随机游走（）对称随机游走假设连续抛掷一枚均匀的硬币。抛掷结果记为 Ζ 1 2Ζ2. ，设..Ζ Ζ M ∋ 1,↑ °→if °↓jΖΖ H j1,if jT 定义一个随机过程 M⊥k ,k 0 ，其中,1,2,...M0 0 M kk M ∋, k1,2, ... ƒjj1可以看出， M⊥ 独立、升降的绝对幅度相同、概率相等，被称kk 0 的特点是增量,,1,2,...为对称随机游走。 独立同分布增量：Mkik i M k ƒ M ∋j jk1不相交的时间区间上 M⊥k 的增量是独立同分布的。其期望值为，方差则为Va M M k i rk ik Vƒ ar M j ∋i jk1
总之， M⊥k 具有独立同分布的增量，增量期望值为零，方差为时间长度。每单位时间的方差为。 鞅过程和鞅差分性质对于任何整数i 0!，E M>ki|k ≅E M kiM k Mk |k ♠←Mk ≡…因此 M⊥k 是一个鞅过程，而 ⊥M∋是其一步增量构成的时间序列，是一个鞅j 差分序列。 马尔可夫性质E f♠← M t s E ≡…f M t♠←M s M s | s≡Ehts,Ms|s♠…←forh M M ,M f M M M ≡tsstss…根据独立性引理，存在一个函数g ，g x Eh M tMs,x ♠← ≡…使得Eh M tM,Ms | sg M s ≡…因此随机游走过程为马尔可夫过程。假设随机变量向量X和随机变量向量sX表示一个时间序列中相互独立的两个随机变t量向量。设h 是X和sX的函数。定义tg xs E h xs ,Xt ♠← ≡…其中，x为（表示确定的取值）。则sX对应的哑变量向量sEh X s,Xt | s ♠←g X s ≡…其中，式是关键。它表明，在给定X为sx的情况下，sg 是对X的积分，因此是tx的函数，而不是sX的函数。在式中，我们将哑变量x用sX再代回。ts 二次变分性质（）截至时刻k，对称随机游走的二次变分定义为 M>M ≅ k,k ƒM jM j 21 k j1
尽管二次变分和方差都等于k，但这两者的计算是截然不同的。方差是关于所有路径，以其概率为权重求平均，概率一旦不是，方差不一定会是k；而 M>,M ≅是沿单条路径k计算的，不涉及概率。我们只是在理论上能算得随机游走的方差，因为我们无法得知所有路径的真实情况；然而我们可以沿着真实的路径算出二次变分。在对称随机游走的这个特例中，所有路径的二次变分都是k。但并不意味着所有的随机过程的二次变分对于所有路径都是一样的。按比例缩小对称随机游走W n 1nttnMnt ƒ M ∋j j1其中n为正整数。W n t 的设定意味着对于每个时刻，都走了n步，每一步的升降幅度为1。n由于每一步仍是独立的，W n t 的增量为W t W n s 1 1nMntn M ns其期望值为，方差为t s 。例如，假设n 1 00，时刻至时刻，走了步，W 10 0 0. 70 W表 示 10 0 0. 20 从第步到第步（共步）的增量，期望值为，方差为。W n t 仍具有（增量）独立同分布、鞅过程和马尔可夫性质，其二次变分为
W 0 0 W 10 0 ♠←t ƒ 21nt11,nMj ≡…♣j1♦j1♥ • nM t÷≠每一步只有两个可能的随机过程总是可以绘成二叉树模型。给定时刻t，W n t 服从什么分布？例如，W 10 0 0. 25 意味着走了步，由于每一步或者取值，或者取值。W 10 0 0. 25 的可能取值范围从到之间，共个取值，每个取值间隔为，其对应的概率也可计算出来，例如，P W⊥ C 2♣♦♥ •÷≠55 用直方图可以将其表示出来。很显然，分布接近正态分布，期望值为，方差为。固定t 0τ，当n ο φ时，按比例缩小型随机游走W n t 的分布收敛于期望值为、方差为t的正态分布。证明：期望值为、方差为t的正态分布的矩母函数为： Μa ←p aX ♠ … φe ≥xφp ax ≡1ex22atfxdxe nt为整数时，W n t 的矩母函数为 Μ a W ♠← ♣ntƒ♦ ♠•ntexpnexp1♥↔← ≡…e xp♠a ∋ ♣♦♥↔ ≡≡←÷≠≈… •t Mj nMj÷jj ≠ ≈…∋11独立增量的性质意味着
Μ n a ♣♦anttntaaaaexp♥♠↔ 1♣♦en1 en•÷ 1•←≠♥÷e n∋ ♣♦1≡≈…e ≠ •j1nM ÷ j 12222♥≠要证明分布的收敛，等价于证明当n ο φ时，1a1ant ln ♦n2 2 een ♣♦ •♥÷÷≠收敛于122at运用两次法则可以得证。
布朗运动（）（标准）布朗运动设 ,: 是概率空间。对于每个, Ζ :，假设存在依赖于 Ζ的，W 0 0 的连续函数W t t 0τ 。如果 不重叠时间段上的增量两两独立； 每个增量均服从期望值为零、方差等于时间长度的正态分布；则W t t 0τ 是一个布朗运动。三大基本特征：连续；（增量）独立同分布；（增量）服从期望值为零、方差等于时间长度的正态分布。 Ζ : Ζ可以理解为不同的路径。 :则是所有可能路径的集合。 是一个域流，t s t ,0 s δt 对于，布朗运动tW t 是一个适应的随机过程。 W u W t 且 期Α望值 为零，这意味着市场有效。t ,0 tδ u t 既可能只是布朗运动的信息，也可能包括其他信息。布朗运动是按比例缩小型随机游走W n t 的极限，因而具有后者的系列性质。tW t 初始值为零，因此W 0 ， 两tWW者 分布 相 同。tW t 和W t W s 的条件分布，除了期望值等于W s 外，其他性质相同。 W t 是W n t 的极限：
P 0 Wδ 10 0 0 . 25 0 .2 δ 55 0δ .2δ 54 独立增量性质意味着W 服t1,W t2 ,.. .W从联 合正态分布，其关键参数为期望tm 值与协方差。显然各期望值均为零，对于任意两个时刻0 sδt ， W s 和W t 的协方差为EW s W t ♠← EW2 s ♠← s ≡… ≡… 因此相应的协方差矩阵为 t1t1t1♠↔ ≡≈t1t2t2 ↔ t1t2tm←≈…因此，对于所有0 t0 t 2 ， 如 果tmW 服期望值为零、t1 ,W t2 ,.. .W从 tm 协方差如上式的联合正态分布，则W t 是一个布朗运动。 布朗运动是鞅。E W♠← t | E ≡…W t ♠← W s W s | s EW t≡… W s♠← W s W s≡… 布朗运动是马尔可夫过程。由于E f♠← W t s E ≡…f W t♠← W s W s ≡…根据独立性引理，一定有g W s E f W t W s W s 使得Ef W t | s ♠← g s ≡…随机过程的转移密度就是条件密度。假设W s w s ， 显然W t 服从条件期望值为w s 、条件方差为t s 的正态分布，也就是说，
♠← φ W t w s 2E1 fWt|s f≥φWt Σe Ω2Ω2dW≡… t 可以看出，W t 的条件密度中，与 s 有关的信息仅为W s 的取值。这就是马尔可夫性质的要义所在。一阶变分是每一步变动的绝对幅度之和。连续过程的一阶变分FVT 表示为fFV t1≥ t2 ≥ T'd''Tffttftdtf t d t0≥1tT 1 T≥'f t d t0从离散的角度来看，对于 0,>T ≅上的连续过程，我们在时间上取划分（不一定等分） 3 t0⊥, t1,tn ,0t0 t1 t n T 其中最大的步幅记为 3m0a x j nt,...,1j1 tj 相应的一阶变分FVT f 为FV n 1 Tfl imnο f tj 1 f t3φ οƒj 0j0可以证明，式和式是一致的。证明：由于f tχ 处处有定义，根据微分中值定理，在每个子区间 tj,tj 1 ♠←内 存在≡…一点使t*，j得f tj 1 f tj f tχ* j 1t j因此式可以写为 n 1 FVf ο φƒf *Tlimtχtj j 1 t j n30j ο0 T'f≥ t d t R iemann积分 0
n 1 2 f>,f T≅ limƒf t f t ♠ ≡j1 jn ο φ←…j 0 30 οn 1 22ƒ *limftχ t t 设是关于变分为 jj1jf t 0 tδT δ有定义的函数。截至时刻T，的二次fn ο φj 0 30 ο f> ,f T≅ 1l imnοf tj 1 f tn3 φ ♠ ≡οƒj 2← …0j0 3定义如上。n 1 2♠ ≡* lδim 3ƒf tχ t t ↔ jj1j≈在通常的微积分学中，函数多具有连续导数，即ff tχ 处处有n定 义，从ο而可以 运用微φj 0 分中值定理，计算出其二次变分为，因此，在通常的微积分中，不考 虑二次3变分0。 ο←…n 1 2 3 ƒf *limlimtχ t t jj1 j n ο φn ο φj 0 3 0ο 03οT2 f '0 tχ 连 续意味着 f≥ t dt有限 0布朗运动的问题在于，其运动路径处处是尖点，其对时间是处处不可导的，微分中值定理和上述推导过程都不再成立。设 3 是朗运动样本t0⊥, t1,tn ,0,>T 0≅的一个划分，相应的布t0 t1 t n T 二次变分定义为Qn 1 Wƒ tj 3 W tj 21 j0显然，不同的路径，二次变分是不同的。二次变分的均值与方差分别为
n 1 2♣•Var Q Var Wƒ t W t 1 j3j♦ ÷j 0 ♥≠n 1 n 1 EQ E Wƒ ♠2≡t Vƒar W 21 j3Wtj ↔t W t j 0 1 j ≈←…n 1 j 0 Eƒ W t W t jj 21 j 0 n 1 42♣•n 1 ƒt ƒEWtW ♠tt ≡tjj↔♦ j1j ÷ t T j1jj 0 ←j 0 ♥≈…≠n 1 2 2ƒ t t j1 jj 0 n 1 δ2ƒ t3 t j1 jj 0 可以看出，布朗运动的二次变分的期望值为T而方差收敛于。因此 W>,W T≅ T 几乎必然成立。（不成立的路径的集合具有零概率。）总之，对布朗运动的二次变分可以表达为：在时间区间 0,>T ≅上，布朗运动累积了T单位的二次变分。事实上，每一步当中的 W 2值可能与tj1 W 真实的取tj tj 1 t 差别j很大，但在时间上连续累积之后，这些差别被平均化而趋于，从而使得累积的二次变分为T。换言之：布朗运动在单位时间内累积二次变分的速率为。因此有dW t dW t d t二次变分是布朗运动的波动的来源。W t 与t的交互变分为1limn ο φ W t 1 W t t 1tnjjj 3οƒj 0 0j0t的二次变分
mn 1 ο tj tj0n 2li3φ ο ƒ1 0j0因此我们有dW t dt 0,dtdt 0 独立同分布；dW t Ηd，其中t ΗN 0, 1 。这样设定符合布朗运动关于二次变分和方差为时间长度的性质。普通布朗运动S t S 0 t ΠW t dStd ςςtΠdWt Π和 ς均为常数。遵循普通布朗运动的变量S t 是关于时间和W t 的随机过程。其中 dΠt为确定项，意味着每单位时间内S t 平均漂移 Π， Π称为漂移率； dςW 为随机项，代表着对tS t 的时间趋势过程所添加的噪音，使S t 围绕着确定的趋势上下随机波动，波动源是W t （的二次变分），整个噪音是由标准布朗运动的 ς倍给出的， 2ς和 ς分别被称为单位时间内的方差率和波动率。显然，除了增量的期望值不再是，使得S t 不再是鞅过程之外，普通布朗运动的其他性质仍然与布朗运动一致。伊藤过程（）S t S 0 t s ds t 0 0 ≥Π s dWsςdSttdtΠtdWtς≥
漂移率 Π和波动率 ς都不再是常数，而是t的函数。 Π和t ςt 可能是随机的，此时它们对于域流 t 都应是适应的随机过程。伊藤过程是最一般的连续随机过程。dS t dS t 2|Π ς t d t d t 2 tς dW t dW t 2 t Πt dW tς dt 2tdt也就是说，伊藤过程在单位时间内累积二次变分的速率为 2ς ，从而在时间区间t 0,>t ≅上总共累积的二次变分为 X>X t≅ t, ≥20ς s ds 几何布朗运动（）12 Π ♣tW ♦ς t ς •S♥÷≠tS02eS1dt Π 2ln ♣d♦ςtdW tς •S20♥÷≠dS t S t dt ΠS t dW t ς其中 Π和 ς为常数。可以看出，如果 S⊥ t 服从几何布朗运动，给定t时刻，S t 的连续复利收益率服从期望值为 122 Πt♣♦ ，方差ς为♥ 2ςt的正态•÷分布，≠S t 则服从期望值为1，lnS20 2Π t♣♦♥ ς •÷≠方差为 2ςt的对数正态分布。S t 连续复利收益率的漂移率和波动率分别为 122 Π 和 ςς。S t 的漂移率和波动率分别为 SΠ t 和 Sς t 。 ς给定0 T1δT2 ，划 分T1 t0 ，其每个子区间t1 ... tm T2 t j,tj 1 ♠←上的对≡…数收益
率为Stj11ln 2S Π ♣2 ♦♥ςtj 1tj W tjς •1 ÷≠ W tj tj T数收益率的平方和为1>,T期间对2 ≅2m 1 2ƒS♣1m1 ƒm1 t ♦ Π ♣•22j1ln♦ς÷ tt •Wςtj j j 1 ƒ W t j j 0 S2♥÷t♥j0≠ j0≠ j1m 1 ς Π 2♣2♦ ςW tWt •t÷t ♥ƒj 1 j ≠ j j 2j 0 当 30 ο时，上式近似等于 2ς T2 T 。也就是说，1 单位时间的对数收益率平方和为21m 1 S♣ ƒtj 1 ♦2TTln21jS ς0tj♥ | •÷ ≠因此， ς可以由高频对数收益率的平方和求得，人们通常把此指标称为已实现收益率（）。此外，由于 2ςt是S t 的连续复利收益率方差，所以另一种求得 ς的方式，是从历史数据中求出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，就是 ς的估计值。但要注意，真实的方差应该是不同路径得出，而样本方差则是在一条路径上得出的一个估计值。原因：布朗运动的鞅性质和马尔可夫性质与效率市场假说一致。原因：布朗运动对时间处处不可导和二次变分不为零的性质，与股票价格一致。原因：股票价格对数收益率服从正态分布，与现实较为吻合原因：给定时刻的股票价格服从对数正态分布，与现实较为吻合。原因：S t 非负，符合有限责任原则。
