7 抽 样 推 断
教学目标
通过本章的学习，要求学生掌握抽样推断的基本原理和方法，能够利用样本资料推断总体指标。学习中要重点掌握抽样误差的计算，简单随机抽样下总体参数的区间估计及样本单位数的计算。
关键词汇
总体(Population)
样本(Sample )
抽样平均误差(Sampling Average Error)
参数估计(Parameter Estimation)
7 抽 样 推 断
抽样推断概述
抽样推断中的误差
抽样估计
抽样单位数的确定
◎ 知识归纳
◎ 习题与思考题
抽样推断概述
抽样推断的意义及特点
抽样推断是在抽样调查的基础上，利用样本的实际资料计算样本指标，并据以推算总体相应数量特征的一种统计分析方法。在实际工作中，有的社会经济现象因总体单位数众多而不便于采用全面调查，例如市场商品需求量、城市居民家庭收支情况、农产品量预测等等。或者当某些现象总体的数量特征是要经过破坏性测试才能取得的情况下，如炮弹射程的远近测试、灯泡使用寿命的测试等等，都很难对每个单位进行调查，只能组织抽样调查，取得部分单位的实际资料，来估计判断总体的数量特征，以达到对现象总体的认识。
抽样推断不同于一般的推算，归纳起来有如下特点：
1抽样推断是由部分推算整体的一种认识方法
2抽样推断是建立在随机取样的基础上
3抽样推断是运用概率估计方法
4抽样推断的误差可以事先计算并加以控制
抽样推断的作用
抽样推断由于调查单位少，具有节省人力、物力、时间等优点，因而这种方法在统计中的作用日益显著，归纳起来有以下几个方面的作用。
1可用于对无限总体数量特征的推断
无限总体包括的单位数是不可数的，如连续生产的某种产品的产量，大海里鱼的资源数等，对这类总体无法进行全面调查，必须采用抽样推断的方法来认识总体的数量特征。
2可用于某些不必要进行全面调查的总体数量特征的推断
有些现象理论上可以进行全面调查，但由于调查对象包括的范围广、单位多，需花费较多的人力、物力和时间，这时采用抽样推断的方法可以取得事半功倍的效果。例如，了解某森林区有多少棵树，某地区职工家庭收支状况等等。从理论上讲可以进行全面调查，但实际上办不到，也不必要，这时可采用抽样推断的方法来取得资料。
3可用于属于破坏性或消耗性的产品的质量检验
有些产品的质量检验，必须进行破坏性或消耗性试验，才能了解其情况。例如，炮弹的杀伤力检验，灯泡的使用寿命检验，纱布的强力检验，罐头食品的质量检验等，在这种情况下，只能采用抽样推断的方法来了解全部产品的质量。
4可用于对全面调查资料进行评价、修正和补充
由于全面调查工作量大，在调查登记和整理汇总资料的过程中，受主观和客观因素的影响，发生登记性和计算性误差的可能性大，为加强全面调查资料的准确性，可以运用抽样推断方法来验证全面调查资料的准确性并加以修正，同时，也可从内容上补充全面调查资料。例如，我国第5次人口普查时使用长表和短表两种调查表，短表调查项目少，人人都要登记，长表在短表的基础上增加了很多项目，只对全国一小部分人口进行登记。这实际上就是在普查的同时进行抽样调查，以这一小部分人口登记的资料推断总体的数量特征，这样不仅保证基本资料全面、准确，而且利用有限的时间和经费使调查内容更深入更详尽。
5可用于生产过程的质量控制
抽样推断不仅广泛用于生产结果的核算和估计，而且还可以用于生产过程中的质量控制，检查生产过程是否正常，及时提供有关信息，便于采取措施，预防废品的发生。
6对某些总体的假设进行真伪判断，为决策提供依据
由于现象的发展变化存在随机性和不确定性，借助抽样推断可对某些未知总体的假设进行真伪判断，以此获得比较正确的决策。例如，新教学法的采用，新工艺技术的改革，新医疗方法的使用等等是否收到明显效果，须对未知的或不完全知道的总体作出一些假设，然后再根据抽样推断原理，根据样本观察资料对所作假设进行检验，来判断这种假设的真伪，以决定我们行动的取舍。
抽样推断中常用的几个基本概念
有关抽样的若干基本概念是研究抽样推断的基础，现介绍几个基本概念。
1全及总体和样本总体
全及总体简称总体，是指所要认识对象的全体，它是由所研究范围内具有某种共同性质的全体单位所组成的集合体。例如，我们要研究某地区工业企业职工情况，则该地区全部工业企业的全部职工即构成全及总体。全及总体的单位数一般用大写的英文字母N来表示。全及总体分为无限总体和有限总体两类。无限总体的单位数是无限的，对这类总体的认识只能采用抽样的方法。有限总体所包含的单位数则是有限的，对这类总体的认识，理论上虽然可以用全面调查来收集资料，但实际上往往由于不可能或不经济而借助抽样的方法，以求得对有限总体的认识。
样本总体简称样本，它是从全及总体中随机抽取部分单位的集合体。样本总体的单位数一般用英文小写字母n来表示。对于全及总体单位数N来说，n的数目很小。通常，样本单位数达到或超过30个称为大样本，而在30个以下称为小样本。社会经济现象的抽样调查多取大样本。
作为推断对象的总体是确定的，而且是唯一的。但作为观察对象的样本就完全不是这样，从一个总体可能抽取很多个样本，每次可以抽到的样本不是确定的，也不是唯一的，而是可变的。
2全及指标和样本指标
根据全及总体各单位的标志值或标志属性计算的，反映总体数量特征的综合指标称为全及指标。由于全及总体是唯一确定的，根据全及总体计算的全及指标的指标值也是确定的、唯一的，因而称为参数。
根据总体中标志的属性和特征不同，需要计算不同的全及指标。
对于总体中的数量标志，可以计算总体的平均数和总体方差σ2(或总体标准差σ)。
设总体变量X为X1、X2、…、Xn，则有：
对于总体中的品质标志，由于各单位的标志不可以用数量来表示，所以全及指标常以总体成数来表示，即计算结构相对指标。用大写英文字母P表示总体中具有某种性质的单位数在总体全部单位数中所占的比重，以Q表示总体中不具有某种性质的单位数在总体中所占的比重。
设总体N个单位中，有N1个单位具有某种属性，N0个单位不具有某种属性，N1+N0=N，则总体成数为：
()
()
如果品质标志表现只有“是”、“非”两种，如性别标志表现为男性和女性，产品质量标志表现只有合格和不合格。则可以将“是”的标志表示为1，而“非”的标志表示为0。这时成数P就可以看作(0，1)分布的平均数，并可以计算相应的方差和标准差。以XP表示成数的平均数，以σ2P表示成数的方差，则：
XP=(0×N0+1×N1)/N=N1/N=P ()
σ2P=[(0-P)2N0+(1-P)2N1]/N=(P2N0+Q2N1)) /N
=P2Q+Q2P=PQ(P+Q)
=PQ=P(1-P) ()
设样本n个单位中有n1个单位具有某种属性，n0个单位不具有某种属性，n1+n0=n，p为样本中具有某种属性的单位数所占的比重，q为不具有某种属性的单位数所占的比重，则样本成数为：
p=n1/n ()
q=n0/n=(n-n1)/n=1-p ()
样本成数的平均数和方差分别为：
xp=n1/n=p ()
σ2p=p(1-p) ()
样本指标的计算方法是确定的，但是由于一个全及总体可以抽取许多个样本，样本不同，抽样指标的数值也就不同，所以样本指标的数值不是唯一确定的，它本身也是随机变量，用来作为全及指标的估计值，总会存在一定的误差。
3抽样方法和样本可能数目
根据抽取样本的方式不同，抽样方法可以分为重复抽样和不重复抽样两种。
重复抽样也称回置抽样。其抽样的操作方法是：从总体中抽取一个单位，并把它看作一次试验，连续进行n次试验构成一个样本，每次抽出一个单位把结果登记下来又放回原总体中，参加下次抽选。因而重复抽样有这样的特点：样本由n次相互独立的连续抽取的结果构成，每次抽选都是在完全相同的条件下进行，每个单位中选的机会在各次都完全相等。
重复抽样按是否考虑抽选样本单位的顺序，又可分为有顺序重复抽样和无顺序重复抽样两种。
不重复抽样也称不回置抽样。其抽样的操作方法是：从总体N个单位中抽取容量为n的样本，每次从总体中抽取一个单位，连续n次抽选构成一个样本，但每次抽出的一个单位就不再放回参加下一次抽样。
不重复抽样按是否考虑抽选样本单位的顺序，又可分为有顺序不重复抽样和无顺序不重复抽样两种。
样本可能数目又称样本个数，是指从一个总体中可能抽取的样本个数。一个总体可能抽取多少个样本，与样本容量以及抽样方法等因素有关。当样本容量确定后，则样本的可能数目便决定于抽样方法，不同的抽样方法，其样本数目便不同。
(1) 有顺序不重复抽样数目
(2) 有顺序重复抽样数目
(3) 无顺序不重复抽样数目
(4) 无顺序重复抽样数目
抽样调查的基本组织形式
在随机抽样调查中，常用的抽样调查形式主要有：简单随机抽样、类型抽样、等距抽样、整群抽样等。
1简单随机抽样
简单随机抽样是按随机原则直接从总体N个单位中随机抽取n个单位作为样本。不论是重复抽样或不重复抽样，都要保证每个单位在抽选中都有相等的中选机会。由于这种抽样组织形式除了抽样框的名单外，不需要任何其他信息，所以也称为单纯随机抽样。
在实际工作中，简单随机抽样的具体做法有以下几种：
(1) 直接抽选法
对总体单位不编号、不编制抽样框，直接随机抽选样本。如从仓库中存放的所有同类产品中随机抽取若干箱进行质量检查，从粮食仓库中不同的地点随机抽取若干粮食进行质量检查。
(2) 抽签法
首先将总体中每个单位的编号写在大小一致的纸片上，然后将其搅拌均匀，从中任意抽选，签上的号码所对应的单位就是样本单位，直到抽够预先规定的数量为止。这种方法虽然简单，但可以保证每个单位都有均等机会被抽取。
(3) 随机数码法
将总体中每个单位编上号码，根据编号的位数确定选用随机数码表中若干栏数字，然后从任意一栏、任意一行的数字开始数，可以朝任何一个方向数过去，碰上属于编号范围内的号码就定下来作为样本单位。若是不重复抽样，则碰上重复的数字时不要它，直到抽够预定的样本单位数为止。
(4) 计算机模拟法
将随机数字编制为程序储存在计算机中，并将总体各单位编上号码，启用随机数字发生器输出随机数字，然后从中找出总体范围内的号码作为样本，直到抽够预定的样本数量为止。
简单随机抽样是抽样中最基本也是最简单的抽样组织形式，主要适用于以下几种情况：
① 均匀总体，即具有某种特征的单位均匀地分布于总体的各个部分，使总 体的各部分都是同分布的。
② 对调查对象的情况了解很少。
③ 抽到的单位比较分散时也不影响调查工作。
2类型抽样
类型抽样又称分层抽样。它的特点是先对总体各单位按主要标志加以分类(分层)，然后从各类(层)中按随机原则抽选一定单位组成一个总体的样本。设总体由N个单位构成，把总体分为K组，使N=N1+N2+…+NK，然后从每组的Ni单位中抽取ni单位构成样本容量为n的样本，使n=n1+n2+…+nK，这种抽样方法称为类型抽样。
对类型抽样，其各类(层)的抽样单位数的确定，一般有两种方法，即类型比例抽样和类型最佳抽样。
(1) 类型比例抽样方法单位数的确定
类型比例抽样是指分类后，按各类的单位数占总体单位数的比例，来确定各组抽取的样本单位数。
ni=Ni/Nn ()
式中 ni——第i类应抽取的样本数；
Ni——第i类单位总数；
N——总体单位数；
n——抽样单位数(即n=n1+n2+…+nK)。
在统计工作实践中，大多采用类型比例抽样法计算各组的样本单位数，但从提高抽样效果来说，在有条件的情况下还是采用类型最佳抽样法，特别是各组组内差异程度较大，最好采用类型最佳抽样法计算各组的样本单位数。
3等距抽样
等距抽样又称机械抽样或系统抽样，它是对研究的总体按某一标志顺序排列，每隔一定的间距抽取样本单位的一种抽样组织形式。
作为总体各单位顺序排列的标志，可以是无关标志，也可以是有关标志。所谓无关标志是指用来排序的标志与调查的内容无关，或者关系较小。例如工业产品质量抽查按时间顺序取样，农业产量调查按地块的地理顺序取样，居民家计调查按街道门牌号码抽取调查户。有关标志是指用来排序的标志与调查的内容有关。如对农业产量调查，将地块按往年平均亩产的高低进行排序抽样；对工业企业生产情况进行调查，可按工业总产值或职工人数，也可按资产总额的大小顺序排列。
(1) 随机起点等距抽样
当抽取间隔k确定以后，在第一组随机抽取一个样本单位，然后每隔k个单位抽取一个样本单位，直到抽足n个样本单位为止。设第一个样本单位顺序号为a，则第1个样本单位到第n个样本单位的顺序号依次为：k+a，2k+a，…，(n-1)k+a。
(2) 半距起点等距抽样
要求抽取每一部分处于中间位置的单位作为样本单位。第一部分顺序为1，2，…，k个单位中，处于中间位置的单位顺序为k〖〗2，即取第k〖〗2个为样本单位，以后每隔k个单位抽取一个样本单位，直到抽足n个样本单位为止。
(3) 对称等距抽样
在第一部分随机抽取第a个单位作为第一个样本，第二个样本则取第二部分倒数第a个单位，第三个样本则取第三部分顺数第a个单位，第四个样本则取第四部分倒数第a个单位，如此反复使相邻两组保持对称等距。共抽取n个单位构成样本。
4整群抽样
整群抽样是将总体划分为若干群(或者组)，然后以群作为抽样单位，按随机或等距抽样的方式，从总体中抽取若干群作为样本，并对中选群内的所有单位进行全面调查的抽样方式。
整群抽样一般适合于以下情况：
① 在抽样调查中没有总体单位的原始资料时，常常采用整群抽样方式。
② 虽然可以建立抽样框，但由于总体单位很多，分布很广，若采用其他抽样方式，样本单位势必十分分散，调查时所需的人力和经费较大时，一般也采用整群抽样方式。
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抽样推断中的误差
抽样误差的意义、产生的原因
用抽样指标来推断总体指标与总体实际结果总有一定的误差，这种误差是不可避免的，但是误差超过一定的允许程度，抽样调查也就失去了其价值，因此有必要加以专门讨论。
抽样误差是指由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构不足以代表总体各单位的结构，而引起样本指标和全及指标之间的绝对离差。如抽样平均数与总体平均数的绝对离差，抽样成数与总体成数之间的绝对离差。以数学符号表示为x-X、p-P。抽样调查是用样本指标推断总体指标的一种调查方法，而推断的根据就是抽样误差。因此，怎样计算、使用和控制抽样误差是抽样调查的重要问题。为此，首先要正确理解抽样误差的概念。
抽样误差是随机抽样所特有的误差，不同于登记误差。登记误差是指在调查过程中由于工作不准确而引起的误差，登记误差是所有统计调查都可能发生的。抽样误差不是由于调查失误所引起的，它是伴随着随机抽样而产生的。
抽样误差是一种代表性误差，但不是所有代表性误差都是抽样误差。代表性误差有两种，一种是偏差，是指破坏了抽样的随机原则而产生的误差，如抽选到一个单位后，调查者认为它偏低或偏高，把它剔除掉而产生的偏差。这种偏差在进行抽样调查时应该设法避免，它不包括在抽样误差这个概念之内。另一种是抽样误差，是指遵守了随机原则但可能抽到各种不同的样本而产生的误差。这种误差必然会产生，但可以对它进行计算并可设法控制在一定范围内。
实际抽样误差
抽样误差有两种：实际抽样误差和抽样平均误差。实际抽样误差是一个样本指标与总体指标之间的差别，即x-X、p-P。
【例】设有A、B、C、D四个商业企业，某年商品销售额分别为90、85、105、110万元，拟抽取2个企业作为样本单位，假设抽取了B和C，计算实际抽样误差。
【解】样本平均数x=(85+105)/2=95(万元)
总体平均数X=(90+85+105+110)/4=(万元)
实际抽样误差=|x-X|==(万元)
但是在实际抽样调查工作中，全及总体的平均数是无法计算的，因此实际抽样是无法知道的。而抽样平均误差是可以计算的，它是指所有可能出现的样本指标的标准差，也可以说是所有可能出现的样本指标和总体指标的平均离差。在讨论抽样误差时指的是抽样平均误差。
影响抽样平均误差的因素
为了计算和控制抽样平均误差，需要分析影响抽样平均误差的因素。影响抽样平均误差大小的因素主要有：
① 总体各单位标志的变动程度。变动程度愈大则抽样平均误差就愈大，反之则小。两者成正比关系的变化。
② 样本单位的数目。在其他条件不变的情况下，抽取的样本单位数愈多，抽样平均误差愈小，反之则大。抽样平均误差的大小与样本单位数成反比关系的变化。
③ 抽样方法。抽样方法不同，抽样平均误差也不同。通常，重复抽样的抽样平均误差大于不重复抽样的误差。
④ 抽样组织的方式。不同的抽样调查的组织方式就有不同的抽样平均误差，而且同一种组织方式的合理程度也影响抽样平均误差。
抽样平均误差的计算
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标，它是一系列抽样指标的标准差，通常以μx表示抽样平均数的平均误差，μp表示抽样成数的平均误差。按照抽样平均误差的概念，则：
()
()
式中 、 p——抽样平均数和抽样成数；
、P——总体平均数和总体成数；
M——全部可能的样本数目。
上述公式表明了抽样平均误差的实质。但是由于总体平均数和总体成数我们并不知道，而且也无法计算全部样本的抽样指标，所以按上述公式来计算抽样平均误差实际上是不可能的。实践中可以通过其他方法加以推算。以下仅在简单随机抽样条件下，分别讨论抽样平均数平均误差和抽样成数平均误差的计算方法。
1抽样平均数的平均误差
由于抽样方法不同，抽样误差也不同，因此又分为重复抽样和不重复抽样。
(1) 在重复抽样条件下，抽样平均数的抽样平均误差
根据数理统计理论，在重复抽样条件下，抽样平均误差与全及总体的标准差成正比关系，与抽样总体单位数平方根成反比关系，因而可以得出一个计算抽样平均误差的转化公式。
（）
(2) 在不重复抽样条件下，抽样平均数的抽样平均误差在不重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差不但和总体变异程度、样本容量有关，而且还与总体单位多少有关。其关系如下：
在总体单位数N很大的情况下，可以近似地表示为：
()
()
从上式可以看出，不重复抽样平均误差等于重复抽样误差在开方内乘以修
正因子 。由于这个因子总是小于1，因此不重复抽样平均误差总是
小于重复抽样平均误差，但当总体单位数N很大的情况下，这个因子就十分接近
于1，因此， 与 的数值是接近的。在实际工作中，
在没有掌握总体单位数的情况下或者是总体单位数N很大时，一般均用重复抽样平均误差公式来计算不重复抽样的平均误差。
2抽样成数的平均误差抽样成数的平均误差表明各样本成数和总体成数
绝对离差的一般水平。由于成数的平均数是成数本身，即 ，成
数的标准差平方即 ，因此容易从抽样平均数的抽样平
均误差和总体标准差的关系推出抽样成数平均误差的计算公式。
在重复抽样条件下抽样成数的平均误差：
()
在不重复抽样条件下抽样成数的平均误差：
()
在总体单位数N很大的情况下，μp近似式为：
()
在得不到总体成数P的资料时，也可以用实际样本的抽样成数p来代替。
抽样极限误差
抽样极限误差是从另外一个角度考虑抽样误差。以样本指标来估计总体指标总会有一定的误差，因此，在估计总体指标的同时就必须同时考虑估计误差的大小。由于未知的总体指标是一个确定的量，而抽样指标是一个随机变量，它与总体指标可能产生正离差，也可能产生负离差，因此就需要研究抽样指标与总体指标的误差范围。抽样误差范围就是指变动的抽样指标与总体指标之间离差的可能范围。根据概率论理论，以一定的可靠程度保证抽样误差不超过某一给定的范围。统计上把这个给定的抽样误差范围叫作抽样极限误差，也称置信区间。
设Δx、Δp分别表示抽样平均数极限误差和抽样成数极限误差，则有：
()
将上面等式变换为下列不等式关系：
()
()
上面第一个不等式表示，被估计的总体平均数以抽样平均数 为中
心， 之间变动，即抽样误差范围在 之间，其区
间总长度为2Δx。同样，上面第二个不等式表明被估计的总体成数是以抽样成数p为中心，在p±Δp之间变动，即抽样误差范围在p-Δp和p+Δp之间，其区间总长度为2Δp。
抽样误差的概率度
抽样平均误差μ是表明抽样估计的准确度，抽样误差范围即抽样极限误差Δ是表明抽样估计准确程度的范围。根据概率估计的要求，抽样极限误差通常需要以抽样平均误差μx或μp为标准来衡量。把极限误差Δx或Δp分别除以μx或μp得相对数t，表示误差范围为抽样平均误差的t倍。t称为抽样误差的概率度，它是测量估计可靠程度的一个参数。公式表示即：
()
()
抽样估计的置信度
在抽样调查中，我们希望抽样调查的结果，样本指标的估计值都能够落在允许的误差范围内，但这并非都能实现。由于抽样指标值随着样本的变动而变动，它本身是个随机变量，因而，抽样误差是个随机变量，因而不能保证误差不超过一定范围是必然事件，而只能给予一定的概率保证程度。抽样估计置信度就是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证程度。
所谓概率就是指在随机事件进行大量试验中，某种事件出现的可能性大小，常以某种事件出现的频率表示。抽样估计的概率保证程度是抽样误差不超过一定范围的概率大小。其表现形式为：
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抽 样 估 计
抽样估计也称参数估计，它是指利用实际调查计算的样本指标来估计相应的总体指标的数值。总体参数估计有点值估计和区间估计两种。
点值估计
点值估计即点估计，它是用实际抽样调查资料得到的抽样指标值直接作为总体指标的估计值。如用样本平均数作为相应总体平均数的估计值，以样本成数的实际值作为相应总体成数的估计值，用样本方差直接作为总体方差的估计值。例如，在进行粮食产量抽样调查中，以样本平均亩产400公斤作为全县粮食平均亩产的估计值。再如，要估计一批产品合格率，根据抽样调查结果合格率为97%，将97%直接作为这批产品合格率的估计值。
区间估计
区间估计是在一定概率保证下，以点估计值为中心的一个置信区间估计全及指标的推断方法。区间估计的基本特点是根据给定的概率保证程度要求，利用实际抽样资料，指出总体估计值的上限和下限，即指出总体参数可能存在的区间范围，而不是直接给出总体参数的估计值。
总体参数的区间估计必须同时具备三个基本要素：估计值、抽样误差范围和概率保证程度。估计值是抽样估计的基础，抽样误差范围决定估计的准确性，而概率保证程度则决定估计的可靠性。在抽样估计的时候往往希望估计的准确性尽量高些，而估计的可靠性也尽可能大些。但这是一对矛盾，对于一个样本，提高了估计准确性的要求，伴随的是必然降低了估计的可靠性。同样，提高了估计可靠性的要求，则必然降低了估计的准确性。因此在抽样估计的时候，只能对其中的一个要素提出要求，而推算另一个要素的变动情况。如对估计的准确性提出要求，来推算估计的可靠程度，或对估计的可靠程度提出要求，来推算可能的误差范围。所以，根据给定的条件不同，总体参数区间估计的方法有以下两种：
1根据已经给定的抽样误差范围，求概率保证程度
具体步骤是：首先抽取样本，计算抽样平均数或抽样成数，作为相应总体的估计值，计算样本标准差以推算抽样平均误差。其次，根据给定的抽样误差范围，估计总体的下限和上限。再将抽样误差除以抽样平均误差求出概率度t值，并根据t值查“正态分布概率表”求出相应的概率保证程度。最后对总体参数作区间估计，并说明概率保证程度。
2根据给定的置信度要求，推算抽样极限误差的可能范围具体步骤：首先，抽取样本，计算抽样指标，即计算抽样平均数或抽样成数作为总体指标的估计值，并计算样本标准差以推算抽样平均误差。其次，根据给定的置信度F(t)要求，查“正态分布概率表”求得概率度t值。再根据概率度t和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围，并根据抽样极限误差求出被估计总体指标的上下限。最后，对总体参数作区间估计。
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抽样单位数的确定
确定从总体中抽取多少个样本单位是制定抽样调查方案中的一个重要问题。因为抽样单位数的多少直接影响到抽样估计效果，抽取的样本数愈多，所得的抽样调查资料的代表性就越高，抽样推断的效果越好；反之，如果抽样单位数越少，所得的抽样调查资料的代表性就越低。可见，抽样单位数不能过少，单位数过少抽样推断就不能达到预期的效果。但是，抽样单位数也不能过多，单位数过多就会增加人力、物力和费用，也影响抽样调查资料的及时提供。因此，在抽样调查时，认真研究和确定一个必要的抽样单位数，对于省时、省力又能保证取得较好的抽样调查效果具有很重要的意义。
确定必要抽样单位数的原则是：在保证抽样推断能达到预期的可靠程度和精确程度的要求下，确定一个恰当的抽取样本单位的数目。抽样调查的组织形式不同，其抽样单位数的确定有不同的特点和方法，可以由相应的抽样极限误差公式加以推演，推导出各种不同抽样方法的必要抽样单位数的计算公式。下面仅以简单随机抽样的抽样单位数的确定为例进行说明。
简单随机重复抽样的必要抽样单位数计算公式
1对样本平均数
由于
等式两端平方、移项
得
()
2对样本成数
由于
等式两端平方、移项
得
()
简单随机不重复抽样的必要抽样单位数计算公式
1对样本平均数
由于
等式两端平方
移项
则
()
2对样本成数
由于
等式两端平方
移项
则
()
从抽样单位数的计算公式可看出，样本单位数的多少主要受下列因素影响:
① 总体方差。样本单位数与总体方差存在正比例关系。如果所调查总体中各单位标志值的变异程度越大，即总体方差或均方差越大，则所需抽取的样本单位数就应越多；反之，就可少些。这样才能保证样本对总体的代表性。
② 允许误差。样本单位数与允许误差之间存在反比关系。允许误差越小，即抽样估计精度越高，则要求样本单位数越多；反之，就越少。
③ 概率度。样本单位数与概率度存在正比关系。如果概率度越大，即保证更多的样本指标在总体指标周围某一范围内波动，这样就要求抽取的样本单位数应越多；反之，就可少些。
④ 抽样方法。采用重复抽样和不重复抽样方法所确定的抽样单位数是不同的。重复抽样所确定的样本单位数大于不重复抽样所确定的样本单位数。
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知识归纳
抽样推断是在抽样调查的基础上，利用样本的实际资料计算样本指标，并据以推算总体相应数量特征的一种统计分析方法。其特点主要有：① 它是由部分推算整体的一种认识方法;② 它是建立在随机取样的基础上;③ 它是运用概率估计的方法;④ 抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。抽样推断涉及的基本概念有：① 全及总体和样本总体;② 全及指标和样本指标;③ 样本个数;④ 重复抽样和不重复抽样。
抽样误差是指由于随机抽样的偶然因素，使样本各单位的结构不足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和全及指标之间的绝对离差。影响抽样误差的因素有：总体各单位标志值的差异程度；样本的单位数；抽样的方法；抽样调查的组织形式。应熟练掌握抽样平均误差的计算公式以及抽样平均误差，抽样极限误差和概率度之间的关系（即Δ=tμ）。
抽样估计就是利用实际调查计算的样本指标来估计相应的总体指标数值。抽样估计有点估计和区间估计两种。
参数点估计的基本特点：根据总体指标的结构形式设计样本指标作为总体参数的估计量，并以样本指标的实际值直接作为相应的总体参数的估计值。
参数区间估计的基本特点：它不是指出被估计参数的确定数值，而是指出被估计参数的可能范围，同时对参数落在这一范围内给定相应的概率保证程度。总体参数区间估计的内容包括总体平均数估计和总体成数的估计。
确定从总体中抽取多少个样本单位是制订抽样调查方案中的一个重要的问题。抽样单位数要适度，其原则是：在保证抽样推断能达到预期的可靠程度和精度的要求下，确定一个恰当的抽取样本单位的数目。
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习题与思考题
1．所有可能样本的平均数的平均数等于总体平均数。（）
2．在简单随机抽样中，如果重置抽样的抽样极限误差增长40%，其他条件不变，则样本单位数只需要原来的一半左右。（）
3．全面调查只存在登记误差，而抽样调查既有登记误差，也有代表性误差，所以说抽样调查不如全面调查准确。（）
4．因为无法知道全及总体的平均数和方差，所以无法计算抽样实际误差。（）5．若抽样单位数增加20%，则随机重置抽样的平均误差减少%。（）
6．抽样估计的准确度和可靠性要求是相互对立的，即准确度要求越低，可靠性就越高；可靠性要求越低，准确性要求越高。（）
7．在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。（）
8．点估计就是以样本的实际值直接作为相应总体参数的估计值。（）
9．抽样估计的置信度就是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证程度。（）
10．抽样平均误差反映抽样的可能误差范围，实际上每次的抽样误差可能大于抽样平均误差，也可能小于抽样平均误差。（）
二、单项选择题
1．反映样本指标与总体指标之间抽样误差可能范围的指标是——。
① 抽样平均误差 ② 抽样极限误差
③ 可靠程度 ④ 精确程度
2．在其他条件不变的情况下，提高抽样估计的可靠度，其精确程度将——。
① 保持不变 ② 随之扩大
③ 随之缩小 ④ 无法确定
3．用简单随机重复抽样方法抽取样本单位，如果要使抽样平均误差降低50%，则样本容量需要扩大到原来的——。
① 2倍 ② 3倍 ③ 4倍 ④ 5倍4．除样本单位数、总体单位数外，还有——影响样本可能个数的多少。
① 是否遵循随机原则 ② 抽样方法
③ 抽样组织方式 ④ 总体标准差
5．除抽样平均误差外，影响允许误差大小的还有——。
① 总体标准差 ② 样本标准差
③ 抽样方式 ④ 把握程度
6．将总体按主要标志进行分组，然后再按随机原则从各组中抽选出样本单位，这种抽样方式叫——。
① 等距抽样 ② 类型抽样 ③ 简单随机抽样 ④ 整群抽样7．将总体单位划分为若干群，然后以群为单位进行抽样，这样的抽样方式叫——。① 等距抽样 ② 类型抽样 ③ 简单随机抽样 ④ 整群抽样8．在用样本指标推断总体指标时，把握程度越高则——。
① 误差范围越小 ② 误差范围越大
③ 抽样平均误差越小 ④ 抽样平均误差越大
9．在统计调查中，调查单位的确定完全排除主观意识作用影响的是：——。
① 重点调查 ② 典型调查 ③ 抽样调查 ④ 统计报表调查10．在一定的抽样平均误差条件下——。
① 扩大极限误差范围，可以提高推断的可靠程度
② 扩大极限误差范围，会降低推断的可靠程度
③ 缩小极限误差范围，可以提高推断的可靠程度
④ 缩小极限误差范围，会改变推断的可靠程度
三、多项选择题
1．抽样误差是——。
① 抽样估计值与总体未知参数之差
② 抽样估计值与总体未知的总体特征值之差
③ 登记性误差
④ 系统性误差
⑤ 偶然性误差
2．影响抽样误差的因素有——。
① 是有限总体还是无限总体 ② 是变量总体还是属性总体
③ 是重复抽样还是不重复抽样 ④ 总体被研究标志的变异程度
⑤ 抽样单位数的多少
3．简单随机抽样一般用于——。
① 具有某种标志的单位均匀分布于各部分的总体
② 具有某种标志的单位存在于不同类型的商品化
③ 现象的标志变异程度较小的场合
④ 不能形成抽样框的场合 ⑤ 总体单位可编号的场合
4．在抽样调查中，——。
① 全及总体是唯一确定的，样本总体则是随机出现的
② 全及总体和抽样总体都是唯一确定的
③ 全及指标和抽样指标也是唯一确定的
④ 全及指标和抽样指标都是随机变量
⑤ 抽样指标是随机变量，全及指标是唯一确定性变量
5．抽样误差的作用在于：——。
① 反映样本指标与总体指标的实际离差大小
② 是样本指标推断总体指标的依据
③ 反映样本指标代表总体指标的可靠程度
④ 衡量样本指标估计总体指标的准确程度
⑤ 衡量样本指标对总体指标的代表性高低
6．在概率度一定的条件下，——。
① 允许误差越大，应抽取的单位越多② 允许误差越小，应抽取的单位越多
③ 允许误差越小，应抽取的单位越少④ 允许误差越大，应抽取的单位越少
⑤ 允许误差的大小和应抽取的单位数多少成反比
7．影响必要抽样数目多少的因素有：——。
① 抽样推断的可靠程度 ② 抽样方式
③ 总体变异度〖DW〗 ④ 抽样比例
⑤ 抽样推断的准确程度
8．从全及总体中抽取样本单位的方法有——。
① 简单随机抽样 ② 重复抽样
③ 不重复抽样 ④ 等距抽样
⑤ 类型抽样
9．总体参数区间估计必须具备的三个要素是——。
① 样本单位数 ② 样本指标 ③ 全及指标
④ 抽样误差范围 ⑤ 抽样估计的置信度
10．从一个全及总体中可以抽取一系列样本，所以——。
① 样本指标的数值不是唯一确定的 ② 样本指标是样本变量的函数
③ 总体指标是随机变量 ④ 样本指标是随机变量
⑤ 样本指标的数值随样本的不同而不同
四、问答题
1．参数与统计量有何不同？
2．什么是抽样推断？抽样推断都有哪几方面的特点？
3．什么是抽样误差？影响抽样误差大小的因素有哪些？
五、计算题
1．麦当劳餐馆在7星期内抽查49位顾客的消费额(元)如下，求在概率90%的保证下，顾客平均消费额的估计区间。
24 38 26 30 42 18
25 26 34 44 20 35
26 34 48 18 28 46
30 36 42 24 32 45
36 21 47 26 28 31 42
45 36 24 28 27 32 36
47 35 22 24 32 46 26
2．从某个年级学生中按简单随机抽样方式抽取40名学生，对公共理论课的考试成绩进行检查，得知其平均分数为分，样本标准差为分，试以%的概率保证程度推断全年级学生考试成绩的区间范围。如果其他条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名学生？
3．某乡水稻总面积20000亩，以不重复抽样方法从中随机抽取400亩实割实测求得样本平均亩产645公斤，标准差公斤。要求极限抽样误差不超过公斤，试对该乡水稻的亩产和总产量作估计。
4．某工厂生产一种新型灯泡5000只，随机抽取100只作耐用时间试验。测试结果，平均寿命为4500小时，标准差300小时，试在90%概率保证下，估计该新式灯泡平均寿命区间。假定概率保证程度提高到95%，允许误差缩小一半，试问应抽取多少只灯泡进行测试？
5．调查一批机械零件合格率。根据过去的资料，合格品率曾有过99%、97%和95%三种情况，现在要求误差不超过1%，要求估计的把握程度为95%，问需要抽查多少个零件？
6．某厂对产品使用寿命进行检测，用简单随机不重复抽样方法从5000个成品中抽取200个，对其进行寿命调查，测得样本平均寿命为4340小时，样本标准差为731小时。
计算样本平均寿命的抽样平均误差（保留两位小数）；
试以%的概率保证程度对该批产品的平均使用寿命进行区间估计；
若概率保证程度不变，极限误差不超过70小时，按重复抽样方法，则至少要抽取多少件产品为样本。
7．对一批产品按重复抽样方法抽取200件进行调查，发现其中有废品8件，当概率为%时，可否认为这批产品的废品率极限误差不超过5%？如其他条件不变，允许误差控制在3%，则需抽取多少件产品？
8．某地区1995年随机抽取100户住户，测得户均年收入为3000元，标准差为400元，其中有10户的户均年收入在6000元以上，若以%的概率保证程度，试估计：
(1) 该地区住户户均年收入的可能范围；
(2) 在全部住户中，户均年收入在6000元以上的户数所占比重的可能范围。(t=2)
9．从某年级1600名学生中按简单随机抽样方式抽取40名学生，对基础理论课的考试成绩进行检查，样本标准差10分，试计算在重复抽样和不重复抽样两种方式下平均成绩的抽样平均误差。
10．调查一批零件的合格率。根据过去的资料，合格率为95%，现要求极限误差不超过2%，推断的可靠程度为%，应抽取多少零件进行检查？如果其他条件不变，将极限误差缩小一半，应抽取多少零件？
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