第九章 奇异期权
期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。本章我们将介绍其中一些常见的新型期权，分析其定价和保值机制。这些思路和方法将有助于我们理解市场中不断创新的期权工具。
第一节 奇异期权概述
到目前为止，我们所涉及的主要是标准的欧式或美式期权，比这些常规期权更复杂的衍生证券常常被叫做奇异期权（Exotic Options），比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废，等等。大多数的奇异期权都是在场外交易的，往往是金融机构根据客户的具体需求开发出来的，其灵活性和多样性是常规期权所不能比拟的。但是相应地，奇异期权的定价和保值往往也更加困难，奇异期权对模型设定正确与否的依赖性常常很强，合约中潜在的风险通常比较模糊，很容易导致非预期的损失，无论是用标的资产进行保值还是用相应的期权进行保值（在后面我们将会看到，这种保值方法被称为静态保值），都需要很小心。
由于奇异期权的多样性，要对它们进行完全的描述是不可能的，我们只能介绍一些常见的奇异期权，阐述相关的定价和保值技术，为读者提供一个借鉴，当遇到性质相同的问题时，可以加以利用。本节的主要内容是：对奇异期权的主要类型进行大致的区分，以帮助读者更好地理解奇异期权。这些类型包括：分拆与组合；弱路径依赖；强路径依赖；时间依赖、维数和阶数。必须注意的是，因为奇异期权变化很多，本节内容并不能包括奇异期权的所有特点。
一、分拆与组合
最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。这一方法是金融工程的核心之一。
分拆和组合的思想还可以用在为奇异期权定价上。通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。在后文中我们将看到一些具体的例子。
二、弱式路径依赖
所谓的路径依赖（Path Dependence）性质是指期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖（Weak Path Dependence）和强式路径依赖（Strong Path Dependence）两种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。
美式期权（或者更一般的说，具有提早执行特征的期权）就是弱式路径依赖型的期权。当期权到期时，期权持有者是否仍持有期权要看他是否已经执行了期权，或者说要看标的资产价格遵循的路径，但是在定价模型中，我们并不需要增加独立的状态变量，因此美式期权路径依赖的特征是比较弱的。
导致弱式路径依赖的第二个最常见的原因是障碍(Barrier)。当标的资产价格在事先确定的时间内触及某个预先确定的障碍水平时，障碍期权（敲入或敲出期权）就可能被敲出（作废）或是敲入（开始生效）。这种期权显然是路径依赖的，但是因为我们仍然只需要解一个以资产价格和时间为变量的偏微分方程，它仍然只是弱式路径依赖的。
三、强式路径依赖
与弱式路径依赖对应的强式路径依赖，在奇异期权中也相当常见。这些期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说我们不能将期权价格简单写作，我们还需要获得资产价格路径的更多信息。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。在现实生活中存在着许多这样的期权合约，亚式期权是其中的典型范例，其损益要受到标的资产在一定时间内价格平均值的影响。我们将在本章中应用一些具体例子来说明如何将强式路径依赖期权纳入到一般的布莱克－舒尔斯分析框架当中去。
四、 时间依赖
奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间依赖（Time Dependence）的特性。比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕大期权；敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设定一个比上个月更高的水平。或者我们可以想象一个敲出期权，其障碍只在每个月的最后一星期有效。这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。
五、 维数
维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。常规期权有两个独立变量和，因此是二维的。弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同，比如一个障碍期权和与之相应的常规期权都只有两个变量，都是二维的。对于这些合约来说，资产价格这个变量的作用和时间变量的作用是彼此不同的，因为在布莱克－舒尔斯方程中，包含了对资产价格的二阶偏导而只有对时间的一阶偏导。
在两种情况下，会出现三维甚至多维。第一种情况出现在我们有其他随机源的时候，比如期权中有多个标的资产。假设有一个期权，要取两种股票价格的最大值。这两种标的资产都是随机的，每种都有自己的波动率，它们之间还有相关关系。在布莱克－舒尔斯方程中，我们将会出现对每种资产价格的二阶偏导，我们把这叫做存在和的扩散过程，这就出现了三维问题。
三维的第二种形式是强式路径依赖的合约。比如一种新的独立变量是路径依赖量（比如亚式期权中的价格平均数）的一个衡量，期权价值是依赖于这个量的。这样，期权价格方程中需要再增加新的变量，但这时期权价格对这个新变量的导数只是一阶的。这样这个新的变量看起来更像是一个象时间一样的变量，这与多标的资产的情况显然是不同的。
六、期权的阶数
奇异期权最后的一个分类特征是期权的阶数，但这不仅是一种分类特征，还引入了建模的问题。
常规期权是一阶的，其损益仅直接取决于标的资产价格，其他的如路径依赖期权，如果路径变量直接影响期权价格的话，它也是一阶的。高阶指的是那些期权损益和价值取决于另一个（些）期权的价值。最典型的二阶期权的例子是复合期权。比如一个看涨期权给予持有者购买一个看跌期权的权利。复合期权在时刻到期，而作为其自变量的那个标的期权则在更迟的一个时刻到期。
从实际的角度来看，高阶期权的存在提出了一些重要的建模问题：复合期权的损益取决于标的期权的市场价值而非理论价值。但是我们对两阶期权都要使用理论模型，这时高阶期权对模型正确与否就非常敏感，需要很小心地处理。我们在第七章中所讨论的那些模型假设问题在这时就非常重要。
第二节 障碍期权
一、障碍期权的分类
障碍期权（Barrier Options）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。通常有许多种不同的障碍期权在场外市场进行交易，它们一般可以归为两种类型：
1. 敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被“敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个常规期权。
2. 敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作废。
在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：
如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。
如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。
将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权（Down-and-out Call）、向下敲入看跌期权（Down-and-in Put）和向上敲出看涨期权（Up-and-out Call）等。
障碍期权推出初期，交易量不大，很少人能很熟练地为它们定价。但现在，障碍期权的市场容量急剧扩大，人们还根据市场需求对它们作了进一步的变形。现在，也许只有那些在以上这些基本的障碍期权之上增加了许多新的特殊交易条款的期权才能被叫做奇异期权了。这些条款包括：
1. 障碍水平的时间依赖性，即随时间不同障碍水平将发生变化，比如障碍水平从某一个位置开始，逐渐上升。通常来说，障碍水平会是一个时间的分段常数函数（即在一段时间之内维持一个固定的水平，之后发生变化再维持一个水平）。其中的极端例子是被保护或是部分障碍期权（Protected or Partial Barrier Options）。在这类期权中，障碍是间歇性的，在一段特定的时间内，障碍会完全消失。其中又可以分为两类，一种是在障碍有效的时间内，只要资产价格处于障碍水平之外，障碍条件就被引发；第二种则是只有资产价格在有效时间内越过障碍，才被引发，如果价格已经位于障碍水平之外则不会引发。
2. 双重障碍(Double Barrier)：期权条款中包含一个障碍上限和障碍下限。上限高于现价，而下限则低于现价。在一个双重敲出期权中，如果任何一个障碍水平被触及，期权就作废。在一个双重敲入期权中，规定时间内价格至少要达到其中一个障碍水平期权才可有效。我们还可以想象其他的情况：一个障碍水平是敲入，而另一个则是敲出。到期时，这个合约可能是一个敲入或是敲出的期权的回报。
3. 多次触及障碍水平（Repeated Hitting of the Barrier）：双重障碍期权可以进一步变得更复杂：有一类期权要求在障碍条件被引发之前，两重障碍水平都要被触及。实际上当其中一个障碍水平第一次被触及，这个合约就变成了一个常规的障碍期权，因此，这种期权可以看成一个在较低的障碍水平上的向上期权和一个在较高水平上的向下期权之和。
4. 障碍水平的重新设定：这种期权叫做重设障碍期权（Reset barrier）。当触及到障碍水平的时候，合约变成另一个不同障碍水平的障碍期权。由于如果在规定时间之内障碍被触及的话，我们就会得到一个新的障碍期权，而如果在一定时间之后被触及，则仍然是常规期权，在此意义上，这类合约可以看作是依赖于时间的。
和这类合约相关的一类期权是上卷期权（Roll-up）和下卷期权（Roll-down）。这类期权开始时是常规期权，但如果资产价格达到某一事先确定的水平，就变为一个障碍期权。比如，一个上卷看跌期权，如果上卷水平达到，合约就变成一个向上敲出看跌期权，上卷价格就是障碍看跌期权的执行价，相应的障碍水平则是事先确定好的。
5. 外部障碍期权（Outside Barrier Options）：外部或称为彩虹障碍期权（Rainbow Barrier Option）的回报特征取决于第二种标的资产。这样这个期权中的障碍水平可能被一个资产价格的变动触发，而期权的回报则取决于另一种资产价格。这类产品显然属于多因素合约。
6. 提前执行的可能性：除了以上对障碍的多种创新之外，还可以在障碍期权中加入美式提前执行的条款，这时合约中一定要列明如果合约提前执行的话，期权回报将如何。
7. 部分折扣（Rebate）：有时障碍期权合约中会规定，如果触及障碍水平，可以部分退款（折扣）。这常常发生在敲出期权的情况下，这时这部分退款可以看作是对失去的回报部分的缓冲。这部分退款可以在障碍被引发时或是到期时才支付。
二、障碍期权的性质
从障碍期权的基本分析中我们可以看到，障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。比如，一个向上敲出看涨期权在到期时同样支付，除非在此之前资产交易价格达到或超过障碍水平。在这个例子中，如果资产价格到达这个价位（显然是从下面向上达到），那么该期权敲出。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。这和我们在后面将看到的那些强式路径依赖的期权如亚式期权等是不同的。关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。
障碍期权受欢迎的主要原因在于：它们通常比常规期权便宜，这对那些相信障碍水平不会（或会）被引发的投资者很有吸引力。而且，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。通常来说，购买者对于市场方向都有相当精确的观点，如果他相信标的资产价格的上升运动在到期之前会有一定的限制，希望获得看涨期权的回报，但并不想为所有上升的可能性付款，那么他就有可能去购买一份向上敲出期权。由于上升运动受到限制，这个期权的价格就会比相应的普通看涨期权价格便宜。如果他是对的，那么这个障碍水平并不会被引发，他就可以得到他所想要的回报。障碍距离资产价格现价越近，期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相应的普通期权便宜。
三、在布莱克-舒尔斯偏微分方程框架中为障碍期权定价
（一）定价基本原理
障碍期权是弱式路径依赖的，这使得我们仍然可以直接应用布莱克-舒尔斯期权定价偏微分方程来为其定价。在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足
而障碍条件则反映在相应的边界条件上。
1. 敲出障碍
当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为
当时， （）
其中可以是向上或向下的障碍水平。
对于一个向上敲出障碍期权来说，我们要在的条件下解出布莱克-舒尔斯偏微分方程，同时考虑资产价格达到时的边界条件（），最后如果障碍水平没有达到，还需要考虑回报。如一个看涨期权，我们有：
（）
这一边界条件。
如果是一个向下敲出障碍期权，则将范围改为，考虑相应的两个边界条件，解出偏微分方程。
注意如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件（）可以修改为：
其中R为折扣数。
2. 敲入障碍
敲入期权只有在障碍水平被触及的时候才有价值，因此，如果没有到达障碍水平，则
对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值就等于一个相应的常规期权价值。
当时，＝
对于敲入期权来说，当障碍被触及时，我们得到的是衍生工具本身，因此一个敲入期权实际上是一个二阶合约。在解敲入期权价值的时候，我们必须先得到常规期权的价值，因此要花解敲出期权两倍的时间，才能得到敲入期权的价值。
3. 敲入和敲出障碍期权的关系
在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系：
敲入期权＋敲出期权＝执行价格和时间相同的常规期权
这是因为无论资产价格是否触及障碍水平，敲入期权和敲出期权的组合总能得到与常规期权相同的回报。这个关系在障碍期权定价中很有意义，只需要求出其中一个障碍期权，即可得到另一个的价值。
（二） 障碍期权的具体定价公式
当假设波动率为常数、资产价格服从对数正态分布时，我们可以使用布莱克-舒尔斯偏微分方程解出很多种障碍期权的理论价格。在第七章中我们已经讨论过这些假设并不符合实际，而障碍期权的价格常常对这些假设很敏感，因此事实上这些理论价格公式在实际中很少使用，而是需要其他的技巧和方法来加以改进。所以这里我们只给出一些障碍期权理论价格的例子，目的是帮助理解障碍期权的定价，其他的公式将在本章附录A中列出。
1.向下敲出看涨期权
仍然用来表示与障碍期权具有相同的执行价格和到期时间的常规期权的布莱克－舒尔斯解析解，表示障碍水平，则一个的下降敲出看涨期权价格为
（）
我们可以用倒推法来证明它确实满足我们上面给出的方程和边界条件。首先，由于是布莱克-舒尔斯偏微分方程的解，容易证明对于任何的值，也是方程的解。其次，当时，显然＝，满足边界条件（）。最后，当时，，导致，边界条件（）也得到了满足。
从式（）我们可以很容易地看到， EMBED EMBED ，即一个向下敲出看涨期权比相应的常规欧式看涨期权要便宜一些。
2. 向上敲入看涨期权
应用敲入和敲出期权之间的关系，我们可以得到，相应的向下敲入看涨期权价格为
值得注意的是，如果H和执行价格X的位置关系不同，这里的价格也会变化。障碍期权由于运动方向（向上和向下）、敲入敲出和看涨看跌的不同组合，会形成八种不同的类型，只有在向下看涨期权和向上看跌期权中，才会因为H和X的位置关系不同而导致价格变化。其他情形下H和执行价格X只可能有一种位置关系，否则或者障碍或者期权没有意义。例如在向上敲出看涨期权中，必然，不然的话这个障碍期权是没有价值的。附录中给出了这八种障碍期权的具体价格公式。
（三） 障碍期权定价的扩展
1.障碍期权合约中增加条款的考虑
以上我们给出的是常规障碍期权的定价，如果在合约中还加入对障碍水平和执行时间等方面的创新条款，定价时就必须增加考虑这些具体因素。比如美式提前执行条款是对组合价值增加一个简单的约束条件；双重障碍期权的价值等于一个在较低的障碍水平上的向上期权和一个在较高水平上的向下期权之和，可以以此为边界条件，解出布莱克-舒尔斯偏微分方程；而重设障碍期权价值则可以使用两次解出障碍期权价值的方法来求得；等等。有些扩展条款无法得到精确的解析解，就需要运用数值方法来为其定价。
2. 波动率的选择
正如我们在第七章中已经讨论过的，布莱克-舒尔斯偏微分方程中对常数波动率的假设是不成立的，由此计算出来的理论价格在实际中并不适用，因此市场交易人员在为障碍期权定价时，并不会采用这个假设，而是利用其他的一些交易技巧来对此加以改进。其中一个常用的方法就是使用从常规期权市场中计算出来的隐含波动率矩阵，从中获得波动率的有关信息。第七章中我们强调了这种应用常规期权中得到的信息来为奇异期权定价的方法要小心使用，需要同时使用常规期权来为奇异期权套期保值，以降低模型风险，提高内部一致性。这与我们后面即将谈到的静态期权复制的关系十分密切。
3. 标的资产价格的观察频率
和障碍期权定价有关的另一个重要问题是：在检验资产价格是否达到障碍时，观测的频率为多少。以上给出的解析公式都假定连续观测。在实践中，障碍期权合约里常常会规定资产价格是每天一次的观测值，比如每天的收盘价。Broadie，Glasserman和Kou 在他们的一篇论文里给出了当资产价格离散观测时对上述所有公式的一个调整：如果设m为股票价格观测的次数（这样就是每次观测之间的时间间隔），则公式中的障碍水平H要进行调整，对于向上的障碍期权，H应调整为 ，而向下的障碍期权则应为。
四、数值定价方法
由于布莱克-舒尔斯偏微分方程得到的理论价格有时并不令人满意，那些增加了新的创新条款的障碍期权（如美式障碍期权）也常常无法得到精确的解析解，这时我们可以考虑使用数值方法来为障碍期权定价。我们这里主要介绍树图方法。在理论上，障碍期权可以用二叉树或是三叉树模型来定价，只要在原先模型的倒推过程中，在结点上增加考虑障碍的影响就可以了。但是，由于树图结点设置的障碍不同于真实的障碍水平，树图模型收敛缓慢。从图和图可以看到，在真实障碍附近，二叉树和三叉树图都形成了相应的内部障碍（Inner barrier，即紧邻于真实障碍内部的那些结点形成的障碍水平）和外部障碍（Outer barrier，即紧邻于真实障碍外部的那些结点形成的障碍水平），它们与真实障碍之差就形成了误差。实践中人们采用三种方法来克服这个问题，无论哪种方法，三叉树模型都比二叉树模型更有效率。
图 三叉树图中的障碍水平
图 二叉树图中的障碍水平
将结点设置在障碍上
这个方法的主要思想就是在构造树图的时候，通过参数设置，使得障碍水平正好能落在结点上。假设有两个水平障碍<，那么在三叉树图中，使
（）
其中为整数。由于一般的三叉树中的隐含值为，要使得尽量与式（）一致，即构造满足
和
的三叉树图 。其中，我们选择第一个中心结点为且要尽量接近初始股票价格，即
。
通过以上设置构造出来的树图使得障碍水平落在结点上，能有效的克服障碍水平问题。象通常一样，树图中所有分支的概率选择都应与资产价格所遵循的随机过程的前两阶矩相匹配。
结点不在障碍水平上的调整、
处理障碍的另一种方法是不变化树图，而是在倒推过程中进行相应的调整，计算当资产价格位于内部障碍结点上时衍生证券的两个值：第一个值假设内部障碍是真实障碍，第二个值假设外部障碍是真实障碍。然后通过内插法得到基于内部障碍的期权价值。
我们可以举一个例子来说明。假设在某一时刻真实障碍距离内部障碍，距离外部障碍，这时分别计算出内、外部障碍是正确的情况下的期权价值为0和2，那么基于内部障碍的期权价值内插值就为，用这种方法我们可以得到所有结点的基于内部障碍的期权价值，从而获得期权初始价值。
这种方法可以推广到多个障碍的情况和障碍非水平的情况。
3.适应性网状模型（The adaptive mesh model）
第八章中我们曾经介绍过用于美式期权定价的适应性网状模型，这也许是为障碍期权定价的最好方法。具体来说，就是当资产价格接近障碍水平时，我们使用高密度的树图使得结点能够落在障碍水平上，当然，在高密度的数图的参数设计中，要采用第一种方法（即将结点设置在障碍上）的设计思想。Figlewski和Gao 对前述第一种方法和适应性网状模型进行了比较，他们发现适应性网状模型在计算效率上有了极大的改进，尤其在资产初始价格接近障碍水平时，第一种方法效果不太好，而适应性网状模型的效果则相当不错。
五、障碍期权的套期保值
（一）静态套期保值
实现套期保值和风险管理是期权交易人员非常重视的一个问题。对于奇异期权来说这个问题尤其重要，因为它往往比常规期权更难保值。在障碍期权中，障碍水平的存在导致了期权中的（期权和资产的无套利组合中，期权价格变化对标的资产价格变化的比率）是不连续的，这时继续运用单位的标的资产为其动态保值就不可能了，而且保值成本也非常高。这时我们往往需要运用静态保值（Static Option Hedge）的方法。
所谓的静态保值方法就是尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，如果期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。在静态套期保值中所用到的思想是：在边界条件上，构造那些常规期权组合的价值等于障碍期权的价值，从而为障碍期权保值，如果在边界上两个组合的价值都相等的话，那么边界之内它们的价值也必然相等，所以只需要考虑边界条件就可以了。
这种保值方法由于不需要进行频繁的再调整而被称为“静态”保值，这使得它具有相当的优越性。对于许多无法用普通标的资产实现保值的衍生证券 ，这是行之有效的一个保值方法。前文在讨论使用隐含波动率的时候已经两次提及了这个问题。由于我们从交易活跃的常规期权中得到隐含波动率，并使用其中的信息为奇异期权定价，这时必须要使用相应的常规期权为之保值，才能减少模型使用错误的风险，保证定价的内在一致性。
（二）反射保值
下面我们给出另一种为障碍期权保值的方法，这个方法建立在反射原理（Reflection Principle）和看涨看跌对称(Put-call Symmetry)的基础上，很简单但效果相当不错，但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列的时候才有效。
最简单的看涨看跌对称关系就是PCP平价关系。即
假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水平H和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常规看跌期权空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们的组合头寸价值为，其中第一项来自障碍期权，第二项来自常规期权。根据平价关系和，组合价值正好等于。这是一个接近0的数。此时我们将两个期权平仓，就可实现保值。
如果障碍水平没有触及，则两个期权到期时都没有价值。
在执行价格和障碍水平不同的情况下，如果，我们可以用份执行价格为的看跌期权来为这个向下敲入看涨期权保值。因为如果资产价格触及障碍水平，向下敲入看涨期权就是一个执行价格为的常规看涨期权。如果利率为零，很容易从布莱克－舒尔斯看涨和看跌期权公式中看到这个看涨期权的价格等于份执行价格为的看跌期权的价值。可以看到这个看涨期权的执行价格和看跌期权执行价格的几何平均等于障碍水平。这就是反射原理：保值看跌期权的执行价格是看涨期权执行价格相对于障碍水平的反射。当利率非零时，在这个保值中有点误差，但也同样很小且容易管理。如果没有触及障碍线，两个期权到期都没有价值（因为看跌期权的执行价格低于障碍水平）。
但是如果，问题就复杂得多，我们就无法应用上述方法进行保值了。
第三节 亚式期权
亚式期权（Asian Options）是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价公式中的一个独立状态变量。
亚式期权受欢迎的一个重要原因在于：平均值的采用减少了波动，导致了它比一个类似的常规期权要便宜，而任何能降低期权合约前端费用的东西都会导致它们更受欢迎。同时，在许多情况下，在市场上寻求套期保值的公司往往需要为他们在未来一段时间内连续平稳的可预测现金流进行保值，这时持有一个合适的亚式期权可以对冲平均价格的风险，因此亚式期权对那些不断进行的小额交易特别有用。有时，亚式期权所使用的是一段特定时期内的平均价格，往往可以满足投资者的特殊需求。例如有一类亚式期权被称为尾部亚式期权（Asian tail），使用的是期权快到期之前一段时间内的标的资产平均值，这对于那些到期时有固定的现金流出的交易者（比如养老金帐户）就很有意义，可以避免到期前标的资产价格突然波动带来的风险。
在本节中，我们将首先讨论亚式期权的不同种类，之后推导强式路径依赖期权定价的基本思想以及在亚式期权中的应用，最后将给出亚式期权定价的一些具体公式和数值方法。
一、亚式期权的种类
亚式期权的分类可以主要从两方面进行：哪个值取平均值？如何取平均？
首先，如果用平均值取代到期资产价格S，我们就得到了平均资产价期权（Average Price Options），比如平均资产价看涨期权的到期回报为；如果用取代执行价格，则得到平均执行价期权（Average Strike Options），平均执行价看涨期权的到期回报为。
其次，我们所使用的平均值主要可以分为两类：算术平均和几何平均。算术平均的一种形式可以表示如下：，而几何平均一般可以用，或者来表示。除此之外还有一种使用广泛的方法是指数加权平均，也就是说它不象算术平均或几何平均那样给予每个价格以等权重，而是最近的价格权重大于以前的价格，并以指数的形式下降。
事实上，在亚式期权中还有一个很重要的问题：在取平均值的时候使用的是连续还是离散方法。如果我们在一个有限的时间内取时间上非常接近的价格相加，我们计算的平均价格就会变成在这段平均期内的资产价格（或是其某一函数）的积分值，这就给出了一个连续平均值。更一般的现实情况是，我们只取总体数据中的一部分可靠的数据点，一般取每天或确定日子的收盘价，这被叫做离散平均。前面给出的平均值公式实际上都是离散形式的，相应的连续算术平均和连续几何平均公式分别可以写成：
和
其中到为取平均值的时间区间。
在以上的分类中，一般来说，平均执行价期权、几何平均期权和连续平均期权更容易得到解析解。除此以外，亚式期权也有其他的一些变化，如计算平均值的时间可以具体不同，比如前述的尾部亚式期权；或者其中可以加入提早执行的美式条款等等。这些变化对亚式期权定价的影响不如前三种分类的影响大。
二、强式路径依赖期权定价的基本思想以及在亚式期权中的应用
我们前面已经介绍过，强式路径依赖期权的实质在于这些期权的回报除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说我们不能将股票期权价格简单写作，至少还要再增加一个描述资产价格路径的独立变量。亚式期权就是典型的强式路径依赖期权，需要再增加一个资产价格平均值的变量，定价模型将从二维上升到三维。在这种情况下，我们仍然可以将强式路径依赖期权的定价纳入到布莱克-舒尔斯期权定价偏微分方程框架中去。下面我们就以亚式期权为例，分析这一定价思想。但由于布莱克-舒尔斯模型的一个假定是资产价格变动的连续性，因此加入平均价格变量的时候，就需要把情况分成连续取样平均和离散取样平均分别考虑。
（一）连续取样平均
我们使用平均执行价期权作为例子来说明连续取样平均。定义反映资产价格路径平均值的变量为
其中为平均值函数，视期权合约条款规定而不同。如果是算术平均，则这个状态变量为；如果是几何平均，新的状态变量则为。
这时我们可以看到，即I所满足的随机偏微分方程中并没有包含随机项，因此我们仍然可以建立一个无风险组合，消除随机项，获得无风险收益。应用布莱克-舒尔斯模型的方法，我们可以再次得到偏微分方程
这时我们看到，偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第三个独立变量的影响的描述。这时，边界条件变为
（）
这里的表示T时刻的期权回报。
具体运用到算术平均和几何平均期权，偏微分方程分别为
（二）离散取样平均
出于实际和法律的原因，路径依赖的量是永远不可能连续衡量的。从实际的观点来看，很难把每个单个的交易价格都组合到平均值当中去，这样的数据可能不可靠，每个交易的确切时间可能也无法准确得知；从法律的观点来看，为了避免对路径依赖的量的取值有不同的看法，通常使用关键价格，比如收盘价。如果取样之间的时间很小，应用连续取样模型来说明离散问题，误差可能不大，但如果取样之间的时间很长，或者到期时间本身很短，我们就不能再近似地使用连续模型，而必须将离散取样纳入到我们的模型中去。
1.更新规则
在离散取样平均中，我们通常使用一个更新规则（Updating Rule）的概念。假设每个取样日为，获得的路径依赖变量取值，由于取样的离散性，在之间，路径依赖变量始终为，直到才根据一定的规则更新为。比如在简单的亚式平均期权中，这个更新规则为：
也就是说，这里I的新值只由I的旧值、取样日的资产价格和取样日决定。当然这个规则可以根据计算平均数的不同方法进行推广。但无论函数F如何变化，这个路径依赖变量始终都是在取样日进行相应的更新。
我们可以用一个离散取样的执行价算术平均看跌期权的例子来说明更新规则。显然这个期权的回报为，其中，或者可以进一步写成
2. 离散取样的定价方程
由于更新规则，实际上只有在取样日变量I才发生变化。在取样日之间，I是常数，因此定价方程与一般的布莱克-舒尔斯偏微分方程相同：
但是，必须记住，尽管方程相同，但这里的期权价值f仍然是三个变量的函数，只是在取样日之间的I被处理为一个参数而已。
在取样日，需要考虑I发生变化的影响。由于越接近取样日，市场对I的价值越确定，而且尽管I发生变化，但是并没有发生具体的现金交易，期权的价值不应该发生任何跳跃，否则的话就会出现套利机会。定义为无限接近取样日的时刻，则为取样日之后无限接近的时刻，期权价格的连续性要求：
用更新规则表示为
这就是在更新日的跳跃条件（虽然实际上期权价格并没有跳跃），加上到期日回报的边界条件（类似式（）形式），就可以为离散取样路径依赖期权定价：
从期权到期日往回倒推，在取样日之间通过解I为固定常数的布莱克-舒尔斯偏微分方程求得期权价值，遇到取样日就应用跳跃条件，根据已计算出的时刻的期权价值解出时刻的期权价值，直到计算出期权的当前价值。
这样，通过写出亚式期权平均值变量的更新规则，我们可以相应写出跳跃条件，从而将离散取样平均的亚式期权纳入到以上框架当中去。
三、亚式期权定价公式和具体方法
（一） 几何平均亚式期权
能够把一个亚式期权的定价转变为一个偏微分方程的解是一个很大的进步，但是，在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。在这些公式中，最著名的就是连续取样几何平均资产价期权。在风险中性世界中，如果一个股票的预期收益率等于而非原来的，波动率等于而非原来的，则这个股票的价格在一定时间内的几何平均的概率分布等同于该时期末股票价格的概率分布，这意味着我们在为连续取样几何平均资产价期权定价时，只要将波动率看作，红利率看作，就可以应用已知红利率的布莱克-舒尔斯定价公式求出期权价值。
（二）算术平均亚式期权
亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题，人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚式期权来近似逼近，下面我们介绍其中的一些方法。
1.二阶矩近似法
这是在现实中应用得最广泛的方法之一，它适合于为离散算术平均亚式期权定价。其主要思想是：尽管分布是未知的，但算术平均价格的前两阶矩（即均值和方差）是可以精确计算出来的，用一个适合前两阶矩的对数正态分布逼近算术平均价格的分布，即假定算术平均的分布是具有相同均值和方差的对数正态分布，进而计算算术平均亚式期权的价格。
考虑一个刚推出的亚式期权，其平均值为从发行零时刻到到期时刻之间的算术平均：
定义一阶矩
二阶矩
由于使用对数正态逼近，我们可以把算术平均价格期权看作一个波动率为的标的资产为期货的期权，其中
；
这样，就把算术平均亚式期权定价转化成了常规期货期权的定价问题。
以上的计算仅适合于新期权。若期权已经存在了一段时间，还剩下时间。在内，已经可以观察到构成平均值的部分价格，这段时间的平均价格为，对于一个平均资产价看涨期权来说，这个期权的回报为：
（）
其中是剩余期限内的平均价格。式（）可以写作：
其中。
当时，期权仍然可以用前面的方法定价，只是用作为执行价格，并把结果乘上；如果，期权肯定会被执行，可以看成一个远期合约，其价值为：
.
2. 控制方差法
亚式期权中的控制方差法主要是利用价格公式计算几何平均期权的价格，再应用蒙特卡罗模拟得到几何平均期权的近似价格，将误差作为除了采用算术平均之外其他条件都相同的（即这两种期权的标的资产价格路径是相同的）期权价格的估计值的一个控制，即期权A价值的一个无偏估计是 EMBED EMBED ，这个方法可以降低对估计的方差，从而缩小算术平均亚式期权定价的蒙特卡罗模拟的置信区间。这个方法在实际中也很常用。
3. 相似变量代换法
亚式期权价格是三个变量的函数：标的资产价格S，时间t和一个表示平均价格演进状态的状态变量I。在一些情况下，由于期权本身的结构性特点，使得这个问题可以用一个相似变量将其降为二维的方程。比如连续取样的算术平均执行价期权，其代换过程如下：
算术平均执行价看涨期权的回报为：
将提取出来，令，得到回报的另一种形式为：
这样，期权价值可以写成两个变量的函数：
。
我们发现，欧式算术平均执行价看涨期权的W满足如下的偏微分方程：
其边界条件为：
；；
这个偏微分方程可以用数值方法求解，比较简单。
除此之外，为亚式期权定价的方法还包括四阶矩近似法、二叉树模型等，由于篇幅所限，这里就不一一介绍了。
第四节 回溯期权
能在价格最高点卖出，或在最低点买进，是市场交易者梦寐以求的情形。回溯期权（Lookback Options）就提供了这样一种可能。回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价，为了简便起见，我们后面只讨论最大价格的情形，最小价格可以类似推得）。就像亚式期权一样，根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯期权可以分为
1. 固定执行价期权（Fixed Strike）：除了回报中用回溯价M替代资产价格S，使其等于之外，其他都与相应的常规期权没有区别。
2. 浮动执行价期权（Floating Strike）：回报中回溯价替代的是执行价格X而非资产价格S，使其等于 。从某种意义上说，浮动执行价期权的期权意义已经发生了一定的变化，因为它必然会被执行，只不过给予了持有者以最优回溯价执行的权利。
回溯期权，或者说回溯的特征，常常出现在市场上许多种类的合约中，尤其是固定收益类工具中，其中的利息支付取决于在确定时间内利率到达的最大水平。总的来说，回溯期权很适合那些对资产价格波动幅度较有把握，但是对到期价格把握不大的投资者，保证了持有者可以得到一段时期内的最优价格，因此价格也相对昂贵。
一、布莱克-舒尔斯模型框架下的回溯期权
由于回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，因此回溯期权也属于强式路径依赖期权。我们可以采用在亚式期权中所讨论的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中去。但由于回溯价和亚式期权中的平均价性质不同，平均价必然会随着观测值的增加而改变，而最大值的回溯价则不一定会改变，这使得回溯期权的定价和亚式期权有所不同。
（一）连续观测
由于回溯价取的是一段时间内的最值，这样的性质决定了即使资产价格采用的是连续观测，回溯价也不会连续变化，而是体现为时间分段的常数函数。
当时，最大值不会改变，。这时我们使用以作为参数的方程
，
Goldman, Sosin和Gatto（1979） 推导出这个方程的边界条件是
当时，。
这是因为当资产价格正好在最大值上时，这个最大值到期时仍然保持不变的概率是零，这导致了期权价值对这个最大值很不敏感。
最后由回报推出的边界条件是
（固定执行价看涨期权）
（浮动执行价看跌期权）
以上就是连续观测条件下的回溯期权的定价模型。
（二）离散观测
在连续观测下，任何时候，但是离散观测下，这个情况不一定成立。因为回溯价是通过离散时间取得的观测值比较形成的，其更新规则为
这样资产价格可能会在M之上，而且离散观测下的回溯价M更新的次数要少于连续观测的状态，这使得离散观测的回溯期权价格偏低。
根据上述更新规则，我们可以得到离散观测的回溯期权的跳跃条件：
之后我们可以应用第三节中所介绍的离散取样的定价方法，为回溯期权定价。
二、回溯期权的定价公式
一部分回溯期权具有解析形式的价格公式，下面我们给出连续观测的浮动执行价回溯期权的价格公式：
（一）欧式浮动执行价回溯看涨期权
我们已经讨论过，浮动执行价期权实际上已经改变了期权性质，看涨期权回报为
其中M是目前已经实现的最小值。在布莱克-舒尔斯模型框架下，期权价值为
其中，
，
，
。
（二）欧式浮动执行价回溯看跌期权
浮动执行价回溯看跌期权的回报为
其中M是目前已经实现的最大值。在布莱克-舒尔斯模型框架下，期权价值为
其中，
，
，
固定执行价回溯期权的定价公式参见附录B。
例
一个刚推出的基于不付红利股票的浮动执行价回溯看涨期权，当前价格为30，股票价格波动率为年率40％，无风险利率是每年10％，有效期为半年。此时，由于回溯期权刚刚开始，，，，，。从上述公式中，我们可以得到：，，，，所以期权价格为。相应的看跌期权价值为。
三、回溯期权的数值定价方法
在奇异期权的定价中，数值方法具有十分重要的作用，一般认为蒙特卡罗模拟比较适用于处理具有路径依赖性质的期权，但是它所需要的计算时间较长，而且无法为美式路径依赖期权定价。人们发现，如果路径依赖期权中只需增加一个单一的路径依赖函数F，并且在时刻的F值可以从时刻的F值和时刻的标的资产价格直接计算得出，也可以使用二叉树或三叉树模型处理路径依赖期权。回溯期权的定价就经常使用到二叉树模型。
但是，在使用二叉树模型的时候，在每个结点需要考虑到当前为止不同路径所导致的不同的最大值或最小值，路径越多，这些值的个数越多，降低了二叉树模型的实用意义。为此，人们找到了一些方法来解决这一问题。
一种解决方法是：在每个结点，仅对路径函数中具有代表性意义的值进行计算，其他值则用内插法从已知的值中计算得到。
另一种行之有效的解决方法是用最高价格M和现价S之比来建立标的资产价格树图并进一步为期权定价(我们这里所举的例子是浮动执行价看跌期权)。
用Y来衡量资产价格的变化，并为期权定价，会带来树图形状和相关参数的一些变化。
的变化规律和资产价格变化规律相反。在初始零时刻，由于，。之后的结点按以下规律获得：
（1）若t时刻，则时刻，当资产价格S按二叉树图中的u以概率p上升为的时候，Y将以概率p，保持1的值；当资产价格S以概率下降为的时候，Y将以概率上升为u。
（2）若t时刻（），则时刻，当资产价格S以概率p向上运动u的时候，Y将以概率p下降为；当资产价格S以向下运动d的时候，Y将以概率上升为。
也就是说，树图将呈现如的形状。
图 回溯期权中Y的树图
2. 这时在树图中，期权回报的测度单位要相应的从美元转化为资产价格，即每个结点的回报不再是，而是。树图中的期权价值要转化成实际的期权价值，需要再乘以该结点的资产价格。这意味着在倒推过程中，后两个分支给出的值要经过资产价格的调整才能得到前一个结点以该结点价格为单位的期权价值。
比如，假设是时刻第个结点的回溯期权的以结点资产价格为单位的价值当时（即结点不在最下面一行时），
当时（结点在最下面一行），
与相乘，与相乘，是因为结点的资产价格是结点价格的倍，而结点的资产价格是结点价格的倍，这样就体现了以结点资产价格为测度单位的思想。
如果是美式期权，在每一个结点还需要与提前执行的回报比较，举的例子：
当时，。
应用上面的方法求出之后，再乘以该结点的资产价格，就能得到实际的期权价值。
例：
图中的，，，采用三个时间步长，所使用的数据与例相同，，针对的是欧式浮动执行价回溯看涨期权。用这种方法得到的期权价值为，这与应用公式计算出来的精确价值存在差异，主要原因是时间步长数目太少，随着时间步长的增加，该树图方法给出的价值将会缓慢收敛于精确值。
树图方法比解析方法优越之处在于它可用于美式期权，同时，如果树图中的设定为一天的话，给出的结果优于解析解，因为解析公式假设价格是连续观测的，而现实生活中都是离散观测的。
第五节 其他奇异期权
奇异期权的种类非常繁多，而且正在不断扩大中，除了前面具体分析的三种期权，本节还将介绍其他一些常见的奇异期权。
一、两值期权
两值期权（Binary Options）也是一种基本期权，其到期回报是不连续的。其中一种是现金或无价值看涨期权（Cash-or-nothing Call）。到期日时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额Q。期权到期时价格超过执行价格的概率为，因此现金或无价值看涨期权的价值就是。相应地现金或无价值看跌期权的价值是。
另一种两值期权是资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothing Call）。如果标的资产价格在到期日时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的款额。这种资产或无价值看涨期权的价值就是。类似地，资产或无价值看跌期权的价值就是。
常规期权可以分解为两值期权的组合。比如一个常规欧式看涨期权就等于一个资产或无价值看涨期权多头和一个现金或无价值看涨期权空头之和，一个常规欧式看跌期权等于一个资产或无价值看跌期权多头和一个现金或无价值看跌期权空头之和，其中的现金支付金额等于执行价格。
二、打包期权
所谓的打包期权（Packages）是指由常规的欧式期权、远期合约、现金和标的资产等构成的证券组合，我们前文介绍过的牛市差价、熊市差价、蝶式差价、跨式期权等属于打包期权的范围。打包期权的经济意义在于可以利用这些金融工具之间的关系，组合成符合需要的投资工具。最常见的打包期权是具有零初始成本的期权组合。比如一个远期多头、一个看跌期权多头和一个看涨期权空头组合，其损益状态与牛市价差期权相似，如果选择看跌期权价值等于看涨期权价值的执行价格，就可以实现零前端费用。
另一种可以实现零初始成本的期权是延迟支付期权（Deferred Payment Options），其原理很简单：目前不支付期权价格，到期时支付期权价格的终值。执行价格等于相应资产的远期价格时，这类延迟支付期权又叫做不完全远期、波士顿期权、可选退出的远期和可撤销远期。
三、非标准美式期权
标准美式期权在有效期内任何时间都可执行且执行价格总是相同的，非标准美式期权则对其做了一些改动：百慕大期权（Bermudan Options）只能在事先确定的时间内提前执行；公司发行的认股权证（Warrants）往往规定提前执行的时间段，而且执行价格也会有所不同。
四、远期开始期权
顾名思义，远期开始期权（Forward Start Options）是现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权。我们在时刻购买了期权，但执行价格需要到期权启动时刻才得知，即为当时的资产价格，而该期权将在时刻到期。（我们分别用下标0、1和2表示不同时刻。）
这种期权的定价也可以在布莱克-舒尔斯模型框架中进行。假设一个不付红利的远期开始看涨期权，在时刻，该期权必须处于平价状态，即满足布莱克-舒尔斯期权公式（符号含义同前）：
（）
从（）中可以看到，期权价值与资产价格成正比，可以看成资产价格与一个函数的乘积：。
根据风险中性定价原理，零时刻的期权价值应为（为风险中性世界的期望值）。由于，函数对于和来说是相等的，因此零时刻的期权为
换句话说，远期开始期权的价值与具有相同有效期的处于平价状态的常规期权价值完全相同。
以上公式可以很容易地推广到红利率为的情形。
五、呐喊期权
呐喊期权(Shout Options) 是一个常规欧式期权加上一个额外的特征：在整个期权有效期内，持有者可以向空头方“呐喊”一次。在期权到期时，期权持有者可以选择以下两种损益中的一种：一个常规欧式期权的回报；根据呐喊时刻的内在价值得到的回报。投资者当然选择其中较大者。
我们可以举一个看涨呐喊期权的例子来说明。假设一个看涨期权的执行价是50美元，持有者在标的资产价格上升到60美元的时候呐喊了一次，如果到期时资产价格低于60，投资者就可以获得10美元，如果到期资产价格高于60美元，就按到期价格计算多头的收益。
因此，呐喊期权实际上和回溯期权有点类似，但由于呐喊次数有限，相对要便宜一些。定价的时候，我们可以把呐喊期权的回报写为
其中是到期时刻，是指呐喊时刻的资产价格。
因此，我们可以把呐喊期权分成的现值加上一个执行价为的欧式期权，后者可以用布莱克-舒尔斯公式计算出来。
我们也可以用二叉树或三叉树模型为呐喊期权定价，只是在每个结点我们都要分别计算持有者呐喊和持有者没有呐喊的期权价值，取其大者。因此整个过程很类似美式期权的定价过程。
六、复合期权和选择者期权
复合期权（Compounded Options）和选择期权（Chooser Options）都是期权的期权，即二阶期权，因此我们放在一起介绍。
（一）复合期权
复合期权在时刻给予持有者一个在特定时间以特定价格买卖另一个期权的权利，后面这个标的期权将在时刻到期。复合期权是二阶期权，因为复合期权给了我们对另一个衍生工具的权利。
在布莱克-舒尔斯模型的框架中，复合期权是这样来定价的：
首先，为标的期权定价，假设我们的复合期权是看涨期权的看涨期权，则标的期权价值满足
，条件为
其中为时刻标的期权中的标的资产理论价格，为标的期权执行价格。
这样我们可以通过以上公式计算出时刻的标的期权理论价值。
然后为复合期权定价，得到时刻的复合期权价值满足：
，条件为
其中为时刻标的期权中的标的资产价格，为复合期权执行价格。
如果假设波动率是常数，我们可以计算得到复合期权的价格公式（具体公式见附录C），其中要涉及累积二维正态分布函数。然而，从以上我们可以看出，由于复合期权的二阶性质，两重期权都会受到模型假设是否正确的影响，复合期权的价值对资产价格服从的概率分布性质非常敏感，因此这些公式在实际当中都很少直接使用，交易者常常用我们在第七章中所介绍的随机波动率模型或是隐含波动率矩阵来定价。
（二）选择者期权
选择者期权类似于复合期权，其特征在于，持有者可以在特定时间以特定价格选择一个进一步的期权：持有者可以选择购买一个看涨期权或是购买一个看跌期权。显然，我们可以象为复合期权定价一样，为选择者期权中的三个期权分别建立微分方程，只是在时刻的回报改为：
其中的和分别代表时刻备选看涨期权和看跌期权的价值，和则表示事先确定的这两种期权的购买价格，为时刻的标的资产价格。
选择者期权的定价模型在实际应用方面也存在与复合期权同样的问题。
如果选择者期权中的两个标的期权都是欧式的且具有相同的执行价格和到期日，两种期权的购买价格也相同，在时刻我们面临的选择可以简化为，其关键之处在于确定。运用看涨期权－看跌期权平价关系，我们可以把问题进一步简化为打包期权的定价：
这个式子是一份执行价格为到期日为的看涨期权加上份执行价格为到期日为的看跌期权价值之和。这样定价就大大简化了。
七、多资产期权
多资产期权（Multi-asset Options）中往往包含两个或两个以上标的资产，这就带来了多维的概念，比如两个标的资产是三维的。在三维或多维概念下，我们必须考虑标的资产之间的相关关系，相应地产生了Ito引理和布莱克-舒尔斯模型在多维世界中的扩展。
在多资产期权中，每个标的资产仍然假设服从几何布朗运动：
其中
是在第个几何布朗运动和第个几何布朗运动之间的相关关系。
多资产期权又存在多种变形，下面我们主要介绍其中的两种：彩虹期权和资产交换期权。
（一）彩虹期权
彩虹期权（Rainbow Options）是指标的资产有两种以上的期权，比如篮子期权（Basket Options）。篮子期权的回报取决于一篮子资产的价值。这些资产包括单个股票、股票指数或是外汇等。篮子期权的价值可以在高维的布莱克-舒尔斯框架中得到解释。
建立一个包括一篮子期权和份各项标的资产的组合，令，我们就可以得到无风险组合，这样根据布莱克-舒尔斯的建模思想，我们得到篮子期权的价值方程为：
在实际中，人们使用数值方法和近似方法计算篮子期权的价值。例如在假设标的资产遵循相关的几何布朗运动的前提下，可以使用蒙特卡罗模拟计算出一个欧式篮子期权的价值。还有一种更快的方法是计算出在风险中性世界中，这些资产在期权到期时价格分布的前两阶矩，之后假设这一篮子资产的价值服从具有相同均值和方差的对数正态分布，之后运用亚式期权中介绍过的二阶矩近似法进行定价。
在应用树图方法为彩虹期权定价时，一个重要的不可忽略的问题是资产价格的相关性，人们提出了许多处理这一多维问题的方法。下面我们以两相关资产期权（Options on Two Correlated Assets，即篮子中只有两个相关的标的资产）为例，介绍其中的三种方法。
1. 转换变量法
如果两个变量是不相关的，在三维空间中构建一个树图来描述它们的运动是相当简单的。过程如下：我们先为每个变量构建一个两维的树图，然后把它们结合到一个三维树图中去，在三维树图分支上的概率是两维树图的对应概率的乘积。比如，资产价格和分别以概率和上升和，以概率和下降和。合并后的三维树图在每个结点就会有四个分支：和同时上升（概率为 EMBED ）；同时下降（概率）；一个上升一个下降（概率分别为 EMBED 和 EMBED ）。
如果两个资产价格和是相关的，则我们可以把相关变量转换为不相关的变量，J. Hull和证明 ：
和
是不相关的两个变量，可以分别构造树图，根据它们的前两阶矩计算树图中适合的上升和下降的概率和幅度，并按照上述方法结合到一个三维树图中去，并在树图的每个结点，用和的值计算出和的值。其中，
三维树图中运用倒推方法为期权定价的过程与二维树图中的过程是一样的。
2. 非矩形树图
Rubinstein 提出可以直接构造一个结点并非落在矩形四角的三维树图，从一个结点出发，分别以的概率到达的结点有四种： 、、和，其中：
3. 调整概率法
为和建三维树图的第三种方法 是：先假设和之间相关系数为0，建立三维树图。之后调整每个节点的概率，使其反映它们之间的相关关系。在构造和各自的二叉树图的时候，假设概率都为，这样在组合成三维树图的时候，四个结点的概率将都是，根据相关系数调整概率为：
的运动方向
的运动方向
向下
向上
向上
向下
转变概率之后，就可以按照二叉树方法倒推计算出期权的价值。
（二）资产交换期权
资产交换期权（Exchange Options）是另一种常见的多资产期权，它可以有多种形式：比如对于一个美国投资者而言，用澳元购买日元的期权就是用一种外币资产交换另一种外币资产的期权，股权收购（Stock Tender Offer）则可以看成是用一个公司的股份换取另一个公司股份的期权。
一个在时刻用价值为的资产来换取价值为的资产的欧式期权，其回报为：
Margrabe首先提出了这个期权的定价公式：假设资产价格U和V都遵循几何布朗运动，波动率分别为和，收益率分别为和，零时刻的资产价值分别为和。进一步假设U和V之间的瞬时相关关系为，则零时刻期权的价值为
其中
以上这个公式有两个方面值得注意：一是该公式是独立于无风险利率r的。这是因为当r上升的时候，风险中性世界中的两种资产价格增长率都上升了，但是这被贴现率的上升抵消了。第二，变量是的波动率，这样这个期权可以理解为份标的资产价格为、执行价格为1的欧式看涨期权的价格，其中无风险利率是，资产红利率为。Mark Rubinstein证明美式资产交换期权也有相同的性质。
如果一个期权可以让持有者在到期时选择两个资产中较好或较差的一种，这个期权可以看成是由其中一个资产的头寸和一份这两个资产之间的交换期权的组合：
奇异期权是世界上最具有生命力的金融工具之一，它的内涵和外延无时不处在变化和拓展当中，没有人能够说出究竟有多少种奇异期权，也没有人能够精确地对它们进行分类和完全描述，我们上面介绍的只是最常见的一部分奇异期权。只要市场需要，奇异期权就会不断延展不断衍生，我们过去或现在称之为奇异期权的东西，也正在成为进一步衍生的基础。我们可以举一些有趣的例子：
部分回溯期权，其回溯时段只是期权有效期的一部分，而不再是整个有效期，这样期权价格会有所下降，对于那些认为资产价格只可能在一段时间内发生有利变化的投资者来说，就是很有吸引力的。
俄式期权，是一种永远不会到期的美式回溯期权，期权持有者可以选择任意时刻执行，执行时收到资产价格的历史最大值（这时回溯时段是整个历史）。
梯子期权，一种离散取样的回溯期权，但离散取样的是资产价格而非时间，假设设定的价格梯子是5美元，10美元，……，55美元，60美元，…，如果回溯期内资产价格的最大值是58，则使用55美元作为计算回报的最大值。
回溯－亚式期权，这种期权的价值受到多个路径依赖变量的影响，是回溯期权和亚式期权的结合。
巴黎期权，是一种障碍期权，但是其障碍特征只有在标的资产价格在障碍值之外保持了预先要求的时间长度之后，才会被触发。
……
可见，奇异期权确实是无法尽述的，可以说，它的丰富多变就是金融工程的核心和魅力的体现。前面所介绍的定价方法为我们提供了为期权定价的基本思路和方法，我们可以根据期权的不同特征，将它们分别应用到新的期权定价中去。
小结
奇异期权的基本类型包括分拆与组合、弱式路径依赖、强式路径依赖、时间依赖、维数和阶数。
奇异期权的变化很多，并且处在不断的衍生和变化当中。
障碍期权的回报依赖于标的资产的价格在特定时间内是否达到了一个特定的水平，一般可以分为敲出期权、敲入期权、向上期权和向下期权等。障碍期权属于弱式路径依赖期权。
亚式期权的回报依赖于标的资产在一段时间内的平均价格，回溯期权的损益则依赖于标的资产在某个确定的时段中达到的最大或最小价格，它们都属于强式路径依赖期权。
其他的奇异期权还包括两值期权（现金或无价值期权、资产或无价值期权）、打包期权（由期权和其他金融资产组成的证券组合）、远期开始期权（现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权）、二阶期权（复合期权和选择者期权）、多资产期权（多个标的资产的期权）以及呐喊期权等等。
大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在布莱克－舒尔斯模型框架中进行。例如障碍期权中的障碍条件主要反映在相应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们也可以得到其中一些奇异期权的定价公式。但是大部分情况下，我们无法得到精确的解析解，或者是这些公式难以在实际中运用，大多时候人们是用数值方法或是近似方法来为奇异期权和路径依赖期权定价。
蒙特卡罗模拟常用于处理路径依赖期权，但缺点是收敛缓慢，为此，人们对树图方法进行了多种改进，使之可以用于估计许多路径依赖型的期权价格。
有些奇异期权比常规期权更容易保值，如亚式期权，另一些奇异期权则更难保值，如障碍期权，现实中人们使用静态期权复制的方法来为之保值。
附录9A：基本障碍期权的定价公式
公式中用到的符号含义如前文所述，令
，
，
，
，
,
,
,
，
则障碍期权公式如下：
1.向上敲出看涨期权
2.向上敲入看涨期权
3. 向下敲出看涨期权
（1）时，
（2）时，
4.向下敲入看涨期权
（1）时，
（2）时，
5. 下降敲出看跌期权
6. 下降敲入看跌期权
7.上升敲出看跌期权
（1）时，
（2）时，
8.上升敲出看跌期权
（1）时，
（2）时，
附录9B：固定执行价回溯期权定价公式
一、固定执行价回溯看涨期权
固定执行价回溯看涨期权的回报为
其中M是目前已经实现的最大值。在布莱克-舒尔斯模型框架下，
1. 当时，期权价值为
其中，
。
2.当时，期权价值为
其中，
。
二、固定执行价回溯看跌期权
固定执行价回溯看跌期权的回报为
其中M是目前已经实现的最小值。在布莱克-舒尔斯模型框架下，
1. 当时，期权价值为
其中，
。
2.当时，期权价值为
其中，
。
附录9C：复合期权价格公式
公式中的符号含义同本章第五节中复合期权符号含义。
零时刻基于某个看涨期权的欧式复合看涨期权价值：
其中，，
，
其中M为累积二元正态分布函数，实际上由于这里的为时刻标的期权中的标的资产价格，该价格的设定将使得时刻的标的期权价格等于。因此，如果时刻的标的资产实际价格大于，则复合期权将被行使，否则期权到期无价值。
运用类似的符号，我们可以得到其他复合期权的定价公式：
二、零时刻基于某个看涨期权的欧式复合看跌期权价值：
三、零时刻基于某个看跌期权的欧式复合看涨期权价值：
四、零时刻基于某个看跌期权的欧式复合看跌期权价值：
习题
奇异期权的主要类型有哪些？
分别为弱式路径依赖期权、强式路径依赖期权、多维期权、高阶期权举出数例。
分析障碍期权的性质。
为以下障碍期权写出对应的偏微分定价方程和相应的边界条件：
期权分别有上部障碍和下部障碍，如果资产价格在到期前触及任何一个障碍，期权敲出，并获得一个即时回报，否则到期时期权回报为。
基于某个资产价格的欧式向下敲出期权的价值与基于该资产期货价格的欧式向下敲出期权价值相等吗（该期货合约到期日与期权到期日相同）？
解释为什么几何平均有一个精确公式而算术平均无法得到精确定价。
某个基于不付红利股票的欧式几何平均资产价的刚推出的看涨期权（连续观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。
某个基于不付红利股票的欧式算术平均资产价的刚推出的看涨期权（离散观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。
为什么亚式期权比障碍期权更易保值？
利用如图中的三个时间步长的树图估计某货币美式浮动执行价回溯看涨期权的价值，其中初始汇率为，国内无风险利率为年5％，国外无风险利率为年8％，汇率波动率为15％，有效期18个月。
某个衍生证券，如果六个月内某股票价格大于60，则支付100美元，否则为零。假设目前价格为45，无风险利率为年8％，红利率3％，波动率20％，求期权价值。
考虑一个欧式折扣看跌期权（European Rebate Put），其特征如下：如果股票价格在期权到期前下跌超过10％，期权到期时支付，否则到期时支付期权最初成本的20％。这个期权合约可以如何进行分解？
答案：
1. （1）分拆与组合： 最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。（2）路径依赖：期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两种。强式路径依赖期权模型中必须增加考虑路径变量而弱式路径依赖则无需增加这样的变量。（3）时间依赖：期权模型中的一些变量会随时间而变化。（4）多维期权：存在多个独立变量的期权。（5）高阶期权：即标的资产本身包括期权。
2.（1）弱式路径依赖：美式期权、障碍期权；
（2）强式路径依赖：亚式期权、回溯期权；
（3）多维期权：彩虹期权、资产交换期权；
（4）高阶期权：复合期权、选择者期权。
3. 障碍期权是路径依赖期权，它们的回报以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息，关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的损益情况仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。
障碍期权通常比常规期权便宜，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。
4. 偏微分方程为：
边界条件为：
和
5. 不相等，如果在期权有效期内，期货价格高于现货价格，可能现货价格会触及障碍水平而被敲出，但期货价格则可能不会触及障碍水平。
6. 这是因为一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。但是它们的算术平均值则不然。这样，对几何平均期权，可以通过转换波动率和红利率，仍然利用布莱克－舒尔斯公式得到解析解，而算术平均则只能使用近似方法或是数值方法求解。
7. ，，
8. 运用二阶矩近似法计算，，，则，从而算出期权价值为。
9. 因为在亚式期权中，越接近到期日，回报越确定，且保值比例接近零。这使得应用标的资产进行保值相当容易。而障碍期权中，当资产价格接近障碍水平时，却是不连续的，这给保值带来了困难。
10. 用最低价格M和现价S之比来建立标的资产价格树图，如图所示。每个结点的损益结果是，树图显示期权价值为×＝个单位的本币。
图 第10题的树图
11.这是一个现金或无价值看涨期权，价值等于，，，从而期权价值为美元。
12. 该期权具有以下两个特征：（1）如果期权下跌超过10％，到期时支付，这等于一个向下敲入看跌期权；（2）如果期权下跌不到10％，则到期时支付期权最初成本的20％，即支付现金，这等于一个向下敲出看涨期权。因此，这个期权的价值可以分解为：
即一个以为障碍水平，执行价格为的向下敲入看跌期权和一个以为障碍水平，执行价为的向下敲出看涨期权之和。这两个期权都在T时刻到期。
M. Broadie, P. Glasserman, and S. G. Kou, “A Continuity Correction for Discrete Barrier Options,” Mathematical Finance 7, 4 (October 1997), 325-349.
int为取整函数。
and B. Gao, “The Adaptive Mesh Model:A New Approach to Efficient Option Pricing,” Journal of Financial Economics 53， （1999），313－351.
事实上，为奇异期权保值的一个重要思路就是静态保值法，我们这里以障碍期权为例介绍这一保值方法，后面我们就不再重复介绍，其他的奇异期权也可以进行类似的应用。
为方便说明，我们设取平均值时间区间为（0，t）。
根据前文，实际上算术平均公式和几何平价公式分别应为 EMBED 和 EMBED ，但为了将其更好的纳入布莱克-舒尔斯期权定价偏微分方程框架，我们将相应的状态变量设计为文中I的形式，可以看作是通过对平均函数作一定的调整和转换，得到的另一种形式的定义，并不会影响问题的实质。
因为 EMBED ， EMBED ， EMBED ，因此可以写出一般化形式 EMBED 。
这是因为欧式算术平均执行价看涨期权价格 EMBED 的边界条件是：
EMBED ； EMBED ； EMBED ； EMBED 。
显然这是看跌期权。
B. Goldman, H. Sosin, H & M. A. Gatto, “Path Dependent Option: Buy at the Low, Sell at the High,” Journal of Finance 34 (December 1979), 1111-1128.
具体方法可以参见John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives. Fourth Edition, Prentice Hall, 2000，472－475.
E. Reiner在Berkeley演讲的时候提出了这个方法。在其他的一些论文中也提到了该方法：S. Babbs, “Binomial Valuation of Lookback Options,” Working Paper, Midland Global Markets, 1992; and T. H. F. Cheuk and T. C. F. Vorst, “Lookback Options and the Observation Frequency: A Binomial Approach,” Working Paper, Erasmus University, Rotterdam.后面我们采用的是Cox、Ross和Rubinstein建立的价格树图来得到Y的树图。
参见J. Hull and A. White, “Valuing Derivatives Securities Using the Explicit Finite Difference Method”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25 (1990), 87-100.
参见M. Rubinstein, “Return to Oz,” RISK, (November 1994), 67-70.
J. Hull and A. White, “Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II: Two-Factor Models,” Journal of Derivatives, (Winter 1994), 37-48.
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