公元1651年法国著名数学家帕斯卡1623-1662收到法国大贵族 德.美黑 的一封信，信中请教了关于赌徒分赌金的问题：“两个赌徒规定谁先赢3局就算赢了，如果一个人赢了2局,另一个人赢了1局，此时赌博终止，应该怎样分配赌本才算公平合理？”
帕斯卡将该问题和解答寄给法国数学家费马1601-1665，费马也给出了新的解法，他们不断探讨这类问题，擦出概率论最早的火花。
概率论起源
之后荷兰数学家惠更斯1629-1695也加入,并在1657年出版《On Calculations in games of chance》，该书是概率论的第一部著作，由此概率论诞生了。
后来雅可比.伯努利1654-1705，棣莫弗1667-1754,贝叶斯1702-1761,拉普拉斯1749-1827,高斯1777-1855,泊松1781-1840对概率论的发展做出了重大贡献,俄罗斯学院的切比雪夫1821-1894和他的学生马尔科夫1856-1922、李雅普诺夫1857-1918对概率论发展做出了重大贡献，提出了重要的大数定律。
在18-19世纪概率论得到了实际应用和重大发展。而现今流行的基于公理化定义的概率论主要归功于俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫。
1933年，柯尔莫哥洛夫发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构明确定义了概率论，这是概率论发展史上的一个重大里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。
在19世纪初，比利时的学者A.凯特勒率先将概率应用到统计中，并将统计方法从自然科学领域扩展到社会科学领域。他统计了欧洲大部分国家的死亡、犯罪、结婚、自杀等社会现象，得出一份调查报告，宣称他可以预知每年的死亡、犯罪、结婚、自杀数量，此举轰动了整个欧洲，为此他被冠以“近代统计学之父”的称号。从此概率和统计在社会、经济、科学等领域得到重大应用和发展。
统计学起源
社会现象的分类
确定性现象
模糊现象
随机现象
随机现象
带有随机性、偶然性的现象.
A. 太阳从东方升起；
B. 明天的最高温度；
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
我们的生活和随机现象
结下了不解之缘.
下面的现象哪些是随机现象？
随机现象例
随机现象的统计规律性
概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.
对研究对象进行观察或试验，即随机试验，简称试验。
随机试验
掷一枚正六面体的色子，观察出现的点数。
从水泥自动生产流水线上任意抽取一袋水泥，
称其重量。
一射手打靶，直到击中靶心为止，记录其射击
次数。
随机试验的特点
实验可以在相同条件下重复进行
每次试验，可能出现各种不同结果
每次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验之前是无法预先知道的
样本空间与样本点
随机试验的每个基本结果称为样本点，记为ω。
全体样本点的集合称为样本空间，记为Ω。
.
Ω
A
样本点ω
.
.
.
.
.
样本点简记为： wi ={出现i点}, i = 1,2,…,6。
则样本空间可记为 Ω={w1，w2，… ,w6}
例子1
1.掷骰子
2.打靶直到击中靶心为止，记录其射击次数:
wi ={直到第i次才击中目标}, i = 1,2,…。
则样本空间可记为 Ω={w1，w2，…} 。
3. 2 个可辨认的球,随机地投入3个盒中,观察
各盒装球的情况.
4.袋中装有6个白球,4个红球,采用有放回及
不放回不同的方式抽球,每次抽一个,记录首
次抽到红球时,抽球的次数.
5.对某一目标射击,直到击中4次就停止射击
的次数.
在随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件.
随机事件
“掷出奇数点”
“掷出1点”
事件就是由样本点组成的某个集合.
.
Ω
A
样本点ω
.
.
.
.
.
事件
基本事件：实验中不 可再分解的事件。
复合事件：两个或一些基本事件并在一 起，就构成一个复合事件。
"掷出奇数点"
“掷出1点”
必然事件:在试验中必定发生的事件，
记为Ω ;
不可能事件:在一次试验中不可能发生的事件，
记为φ 。
在掷骰子试验中，“点数小于7”
和“点数为8”是随机事件吗？
1.事件的包含
2.事件的相等
3.事件的积（交）
4.互不相容（互斥）事件
事件间的关系
5.事件的和（并）
6.对立事件
7.差事件
事件间的关系
1.交换律
2.结合律
3.分配律
4.对偶原则
事件的运算法则
例2：化简
例3.
在n次重复实验中，事件A出现m次，则n次实验中，事件A出现的频率
fn(A) = m / n
统计概率
掷硬币试验
频率稳定性指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率总在一个定值附近摆动. 而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.
频率
稳定在某个值 附近
频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是随机现象的统计规律性。
在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A的概率，记为P(A).
P(A)≈fn(A)=m / n
概率的统计定义
统计概率的性质
非负性：0≤P(A)≤1
规范性：P(Ω)=1
有限可加性：若 A1，A2，…， An是一 组两两互不相容的事件，则有
频率和概率有什么区别和联系？
频率决定于实验，而概率是先于实验而客观存在的。
对于较大的n， n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.因此人们常取实验次数很大时事件的频率或一系列频率的平均值作为概率的估计值。
例2. 抽查某厂的某一产品100件，发现有
5件不合格品，则不合格品(事件A)的
概率为
P（A）≈ 5/100 = 5%
医生在检查完病人的时候摇摇头,“你的病很
重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”
当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说
“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看
过九个病人了，他们都死于此病.”
2
3
4
7
9
10
8
6
1
5
例3. 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球 ，其中六个红球，四个白球，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球，求取到红球的概率。
古典概率
有限性：试验只有有限个基本事件
古典概型实验
等可能性：任何两个基本事件不可能同时出现，且每次实验中各可能结果出现的可能性均相同
n个基本事件
m个
概率的古典定义
若试验中只有n个等可能的基本事件，而某个事件A由其中m个基本事件组成,则m/n为事件A的概率，即
古典概率的性质
非负性：0≤P(A)≤1
规范性：P(Ω)=1
有限可加性：若 A1，A2，…， An是一 组两两互不相容的事件，则有
基本计数原理
这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的
1. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法,
…；
第m种方式有nm种方法,
无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共
有n1 + n2 + … + nm
种方法 .
例如，某人要从甲地到乙地去,
甲地
乙地
可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
3 + 2 种方法
回答是
基本计数原理
则完成这件事共有
种不同的方法 .
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法,
…；
第m个步骤有nm种方法,
必须通过每一步骤,才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 种打扮
例4 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：
C
I
S
N
C
E
E
问：在多大程度上认为这样的结果
是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
故该结果出现的概率为：
这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .
解：七个字母的排列总数为7！
例5. 中国福利彩票是一种献爱心的活动.每期从35个数字号码(01-35)球中摇出8个,其中前7个为基本号码球,最后一个为特别号码球.
参加者以2元买1注,在35个号码中选7个,试求
开奖后事件A(六等奖---有4个号码球与基本号码球相同)及事件B(五等奖---有4个号码球与基本号码球及一个与特别号码球相同)的概率.
例6. 从0，1，2, …，9共10个数字中任取1
个，假定每个数字都以1/10的概率被取
中，取后放回，先后取出4个数字，试
求下列各 事件的概率 。
A1 ：“4个数字各不相同”
A2 ：“4个数字组成一个3位数”
A3 ：“4个数字组成一个4位偶数”
A4 ：“4个数字恰好有2个0”
例7.设有n个人，每个人都等可能地被分配
到N 个房间中的任意一间中去住 (n ≤N)，
且设每个房间可容纳的人数不限，求下列
事件的概率。
A={某指定的n个房间中各有一个人住}。
B={恰好有n个房间，其中各住一人}。
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}.
例8.一批产品共有N件，其中M件是废品。
现在从全部N件产品中随机的抽取n件
（n≤N),求恰好取到m(m≤M)件次品
的概率。
古典概率计算举例
例9.设有带号码1，2，3，4的四件物品，任
意地放在标有1，2，3，4的空格中，求
下列事件的概率。
A={四件物品刚好都放在相应标号的空格中}
B={没有一件物品与所占空格号码相一致}
例10. 有n (n ≤365)个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n 个人中至少有两个人的生日相同的概率.
P
60
57
50
40
30
24
23
22
n
几何概率
A
向该正方形随机投针，求针落在红色区域A的概率
几何概型实验
有限区域、无限样本点
等可能性
概率的几何定义
在几何概型试验中，设样本空间为Ω，事件A包含于Ω ，则事件A发生的概率为
其中几何度量指长度、面积或体积等。
例12.设在一个5万平方公里的区域内的
40平方公里内储藏石油,若在该区域中
任取一点钻探,问能钻到石油(事件A)
的概率是多少?
几何概率应用
例13.设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站等车不超过1分钟的概率。
例14.(会面问题)两人相约于8时至9时之
间在某地会面,先到者等候另一人15分
钟后离开,求两人能够会面的概率.
例15.在圆周上任取三个点A,B,C,求三角形ABC为锐角三角形的概率。
概率的公理化定义
设随机试验E的样本空间为Ω ，对试验E的任一随机事件A，定义一个实值函数P(A),若满足：
非负性
规范性
可列可加性：若 A1,A2,…,An,…两两互不相
容，则有
则称P(A)为事件A的概率。
概率的重要性质
P(φ)=0
有限可加性：若 A1,A2,…, An是一 组两两互不相容的事件，则有
对任一随机事件A,有
若A包含B,有P(A-B)=P(A)-P(B)
对任意事件A、B,有
推论
对任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)
若A包含B,有P(A)≥P(B)
若AB=φ,有P(A+B)=P(A)+P(B)
对任意 n个事件A1,A2,…, An,有
例1.已知 在下列3种情况下分
别求出 的值。
A与B互不相容；
；
例2.一批电子元件共有100件，其中有5件
次品，现从中任取5件，求其中至少有
一件 次品的概率。
求A,B,C全不发生的概率.
例4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的
4只鞋中至少有2只配成一双的概率。
方法1：
A:取得的4只鞋中至少有2只成双
2
3
4
7
9
10
8
6
1
5
一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球 ，将球编号为1－10 . 从中任取一球.
Ｂ="取出的球号为偶数”
C=“取到的球号是大于3的偶数”
D=“已知取到的球号大于3，问它的球号为偶数”
A=“取到的球号大于3”
在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).
设Ａ、B是随机试验E的两个随机事件，且P(A)>0,则称
为已知事件A发生条件下，事件B发生 的条件概率。
条件概率
例1：一个家庭中有两个小孩，已知其中有男孩，问两个都是男孩的概率是多少（假设生男生女是等可能的）？
例2：设某种动物由出生活到10岁的概率为，而活到15岁的概率为，求现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率。
例3.某消费公司一直为某种肥皂产品做电视
广告，并对该产品进行了调查。
设事件A表示 “某人买了该产品”
B表示 “某人看过该广告”
C表示 “某人既买了该产品又看过该广告”
若P(A)=,P(B)=,P(C)=,则某人
看过广告会使他购买该产品的概率增加吗？
P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(C)/P(B)
=
乘法公式
设A，B为任意事件，
若P(A)>0， P(AB)=P(A)P(B|A)
若P(B)>0， P(AB)=P(B)P(A|B)
推广到n个事件的情况
例4.有10个男生、5个女生来到某企业参加应
聘，工作人员从中不重复地任选三个同学
参加面试，问第三次才选到女生的概率。。
Ai:第i个选到的是男生 i=1,2,3
例5：箱中有5个红球和3个白球，现不放回地取出3球，假设每次抽取时，箱中各球被取出是等可能的，求：
a.已知第一次取出红球，则第二次仍取出红球的概率。
b.直到第三次才取到红球的概率。
c. 第二次取到的是红球的概率。
全概率公式
设A1,A2,…,An是完备事件组，
P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且
则对于事件B,有
例8:某保险公司把被保险人分为三类：“安全的”、“一般的”与“危险的”。统计资料表明，对于上述3种人而言，在一年期间内发生事故的概率依次为、与。如果在被保险人中“安全的”占15%，“一般的”占55%，“危险的”占30%，试问任一被保险人在一年中发生事故的概率是多少？
由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
诸Ai是原因
B是结果
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B
实际中还有下面一类问题，是
“已知结果求原因”
如果某被保险人在一年中发生了事故，则他属于“危险的”一类人的概率是多少？
贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是完备事件组，
P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且
则B已发生的条件下, Ak发生的概率为
例9.甲胎蛋白试验法是早期发现肝癌的一种有
效手段。据统计，肝癌患者甲胎蛋白试验
呈阳性反应的概率为95%，非肝癌患者甲
胎蛋白试验呈阳性反应的概率为4%。已知
某地人群中肝癌患者占%，现在此地有
一人用甲胎蛋白试验法进行检查，结果显
示阳性，问这人确定是肝癌患者的概率是
多少？
贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为
原因的验前概率和验后概率.
P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.
当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
在不了解案情细节(事件B)
之前，侦破人员根据过去
的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为
比如原来认为作案可能性较小的某甲，
现在变成了重点嫌疑犯.
例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有
甲、乙、丙三人.
甲
乙
丙
P(A1)
P(A2)
P(A3)
但在知道案情细
节后, 这个估计
就有了变化.
P(A1 | B)
知道B
发生后
P(A2 | B)
P(A3 | B)
最大
偏小
练习
2. 12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求在已知第二次比赛取到的3个球全是新球的条件下，第一次比赛所取3个球全都是新球的概率。
1.设某厂产品的合格率为，现采用新方法测试，一件合格产品经检查而获准出厂的概率为，而一件废品经检查而获准出厂的概率为，试求使用这种方法后，获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.
3. 袋中装有50个正品硬币，50个次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一个，将它投掷2次 .
(1)求两次都得到国徽的概率。
(2)若已知两次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
4.设10件产品中有4件不合格品，现从中
连 续抽取两件产品，在有一件是不合格品
的情况下，问另一件也是不合格品的概 率为多少？
事件独立性
若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B)，
则称A、B相互独立。
若P(A)>0，P(B)>0，A、B相互独立，则
有P(A)= P(A|B) ，P(B)= P(B|A) 。
概率为零的事件与任何事件相互独立。
定理：若两事件A、B独立，则
证：
什么关系？
互不相容
独立性
若AB独立，则P(AB)=P(A) P(B)
若AB=Φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)
请问：如图的两个事件是独立的吗？
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,
则A 、B不互斥.
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
故 A、B不独立
我们来计算：
P(AB)=0
P(AB) ≠ P(A)P(B)
即
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
可见, P(AB)=P(A)P(B)
由于 P(A)=4/52=1/13,
说明事件A、B独立.
问事件A、B是否独立？
解：
P(AB)=2/52=1/26
P(B)=26/52=1/2
例2.设甲、乙两射手击中目标的概率分别
是 与，现各射击一次，试求
同时击中目标的概率。
至少有一个击中目标的概率。
恰有一人击中目标的概率。
多个事件的独立性
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C)
P(BC)= P(B)P(C)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
A、B、C
两两独立
A、B、C
相互独立
请注意多个事件两两独立与相互独立
的区别与联系
两两独立
相互独立
对n(n>2)个事件
?
例3.如果将一枚硬币抛掷两次，观察正面H
和反面T的出现情况，则此时样本空间为
Ω={HH, HT, TH, TT}
设事件A表示“第一次正面朝上”；
事件B表示“第二次正面朝上”；
事件C表示“两次出现情况相同”
讨论A、B、C的独立性。
多个事件的独立性
若n个事件A1,A2, …,An满足
则称事件A1,A2, …,An相互独立.
例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
所求为 P(A1+A2+A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1
2
所求为 P(A1+A2+A3)
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1+A2+A3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
3
例5. 设每支步枪射击飞机命中的概率为,求250支步枪同时独立地进行一次射击时，击中飞机的概率。
a1
a2
an
…
a1
a2
an
…
b1
b2
bn
…
a1
b1
a2
b2
an
bn
…
I
II
III
例6.各元件的可靠性均为r(0<r<1),求各系统
的可靠性。
伯努利概型
在相同条件下，重复n次做同一试验，
每次试验只有两个可能结果；
n次试验是相互独立的。
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个
互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.
新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
伯努利定理
设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则n次贝努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为
例6.有一批产品有30%的一级品,进行重
复抽样调查,共取5个样品,求
(1)取出的5个样品中恰有2个一级品的
概率.
(2)取出的5个样品中至少有2个一级品的
概率.
例7.某厂自称产品的次品率不超过%，经
过抽样检查，任取200件产品就查出了5
件次品，试问上述的次品率是否可信？
*
*
*
