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金融市场的布朗运动和分数布朗运动
马金龙 1,2 马非特 2
（1．中国科学院广州地球化学研究所，广东广州，510640,
2. 长沙非线性特别动力工作室，湖南长沙，410013）
摘要：布朗运动的理论构筑了金融经济学（数理金融学）的完整体系，而分数布朗运动为在
复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机。
关键词：金融市场；布朗运动；分形；分数布朗运动
1 布朗运动及其在金融市场的应用
布朗运动
布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，
但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所
构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于
当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，
粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。
原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是 Robert Brown于 1827年提出，系指液
体中悬浮微粒的无规则运动, 直至 1877年才由 J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子
的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对
这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动
的数学模型。1908 年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随
机微分方程。1923 年，诺伯特・维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与
积分，从而形成了 Wiener 空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定
义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程
(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔
科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将
布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的 Levy分布。20世纪 40年代，日本数学家伊藤清(Ito
Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项 B(t)的随机微分方程。1990 年,
彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解
的一般形式，它可看成是 Black-Scholes 公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应
用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
布朗运动在金融市场的应用
将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一
项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，
股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨
跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予
布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。遗憾的
是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创
了理论金融经济学新时代。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论； Arrow和 Denreu(1954)
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提出一般经济均衡存在定理；Roberts和 Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入
股市研究；以及稍后的 Sharpe(1964)和 Linther(1965)、Mossin(1966)等的资本资产定价模型
(CAPM)；Samuelson 和 Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black 和 Scholes(1973)
和 Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes 模型）；Ross (1976)的套利定价理论
(APT)。至此，源于布朗运动的理论金融经济学（数理金融学）的大厦（体系）就完全成形。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具
有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的
预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈
现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一
的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类
型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它
的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行
为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力
的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来
的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价
的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一
种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用
分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗
运动[1]。
2 分数布朗运动与分形资本市场
分数布朗运动
世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的和平衡的，而是混沌
的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。也就是说，宇宙充满了分形。在股票市场的
价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现
象中存在着一类随机过程，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性；
在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/fγ的多项式衰减规律。因此被称为1/f
族随机过程。在为此类过程建模时，由于通常采用的ARMA方法只适合于相关结构按指数规
律衰减的过程，其效果不好[2]，因此人们不断地寻找各种模型来模拟此类随机过程。其中由
Benoit Mandelbrot和Van Ness [3]提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型
是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现
象的内在特性。在不同的文献中，分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏
的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。
其定义如下：
设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程 }),({ RttBH ∈ ，
0)0( =HB 且 0)]([ =tBE H ，协方差为 }){2/1(),( 222 HHHH stststC −−+= 。H=1/2时，
)(tBH 即为标准布朗运动 )(tB 。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,
不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。分数布朗运动既不是马尔
科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。分数布朗运动与布朗运动之间的主要
区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动
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的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的[4]，分数布朗运动（分形噪声）的分
维值等于 HDH −= 2 ，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上
噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)[5]。设R/S表示重标
极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大
量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:
HaNSR )(/ = （1）
通过对(1)式取对数，可得：
)log(log)/log( aNHSR += （2）
只要找出R/S关于N的log/log图的斜率,就可以来估计H的值。Hurst指数H用来度量序列相
关性和趋势强度：当H=时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠时,C(t)≠0，
且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。当<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随
机游走过程；当0<H<时，序列是反持续性的。可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券
市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆
性是持续性的还是反持续性的。所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的
一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有
重要的理论与现实意义。
分形资本市场
自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。每一个存在
于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。现实世界中的分形与全局由
统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做
出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。这样，因证实一
个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游
动。曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，
有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。分数布朗运动是对具有分形特征的自然
现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特
征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。所以将两者联系起来会使我们进入一
个全新的领域。
Edgar E·Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。分形市场
假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们
观察的投资者行为和市场价格运动的模型。Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股
市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic Cycles)，证明资本市场是
非线性系统。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为和
，周期为195天；张维、黄兴(2001)采用更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收
益率，还将收益率序列随机打乱进一步论证了市场存在非线性结构；范龙振和唐国兴(1998)
[8]，曹宏铎等(2001) [9]研究了投资机会决策中分数布朗运动理论问题；刘韶跃和杨向群
(2002)[6] (2004) [7]对分数布朗运动环境欧式未定权益的定价和中标的资产有红利支付的欧式
期权定价进行了探讨；周孝华(2002) [10]通过分析布朗运动与分形布朗运动的仿真过程，提出
分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利股票价格所遵循的含有分形维纳过程的微分
方程。徐绪松等 (2004) [11]指出稳定的Levy分布作为R/S分析的理论基础有重大缺陷，分析了
分数布朗运动与R/S分析在含义和逻辑上的紧密联系，提出了分数布朗运动是R/S分析的理论
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基础的观点。
分形理论藉助定量参数分维数来描述系统的分形特征，揭示隐藏在复杂现象背后的规
律，以及局部与整体之间的本质联系。静态分维数在计算中没有引入时间因素，如 Hausdrff
维数、合维数、信息维数等，均为系统中某一常数。动态分维数（都兴富，1994）[12]则是
在考虑随时间而变化的基础上计算普通函数和迭代函数的分维数。运用动态分维数可以对股
票期货价格行为的临界点（转捩点）进行辨识且效果较好。如侯晓鸿和李一智等(1999) [13]
首次应用分形理论的动态分维数研究期货价格行为，对期货价格曲线上峰和谷点进行了辨
识，进而判别期价的走势和预测反转。我们应用动态分维数建立了不动点（转捩点）的非线
性动态规划模型（见本专题文章“基于鞅与不动点的非线性动态规划投机原理”）。
结语
广义的布朗运动是研究和发展数理金融学的基石。布朗运动的理论构筑了金融经济学
（数理金融学）的完整体系，而分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波
动的规律创造了契机，使金融经济学研究向一个崭新的领域——分形维数理金融学拓展。
Brownian Motion and Fractional Brownian Motion in Finance Market
MA Jin-long 1，2 MA Fei-te 2
(1. Guangzhou Institute of Geochemistry Chinese Academy of Science, Guangzhou 510640,
China,2. Changsha Workroom of Nonlinear Special Dynamics, Changsha 410013, China)
Abstract: This paper discusses that the integrity system of financial economics (mathematical
finance) is constructed by Brownian motion theory, and that the turning point is created by
fractional Brownian motion for opening out the rule of financial market price-wave on the theory
of complex systems.
Key words: finance market; Brownian motion; fraction; fractional Brownian motion
参考文献
[1] Peters, E. Fractal structure in the capital markets. Financial analyst J, 1989(7):434～453
[2] G W Wornell, A V Oppenheim. Estimation of fractal signals from noisy measurements using
wavelets[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1992,40(3):611-623.
[3] B B Mandelbrot, H W Van Ness. Fractional Brownian motions, fractional noises and
applications [J]. 1968, SIAM Rev, 10(4):422-436.
[4] 敖力布. 白噪声、分形噪声与布朗运动，大学物理，1996，15(5).
[5] H E Hurst. The long term storage capacity of reservoirs [J]. Tansactions of the American
Society of Civil Engineer, 1951,116:770 808.
[6] 刘韶跃，杨向群. 分数布朗运动环境中标的资产有红利支付的欧式期权定价，经济数学
2002，19(4)
[7] 刘韶跃，杨向群. 分数布朗运动环境中欧式未定权益的定价，应用概率统计，2004，20(4)
[8] 曹宏铎，韩文秀，李昊. 投资机会决策中分数布朗运动理论，系统工程学报，2001，16(1)
[9] 范龙振 ,唐国兴 .投资机会的价值与投资决策—几何布朗运动模型[J].系统工程学
报,1998,13(2):8-12
[10] 周孝华，一种股票价格行为模式的一般化 ——从布朗运动到分形布朗运动，桂林电子
工业学院学报，2000，20(4).
5
[11] 徐绪松，马莉莉，陈彦斌. R/S 分析的理论基础：分数布朗运动，武汉大学学报(理
学版)Ｊ，2004，50(5)
[12] 都兴富. 突变理论在经济领域的应用（下册）——股票分析、多准则评价决策，成都：
电子科技大学出版社，1994
[13] 侯晓鸿，李一智等. 应用分形理论研究期货价格行为，中南工业大学学报（社科版），
1999(2)
