本章的基本积分形式被称为伊藤积分（），一般表达形式为I t t0b ≥u dW u 其中t为正数，u 0τ，布朗运动W u 和被积函数b u 对于域流都是适应的随机过程，u而且b u 独立于未来的布朗运动增量。I 的微分形式为tdI t b t dW t 如果考虑I 0 0ζ的情形，达为I 可以表tI t I 0 t0b ≥u dW u 此外， 3 是的一个划分。t0⊥, t1,tn ,0,>T 0≅上t0 t1 t n T 在定义伊藤过程 0 00≥≥时，一般假定对于每个 0!， ≥ φ0 2≥ ♠↔← φ ≡0≈…因为只有这样伊藤积分右端的每个积分项才有定义，并且可以使得伊藤积分是鞅过程。如果股票价格服从伊藤过程，dS t t dt Π t dW t ς那么S T S 0 T0 t dt T0≥ Π t dW t ς≥第一项是一个普通积分，但第二项如何进行积分？如果g t 是可微函数，我们有T0b t dg t T0b≥ t g tχ dt ≥
但 0≥代 表 了 一系列不可预料而且变化非常剧烈的随机变量增加量 的和，W t 关于时间是不可导的，对于 T，上述黎曼积分是无法进行的，0b≥ t dW 来 说t必须寻找新的积分方法。另一种情形是，如果有一个投资者在初始时刻拥有 0 的财富，在股票市场上遵循 ⊥ ∋ 的交易策略，那么到时刻，他的财富 有多少？显然，我们有 0 ƒ ∋ 1 1 ♠← ≡…其中股票价格服从伊藤过程。在连续时间下， 0 0 ≥ ∋ 类似地，我们应如何定义对 的积分？黎曼积分就是大家在基础微积分中学习到的按照自变量的路径定义的积分，自牛顿和莱布尼兹发明黎曼积分以来，它已经被使用好几百年了。该积分只能处理非常规则的函数，也就是几乎处处可导（不可导的点为有限个或者可数有限个）的函数。对于不那么规则的函数（如的例那样的抽象函数，或者离散随机变量的密度函数）该积分是无能为力的。在工程、物理、金融等领域中，存在着大量不规则的函数，然而传统积分却对其无能为力。一直到世纪初，才由、和等人系统地阐述了一种新的积分方法，这就是勒贝格积分。勒贝格积分可以按照任意其他函数的路径或者一种抽象的分类方法进行分组再进行加和。形象地说，传统的黎曼积分就是按地域临近挨个统计每个人的财富然后加起来；而勒贝格积分就可以先按照收入或者职业进行分组，然后再计算每个组里面的财富和，最后加总。例如上面的 T而0b≥ 种勒贝格积分，tdg是一t T0b≥ χ 传统的黎曼积分tgtd则是。t前者是按照g t 来进行分组，然后求分组为无穷多时 bƒ 是否有极限；而后者t ig∋ t 则对自变量加以划分，求划分无穷小时加和的极限。又如，我们求随机变量的期望时，是按照概率来进行分组的，而概率是定义在一个抽象的样本空间中的，所以这也是一种勒贝格积分。本章的伊藤积分也属于勒贝格积分。总之勒贝格积分是黎曼积分的推广，只要黎曼积分存在，那么两种积分算出来的结果是一致的。
伊藤积分伊藤积分的定义为了计算 T0b≥ t dW ， 我们沿用传统的积分方法：先离散划分再取极限，即tnl imο φ b t 1 W∋ tn 30οƒiii1问题是：上式作为随机变量的积分，其自身也是一个随机变量，它会收敛于某个极限吗？由于布朗运动的一阶变分n一阶条件下的极限不存在；但 | ƒW∋ t 是不收敛的，因此i| i1布朗运动的二阶变分n ƒ W∋ t 2 却是收敛的。这样，在平方可积条件下ii1E Tb≥20 t dt ♠↔← φ ≡≈…我们定义使得偏差平方的均值趋于，即l imο Enbƒ t W∋ t Tib ≥ 2♠1tdWtni↔ 03φοi 1 00← ≡≈…的极限I T T0b≥ t dW t 为伊藤积分。上述在均方收敛下定义的极限称为均方极限。更一般地，伊藤积分写为I t t0b ≥u dW u 在离散处理方式下可以看出，伊藤积分的基本要求是，被积函数的取值在前一个时点b t而非后一个时点i 1 b t，以保i 证变量运动非预先确定。 收敛方式不同：黎曼积分是依路径收敛，伊藤积分是均方收敛。 使用路径不同：黎曼积分使用的是被积函数的真实路径，伊藤积分使用的则是随机等价路径。 伊藤积分中的被积函数是非预先确定的。 伊藤积分的积分算子只适用于布朗运动。
伊藤积分的性质由于I T T0b≥ t 是dW n 的极限，因此我们可以通过后者来考 bƒ tti 1 W∋ ti i1察伊藤积分的性质。其中，b t 可以在每个时间子区间 tj♠←上,tj 1 是常量（如图），这样的被积函数称为简单被积函数；也可以随时间连续变化，甚至可以有跳跃的情形（如图），这样的被积函数称为一般被积函数。对于一般被积函数，我们可以用简单被积函数bn t 逼近，bn t 在子区间 tj♠←上是常,tj 量。当n ο φ或是最大步幅趋于时，1 bn t 将收敛于连续变化的被积函数b t 。因此对伊藤积分性质的讨论，我们可以基于简单被积函数加以理解。图简单被积函数图一般被积函数 伊藤积分是一个连续过程。作为积分上限的函数， 的路径是连续的。 适应性。对每个， 为It t 可测。 线性性。伊藤积分可以进行线性计算。如果 tIt≥ u dW u∋ 0 ∗t t ≥ u dW ∗ u 0则I t ρ t ∗ t0 u dW u∋ t0≥ u dW ρ u ∗≥同时，对于任何常数c都有cI t t0cb≥ u dW u
伊藤积分是一个鞅过程。给定0 sδt Tδ， 假δ设 l,>1 , 。我们的目标是证明sttlttk,>tk1 。| ♠←由 于 ≡… l 1 It bƒ t W t 1 W t ♠jjj ← b t W t 1 W t ♠ lll← ≡… ≡… Ebj 0 ttWts b t W t W t ≡ ♠←|≡jjj…↔ƒ ♠← ≡jj1j…≈ƒ k 1 bƒ t W t 1 W t b t W t W t 0jjjkk…j l 1 且Eb t W t W t | s b t W s W t ≡ll1lll…b t W t W t |♠ s EEb t W t W t | t | s ♠ 0≡≡← ← jjjjjjj… …j l jl Eb t W t W t |♠ s EEb t W t W t |♠← t |♠ s 0 ≡kk← ≡… kkk…≡…因此EI t | s ♠← I s ≡… 伊藤积分的伊藤等距（）伊藤等距是指伊藤积分的以下性质：E ♠← t ≡…W 22u ♠↔←E tItEbudb≥ u du♠↔← ≡≈≡00 ≈…≥证明：由于 t b ≥u dW u 2 kb20 tj W j ∋2 2ƒ b ti b tj WiWjj00i jδk δ δ ∋ ∋ƒ其中 W∋jW tj 1 W tj , WkW ∋t W t k 很容易看出，第二项的期望为。第一项的期望值则为
kkEb t 2 ♠W∋↔ E b t E W 222 ♠≡≡jjƒijƒj0←↔←∋≈0…≈…k 1 Eƒb t t t ♠ Eb t t t ♠ ≡ ≡ij1 j←kk← ……j 0 t 2E b≥ u du □0伊藤等距是伊藤积分的方差，从这里也可以看出为何伊藤过程的条件是 20≥ ♠↔←，它 意 味着φ伊藤 积分的方差有限≡≈…。伊藤等距主要用于计算随机过程的方差。由于I 是一个鞅，且tI 0 0 ，因此其无条件期望为，即E tb ≥u dW u♠0 ↔← 0 ,t 0 τ ≡≈…无条件方差则为VarI 2 ♠← E ttEItb2≥ u d≡…u ♠↔← ≡0≈…又如，对于dS t t dt Π t dW t ς即S T S 0 T0 t dt T0≥ Π t dW t ς≥来说，根据伊藤积分的无条件期望和伊藤等距性质，在 Π 非随机的假设下，可以计算其t无条件期望为 ♠← 0 0 ≥ Π≡… 无条件方差为 ς ≥2 ♠ 0↔←≡≈… ≥可以看出，伊藤等距性质基本决定了伊藤过程（基于布朗运动的连续随机过程）的方差，而伊藤等距又主要源于布朗运动的二次变分性质。布朗运动的二次变分是决定伊藤过程方差的决定性因素。 伊藤积分的二次变分截至时刻t，I t 累积的二次变分为 I,>I t≅ tb20≥ u du
证明：我们先计算 在子区间次变分。为此，取分点It tj,tj 1 ♠←上 累积≡…的二tj s 0s 1 ... sm tj 1 此时，m m12IsIs♠btWsWsii← ƒ 21≡…♠ ← ≡jiiƒ…0 m 1 2btWsWsj ƒ 21 ≡ii …i0 当m ο φ且最大步幅趋于时，上式收敛于b 2 ttttj 1 jj1 jb udut≥2 j推广至整个时间区间，即可得到 I,>I t≅ tb20≥ u du 如果用微分形式表达，伊藤积分的二次变分为dI t dI t b t dW t dW t b2 t dt 也就是说，伊藤积分在单位时间内累积二次变差的速率为b2 t 。 从伊藤等距性质和二次变分性质可见，伊藤积分的二次变分和方差是不同的。二次变分是依赖于路径的随机变量，它是风险的度量，大小取决于b t 的选择。方差则是二次变分关于所有可能路径的平均值，是确定的数。（再次注意我们平时使用的样本方差并不是所有可能路径的平均数。）伊藤过程的二次变分与方差对于形如X 0 t ttXaudub u dW u 0X 0A t 0≥≥It的伊藤过程计算其在 0,>t ≅上的二次变分，其中A t 和I t 关于时间t都是连续的。取 0,> ≅的划分t 3 t0⊥, t1,tn ,0t0 t1 t n t 则有
n 1 Aƒ2 Xt t X t 2♠≡j1j← …j 0 1 A t ♠← maδxA t A t At ≡1 … At jjkkj1 jƒ0 kδn 1δ n1 ƒ♠← n≡1 … ƒ ♠← 2 n1 At1 AtIt1 It 2 A≡… t jjjjj 1 ƒ A ♠←t I t ≡1 I tjjj… ♠← ≡…j 0 j0 n 1 j0 tj 1 其中，由于A t 连续，当 30 ο时，第一项 maxA t A t a u du k1kƒ≥0 kδn 1δ tj j0 n 1 tj δmaxA t A t 1a u d uk1kƒ ≥0 kδn 1δ tj 0 jt maxA t A t a u d u10 kδn 1δ ≥0极限为（伊藤过程的条件是 t0a≥ u d u ）。 类φ似地，由于I t 连续，当 30 ο时，第三项 2A♠←t1 A t It≡…♠It δ≡1 2m δax δI t 1 I t A t 1 A t jjj←j…kkjjƒ0kn1 2δmt δax δI t 1 I t a u d ukn 0≥的极限也为。而第二项就是伊藤积分的二次变分，因此有 X>,X t≅ I>I t≅ t,20b≥ u du 注意，伊藤过程的二次变分完全由伊藤积分贡献，普通积分A t t0a ≥u 的du 二次变差为。我们也可以简略地推导如下：dX t dX t a| 2 t d t dtb 2 t dW t dW t 2a t b t dW t dt b2tdt也就是说，伊藤过程在单位时间内累积二次变分的速率为b2 t ，从而在时间区间 0,> ≅上t总共累积的二次变分为 X>,X t≅ tb20≥ u du 然而，二次变差为零，并不一定意味着A t 非随机。由于a u 可能是随机的，A t 也可能是随机的。只是A t 的波动小于I t 的波动。
例如，在时刻t，对于微小的时间间隔h，A t h 是接近已知的，因为A t h A t| a X ,t h 而在时刻t，A t 和a t 都是可测的。当然，由于a t 在未来是未知的，因此A t 仍是随机的。但即使在时刻t，I t h 仍是随机的，因为I t h I t| b t W t h W t 中的W 随机的。这必然导致了thW仍 是t I t 的波动大于A t 的波动。在现实生活中，A t 可以理解为投资于货币市场账户的价值变化过程，dA t r t A t dt 未来的随机来源r t 的变化，但在给定时刻，微小时间段内的价值变动是确定的。I t 则可以理解为投资于股票市场的价值变化过程，I t t0b ≥u dW u 其中b u 可以视为投资头寸，W u 可以视为股票价格的随机过程（我们实际上通常用几何布朗运动来表示股票价格的随机过程，这里仅仅是为了说明），显然在给定时刻，由于股票价格在接下来的微小时段内是随机的，因此股票账户的头寸价值也是随机的，其波动大于货币市场账户的波动。关于伊藤过程的积分我们可以将关于布朗运动的伊藤积分I t t0b ≥u 推d 广W至 关u 于伊 藤过程 的积分。如果 则关于 的积分定义为 t0 ≥ ∗u dX u t0 u a≥ ∗u du t0 u b u ≥d W ∗ u 其中 ∗u 也是适应过程。注意这里也假定对于每个 0!，
≥ ∗ φ0 2≥∗ 2 ♠0↔← φ ≡≈…
伊藤－德布林公式（）关于布朗运动的伊藤德布林公式设函数f t, x 的偏导数ft t, x 、fx t, x 和fxx t, x 都有定义并且连续，W t 是布朗运动，则对于每个T 0τ，都有df t,W t f t t,W t d t f x t,W t d W t 12f xx t,W t d t 有时人们将其写成 ωω ωω1 2 ωω22其积分形式为 W T f W TfTf ≥Tt t,W t d t f x t,W≥ t d W t 1,0,0T0020f xx t,W ≥t d t 由泰勒公式的微分形式 可得伊藤德布 林公式的微分 形式， 1dft,Wtft,Wtdtft,WtdWtf t,W t d W t dW t txxx2 f tW t d t dW 1t f tW t d t dt高阶 项 txtt2 f| tW t d t f tW t d W t 1,,f t,W t d t txxx2 随机微积分与普通微积分的区别如果x对时间可导，df t, x f t, x dt f t, x dx f t, x dx dxfx t,xd tdxft,xdtdt＋高阶项txxxt tt ft xdt |ft xdx 但由于布朗运动的二次变分不为零dWdW d t上式中的第三项仍然是一阶项，因此比普通的微积分多了一项。 微分形式与积分形式伊藤德布林公式的积分形式是精确的，因为公式右边的每一项都有确切的定义，
函数值，f 0, W 0 是初始点的 T0f≥和1Tt t,W t d t 2 0f≥都是关于时间变xx t,W t d t 量的普通积分， T 伊藤积分。而伊藤德布林公式的微分形式则没0f≥则是xt,W tdW t 有精确的定义。但微分形式非常直观和易于理解。关于伊藤过程的伊藤－德布林公式设X t ,t 0τ服从伊藤过程 函数f t, x 的偏导数ft t, x 、fx t, x 和fxx t, x 都有定义并且连续，则对于每个T 0τ，都有d 12ft,Xt ft,Xta t ftXtb t f t X t d♠ ≡,,txxx↔tb t f t 2X ←≈… x,t d W t 简化形式为 ωω ωω1 2 2 ωω ♣♦♥ ωω •22÷≠上述公式有时也被称为伊藤－德布林引理（）。随机微积分分析事实上就是在不同的情形下运用伊藤德布林公式。伊藤德布林公式的应用解随机微分方程随机微分方程（，）是指形如 或者 0 0 ≥ 的方程。具体来看，随机微分方程通过给出未知随机过程的微分（积分）的一个公式来确定该随机过程，公式中含有随机过程本身以及布朗运动的微分。 和 中的随机部分使得分析 的性质变得十分困难。伊藤德布林引理在其中就常常发挥重要的作用，使得我们可以分析 的性质，甚至得到 的闭式解。
解：如果运用黎曼积分，我们很容易认为 0 122 但对于布朗运动来说，这是错误的。令 1 22 运用伊藤德布林引理，有 12 也就是说， 12 从而有 0≥ 10 0≥2 ≥ 即 0 122 12 基本思路：尝试找出一个 的函数 , ，使得对 使用伊藤德布,林引理可以得到 ，而 , 本身是可以分析的。 Π ς解：令 l n 运用伊藤德布林引理，有 Π1ln22 ♣♦♥ς ς •÷≠也就是说，n 1lln0 Π 22 ♣♦♥ς ς •÷≠因此 ln 0 ♣♦♥Π1 ς •÷≠ ς 1220 ♣♦♥ Π ς •÷≠ ς
如果股票价格服从上述几何布朗运动，其连续复利收益率服从正态分布，股票价格服从对数正态分布。基本思路：运用伊藤－德布林引理将其中的随机部分消除掉，转化为普通布朗运动。错误的求解是： μ σ Ν Π ς 解：令 Ν运用伊藤德布林引理，有 Ν Π Ν ς Ν也就是说， Ν 0 0 Ν ΠΝ≥ Ν0ς ≥整理得到 0 1 Π≥ Ν 0 Νς伊藤－德布林引理在金融中的运用金融的经典假设是股票价格服从几何布朗运动 Π ς其中μ和σ都是常数。几何布朗运动的基本性质： S t 服从漂移率和波动率则分别为 SΠ t 和 Sς t 的几何布朗运动，lnS t 服从漂移率和波动率分别为 1 22Π 和 ςς的普通布朗运动（虽然人们通常粗略地称股票价格的波动率为σ）。 股票价格在时间长度内的连续复利收益率服从期望值为 1 Π2♣2t♦ ，方差ς 为♥•÷≠ 2ςt的正态分布。 Π1ln 22 ♣♦♥ς ς •÷≠
，方差为 2Sςt的正态分布。lnS t 服从参数为n 0 1l 22Π t♣♦♥ ς •÷≠n ln 0 Π1l 22 ♣♦♥ς ς •÷≠也就是说， 服从上述参数的对数正态分布， ln 0 ♣♦♥Π1 ς •÷≠ ς 1 ♣220♦♥ Π ς •÷≠ ς 其期望值和方差分别为 > ≅ 0 μ 2 0 2 μ σ 21 几何布朗运动之所以成为刻画股票价格随机过程的经典模型，是因为该过程符合股票价格在现实生活中的主要特征： 布朗运动的鞅性质和马尔可夫性质与效率市场假说一致。 布朗运动对时间处处不可导和二次变分不为零的性质，与股票价格一致。 股票价格对数收益率服从正态分布，与现实较为吻合。 给定时刻的股票价格服从对数正态分布，与现实较为吻合。 在几何布朗运动下 是非负的，符合有限责任原则。几何布朗运动的几个问题： 在几何布朗运动下，是股票价格对数收益率服从正态分布而非百分比收益率服从正态分布。在很短的时间内，可以近似地认为 ∋ ∋Π ∋ς但长时间之后，股价百分比收益率正态分布的性质将不再存在。但连续复利收益率始终服从正态分布。 股票价格的预期收益率到底是μ还是μ 122 ？σ ∋ ∋Π ∋ς > ≅ 0 ♠← 0 μ ≡… ln Π122 ♣♦♥ς ς •÷≠
μ的最确切含义应该是短时间内股票百分比收益率的期望值（单位为年），但人们通常将之粗略地称为股票价格以连续复利表示的年预期收益率。股票连续复利的年预期收益率应等于 122 。μσ如何理解和估计σ？σ是股票价格对数收益率的年标准差。注意方差在时间上是可加的，其单位是年；但标准差是不可加的，其单位是年。计算σ的传统方法是从历史数据中求出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，就是 ς的估计值。但要注意，真实的方差应该是不同路径得出，而样本方差则是在一条路径上得出的一个估计值。给定0 T1δT2 ，划 分T每个子区间1 t 0t1 ，其... tm T2 t j,tj 1 ♠←上的对≡…数收益率为S tj 1t 1ln Π2 2 ♣♦♥ςtj 1tj W tjς •1 ÷≠ W tj j T1>,T期间对数2 ≅收益率的平方和为2m 1 ƒS♣21m1• m1 t ♦ Π ♣♦ς÷ƒ2 •2j1lnttWς t W t ♥jj÷j1j 0 S2jt♥j0≠ j0≠ƒ j 1m 1 ς Π 2♣2♦ ςW t Wt •tt ♥ƒj1 j ÷≠ j j 2j 0 当 30 ο时，上式近似等于 2ς T 是说，单位时间的对数收益率2 T 。也就平方和1为mS21 1 ƒ 1 ♣♦♥ | •2TTlntj÷21j 0 S ςtj≠因此， ς可以由高频对数收益率的平方和求得，人们通常把此指标称为已实现收益率（）。实际上，根据伊藤等距和二次变分的关系马上可知，几何布朗运动下连续复利收益率的方差就等于二次变分。因此可以用已实现收益率来计算σ。在现实中，估计波动率的方法主要包括：历史样本标准差法、方法、随机波动率法、隐含波动率法、已实现波动率法。如果股票价格服从几何布朗运动 Π ς
则期货价格应服从怎样的随机过程？运用伊藤德布林引理，有 μ σ 也就是说，期货价格的漂移就是股票价格的风险溢酬部分。形如 Π ς的随机过程被称为广义几何布朗运动。根据伊藤－德布林公式，显然有 Π 1ln 2♣2 ς ♦♥ ς •÷≠n 1lln0 Π202 ς ♣♦♥0≥ ς •÷≠≥或 Π 10202 ς ♣♦♥0≥ ς •÷≠≥广义布朗运动的性质：广义布朗运动涵盖了所有不带跳跃、由单个布朗运动驱动、严格为正的随机过程。当 Πt 和 ς 为常数时，就退化到几何布朗运动。几何布朗运动下S t 服从对数t正态分布，但广义布朗运动下，由于 Πt 和 ς 不为常数，甚至可能是随机的，S t 不t一定服从对数正态分布。如果 Πt 0 则dS t ςt S t dW t 两边同时积分，可得S t S 0 t0 ≥ ςs S s dW s 由于上式右端是非随机常数加上伊藤积分（鞅），因此当 Πt 0 时，广义几何布朗运动是一个鞅过程。也就是说，S 0 t1220 u du t0≥ς u dW u tSe ς≥
是一个鞅过程。运用上述性质可以证明：非随机被积函数的伊藤积分 0 ≥ 在给定时刻服从正态分布。首先，由于I 是鞅，并且tI 0 0 ，因此E I t ♠← 0 ≡…又由伊藤等距且b t 非随机，我们有VarI 2 t ♠← E tb2 u d≡…u ♠↔←ttEIb≥ 200 u du ≡≈…≥接下来运用矩母函数证明I t 服从正态分布。也就是说，应该有Ee Τ ♠← 12 t2Ite2 Τ0b≥ u du ≡…即Ee 12 tItb22 ΤΤ0≥ u du ♠↔← 1 ≡≈…或者改写成tEeb u dW u 1 t ≥b u 2 d u02Τ0♠↔← 1 ≥Τ ≡≈…由于etb u dW u 10 2 t0 ≥服Τb u从 鞅2 d 过u程且初始 值为，上式成≥立Τ。模型（）是瞬时利率的常用模型，具体形式为dr t Ν rΠ t d t dW tς 其中 Ν、 Π和 ς均为大于零的常数。我们已经知道，式的解为 0 1 Ν Π≥ Ν Ν0 ς模型的主要性质包括： 均值回归。模型的最重要特征是其均值回归特性。如果当前利率水平r t 小于 Π，模型的漂移率将大于，未来利率的平均趋势是向上漂移；反之，如果当前利率水平r t 大
于于 Π，则意味着小于的漂移率和向下的漂移趋势。因此 Π是长期均值水平， Ν则是均值回归的速度。 正态分布在式中，右端的随机变量 t 0e≥sΝdW 服从期望值为，方差为s te2≥ds1 Νe2Νt 02 1 Ν的正态分布。因此模型下的利率服从期望值为etr 0 Π1 eΝt Ν方差为 2ς Ν1 22e tΝ 的正态分布。这使得利率有可能为负，是我们所不希望看到的性质。模型（）是另一个关于利率的常见模型，具体形式为dr t Ν rΠ t d t r t dςW t 其中 Ν、 Π和 ς均为大于零的常数，2 Ν !Π2 ς。假设 Ν运用伊藤－德布林公式，有 Ν Π Ν ς Ν 我们可以推得r t e tr 0 1 eΝ tΠe≥ Νt s Ν0r t dW s ς式并非r t 的闭式解，但可以从中推知r t 的期望值为er 0 Π1 eΝt Ν接下来，我们计算r t 的方差。由式可以计算得E f t ♠← r 0 Πe ≡…tΝ1 再运用伊藤－德布林公式可得，
d f 2 t 2f t df t df t df t Νe fΠ t dt e tΝt f ς t 322 d W t 2e Νtf t ςdt Ν两边同时积分可得f2 t f 2 0 2 Ν Π2 e ςsΝ Ν3fsds2202oe≥sf ς s dW s ≥由此可得Ef2 t ♠← r 2 0 Ν ≡…Π r 0ς e 1 2 Ν e 2ΝΠtς2 1 ΠΝ 相应可推出E 得到r2 t ♠← ， 最终≡… ♠← 0 ≡… Π1 Ν ΝVar r t Er2 t ♠← E r t ♠← 2 ≡…≡… ςr 0 e tΝe t Ν Π ς12et eΝ 2t Ν 2模型的主要性质包括： 均值回归在模型下，当t ο φ时，利率期望值趋于 Π，方差趋于 Π2 ς2 Ν，说明模型生成的利率是有界的。当 Νο φ时，利率期望值趋于 Π而方差趋于，当 Νο0时，利率期望值趋于 0 ，说明模型中的 Π和 Ν仍代表着长期均值水平和均值回归的速度。卡方分布与模型相比，在模型下，利率不再服从正态分布，而是服从非中心卡方分布。通过对参数的约束以及非中心卡方分布的设定，模型避免了负利率的可能。模型还有其他的一些优点，使之成为最常用的动态利率模型之一。多元随机分析多维布朗运动如果随机过程W t W 1 t ,W 2 t ,.. .,Wd t 满足以下性质：Wi t 是两两独立的一维布朗运动，则我们称W t 为维布朗运动。
相应于维布朗运动，我们有域流 t ,t 0τ使得以下性质成立：（信息累积） s ；t ,0 s δt δ（适应性）对于每个t 0τ，随机向量W t 为 t 可测；（未来增量的独立性）对于0 tδu δ，增量向量W u W 独 立于t 。tVarC 2E C♠ ≡3 ←…3W>i,W 或i t≅ t dWidWi d ；tn 1 dW22♠ ≡idWj 0 证明：ƒW t W t ♠← W t W t ♠← ≡ikikjk1jk…≡…↔≈对 0,>T ≅进行一个划分 3。对于i jζ，定义k 0 E n1 C n 1 3 Wƒi tk 1 W i tk ♠← Wj tk 1 Wj tk ♠← ≡… ≡…k0可以很容易看出2 ƒ♠←t W t W ♠ t W t W ≡ t W t W t ♠←≡…… ♠←←≡…Wt ≡ il1iljl1jlik1ikjk1jk…E C > 3 ≅0 l k …同时，n 1 22≡ E ƒW t W t W t W t ikikjkjk↔≈k 0 …n 1 2 ƒt t 0 οk1 kk 0 因此dWidWj 0 多元伊藤－德布林公式
m设我们有 1 ，以及fx,x2,...,xn,t dXt dX t 2b t dt iiƒikk 1 dX t a t dt mii bƒik t dW k t k1mt2W,1,2,.X,Xt budujj 相互独立 。..,m,> ≅ ii ≥ƒik则0k 1 mmdX t dX t b t b t dt ijƒi kƒjlk 1l 1 mmt X,X ♠t b u b u du ij← ≥ƒ ≡ik…ƒjl0k 1l 1 相应地，多元伊藤－德布林公式的微分形式可以写为d XX 1,1,2,... f dnnnftXntt fƒxdXi fdXdX1i21 1 xƒix j iƒjiijdX t a 1 t dt b 11d W1 t b12d W2 t dYta2tdtb21dW1tb22dW 2t 则d X t Y t X t dY t Y t dX t dX t dY t 相关的布朗运动设dX1 t a1 t dt b1dW1 t X1tdX2 t a2 t dt b2dW3 t X2t其中W1 t 和W3 t 的相关系数为常数 Υ。我们可以将以上两个式子表达为
dX1 t a1 t dt b1dW1 t 1tdX2 t a 2 2 t dt b 2 dW1 t 1 ΥdW t ♠← Υ ≡t2…2其中W1 t 和W2 t 相互独立。根据以上设定，dW3 t dW1 t 1 Υ2d W 2 t Υ可以看出，由此设定的W3 t 具有连续路径，W3 0 0 ，增量两两独立，且服从期望值为、方差为时间长度的正态分布，因而仍然是布朗运动。同时，d W 1 t W 3 t W 1 t d W 3 t W 3 t dW 1 t dW1 t dW 3 t 1td3t3 td1tdΥt 两边积分并求期望可得EW1 t W 3 t ♠← E ♠↔←W u dW u 013E ≡≈… W≥ u♠↔← dW u t t≡031Υ≈… Υ≥由于W1 t 和W3 t 的标准差均为t，因此其相关系数为常数 Υ。布朗运动的辨识我们已经知道，布朗运动满足以下条件：初始值为的独立平稳增量独立性：如果 ! ，τ那么 ! ⊥ ,δ δ⊥ ⊥ δ δ平稳性：对于任意、和， 和 的分 布 相同。增量服从均值为零，方差为时间间隔的正态分布即 分 布为 0, 。 每条路径都是几乎处处（）连续的。也就是说，对于任意一条实现的路径，不连续的点的集合测度为零。
首先由独立平稳和正态分布推导该过程的依概率连续：对于任意小的正实数 Η和任意时间，lim |⊥ | Η=! liοm| t !↑00→↓ ♣♦♥ •÷≠Η|2Η0 ο↵上述收敛方式被称为以概率收敛，也就是我们在大数定律中所用到的收敛方式。所以满足、的随机过程在任何一点不连续的概率为，这样的随机过程被称为随机连续（）。实际上，中所描述的连续性需要 ∋几 乎 必然 收敛。这是一个强于依概率收敛的收敛方式。要证明几乎必然收敛往往需要用到实分析中的各种收敛定理。这里我们不加证明地给出一个在概率测度论中经常用到的验证几乎必然收敛的定理，想了解详细证明的可以参考第二章。该定理由现代概率论的创始人给出。如果一个随机过程 X⊥ t 满足如下条件：对任意T 0!，存在正的常数 ,∆,D Ε，使得E|Xt X s|♠←D |δts|1 ∆ ; 0s,tT ≡…δ δΕ则 X⊥ t 几乎处处连续。对于布朗运动来说，我们已经在习题里验证过 4 ,∆2 ,D 是满3足条 件Ε的 一个组合。所以只要满足独立平稳性和正态分布，我们就可以得出即每一条路径都是几乎处处连续的结论。这一结论最早的证明是由维纳（）给出的（原始证明是从严格的测度概率论的定理出发，在此我们不做介绍），所以满足、的过程又称为维纳过程。 满足条件和的随机过程实际上就是世纪生物学家布朗观察到的完全随机的粒子运动。爱因斯坦证明了满足条件和的运动增量服从正态分布。因为每一段位移（增量）都可以看作是无穷多个独立的微小位移的代数和，根据中心极限定理，每一增量都应该是服从正态分布的。至于方差为何刚好等于时间间隔，其证明超出了本课程的范畴。感兴趣的同学可以阅读第十二章。爱因斯坦将该运动命名为布朗运动。可见维纳过程和布朗运动其实是同一种随机过程的不同角度的定义，在本课程中我们统称为布朗运动。我们要验证一个随机过程是否为布朗运动，只要验证其中的一个就行了。 1但要注意，满足这一条件的随机过程仍然有可能出现不连续的路径。 2 事实上，满足、的随机过程被称为过程，也是在金融建模非常重要的一类随机过程。要详细了解该过程可以参见随机金融的百科全书第三章。
验证方法：如果一个随机过程 ⊥ 满足初始值为，独立平稳增量，且增量服从均值为、方差为时间间隔的正态分布，那么该过程为布朗运动。验证方法：如果一个随机过程 ⊥ 满足初始值为，独立平稳增量，而且其路径是几乎处处连续的，那么该过程为布朗运动。验证方法：联合正态分布可以由均值向量和方差协方差矩阵确定，也可以由分布函数、矩母函数和特征函数唯一确定，所以我们有如下验证方法：如果一个随机过程 ⊥ 初始值为，在任意个不同时点的取值 服从联合正态分布，均值向量1 , 2 , 3 ,.. . Π 为，方差协方差矩阵 ƒ为 t1t1t1♠↔ ≡≈t1t2t2 ↔ ≈t1t2tm←…则此过程为布朗运动。验证方法：如果一个随机过程 ⊥ 初始值为，在任意个不同时点的取值 的联合分布函数为1, 2 ,.. . 2 Σ nfx2 1/2ƒp 1xT 1x♣♦♥ ƒ •÷≠ ||ex2则此过程为布朗运动。验证方法：如果一个随机过程 ⊥ 初始值为，在任意个不同的时间点的取值 的 联合矩 母函 数为1,2,...
验证方法：联合特征函数（略）验证方法（ 定理）：（一维情形）如果一个随机过程 ⊥ 初始值为，具有连续的路径，相应于域流 且对于所有, 0τ是一个鞅，并0 > ，,, ≅ 则 τ此过程为布朗运动。 （二维情形）假设对于 1 ,2，随机过程 ⊥ 均具有如下性质：初始值为零，具有连续的路径，相应于域流 , 0τ是一个鞅，并且对于所有0 > ，≅且 有,, τ 0 >，则,1,2 ≅ 1 0 和2 是相互独立 的布朗运动。以上方法的共同特点是过于繁琐，用于验证往往十分困难。所以我们经常使用的是如下方法。如果一个随机过程在任意个时刻的函数值服从维联合正态分布，那么该随机过程成为高斯过程。易见布朗运动是一个高斯过程。高斯过程有两个非常有用的特性：高斯分布的联合分布可以由前两阶矩完全决定。也就是说，我们只需要计算 ♠← 和 ≡… 来♠← 定义一个高 斯过程。≡…例如，布朗运动就可以定义为 ♠← 0 和 ≡… 的♠← 高m斯 过程。in ,⊥ ≡…很多重要的随机过程如过程、过程和布朗桥过程都是高斯过程。如果 ⊥ 是高斯过程，那么 也是高斯过程。其中 和 是确定性函数，为常数。所以我们得到一个简便的验证布朗运动的方法。验证方法：如果一个高斯过程 ⊥ 的初始值为，其前两阶为 ♠← 0 ≡… ♠← m in ,⊥ ≡…那么该过程为布朗运动。
