第一节 大数定律
大数定律
依概率收敛定义及性质
小结
大量随机试验中
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的
废品率
……
一、大数定律
定理1（切比雪夫定理的特殊情况）
切比雪夫
则对任意的ε>0，有
做前 n 个随机变量的算术平均
证
由切比雪夫不等式
上式中令
得
说明
二、依概率收敛定义及性质
定义
性质
请注意 :
问题 :
伯努利
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，
是事件A发生的频率.
设 nA 是n次独立重复试验中事件A发
生的次数，p是事件A在每次试验中发生
的概率，则对于任意正数ε> 0 ，有
定理2（贝努里大数定律）
或
伯努利
证明
证毕
注
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.
或
下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.
设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任意正数ε ，有
定理3（辛钦大数定律）
辛钦大数定律
辛钦
请看演示
1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.
注
2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.
3、辛钦定理具有广泛的适用性.
要估计某地区的平均亩产量 ，
要收割某些有代表性块，例如n 块
地. 计算其平均亩产量，则当n 较
大时，可用它作为整个地区平均亩
产量的一个估计.
例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.
设
，k=1,2, …
问对序列{Xk}能否应用大数定律？
即对任意的ε>0,
解:
k=1,2, …
E(Xk)=,
诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.
三、小结
大
数
定
律
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
