第 3 章
平均数、标准差与变异系数
• 数据有两种变化趋势：集中趋势和离散趋
势。
• 表示数据集中趋势的指标有多个，如平均
数（算术平均数、几何平均数）、中位数、
众数，使用最多的是算术平均数。
• 表示数据离散趋势的指标有多个，如极差、
平均离差、方差与标准差，使用最多的是
方差与标准差。
• 资料中各观察值的总和除以观察值的个数
所得的商，称为算术平均数，简称为平均
数或均数。用符号 表示。
• 平均数的意义： 平均数用来描述资料的集
中性，即指出资料中数据集中较多的中心
位置,常用于同类性质资料间的相互比较。
一、集中趋势
计算方法
1. 直接法 适用于样本含量较小的非频数资料
• 如果一个含量为n的样本，其n个观察值分
别用x1、x2……xn表示，则它们的平均数为
• 其中，（Sigma）为总和符号， 表示从
第一个观察值x1累加到第n个观察值xn，若
在意义上已明确时，简记为x。
常数的总和等于该常数的n倍，即
代数和的总和等于总和的代数和，即
总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即
其中C为常数
（a为常数）
关于总和符号的几个性质
2. 加权法
• 如果样本中有n1个x1，有n2个x2，那么，
n1+n2个数的平均数是加权平均数。
• 同理：
• 各组的次数 fi 是权衡各组中值 xi在资料中所
占比重大小的数量，因此f被称为是x的“权
”，加权法也由此而得名。
• 在计算离散型频数资料的平均数时，
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f），
k为组数。
表3-1 50只小鸡出壳天数的频数分布表
• 在计算连续型频数资料的平均数时，
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
组 别 组中值m 频数（f） fm
— 2 90
— 2 93
— 10 480
— 12 594
— 26 1326
— 44 2310
— 43 2322
— 29
— 11 627
— 15
— 2 120
— 4 246
合计 200 10695
表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表
=10695/200
=
平均数有以下几个基本特性：
• （1）平均数的计算与样本内每个值都有关，
它的大小受每个值的影响。
• （2）若每个xi都乘以相同的数k，则平均数
亦应乘以k。
• （3）若每个xi都加上（或减去）相同的数A
，则平均数亦应加上（或减去） A。
中位数(median)
• 将资料中所有观察值从小到大依次排列，
处于中间位置的数。以Md表示。
• 适用条件 资料呈偏态分布或频数分布类
型不明，以及一端或两端无确定数值,这种
资料用中位数作为代表值比用算术平均数
为好。
• 非频数资料，先将各观察值由小到大排
列，当n为奇数时，第(n+1)/2位置的观察
值即为中位数，即： Md =x (n+1)/2
其中：L—中位数所在组的下限；i—组
距；f—中位数所在组的频数；n
—总频数；c—小于中数所在组
的累积频数。
当n为偶数时， 和 位置的两个观察值之和
的二分之一即为中位数，即：
若资料已分组，并编制成了频数分布表，可利用频数分
布表计算中数。
潜伏期（小时） 病例数f 累计例数
0—— 25 25
12—— 58 83
24—— 40 123
36—— 23 146
48—— 12 158
60—— 5 163
72—— 1 164
[例]某地区有164人因沙门氏菌食物中毒，其潜伏期资料经
整理如下表，试计算中位数。
众数（Mode）
• 资料中出现次数最多的那个数或频数最多
一组的组中值，记为Mo。
fmax=24, Mo=22
50只小鸡出壳天数的频数分布表
Md=22
组 别 组中值m 频数（f） fx
— 2 90
— 2 93
— 10 480
— 12 594
— 26 1326
— 44 2310
— 43 2322
— 29
— 11 627
— 15
— 2 120
— 4 246
合计 200 10695
表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表
=10695/200
=
fmax=44,
Mo=
Md=
几何平均数(Geometric mean)
• 定义 指n个观察值乘积的n次方根。即
• 适用条件
• 主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资
料，算术平均数对这类资料的代表性差。如抗体
效价（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、
增长率或生长率、动态发展速度等。
计算
1、应用公式计算（实际应用时常取对数）
• 例 海虾养殖试验，各旬的生长速度，
，，，，，求海虾的旬平均
生长速度。
• 解：
• 即海虾平均生长速度为。
• 其算术平均数为
• 当资料编成频数分布表时，
• —各组组中值；
• —各组次数；
二、离散趋势
• 资料的另一方面的特征是变异程度。如：
A 组资料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均数为： 5
B 组资料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均数为： 5
这里的平均数 5 对于 A 组资料的代表性好？还
是对于 B 组资料的代 表性好？
可见，只表明了数据的集中程度是远远不够的，
还需要进一步说明数据的变异程度。只有通过变
异程度的描述，才知道代表值的代表性。表示数
据变异特征的数值叫变异数。常用的变异数有：
极差、平均离差、方 差、标准差、变异系数等。
• 极差（全距）
极差 = 最大值 - 最小值
只利用了资料中最大值和最小值，不能准
确表达资料中各个观察值的变异程度。
• 平均离差
它不能表示整个资
料中所有观察值的
总偏离程度
使用不方便，在统
计学中未被采用
消除离均
差的负号
离均差的平方之
和（简称平方和，
记为SS）
称为均方（缩写为
MS），又称为样本
方差，记为S2
标准差S
离均差
• 首先求出离均差，即每个数与它们的平均
数之间的离差；然后将所有的离均差平方，
再相加，得出离均差平方和；最后用n-1除
离均差平方和（按照统计学理论，不要用
样本含量n去除），所得的商称为样本方差，
用符号s2表示。
• 方差s2是离均差平方的平均数。虽然方差在
实际应用中用得最广泛，但因它的单位是
原始数据单位的平方，所以它不能直接地
指出某个数x与平均数之间的偏离究竟达到
什么程度。为此，采用标准差s做标准，衡
量x与平均数之间的离散程度。
• 自由度 (degree of freedom) ：统计学借
此来反映一批变量的约束条件。
• 例如一个有 5 个观察值的样本，因为受
到统计数的约束，在5个离均差中，只有4
个数值可以在一定范围内自由变动取值，
而第五个离均差必须满足这一限制条件。
• 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于
观察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k
) ，即 DF ＝ n － k 。
样本方差
样本标准差
• 为了方便计算，将离均差平方和转化为另
一种形式，同时略去下标，上式可表示为：
• 在计算离散型频数资料的标准差时，
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f），
k为组数。
• 在计算连续型频数资料的标准差时，
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
标准差的特性
（一）标准差的大小受资料中各观察值的影响，观
察值间变异大的标准差也大，反之则小；
（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常
数，标准差的值不变；
(三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标
准差是原来标准差的a倍．
样本的方差为
总体的方差为
变异系数 Coeffcient of variation
• 资料的单位不同或平均数相差很大时，直
接利用标准差比较资料间变异程度是不妥
的，需用变异系数。
• 变异系数同标准差一样是衡量资料变异程
度的统计量。变异系数消除了不同单位和
平均数的影响，可以用来比较不同资料的
相对变异程度。
• 变异系数是标准差与平均数的比，
记为CV。
• 两个小麦品种株高变异的比较
特点和作用
（一）变异系数是一个无单位的相对数；
（二）变异系数同时受到平均数和标准差的影响，因
此，在利用变异系数来表示资料的变异程度时，
最好将平均数和标准差也列出。
(三)变异系数不受单位不同或平均数不同的影响，对
于单位不同和平均数不同的资料，都可以用变
异系数来比较其
