦法預測它的價格。可是在股票市場上是隨機的價格，
而這隨機的價格有沒有辦法把它變成固定的價格呢？假設有辦法變
成固定的價格，那麼上面的兩種投資的方法就能够互相比較了。
如何把隨機價格變成固定價格？我們能够從跑馬的方式來见。假
設有壹匹白馬和壹匹黑馬在比賽，我兩匹馬各賭壹塊錢，不論那壹匹
馬跑贏，壹邊賺壹塊壹邊輸壹塊，我都是不輸不贏，這種完全避險的
方法就能够拿來用在股票市場上。
不確定性
我們重新來见前面的問題，在數學上有沒有新的了解？大家壹定會疑
問，之前假設股票是二項分佈，這件事是沒有人會相信的。沒有人會
相信股票 10元壹個月後只會變成 12元或 8元，連三歲小孩都不會相
信。所以我們要见见怎樣解決這問題，解決這問題之前我們要先见剛
才的想法在數學上有什麼意思？
在這之前我們先說到機率，機率通常先問我們的目的是什麼？我
們的目的壹開始就面對壹個不確定的事情，就好比說氣候的不確定性。
大家都面臨過很多的不確定性：開車從台北到中壢，每次花的時間都
不壹樣，我們希望去描述這壹個不確定性。
在高中學機率時，會告訴你壹個描述不確定性的方法，就是期望
值。知道壹個機率結構之後，就接著求它的期望值，期望值能够做為
壹個參考，把壹個不確定性的東西有確定的描述。可是我們之前說的，
都沒有用到期望值。站在歷史的發展來见，從 17世紀以來，描述不
確定性的方式幾乎都是用期望值，可是馬可夫卻不是用這種想法，他
從另壹個角度见，所以他有資格拿諾貝爾獎，就是因為他的想法跟別
人不壹樣。
理想的股票模型
基本上我們每個人所關心的不是股票，假使你有在股票市場投資的話，
你關心的不是股價。我舉個例子，假設有壹張 a股票 100元，壹個月
後漲 10元，另壹張 b股票 50元，壹個月後也漲 10元，這樣你會去
買那壹張股票？很明顯的，沒有人會想去買 a股票，所以基本上我們
不是见股價，而是见報酬率。換言之，買壹張股票會賺多少錢，才是
大家有興趣的事。所以我們不是直接對股票市場、股價做模型，而是
對它的報酬率做模型。
什麼是報酬率呢？報酬率的英文是 return，就是今天的股價減去
昨天的股價除以昨天的股價，這個量大家就很清楚，根據這個量我們
就能够對它做模型，把 return算出來。
算出壹堆的 return之後有什麼意義？能够用模型來描述嗎？我
們大學有學過中央極限定理：把每個量減去 mean除以標準差，它就
會趨近於常態分配，我們就能够用常態分佈來描述它了。不過股價是
連續性的，隨時間壹直在改變，跟時間有關。時間壹但連續又常態分
佈的話，常態分佈就跑到布朗運動。布朗運動大家都知道，對數學的
供獻很大。
我們先講壹下布朗運動，就是 standardBrownianmotion，它的定
義就不說了，因為它最困難的就是定義。數學上有很多東西，尤其是
純數，把定義弄得很難。離散的東西入門很容易，壹開始想很簡單可
是後面很難算；連續的東西是壹開始很難，後面很好算。所以學微機
分的時後，壹開始學ε、δ很難懂，但它非常 powerful，微分就變得
很簡單。同樣的想法用在布朗運動，所以就有所謂的隨機微績分。因
此布朗運動能够說是壹個理想的股票模型，雖不中亦不遠矣。
最後，這個模型壹定不對，因為比如說在台灣，在很多時刻壹定
會受到外來的事件影響，譬如說中共試射飛彈、發生地震都會使股票
發生劇烈變動。因此我們還要在這模型後面加 jump，叫做
jumpingtime，就是說可能會有外在的影響，影響發生以後會造成變
動，這就是最後應該修正的模型。
