第5章 不确定性条件下的均值
—方差分析
（投资组合选择理论）
处理不确定性的三种数学方法
预期效用函数分析
基于偏好假定，非常完美
但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能
均值—方差分析：投资组合理论
尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以）
避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验
套利分析：APT
基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定
简化计算，使用方便，可以检验
方法论的里程碑
马科维茨(H. Markowitz, 1927～
) 《证券组合选择理论》
有着棕黄色头发，高大身材，
总是以温和眼神凝视他人，说
话细声细语并露出浅笑。
瑞典皇家科学院决定将1990年
诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马
科维茨（Harry Markowitz）教
授,为了表彰他在金融经济学理
论中的先驱工作—资产组合选
择理论。
发展了一个在不确定条件下严格陈述的可
操作的选择资产组合理论：均值方差方法
Mean-Variance methodology.
这个理论演变成进一步研究金融经济学的
基础；这一理论通常被认为是现代金融学
的发端。
马科维茨的工作所开始的数量化分析和
MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝
酿了一系列金融学理论的重大突破。
主要贡献
西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、
职业化阶段和科学化阶段。
1952年，Harry Markowitz发表的“投资组合选
择”作为投资学或金融经济学产生的标志。
1963年，Willian Sharpe提出了单指数模型。
1964年，Sharpe，Lintner, Mossin分别独立地
提出了资本资产定价模型（CAPM）。
1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的
期权定价模型即Black-Scholes公式。
1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。
证券投资理论的发展
投资组合理论的基本思想
投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外
投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风
险。
——“nothing ventured, nothing gained”
——"for a given level of return to minimize the risk,
and for a given level of risk level to maximize the
return“
——“Don’t put all eggs into one basket”
实现方法
收益——证券组合的期望报酬
风险——证券组合的方差
风险和收益的权衡——求解二次规划
马科维茨投资组合理论的假设
1.单期投资：是指投资者在期初投资，在期末获
得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，
如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多
问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期
模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。
2.正态分布：投资者事先知道投资收益率的概率
分布，并且收益率满足正态分布的条件。
3.二次效应函数：投资者的效用函数是二次的，即
u(W)=a+bW+CW2。
（注意：假设2和3成立可保证期望效用仅仅是财富期望和
方差的函数）
4.期望收益率和方差。衡量投资者以期望收益率（亦称收
益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益
率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险）
，因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。
5.占优法则：投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占
优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证
券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
一、一些基本定义
回报率r定义为：r=（X1-X0）/X0
显然 R=1+r
假设你在时间0以价格X0购买一种资
产，一年后你卖出这种资产，得到
收益X1。你面对的不确定性，或者
说风险，体现为收益X1的不确定性。
你的投资的总回报R定义为
R=X1/X0
由于期末的收益是不确定的，所以总回报R、回报率r均为随机变量。
价格与回报率之间是一一决定的关系。
字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，
字母上加一横线表示期望值；
例如，R（或者 ）表示随机总回报，而 表示
期望总回报。
当我们投资在不只一种资产上时，需要考虑证
券组合的回报率，假设有n种可得的不同资产，我
们把初始财富X0分成n份，投资到这n种资产上，设
Xi0为投资在第i种资产上的财富， ；
如果以比例表示，则为 ，
为投资在第i种资产上的财富的份额， ，
以Ri、ri分别表示第i种资产的总回报、回报率，那
么到期末，由i产生的收益为Ri Xi0或 。
该证券组合的总收益为 ，因此，
该证券组合的总回报为
它的回报率为
假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富W0为
17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。
投资者估计它们的期望回报率分别为%、%和
%。
这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为
元[因为（-40）/40=%]、元[因
为（-35）/35=%]和元[因为（-
62）/62=%]。
证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相
同的结果。
（1）证券和证券组合的值
证券
名称
在证券组合
中的股数
每股的初始
市场价格
总投资
在证券组合的初始市场
价值中的份额
A 100 40元 4000元 4000/17200=
B 200 35元 7000元 7000/17200=
C 100 62元 6200元 6200/17200=
证券组合的初始市场价值W0=17200元 总的份额=
（2）利用期末价格计算证券组合
的期望回报率
证券名称
在证券组合
中的股数
每股的期末预
期价值
总的期末预期价值
A 100 元 元*100=4648元
B 200 元 元*200=8722元
C 100 元 元*100=7614元
证券组合的期末预期价值 =20984元
证券组合的期望回报率 =（20984元-17200元）/17200元=%
（3）利用证券的期望回报率计算
证券组合的期望回报率
证券名称
在证券组合初始
价值中的份额
证券的期望回
报率
在证券组合的期望回报率
中所起的作用
A % *%=%
B % *%=%
C % *%=%
证券组合的期望回报率= =%
无摩擦市场
基本假设：在一个非常理想的证券市
场中，没有交易成本、税收、也可以
以无风险利率无限制借、贷，证券的
份数是无限可分的。我们把这种市场
称为无摩擦市场。
二、期望效用分析与均值－方差
分析的关系
一般来说，资产回报的均值和方差并不能
完全包含个体做选择时所需要的全部信息
但在一定条件下，个体的期望效用函数能
够仅仅表示为资产回报的均值和方差的函
数，从而投资者投资者可以只把均值和方
差作为选择的目标
条件为：预期效用函数为二次效用函数或
者资产回报服从正态分布
假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各种金融
资产来最大化他的期末财富 带来的期望效用。设个体
的Von-Neumann-Morgenstern效用函数为u，在期末财
富的期望值这一点，对效用函数进行Taylor展开：
假设上述Taylor展开式收敛且期望运算和求和运算可以交
换顺序，则个体的期望效用函数可以表示成：
上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方
差，还依赖于财富的高阶矩。
但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶
矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用
函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。
定理 如果u是一个整解析函数，则
（a）对任意分布的期末财富 ，存在函数
使得 当且仅当
这里， 为常数
（b）对任意偏好函数u，如果期末财富 服从正态分布，
则存在函数 ，使得
下面的定理证明了：当预期效用函数为二次函数或者
资产回报服从正态分布时，均值—方差与预期效用函数等
价，可以完全刻画投资者的偏好特征。
•定理1 如果 则
期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数
定理2 如果期望财富服从正态分布，则期
望效用函数仅仅是财富的期望和方差的
函数。
二次效用函数的假设和正态分布的
假设不符合实际的消费者投资情况
因为二次函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性
质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用
减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。
这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投
资者不符。此外，正态分布的中心轴对称与一般股票
的有限责任不一致。
注：均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它
在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有
数理分析的简易性和丰富的实证检验。
重要的性质
定理 当资产的回报率r服从以 为均
值、以 为标准差的正态分布时，风险厌
恶者的回报与风险之间的替代率是正的，
无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方
向的无差异曲线，其效用越高。
证明过程：见P75-77（先证明的是边际替
代率为正，然后是无差异曲线是凸的）
投资者的偏好及其无差异曲线
投资组合收益和风险的度量
设一项投资组合含有n项风险资产，令：
: 风险资产i的随机收益率；
：风险资产i的期望收益率 ， ；
：风险资产i和j的收益间的相关系数；
：风险资产i和j的收益间的协方差；
则有
即
： 的方差；
从“历史”样本估计收益和风险
：投资组合收益的期望值 ；
：投资组合收益的方差。
：投资组合中风险资产i所占的百分比；
：投资组合的随机收益率；
相关系数
与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系
数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两
个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准
差的积。
证券A与B的相关系数为
测量两种股票收益共同变动的趋势: Corr
(RA, RB) 或 A,B
+
完全正相关: +
完全负相关:
完全负相关会使风险消失
完全正相关不会减少风险
在 和 + 之间的相关性可减少风
险
但不是全部
若n=2时，
若再假定其中一项如第２项是无风险资产，则有
从上式解得
如果现在市场的无风险利率是6％，资产1的预期
收益率是14％，标准差是20％。现在我们希望组合的
预期收益率是11％，则组合的构成和风险将是多少？
例 子
假设我们要构造一个能源投资的Ace组合,我
们选择了雪佛龙德士古(Chevron Texaco)石油公
司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司.由于燃料电池
提供了替代汽油的清洁能源,所以,这两家公司的
股票价格运动方向相反.我们设 ,对两
家公司各投资50%.雪佛龙德士古公司股票的标
准差和预期回报分别是： ，巴罗德
公司股票的标准差和预期回报分别是：
求解Ace组合的标准差和预期回报：
即
将 分解如下：
第一部分是只与单个方差项相关的风险，称为非系统
性风险；第二部分是由各项资产收益间的相关性所带来的
风险，称为系统性风险（或市场风险）。
风险的分散化
由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方
差，而且还取决于各种证券间的协方差。
随着组合种证券数目的增加，在决定组和方差时，协
方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，
在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个
协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，
则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。
风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“免费
的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲
掉部分风险而不降低平均的预期收益率，这是马科维
茨的主要贡献。
讨论1：当 时，有 ，
若令 ， 则有 ，
其中 表示投资组合中收益率方差的平均值，故
表明：当资本市场上证券种类足够多时，等比例投资n
种证券的组合风险趋于零。
讨论2：一般情况即当 时若仍等比例投资n种
证券，即 ，则有
表明：当资本市场上证券种类足够多时，投资组合的非
系统风险随组合中证券数目的增加而下降，但协方差对组合
风险的贡献趋于协方差的平均值 。
故
证券组合消除的是非系统性风
险，系统性风险不能消除
非系统风险是企业特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、
罢工、新产品开发失败，等等。可称为可分散风险、特
有风险、特定资产风险。
非系统性风险主要通过分散化减少，因此由许多种资产
构成的组合将几乎不存在非系统性风险.
系统风险是指整个市场承受到的风险，如经济的景气情
况、市场总体利率 水平的变化等因为整个市场环境发生
变化而产生的风险。可称为不可分散风险、市场风险。
系统性风险影响所有的资产，不能通过分散化来去除。
100
50
0
15 30
非系统风险
规模
100
50
0
15 30
总风险
规模
100
50
0
15 30
系统风险
规模
组
合
的
风
险
–
标
准
差
组合中的股票数量
市场风险
特定公司风险
总风险
可分散风险
非系统性风险
不可分散风险
结 论
1. 只要资产不是完全正相关，投资组合的分散化便可以
在不减少平均收益的前提下降低组合的风险；
2. 在分散化良好的投资组合里，非系统风险由于逐渐趋
于零而可以被排除掉；
3. 由于系统风险不随分散化而消失，必须对其进行处置
和管理。
三、证券投资组合的可行集、
有效集与最优投资组合
一、可行集
二、有效集
三、有效前沿均值与方差的关系
四、最优投资组合的选择
1、可行集
N个证券可以形成无穷多个组合，由N种
证券所形成的所有预期收益率和方差的
组合的集合就是可行集。
它包括了现实生活中所有可能的组合，
也就是说，所有可能的证券投资组合将
位于可行集的内部或边界上。
两种资产组合的结合线
证券A，B在今后一段时间内（例如，一年）
的收益率分别为rA，rB ，其投资比例分别为xA
，xB，且xA+xB=1，由它们形成一个证券组合P
，则P的收益率为：rP = xA ·rA +xB · rB
证券A：收益率高，风险高
证券B：收益率低，风险低
即：E( rA)> E(rB) , σA >σB
无论投资组合
权重如何变化，
组合收益的方
差都随着组合
内资产相关系
数的减少而直
线下降
选择不同的组合
权重，相关系数
对组合收益率方
差的影响将随着
组合权重偏向低
风险资产而减少，
反之增加。
图5-6、5-7表明，虽然我们无法决定资产A或B的收益及其
风险，但可以通过选择具有特定相关关系的的资产来构造
组合并通过调整分配给各资产的投资比重来调整组合的收
益和风险。这意味着：人们无需开发新的金融资产就可以
创造新的投资品种。
两个证券组合的可行集
举例
证券 预期收益 标准差
A 5% 20%
B 15% 40%
组合 A B C D E F G
X1
X2
相关系数分别为1，-1，0时，组合的期望收益与标准
差分别是多少？
组合 A B C D E F G
预期收益 5 10 15
标准差
下限=－1
上限=1
=0
20
20
20
10
0
10
20
30
情形1：A、B完全正相关
E(rp) = xA ·E(rA ) +xB · E(rB )
xA+xB=1
E(rp) = xA ·E(rA ) +（1-xA ）· E(rB )
由以上两式所确定的是一条直
线，通过点（σA ，EA ） 和（σB
，EB ）
允许卖空时，为了得到
无风险的证券组合，需
要卖空高风险证券并投
资在低风险证券（图中
虚线部分）
情形2：A、B完全负相关
E(rp) = xA ·E(rA ) +xB · E(rB )
xA + xB =1
E(rp) = xA ·E(rA ) +（1- xA ）· E(rB )
此时， σP 与E(rp) 之间是分段线
性关系
情形3：A、B不完全相关
E(rp) = xA ·E(rA ) +xB · E(rB )
xA + xB =1
E(rp) = xA ·E(rA ) +（1- xA ）· E(rB )
此时， 确定的是一条通过A、B
的双曲线
结论：通过按适当比例买入两种证券，获得比两
种证券中任何一种证券的风险都小的证券组合。
图中C点为最小方差组合；组合中越靠近A，买入
的A越多；而A点的东北部曲线上的点代表的组合
由卖空B证券、买入A证券形成。
情形4：一般情形
E(rp) = xA ·E(rA ) +xB · E(rB )
xA + xB =1
E(rp) = xA ·E(rA ) +（1- xA ）· E(rB )
此时，确定的仍是一条通过A、B
的双曲线，其弯曲程度取决于相
关系数的大小
在不允许卖空的情况下，
相关系数越小，证券组
合的风险越小。
多种证券组合的可行域
（例如，3种证券构造的500个随机组合样本）
（1）投资者可以构造无穷多
种组合，获得不同的收益和风
险特征；
（2）投资者可以获得的收益
和风险被局限在一定的区域
（可行域）内，并获得任意的
收益和风险结构；
（3）投资者的理性选择必将
在可行域的边界上
可行集具有两个重要性质：
1、只要N>2，可行集对应于均值－标准差
平面上的区域为二维的；
2、可行集的左边界向左凸。
说明：由于一个证券组合对应于均值—标准差
平面的一个点，所以，我们既可以用各个证
券的权重来表示证券组合，也可以用均值—
标准差平面上的一个点来表示它。这也是我
们用均值—标准差平面上的一个集合来表示
可行的证券组合集合的原因。
投资组合的几何表示和可行集
选定了证券的投资比例，就确定了组合。
以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP -σP坐标系中可以确定
一个点。每个组合对应EP -σP中的一个点；反过来， EP -
σP中的某个点有可能反映某个组合。
选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在
EP -σP中的“点”组成EP -σP中的区域－－可行集
（feasible set）
可行集中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。
可行集之外的点是不可能实现的证券组合。
可行集＝机会集
可行集可能的形状
（1）
（4）（3）
（2）
（2）和（3）是
不允许卖空条件
下的可行域
（1）和（4）
是允许卖空条
件下的可行域
收益
风险
A
N
H
B
N种证券的可行集
证券A、B组合在R-平面的映射（组合线）的
形状取决于二证券收益率的相关程度。如下图：
R B
=-1 =
=1
=
=0
A
O
2、有效集或有效前沿
（1）有效集的定义
可行集中有无穷多个组合，但是投资者有必要对所有这些
组合进行评价吗？
理性的风险厌恶者的投资选择：对于同样的风险水平，将
会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收
益率，将会选择风险最小的组合；如果一个组合比另一个
组合的风险低、收益高，更加偏好这个组合。
能同时满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集
（Efficient Set）或有效边界（有效集定理）。
有效边界（有效集）：因为投资者是不知足
且厌恶风险，即风险一定时追求收益最大，
收益一定时追求风险最小。
所以，同时满足在各种风险水平下，提供最
大预期收益和在各种预期收益下能提供最小
风险这两个条件就称为有效边界。即双曲线
的上半部。上面各点所代表的投资组合一定
是通过充分分散化而消除了非系统性风险的
组合。
收益
风险
最小方差组
合MVP
（2）有效集的形状
有效集（有效边界）是满
足占优法则的所有组合的
点的集合（轨迹）
有效集曲线的形状具有如下特点：
（1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它
反映了“高收益、高风险”的原则；
（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上
的任意两点所代表的两个组合再组合起来得
到的新的点（代表一个新的组合）一定落在
原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组
合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线
是向左凸的；
（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。
（3）有效集的得出
所有可能的点（rp，p）构成了（ rp，p ）平面
上可行区域，对于给定的p ，使组合的方差越
小越好，即求解下列二次规划：
均值-方差模型：有效集的数学推导
基本假设：无摩擦的证券市场中，有N≥3种风险
资产，资产收益率的期望和方差有限，可以
无限制地卖空，任何资产的收益率不能表示
为其它资产收益率的线性组合（相互独立）。
目标：在具有相同期望收益率的资产组合中，具
有最小方差的资产组合称为前沿资产组合。
Markowitz提出：理性的投资者总是寻求这样的投资组合
,它在给定期望收益水平 的条件下，使风
险达到最小，即求解：
或给定风险水平 的条件下，使期望收益达到最大，即求解
证券组合p是前沿证券组合，当且仅当
规划的求解
拉格朗日方程
一阶条件
二次规划的解
不具有无风险资产的有效组合前沿
定义 一个证券组合 称为前沿证券组合，如果它
在所有具有相同期望回报的证券组合中具有最小方差，即
是如下二次规划的解
写成矩阵形式为
其中：
有效边界的求解
假设所有资产期望回报率和方差均有限且期望互不相
等，N种风险资产线性独立。构造Lagrangian乘子函数，
求一阶导数，并令一阶导数等于零，得
这里
且
（*）
由V的正定性知B>0，C>0，D>0，且二次规划的一阶条
件既是必要条件也是充分条件，即一阶条件为 是以 为
期望回报率的边界证券组合的充要条件。从而，任何边界证
券组合均可表示成（*）式；反过来，由（*）式表示的任何
证券组合均为边界证券组合。所有前沿证券组合的集合称为
证券组合前沿。
对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而
得到不同的边界证券组合。
“取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。
由全体“前沿证券组合”构成的“集合”称为证券组合
前沿（portfolio frontier），它是定义有效前沿的基础。
判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好
第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，仅
关心期望和方差
第二：期望收益率越高越好，方差越小越好
可行集内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰！
最佳组合“必须来自”左上边界——有效前沿
有效组合——有效前沿对应的组合
有效前沿和有效组合
对于任意两个前沿证券组合，其回报率的协方差为：
从而，对于任意前沿证券组合，其回报率和标准差
满足如下方程：
因此证券组合前沿是以 为中心，以
为渐进线的双曲线
证券组合前沿的几何结构
双曲线图形
A/C
E (r )
0
mvp 机会集
双曲线
最小方差证券组合mvp对应的点为
说明：
1、MVP是一
个特殊点，是
一个全局最小
方差点；
2、由无差异
曲线形状可知，
风险厌恶者将
只在双曲线的
上半只选择投
资点。
证券组合前沿的几个重要性质（不要求）
性质 是期望回报为0的前沿证券组合， 是期望
回报为1的前沿证券组合。
性质 整个证券组合前沿可以由前沿组合 和 生成
性质（两基金分离定理） 整个证券组合前沿可以由任意
两个不同的前沿证券组合的线性组合生成。
性质 前沿证券组合的任何凸组合均在证券组合前沿上。
性质 最小方差证券组合回报率与任意证券组合（不
一定是前沿证券组合）回报率的协方差总等于最小方差证
券组合回报率的方差。即
性质 有效证券组合的任意凸组合仍为有效证券组合。
定义：
比MVP回报高的前沿证券组合称为有效证券组合；
既不是有效证券组合又不是MVP的前沿证券组合称为
非有效证券组合。
零－协方差证券组合
性质 对于边界上的任意证券组合p， ,均存在
唯一的前沿证券组合，以zc(p)表示，使得 。
该证券组合称为p的零－协方差证券组合
前沿证券组合zc（p）和p的地位是“对称的”
zc（zc（p）)＝p
从证明中可以看出，二者不可能同时是有效组合
zc(p)的几何含义
zc(p )
mvp
p
E (r )
A/C
0
定理：任意一个证券组合q的收益率期望值都
可以表示成任意一个边界证券组合p（除mvp外）
与其对应的边界证券组合zc（p）的收益率均值
的线性组合
因为zc(p)和p的地位是对称的，即
zc（zc（p）＝p，所以将zc(p)和p互换，得到
公式的另一种形式为
具有无风险资产的有效证券组合前沿
当存在无风险证券时，可以得到更简单的结果；
无风险债券，是指回报率确定的证券，通常将政府发行的
国库券视为无风险证券；
买卖债券只不过是手段，本质是无风险的借贷行为；
投资于无风险资产又称作“无风险贷出”（risk-free
lending），卖空无风险资产又称为“无风险借入”（risk-
free borrowing）。
假定：无摩擦的证券市场，N种风险证券和一种无风险证
券，P为N+1种资产形成的一个前沿证券组合，WP 表示投
资在N中风险资产上的权重；
设 是如下规划的解：
利用拉格朗日法求解，有以下有关投资
组合的收益与风险的关系：
如果
这里
A、B、C是推导马氏双曲线的变量
即所有N+1种资产的证券组
合前沿为过点（0，rf)，斜率
为 的 半 射 线 组 成 。
存在无风险借贷机会时组合的收益与风险
设组合P是有一无风险资产与一风险组合
（由（n-1）种风险证券构成）所构成，
则：
从而
存在无风险借贷机会的有效边界
无风险借贷机会的存在，增加了新的投资机会，大
大地扩展了投资组合的空间。更为重要的是，它大
大地改变了Markowitz有效边界的位置，从原先的曲
线变为直线。
允许无风险借款的投资组合
无风险证券情况下证券组合前沿的几何结构
无风险收益率的大小将会影响证券边界，具体
是直线的“ 模样”，分三种情况
rf ＜A/C、 rf ＞A/C、 rf ＝A/C
其中A/C表示不存在无风险资产情况下mvp的
期望值
存在无风险资产之后，证券组合前沿由双曲线
向左进行了扩张。可行集是由两条射线所“围
成”的区域。
1、rf＜A/C
0
E (r )
A/C
ee
mvp
zc(e)
rf＜A/C的几何图形
正斜率直线与双曲线
相切，切点是e点
直线e左侧上的点是e
和rf的凸组合
直线e右侧上的点是卖
空 rf ，买入e
负斜率直线不与双曲
线相交
卖空e，买入rf
2、rf＞A/C
0
E (r )
A/C
ee
’’
mvp
zc(p)
rf＞A/C的几何图形
正斜率直线不与双
曲线相切
卖空e’，买入rf
负斜率直线与双曲
线相切于e’点
e’左侧的点是e和rf
的凸组合
e’右侧的点是卖空
rf，买入e’
3、rf=A/C
0
E (r )
=A
/C
mvp
rf=A/C的几何图形
正、负斜率直线是双
曲线的渐近线
直线上任何一点的投
资权重之和＝0
将资产全部投资于rf
持有的风险资产的投
资比例之和＝0
此时，由（**）式得
即任何边界证券组合都把所有的财富投资到无风险
资产上，而在风险资产上的净投资为零。
若设p为一边界证券组合（非mvp），q为任意一个证
券组合，再由（**）式，二者之间的协方差为
又因
注意：该定价关系式独立于rf与A/C之间的大小关系
总结：
存在无风险资产情况下定价问题
风险厌恶者的最优投资策略
一、风险厌恶者的无差异曲线
定理 当资产的回报率r服从以 为均值、以 为
标准差的正态分布时，风险厌恶者的回报与风险之间的边
际替代率是正的，无差异曲线是凸的，并且越是位于西北
方向的无差异曲线，其效用越高。
假设：所有风险厌恶者的无差异曲线是凸的，并且
越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高。
效用
无差异曲线
无差异曲线图
二、风险厌恶者的最优投资策略
不存在无风险资产时的最优投资组合
最优投资组合的选择
确定了有效集的形状之后，投资者就可以根据自己的
无差异曲线群选择能使自己投资效用最大化的最优投
资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切
点O，如图所示：
收
益
风险
B
N
O点所代表的组合就是最优投资组合。
有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性就额
定了有效集和无差异区县的相切点只有一个，也就是
说最优投资组合是唯一的。
对投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市
场线决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己
的风险—收益偏好决定的。由第一节的分析可知，厌
恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，
因此其最优投资组合越接近N。厌恶风险程度越低的
投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资
组合越接近B点。
存在无风险资产时的最优投资策略
当 时
金融市场中并不存在一种对所有的投资者来说都是最
佳的投资组合或投资组合的选择策略，主要因为：
一、投资者的具体情况不同；
二、投资周期的影响；
三、对风险的厌恶程度；
四、投资组合的种类。
五、 两基金分离定理——投资
组合构建的指数策略
一、两基金分离定理的含义
二、两基金分离定理的金融含义
1、Tobin 的二基金分离定理
由于 Markowitz 问题
是线性问题，因而两
个有不同收益的解的
线性组合就可生成整
个组合前沿。
这两个特殊的组合可
以看成“基金”。这
个结果称为二基金分
离定理。它是Tobin
(1958) 首先提出的。
James Tobin, (1918-
) 1981年诺贝尔经济
学奖获得者
两基金分离定理（Two-Fund
Separation）的含义
在所有风险资产组合的有效组合边界上，
任意两个分离的点都代表两个分离的有
效投资组合，而有效组合边界上任意其
它的点所代表的有效投资组合，都可以
由这两个分离的点所代表的有效组合的
线性组合生成。
2、两基金分离定理的金融含义
共同基金是专门从事分散化投资的金融中介机构。
共同基金一方面发行小面额的受益凭证作为自己
的负债，另一方面则把筹集到的大笔资金进行分
散 化 投 资 ， 形 成 自 己 的 投 资 组 合 。
如果有两家不同的共同基金，它们都投资于有风
险资产，而且都经营良好，经营良好意味着它们
的 收 益/风险关系都能达到有效组合边界。
两基金分离定理告诉我们，任何别的投资于
有风险资产的共同基金，如果经营良好（即
能够达到有效组合边界）的话，其投资组合
一定与原来那两个共同基金（经营良好）的
某一线性组合等同。
只要能找到这样两家不同的经营良好的共同
基金，把自己的资金按一定的比例投资于这
两家基金，就可以与投资于其他经营水平高
的共同基金获得完全一样的效果。这一结论
对投资策略的制定无疑有重要的意义。
总结
马科维茨对现代金融投资理论的贡献主要在以下
的命题：
传统上人们将预期收益最大化看作是投资组合的
目标，实际上，分散投资行为与此目标相矛盾，
但分散投资行为却与均值－方差的目标函数一致。
提出了与现实更为接近的目标函数——均值－方
差的目标函数：Max U[E（r），δ]，解决了过去
金融经济学以预期收益最大化作为证券组合目标
与实际中的分散投资者投资行为相矛盾的问题。
证明了上述目标函数与具有二次效用函数的投资者
追求预期效用最大化的目标一致。
提出了单一证券的风险取决于它与其他证券的相关
性的论点。投资组合的方差是证券方差和对偶协方
差的函数，因此，单一证券对于投资组合风险的贡
献取决于它与其它证券的相关性。
理性的投资者将选择并持有有效投资组合，即哪些
在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，
这就是有效集；或那些在给定期望回报率水平上的
使风险最小化的投资组合这是最小方差集。
二次规划可用于计算有效投资组合集。
缺憾：
计算量太大。
排除了消费对投资的影响，假定期初投资额
是一个固定值。这虽然对单阶段情况下影响
不大，但不适用动态多阶段的情况。
用方差作为资产风险的度量这只适用于对称
分布的资产收益，不具备一般性。
均值方差理论不能确定具体投资者的最优组
合，投资者还需根据风险偏好从有效集中选
择最优组合。
