随机过程的概念我们已经知道，在一个样本空间 :，通过构建 ς 域的方法，我们可以构建概率测度空间，并在此空间上定义随机（实数）变量。这其实是建立了从样本空间到实数的一个一元函数（映射）。在实际金融分析中，我们遇到的变量不仅具有随机性，还具有随时间而变化的性质，因此需要用到随机过程的概念。假设 :是随机试验的样本空间，T是一个参数集一般指时间。如果对于每个t T ，都有随机变量X ,Ζt R 与之对应，则称依赖于t的一族随机变量 X⊥ ,Ζt 为一个随机过程，有时也简写为X t 或者X。t 随机变量X ,Ζt 是映射到实数轴的二元函数，自变量包括时间和状态。 如果固定在某个具体时点上，它退化为一个普通随机变量。 如果给定每个时点上的状态，它退化为时间的确定性函数，又称为样本路径。每分钟扔一个硬币，定义样本空间为 : H ⊥,T 将时间定义为，并在t1,t2,... :上定义概率测度，则X t1 ,X t2 ,.. ..就是一个随机过程。如果将时点固定，其中的每一项都是一个随机变量；如果将每个时点的状态确定，例如假设每次都出现H，那么X H ,t1 ,X H ,t2 ,.. ..就是该随机过程的一条样本路径。记S为某只股票上市以来第t个交易日的收盘价，由于股价受各种随机因素的影响，因t此 St⊥ 也是一个随机过程。记c为上述股票的看涨期权在t时刻的价格，其到期时点为T，执行价格为K。对于t
t T 的时点，ct S机变量，其取值取决于S的随机过程。K和T被t ,t,T,K 也 是一个随t称为c的随机过程的参数。t根据时间参数和状态是否连续可以对随机过程进行分类：（） :和T都是离散的。这是实际中最常出现的随机过程。（） :连续，T离散。（） :离散，T连续。（） :和T都连续。以它为基础的金融学研究称为连续时间金融。在这种情况下我们可以用许多方便的数学工具来处理随机过程，所以理论上大多采用此类模型。dS dtΠdzS Η ςlntlnt 1 t
随机过程的统计特征因为固定在某个时点上，随机过程退化为一个普通的随机变量，所以我们有以下定义：定义一个随机过程 X⊥在任意时点的分布函数t F x, t X tx δ为随机过程的一阶分布函数。称一阶分布函数的偏导数 Fω xω, t fx ,tx为随机过程的一阶密度函数。 tΠE X>t ≅ :Xtd R X≥tdF X t ≥ 2ς V ar X : X 2t d Π R X tt 2tttd F Π X t ≥以上概念都是时间t的函数。以上统计特征只揭示了随机过程在某个固定时点上的信息。很多时候我们需要知道在不同时点上随机过程的分布是否具有某种联系。所以进一步引入以下概念。F xt1 ,xt2,...,t1,t2,... X t1x 1,Xδt2x2,. .. δ Fωn xt ,xt,...,t,t,...fx t,xt,...,t,t,...12121212xω1t.. .ω2如果能确定联合分布，我们就完全掌握了随机过程的各种信息。但很多时候我们是难以观察和把握联合分布的，所以我们退而研究随机过程的矩的性质。
二阶混合原点矩re s, t E X>sXt ≅称为自相关函数。二阶混合中心矩Cov s t E X s s Π X tt ♠← Π re s, t st Π Π≡…称为协方差函数。自相关函数和协方差函数是两个时间参数和的二元函数。当s t 时协方差就退化为方差了。E X>t|Xs ,t≅ s!lnSt lnSt 1 tΗ 期望值恒定p p tt0 ƒi,（t）0 i ΗEpp1方差无界Var p t 2tςcov（p,p） E p p p p ♠ t s 2ς 自相关ttst0ts0← ≡… sΥ t t s t 自相关系数很高，且强记忆性。正弦波过程：Xt acos bt Τ 和为常数， Τ服从在上的均匀分布。试求X的一阶密度函数、一阶期望、自相关t函数和自协方差函数。
平稳性是指随着时间的变化，随机过程的某些特征会保持不变的性质。它是随机过程中的重要概念。最常见的平稳性定义有强平稳过程和弱平稳过程。如果一个随机过程的分布不随着时间的推移而变化，我们称该随机过程是一个强平稳过程。即F xt1 ,xt2,...xtn,t1,t2,...,tn F xt1 t ,x∋t2t, ... x tn∋t,t1 t,∋t 2 ∋t,...,t n t ∋ ∋如果一个随机过程的一阶矩和二阶矩都存在（不为无穷大），而且不随时间的推移而变化，称该随机过程是一个弱平稳过程。即： s Π t Π , s,t ΠT res,tre s t,t ∋t re t s∋ , s,t T 由于Cov s, t r e s, t sΠ t rΠe t s 2 Π 所以弱平稳过程的自协方差也不随时间变化而变化。二阶矩只与时间的间隔有关，而与时点的绝对位置无关。由于弱平稳过程中对一阶矩和二阶矩的大小有要求，而严平稳过程没有，所以这两种平稳过程没有相互包含的关系。但是满足一阶矩二阶矩有限这一性质的严平稳过程都是弱平稳过程。
几种常见的随机过程白噪音（）如果一个随机过程 tΗ满足 sΠ 0 ,s ,t T Cv s t 0,↑s tζo, →↓2ς,s t 我们称 tΗ为一个白噪音过程。 显然白噪音过程属于弱平稳过程。 如果 sΠ恒等于一个非零常数，则我们很容易通过去均值将其转化为一个白噪音。有些教材也将这样的随机过程称为白噪音。 白噪音的核心特征在于无条件自相关系数为零，即无自相关。如果 tΗ是一个白噪音，那么满足 tΚ a 0 0 t Τ 1t Η1 . ..Τ q tΗ q Τ Η 的随机过程称为过程。请自行验证过程的弱平稳性和自相关性质。如果 tΗ是一个白噪音，那么满足 tΚ 0 Ι 1t 1 Ι2 t 2Κ ... Ιp t pΚ t Ι Κ Η的随机过程称为过程。鞅过程（）设 ⊥,:是概率空间，T是固定的, 正数，是的子 ς 代数的域流。t,0 tδT δ
考虑一个适应的随机过程Xt,0 sδt Tδ，且 Eδ Xt ♠← 。φ≡…如果E X>t|s ≅X s则我们称X是一个鞅。鞅没有上升或下降的趋势。t如果E X>t|s ≅Xτs则我们称X是一个下鞅。鞅没有下降的趋势，但可能有上升的趋势。t如果E X>t|s ≅Xδs则我们称X是一个上鞅。鞅没有上升的趋势，但可能有下降的趋势。t 鞅过程的核心特征在于条件一阶矩（条件期望）为当前值。 鞅过程意味着公平游戏：对未来的最佳预测等于当前值。也就是说，当前信息集无法提供任何有助于预测未来的信息，未来的变动是完全不可预测的。 鞅过程意味着无条件收益率有界，条件预期收益率为。 在图上，鞅过程应呈现出非常不规则的轨迹，不应有任何的可监测到的趋势。 鞅过程与正态分布无必然联系。满足条件期望等于的过程同样是鞅。 从连续性上看，鞅又可以分为两种：连续鞅；右连续鞅（跳跃）。 无条件二阶矩（方差）有界的连续鞅被称为连续平方可积鞅（） 鞅过程是适应随机过程。鞅的概念总是与特定的信息集和特定的概率测度相联系。信息集和测度改变，随机过程可能在鞅和非鞅之间变换。 将半鞅转化为鞅过程的方法有二： 分解：在一些一般条件下，任意的随机过程都可以分解为一个鞅和一个上升下降过程的的组合。去除第二部分，即可得到一个鞅。 转变概率测度，使其在新的概率测度下转化为一个鞅。只要对概率为和概率为的事件测度相同，这个测度被称为原测度的等价鞅测度（），转换过程需要用到哥萨诺夫定理（） 现实生活中的股票价格和贴现债券价格是一个下鞅。 条件期望是一个鞅。Es Et X>T ♠←≅E s X>T ,s≅t T ≡… lnSt l nSt1 t,E t1 tΗ 0 Η
Η hvtttwhere2h ∆ ∆ Η t01 1 2令 is a white noise (IID) and 1 . is independent of ς.Ηtvtt 1 t ΗXt Xt 1 当X是一个鞅过程时，t tΗ被称为鞅差分序列。由条件期望的基本性质可得E > ≅EE Η>|t 1 ♠←≅0 Ηt≡E ♠←Η Η E≡… E♠← 1/21/2|♠←Η Η E≡… ≡… E ♠…←| Η ♠←0 Η ≡ttjttjtjtjttj… ≡… 所以鞅差分序列都是白噪 音。> ≅♠EΗ E v ∆ ∆ Η≡ ♠EvE∆ ∆ ≡Η 但白噪音不一定是鞅差分序列。例如 > ≅ 0t t↔01t1t01t1 ← ≈… ↔← … ≈ tΗat1 t[ 2 t,[ t⊥ I.[. 0[, 2 ςSince E v> ≅0 , E >Η ≅Η0 , for i 0ζitt i 1/22E > Η ≅E v> E≅ ∆ ∆ ♠Η0 ≡t 1 tt1 tt1 01t1 ↔←≈…2Var Η ∆ ∆ Ηt1t01t1 tΗ在v生成的信息流下是一个鞅差分序列。t 效率市场假说：公平游戏意味着剔除合理的（系统）可预期收益（时间价值＋风险溢酬）之后，超额收益应该是鞅差分序列，以当前信息而言是不可预测的，条件期望为零，没有自相关。投资者无法稳定地获得超额收益。检验方法如： ，价格时间序列上的检测 信息效率Rt 1 E t Rt>1 ≅β 'Ω t vt 如果β' 0ζ或v存在序列相关，说明不是公平游戏，不是有效市场。t
马尔可夫过程（）设 ⊥,:是概率空间，T是固定的正数，, t,0 tδT 是δ的子 ς 代数的域流。考虑一个适应的随机过程Xt,0 sδt Tδ。 δ如果 X⊥t xδt|s X ⊥txt| xs δ则我们称X是（基于这个域流和测度的）一个马尔可夫过程。t 马尔可夫性质又称作无记忆性或者叫无后效性，是在预测未来分布的时候，只取决于当前的信息；或者同时使用当前信息和历史信息时，与仅仅使用当前信息的预测结果是一样的。也就是说在当前信息已知的情况下，历史信息对预测未来分布没有额外的作用。 马尔可夫性质也可以写为，如果X为马尔可夫过程，则对于任一非负的波雷尔可t测函数，存在另一个波雷尔可测函数g，使得 fEf X t | s ♠←g X s ≡… 如果X为马尔可夫过程，tg函数的存在性意味着，如果t时刻到期的衍生证券的随机性只是依赖于X，则在s时刻（0 sδt ）δ，一定存在一个衍生证券的定价函数，t其仅仅是X的函数，我们不需要储存任何有关路径的信息。s大部分的衍生证券定价模型都基于马尔可夫性质。模型是个例外。 效率市场假说马尔可夫性质与弱式效率市场假说是一致的，即表明技术分析无效。但超额收益的鞅差分性质与效率市场假说存在更一般的一致性。 鞅性质是式中 时的特殊情形。fxx,gx x
并非每个鞅过程都是马尔可夫过程。因为马尔可夫过程要求对于每个函数f ，都必须存在相应的函数g ，使得式成立。 并非每个马尔可夫过程都是鞅过程。因为马尔可夫性质只要求存在某个函数g ，使得式成立，并不要求g x x 。独立增量过程（） 独立增量意味着在时间上，两两独立。独立增量过程是马尔可夫过程。 独立同分布（，） 如果独立增量过程的增量只是时间间隔的函数，与时间的绝对位置无关，即Xt X 跟sXt t ∋X st 的 分∋布对于任意 t∋是一样的，则称此过程为（增量）独立同分布过程。 容易验证独立同分布过程既是鞅过程又是马尔可夫过程，所以具有很好的分析性。在随机金融分析中我们往往使用一些独立同分布过程来刻画金融中的随机变量。但现实中的资产价格收益率是不服从独立同分布的。不服从独立同分布并不意味着市场无效。 本节中学习到的几种随机过程的关系可以用下图来说明。 白噪音鞅差分独立同分布马尔可夫过程 差分
