第24卷 第4期
2003年 8月
大 连 大 学 学 报
JOURNAL OF DAUAN UNIVERSITY
VoI．24 NO．4
Aug．2003
随机利率下的准备金与寿险风险分析
王丽燕，柳 扬
(大连大学 信息工程学院，辽宁 大连 11 6622)
摘 要：在人寿保险的纯保费及理论贵任准备金的计算中，死亡率一般依据生命表，利息率一般采用固定
利率 ． 实际上，寿险死亡率与生命表的死亡率有所差别，利率具有随机性 ．寿险死亡率与生命表死亡率
的差额及利率的随机性均能形成保险经营中的盈亏风险 ． 本文利用 Bayes方法，给出寿险死亡率的分布，
并对保险经营中盈亏风险进行了系统分析 ． 最后归结为动态规划模型 ．
关 键 词：纯保费；贵任准备金；死亡率；Bayes定理；广义极大熵；随机利率
中图分类号：0211．6 文献标识码：A 文章编号：1008．2395(20O3)04．0017．04
死亡率、利息率及费用率在人寿保险的保费的计算中是起决定性作用的三大基础 ．近几年国内外学
者对寿险进行了深人的研究，得到了一系列的结果 ．文献[1】和文献[2】采用人I：1生命表的死亡率给出了
随机利率下的增额寿险模型，文献【3】利用 Bayes方法给出了寿险死亡率的分布转移方程 ．本文在上述工
作的基础上，利用 MDIP方法与广义最大熵原则确定寿险死亡率的先验分布，并利用 Bayes定理给出寿
险死亡率的估计值，利率采用累积函数建模，即
(f)= ￡+ (f)
其中， 是与 t无关的实常数， 是一标准的 Wiener过程 ．在这样的利率下，给出盈亏风险分析 ．
保险费及准备金的计算
按惯例，我们仍以 (x)表示年龄为 x岁的人，以 )表示年龄为 x岁的人 的剩余寿命， (f)=
P【 )≤￡】(￡≥0)表示 )的分布函数， (f)=l一 (f)=P【￡(x)>￡】(￡≥0)表示 x岁 的人的生存 函数，
= ￡)表示 x岁的人在 x+t岁之前死亡的概率， Px=l一 表示 x岁的人至少活到 x+t岁的概率 ．
若 )连续，则 T(x)的密度函数为
(f)= +
(x)在年龄 x+t处的死亡力 ． 对由 f0个新生命组成的群体，则在 x年还
本文考虑较一般的终身死亡保险，即 (x)自投保之日起，无论何时死亡，保险人均需在被保人死亡
之时即刻给付 1个单位的保额，其现值为 P (oree ，以一Ax表示保额的精算现值，则
= 怛 [P ∞】)= U 一 (f)d￡ = ‘ 【P一 】 +fd￡
由于
】= 1 P一3 -ds
= e [ 1 P 一
收稿 日期：2OO2—12．20
作者简介：王丽燕 (1963一)，女，副教授，博士 ．
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1 8 大 连 大 学 学 报 第24卷
从而 ： 一 d￡
假设交费期为 n年，当 (x)活着时每年年初支付，则第 k年 (0≤：^≤n)的支付额为 1的现值 为
P 以 ：iI表示保费的精度现值，则 ／／ ： I= [E 一哟)】
假设在每一保单年度内，死亡是均匀发生的，于是将[0，川n等分，[0，n)=U
．
n
．
-
， ：^+1)，则在每一
， ：^+1)上 )服从均匀分布，于是
= 。 + 。一__ ∑^n：--oI，【 ^+1) ^q +^
从而
．： +
』 车 ∑ P“ -l
k 嚣 舢 P“ ’ J —-_， 一
根据平衡原理得均衡年保费为
第 k年的责任准备金为
P = ：
破：il
， f A 一Pn I，k<n
L A +^ ， ：^≥n
若用 f(f)表示第 t年末尚生存的投保人的人数，ql表示第 t年的死亡率，每人保额为 l元，则第 t年的
理论责任准备金为
e,St+pw(o【l(t—1)。一 ： +f(￡一1)P^】一f(c．一1)q。
期望值为：
： =E{e~,+pwto[1(t—1) 一． ： +f(￡一1)尸^】一f(￡一1)q。)=
P
÷ ‘[f(￡一1)
。一． ： +f(￡一1)PJ—l(t—1)q。 (1：
2 寿险死亡率的确定
在保险费及责任准备金的计算中，生存概率 。 、死亡概率 。q 及存活的人数 f 均依赖于理论人口生命
表，这相当于假设人口生命表中的所有人均参加了同一险种的保险，这显然不切实际 ．人 口表中的死亡
率显然与投保寿险的同龄人的死亡率不同，文献『4】考虑了这种不同，并进行了修正 ．本文利用 Baycs定
理，对寿险死亡率的密度给出估计 ．
我们以人口生命表给出的死亡率 作为寿险死亡率的先验分布 兀 ，实际调查中得到的寿险死亡率
的密度为 P(ql I ，由Bayes定理知，寿险死亡率的后验分布密度为
兀 。 ： (2)
I兀 I)P(q。I d 。
J
用这个公式可以得到寿险死亡率的估计值，即对寿险死亡率做出统计决策 ．我们用 MDIP方法与广义极
大熵原则确定寿险死亡率的先验分布 兀 ．
设随机变量 x的分布密度是 )，HI =一j In p(x)dx称为 x的熵，一H(x)称为 x的信息量 ．实
际调查中得到的寿险死亡率提供的信息用』P(q。I In[尸(q。I 】dq。表示，若寿险死亡率的先验分布为7晒I)．
则 。的信息量为』兀 In[兀 】d 。，则两者提供的信息量之差为
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第 4期 王丽燕等：随机利率下的准备金与寿险风险分析 19
G= U P(qJ ln【P(q。 】dq- 一 确lIl[兀 (3)
MDIP方法就是要求样本提供的关于盆 的信息量 。平均 起来与a 原有的信息量相减后差距尽可能大，
即应选 冗 使 G达到最大 ．
引理I5 0 对分布密度 )i=1，2，则当下式两端有意义时，有不等式
广 r l (x)In (x)】 ≥l (x)In 】dx (4)
成立 ．
定理 若存在常数c，使兀．(q~=cexp{一H(q。I )是一个 的密度函数，则兀． 是使G达到最大值
的唯一解 ．其中H(q =一J P(qt lIl【P(q 】dq ．
证明 lIl[兀．国 】=lnc—H(qJ
一 盹 =．f P(qtI汕【P(qt dq~=In 枷卜
·
一 G=．f兀④ 国】+lnc) = +．f 焉曲
由引理知
’
焉 ≥。
所以 一G~lnc，且 G=一lnc的充要条件是
等 。
所以 兀 j=兀 ．1
3 盈亏风险分析
在前一节，我们利用 Bayes定理，给出寿险死亡率的估计值，这一估计值与实际上的寿险死亡率也有
差额，这种差额使得保险公司承担盈亏风险 ．另外，利率的随机性亦会使保险公司承担风险 ． 盈亏风
险分析，可以帮助保险公司作出合理的经营决策 ．
假设用于计算保费的死亡率为盆 由 (2)给出，在第 t年能承担死亡者的保额支出的计划能力为
P鼬l(t—1) —l ： +PJ—l(t—1)(1一a ：
而按实际的寿险死亡率 qt计算的第 t年需要支付的死亡者的保额及因两个不同死亡率减少的保险费收人为
t(t—1) +P t(t—1)( 一龟 PH
收入与支出的差额为 ．
R(qt， P t(t—1) 一- ： + 一 一1)(1一 ： -t(t-1)q。--e~O 一1)(q。一 PH=
一 1)【P鼬( ： +PJ--t ： 】+ 一1)【 ： +P鼬PH】 一 一1)【l+e~Op 】
盈亏风险函数
， =E (ql， =
一 1)[( ： + EP鼬一 ： 】+ 一1)【。 ： +PH 鼬】 一t(t—1)【l+PH 】 =
l(t—1)【 ： +PH)P‘¨ 寺 一
：
】+ 一1)【 ： +PHP 寺 】a广
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20 大 连 大 学 学 报 第24卷
l(t-1)[1+ P +} ‘】q ：-A+B0 +cq
其中， ：f(￡一1)[( 一． ： + )P 号 一
： 】≥0，
B：f(f—1)[ ： + P +÷ 】≥0
，
c：f(f—1)【l+ P +÷ ‘】≥o
F(q ， 是q 的下降函数． 当c#0时， =华 ，风险函数 ， =o，称． 为风险函数F(q ，
的临界点 ．
当q >．q 时， ， <0，第 t年度亏损；
当q <。q 时， ，圣 >O，第t年度盈余；
当 =．q 时， ， =0，第 t年度收支平衡 ．
在承保期限内，我们可以用前一年度参加保险的人的死亡率作为先验分布，再用公式 (2)估计出下
一 年度的死亡率，作为下一阶段的输入 ．而保险公司在每一年度都可能发生上述三种情况之一， 当
q > 时，保险公司的亏损额为 I ， ，此时需要用贷款去偿付；当 q < 时，盈余额为 F(q ， ，此
时可用盈余额去投资获利 ．总之，保险公司可根据实际的死亡率 落在 (0， )内还是落在 ( ，1)内，
做出相应的决策，以达到保险公司获利最大的目的 ．
参考文献：
【l】何文炯，蒋庆荣 ． 随机利率下的增额寿险【J】．高校应用数学学报，1998，l3(2)：145．151．
[2】刘凌云，汪荣明 ．’一类随机利率下的增额寿险模型【J】．应用概率统计，2001，(17)3：283—290．
【31魏力仁，刘裔宏 ． 寿险建表随机系统的决策分析【J】．系统工程，1993，(11)2：17．25．
[41 BEARD R E．Risk Theory,the stochastic basis of imurance[M]．Chapman and Ha11．1987．
【5】张尧庭，陈汉峰 ． 贝叶斯统计推断fM】．北京：科学出版社，1991．
Reserves and analysis of the risk in life insIirallce tIl interest randomness
W ANG Li-yan，LIU Yang
(College of Inforrtmtion Egineering，DfllJarl University,l~llian 1 16622,Cltiha)
Ahslract： When ∞ tiI the pure premium an d theory premium reser3~ in life insurance，the mortality is usually bases Oil life
table，and the interest rate is usually fixed．In fact，the mortality in life imurance is different from that in life table，and the
interest m伦 is random too．Either the diffem~e between mortality in life imurance and mo rtality in life table or the l'andorn
interest rate can form the risk in insurance manage．Using the method of Bayes，the author百髑 the distribution of mo rtality in
life insurance，analyses the risk in insurance systematically and $1．ffYIS up dynamic programming mode1
．
Key wOrIk pure premium ； premium reserve； mo rtality；, Bayes’Theorem；broad maxin~llin entropy； random interest
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