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空间几何体的结构特征、
表面积和体积
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考情清单
考点清单
题型清单
目 录
考点1 空间几何体的结构特征
考点2 空间几何体的表面积和体积
题型一 空间几何体表面积与体积的求解方法
题型二 与球有关的切、接问题的求解方法
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考点 真题示例 考向 5年考频 核心素养
空间几何体的结构
特征和表面积
2023新课标Ⅰ,12 正方体、圆柱的结
构特征
5考 直观想象
数学运算
2023新课标Ⅱ,9 圆锥的结构特征和
表面积
2022新高考Ⅱ,7;20
21新高考Ⅱ,4
球的表面积
2021新高考Ⅰ,3 圆锥的母线长
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空间几何体的
体积
2024新课标Ⅰ,5;20
22新高考Ⅰ,8;
2022新高考Ⅱ,11;2
021新高考Ⅰ,20(2);
2020新高考Ⅱ,13
锥体体积的有关计
算
9考 直观想象
数学运算
2023新课标Ⅰ,14;2
023新课标Ⅱ,14;
2022新高考Ⅰ,4;20
21新高考Ⅱ,5
棱台体积的有关计
算
空间点、线、面
的位置关系
2021新高考Ⅰ,12 棱柱中的垂直 2考 直观想象
2020新高考Ⅰ,16 空间组合体
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直线、平面平行与
垂直的判定与性质
2023新课标Ⅰ,18(1) 线线平行 10考 直观想象
逻辑推理2024新课标Ⅱ,17
(1);2023新课标Ⅱ,2
0(1);
2021新高考Ⅰ,20
(1);2021新高考Ⅱ,
10
线线垂直
2024新课标Ⅰ,17
(1);2022新高考Ⅱ,2
0(1)
线面平行
2021新高考Ⅱ,19(1) 面面垂直
2020新高考Ⅰ,20(1)
;2020新高考Ⅱ,20(
1)
线面垂直
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空间向量及其应用 2020新高考Ⅰ,4;20
24新课标Ⅱ,7;
2022新高考Ⅰ,9;
2020新高考Ⅰ,20
(2);2020新高考Ⅱ,20(2)
线面角 13考 数学运算
直观想象
逻辑推理
2024新课标Ⅰ,17
(2);2024新课标Ⅱ,17(
2);
2023新课标Ⅰ,18
(2);2023新课标Ⅱ,20(
2);
2022新高考Ⅱ,20
(2);2022新高考Ⅰ,19(2);
2021新高考Ⅱ,19(2)
二面角
2022新高考Ⅰ,19(1) 点到平面的距离
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命题形式
本专题内容为高考必考内容之一.考查重点主要有空间几何体的表面积与体积的计算,
线面位置关系的判定和证明、距离、翻折、存在性等比较综合性的问题.若为选择题
或填空题,则多考查空间几何体的表面积与体积的计算,涉及空间几何体的结构特征、
判断线面关系等内容,要求考生有较强的空间想象能力和计算能力,能用转化与化归的
思想解题;若为解答题,则考查利用立体几何的知识证明线、面关系,利用空间向量解决
立体几何问题(如空间中的位置关系、空间角与距离等),解题时应熟练掌握空间向量
的坐标表示和坐标运算,把空间立体几何问题转化为空间向量问题.
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考点1 空间几何体的结构特征
1.多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 有两个,是平行且全等的
多边形
有一个,是多边形 有两个,是平行且相似的
多边形
侧棱 平行且相等 相交于一点,不一定相等 延长线交于一点
侧面
形状
平行四边形 三角形 梯形
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提醒 (1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进
行.
(2)台体可以看成是由锥体截得的,但一定要知道截面与底面平行.
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2.旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台
母线 平行、相等且垂直于底
面
相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形
侧面
展开图
矩形 扇形 扇环
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提醒 (1)球是旋转体,球面不能展开,球的截面是圆面;
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r= .
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3.斜二测画法下几何体的直观图
(1)原图与直观图中的“三变”与“三不变”原则:
(2)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 .
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考点2 空间几何体的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面
展开图
侧面积
公式
S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l
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2.空间几何体的表面积与体积公式
表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V= S底h
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V= (S上+S下+ )h
球 S=4πR2 V= πR3
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即练即清
1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( )
(3)上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台. ( )
(4)若长方体的相邻三个面的面积分别为2,6,9,则长方体的体积是6 . ( )
(5)正方形的直观图是正方形. ( )
2.()已知正方体的棱长为2,则该正方体的内切球的体积为 ( )
π B. π C. π D. π
×
×
×
√
×
D
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3.(人教A版必修第二册P120·T3改编)一个封闭的正三棱柱容器的高为2a,内装水若干
(如图1,底面处于水平状态).将容器放倒(如图2,—个侧面处于水平状态),若此时水面与
各棱的交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图1中水面的高度为 .
a
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题型一 空间几何体表面积与体积的求解方法
典例1 (2024天津,9,5分)在如图所示的五面体中,棱AD,BE,CF互相平行,且两两之间距
离均为1.若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 ( )
A. B. + C. D. -
C
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解析
解法一:补形法
用一个和原五面体完全相同的五面体与该五面体相嵌,使得D与N,E与M,F与L重合,如
图1,
因为AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,
则形成的几何体为三棱柱ABC-JIH,侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,
该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形,(三棱柱的体积即为直
截面面积乘侧棱长)
所以该五面体的体积= VABC-JIH= × ×1×1× ×4= .
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故选C.
解法二:由已知可得,三条平行线中的任意一条到另外两条确定的平面的距离d= .连
接BD,CD,如图2,则五面体的体积V=V三棱锥C-ABD+V四棱锥D-BCFE,其中V三棱锥C-ABD= S△ABD·d= × ×1
×1× = ,V四棱锥D-BCFE= S梯形BCFE·d= × ×(2+3)×1× = ,所以V=V三棱锥C-ABD+
V四棱锥D-BCFE= .
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归纳总结 1.空间几何体表面积的求解方法
(1)求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可.
(2)求简单旋转体的表面积时,代入公式直接求解.
(3)求组合体的表面积时,注意重合部分的处理.
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2.空间几何体体积的求解方法
(1)公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接代入各自几
何体的体积公式中进行计算.
(2)割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割(补)成若干个常见的几何
体,然后利用求和(作差)的方法得出所求几何体的体积.
(3)等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从而进行换底换
高计算,此种方法充分体现了数学的转化思想.
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变式训练1-1 (情境模型变式)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,
该三棱锥的表面积是 ( )
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
A
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解析
如图,PA,PB,PC两两垂直且PA=PB=PC,△ABC为等边三角形,AB=a,则PA=PB=PC=
a,
∴此三棱锥的表面积为 ×a2+ × ×3= a2+ a2= a2.
故选A.
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变式训练1-2 (已知条件变式)如图,在正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中
点,则棱锥A-B1CD1与棱锥P-ABCD的体积之比是 ( )
∶4 ∶8 ∶2 ∶3
A
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解析
转化法
如图,棱锥A-B1CD1的体积可以由正四棱锥P-ABCD的体积减去棱锥B1-ABC、D1-ACD、
C-PB1D1、A-PB1D1这四个小棱锥的体积得到.
连接BD,设点P到平面ABCD的距离为h,
因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,
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所以B1,D1到平面ABCD的距离为 h,
又S△ABC=S△ACD= S正方形ABCD,
所以 = = × S正方形ABCD· h= VP-ABCD.
正四棱锥中,AC⊥平面PBD,
所以VP-ABCD=2VP-BCD=2VC-PBD=2× ·S△PBD· AC= S△PBD·AC,
= = · · AC= × S△PBD· AC= VP-ABCD.则 =VP-ABCD- VP-
ABCD
= VP-ABCD,
则 ∶VP-ABCD=1∶4.
故选A.
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题型二 与球有关的切、接问题的求解方法
角度1 几何体的外接球
(1)公式法:正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的
一半.
(2)补形法(补形为长方体或正方体)
①垂直模型
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②对棱相等模型
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(3)双面定球心法
如图,在三棱锥P-ABC中,
①选底面△ABC,确定△ABC外接圆圆心O1,
②选侧面△PAB,确定△PAB外接圆圆心O2,
③分别过O1作平面ABC的垂线,过O2作平面PAB的垂线,两垂线交点即为外接球球心O.
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典例2 (侧棱垂直底面模型)已知三棱锥S-ABC,SA⊥平面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°,
若三棱锥外接球的表面积为28π,则此三棱锥的体积为 ( )
B
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解析
因为AB=AC=2,∠BAC=120°,所以∠ABC=∠ACB=30°,S△ABC= AB·ACsin∠BAC= ×2
×2× = ,
设三角形ABC外接圆的半径为r,则2r= = =4,即r=2,设三棱锥外接球的半径
为R,由4πR2=28π,解得R= (舍负).因为SA⊥平面ABC,所以R2=r2+ ,即7=4+ ,解
得SA=2 (舍负),所以VS-ABC= S△ABC·SA= × ×2 =2.故选B.
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典例3 (双面定球心)在菱形ABCD中,AB=2,AC=2 ,将△ABC沿对角线AC折起,使点B
到达B'的位置,且二面角B'-AC-D为直二面角,则三棱锥B'-ACD的外接球的表面积为
( )
π π π π
C
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解析
如图1所示,
在菱形ABCD中,AC,BD互相垂直且平分,点E为垂足,
AB=BC=CD=DA=2,EC=EA= AC= ,
由勾股定理得BE=DE= = =1,
所以∠ADC= ,设点O1为△ACD外接圆的圆心,
则△ACD外接圆的半径为r1=O1D= = =2,O1E=O1D-DE=2-1=1,设点O2为
△ACB'外接圆的圆心,同理可得△ACB'外接圆的半径为r2=O2B'=2,O2E=O2B'-B'E=2-1=1,
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如图2所示,
设三棱锥B'-ACD的外接球的球心、半径分别为点O,R,
故OO1⊥DE,OO2⊥B'E,由题意知AC⊥DE,AC⊥B'E,由二面角B'-AC-D为直二面角,知平
面DAC⊥平面ACB'.∠B'ED是二面角B'-AC-D的平面角,所以B'E⊥ED,即O2E⊥EO1,
可知四边形O1OO2E为矩形,所以O1O=O2E=1,由勾股定理得OD2=O1O2+O1D2=5=R2,所以
三棱锥B'-ACD的外接球的表面积为S=4πR2=4π×5=20π.故选C.
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变式训练2-1 (特殊几何体的外接球)已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱
的外接球的表面积为 ( )
π π π π
D
解析
由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心(如图),OO'=1.
由于底面为正六边形,所以△ABO'为等边三角形,故AO'=2,
所以AO= = = ,
所以外接球的半径为 ,故外接球的表面积为4π( )2=20π,故选D.
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变式训练2-2 (墙角模型)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直,且AB= ,BC=
,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为 ( )
A. π B. π C. π D. π
B
解析
由题意,可将三棱锥放入长方体中考虑,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球,故球的
半径为长方体体对角线的一半,设外接球半径为R,PA=x,则PB2+PC2=BC2=7⇒5-x2+4-x2=
7⇒x=1,故PA=1,PB=2,PC= ⇒R= = ,则此三棱锥外接球的体积为 πR3
= .
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变式训练2-3 (对棱相等模型)已知四面体ABCD中,AB=CD=AC=BD=2,AD=BC,若四面
体ABCD的外接球的表面积为7π,则四面体ABCD的体积为 ( )
C. D.
A
解析
将四面体ABCD放入长方体中,如图,
设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,由7π=4πR2⇒4R2=7.
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∴ ⇒
∴VA-BCD=abc-4× × ×abc= abc=1,故选A.
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变式训练2-4 (侧面垂直于底面模型)已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上,若
AB=BC=CD=DA=BD=4 ,平面ABD⊥平面BCD,则该球的表面积是 ( )
π π π π
B
解析
记球心为O,△BCD的外接圆圆心为O1,△ABD的外接圆圆心为O2,BD的中点为E.因为AB
=AD,所以AE⊥BD,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AE⊂平面ABD,
所以AE⊥平面BCD,由球的性质可知,OO1⊥平面BCD,所以OO1∥AE,同理OO2∥CE,易
知AE⊥CE,所以四边形OO1EO2为矩形,因为AE=CE= =6,所以O1E=O2E=2,O1C
=4,所以OC= =2 ,
所以外接球的表面积为4π×(2 )2=80π.故选B.
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角度2 几何体的内切球
1.几何体内切球问题的处理技巧
(1)球心在过切点且与切面垂直的直线上;
(2)球心到各面的距离相等;
(3)三棱锥的内切球半径可用r= 求解;
(4)作出轴截面(截面中含切点,球心等元素),利用三角形的相似关系求解内切球的半径.
2.球的切、接问题的常用结论
(1)棱长为a的正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球.
①外接球:球心是正方体的中心,半径r= a;
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②内切球:球心是正方体的中心,半径r= ;
③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= a.
(2)棱长为a的正四面体的外接球、内切球以及各条棱都相切的球.
①外接球:球心是正四面体的中心,半径r= a;
②内切球:球心是正四面体的中心,半径r= a;
③与各条棱都相切的球:球心是正四面体的中心,半径r= a.
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典例4 (2020课标Ⅲ,文16,理15,5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内
半径最大的球的体积为 .π
解析
解法一:圆锥内球半径最大时的轴截面图如图.
其中球心为O,设其半径为r,AC=3,O1C=1,
∴AO1= =2 .
∵OO1=OM=r,∴AO=AO1-OO1=2 -r,
又∵△AMO∽△AO1C,∴ = ,即 = ,
故3r=2 -r,∴r= .
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∴该圆锥内半径最大的球的体积V= π· = .
解法二:圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球,轴截面图如图,
其中O为底面圆的圆心,SA=SB=3,OA=OB=1,则SO= =2 ,AB=2,设内切球半
径为r,则S△SAB= AB·SO= (SA+SB+AB)·r,解得r= ,所以该圆锥内半径最大的球的体积
为 π = π.
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变式训练2-5 如图,三棱锥V-ABC中,VA⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC==2,则该三
棱锥的内切球和外接球的半径之比为 ( )
A.(2- )∶1 B.(2 -3)∶1
C.( -1)∶3 D.( -1)∶2
C
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解析
因为VA⊥底面ABC,AB、AC⊂底面ABC,所以VA⊥AB,VA⊥AC.
又因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC,而AB=AC==2.所以三条棱互相垂直且共顶点,可以
看成正方体中,共顶点的三条棱,因此该三棱锥外接球的半径R= = .
因为∠BAC=90°,所以BC= = =2 ,
因为VA⊥AB,VA⊥AC,AB=AC==2,所以VB=VC= = =2 .
设该三棱锥的内切球的半径为r,
由三棱锥的体积公式可得:V= ·S表·r= × r= × ×2×2×2⇒
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r= ,
所以r∶R= ∶ =( -1)∶3,故选C.
