中国科技论文在线 基于广义信息熵的金融危机模型 *柴立和，蒋田田，李文宇（天津大学环境学院，天津 300072） 5 摘要：金融系统是经济系统的重要组成部分。本文从金融系统中组元的复杂相互作用出发，定义金融系统系统的广义信息熵。指出金融系统的运作乃是追求广义信息熵最大，由此建立金融危机发生的模型并以08年金融危机为例进行数值模拟和应用分析，得到了具有较好指导意义的结果。 关键词：金融危机；复杂系统；广义信息熵；最大熵原理 10 Financial Crisis Model Basing on Generalized Chai Lihe, Jiang Tiantian, Li Wenyu (Environmental college of Tianjin university,TianJin 300072) Abstract: Financial system has played a crucial role on in economical configurations. This paper 15 defines the generalized information entropy of financial system in term of complex interactions among agents. Maximum generalized information entropy principle is proposed as a law for controlling the operation of financial systems. A theoretical model for occurrence of financial crisis is constructed. The financial crisis in 08 years is then simulated and analyzed as a typical case. Some instructive results are summarized. 20 Keywords:Financial crisis; complex systems; generalized information entropy; MEP 0 引言 金融系统作为经济系统的子系统，是由一个有人参与的、开放的、具有信息反馈特征的一类重要的、典型的非线性系统，经常会涌现出复杂的行为，如金融危机（即一个国家或几25 个国家与地区的全部或大部分金融指标的急剧、短暂和超周期的恶化）。认识金融危机发生机制并建立起合理的模型以进行预测和调控是非常重要的。目前已有不少关于金融危机特别是针对货币危机的相关理论，如以Krugman模型为主的第一代货币危机理论；由贬值预期的自我实现所导致的投机者对货币发起攻击的第二代货币危机理论；基于道德风险论、基本[1]因素论和金融恐慌论等的第三代货币危机理论等。不过这些对金融危机生成机制的研究仍30 停留在唯象的层面，较少触及到实质性的微观动力学，很难对金融危机做出全面的解释，与现实情况也常有出入。为了描述一个由大量组元作用而涌现的金融危机这样的特性，从以熵[2]理论为核心的统计物理角度对其建模是一个重要思路。不过，由于以经典熵理论为核心的统计物理是以无规运动的分子为基础发展起来的，经典熵就以分子碰撞短程短时、遍历作用的简单微观动力学为基础；而金融系统作为非均衡的复杂系统，其组元是有活性的、主动的、35 有智能的，不同于无意识的分子，其微观动力学是长程的、持续的、非遍历的、复杂的。 因此，必须对经典熵进行修正才能更好地描述金融危机现象。本文从金融系统中组元的复杂相互作用出发，定义了系统的广义信息熵，指出金融系统的运作是追求广义信息熵最大，由此建立了金融危机发生的模型并提出了相应的模拟方法，以08年金融危机的发生情况为案例进行实证分析，取得较好的结果。 基金项目：国家自然科学基金（No. 71071110, 50406018）； 作者简介：柴立和，（1972-），男，副教授，主要研究方向：复杂系统科学. E-mail: lhchai@ - 1 -
中国科技论文在线 40 1 基于广义信息熵的金融危机生成模型 金融系统运行及金融危机的生成涉及到众多的影响因素，且因素之间作用复杂。图1(a)给出了一个典型的华尔街金融危机生成示意图。所有对金融系统有影响的各种参与者、组成单位、大量的影响因素均可看成组元(Agent)。一般来讲，GDP、利率、收入、CPI、股票指数、出口、进口和汇率等可作为最主要的代表性组元。其中GDP、利率、收入、CPI、股票45 指数可以很好的反应国内经济状况，而出口、进口和汇率反应了国际经济状况，它们可充分描述一个完整的金融系统。考虑将图1(a)所示的系统抽象成图1(b)所示的复杂网络，它就像一团流体一样产生拓扑结构的变形，从这团流体的形状和流体趋势来为金融危机爆发建立模型应是一个有意义的视角。 评级机构 借款人 (SPV)特殊目投资者 投资银行 的公司 金融机构 抵押贷款银行 保险公司 对冲基金 50 (a) (b) 图1 金融危机生成系统示意图 Figure1 the generation system of financial crisis 55 这团流体的流动起源于组元之间长程的、持续的、非遍历的、复杂的信息作用。因此，为刻画流动特性，需一般化地描述这种广义信息作用，设n个组元(如GDP、利率、收入、CPI、股票指数、出口、进口和汇率等)为X~X，每个组元的驱动力可以表示为x, x, …, x，1n12n 写成向量的形式为x=(x, x, …, x)，定义金融系统的广义信息熵函数S12nJS=ρJdx=ρ(x,t)(η+γx+γx+γx+L)dx (1) J∑ii∑ijij∑ijkijk∫∫iijijk60 上式考虑了组元间更广泛的长程作用、持续作用，短程、短时作用仅是特例，可猜测它是经典熵的广义形式。信息理论表明，熵在约束条件下最大作为对系统状态最公正、最无偏差的估计，是大自然的一个基本法则，数学上即让式(1)在约束条件(2)下最大(称为最大广义[2-3]熵原理，也常称为最大流原理，它相当于控制金融系统运作的“看不见的手”) x=f, x=f, xxx=f, xxxx=f (2) i1ij2ijk3ijkl465 通过Lagrange优化可得具有广义指数形式的系综概率分布函数 ζ+σx+σxx+σxxx+σxxxx+L∑ii∑ijij∑ijkijk∑ijklijkliijijkijklρ=e (3) 因此，广义信息熵(1)可一般化地改写成 a(x)b(x)S=Jdx=elnedx=ρ[a(x)]ln[b(x)]dx (4) J∫∫∫可以看出，它确实是经典熵的广义形式。 70 一旦忽略高阶项，即长程和持续的相互作用不存在，相互作用的变量可以通过变换成功- 2 -
中国科技论文在线 m分离，即b(ξ)=ma(ξ)，或ρ[b(ξ)]=ρ[a(ξ)]，则广义信息熵(4)变为 Sρ[a(x)]lnρ[b(x)]dxmρ[a(ξ)]lnρ[a(ξ)]dξ (5) J∫∫显然式(5)就是经典熵。而在有高阶作用下(长程作用、持续作用、非遍历的微观动力学)，a(x)的表达式与b(x)的表达式之间不能通过变换实现相互作用的变量分离，即b(ξ)≠ma(ξ)。75 此时，广义信息熵(4)不同于经典BG熵。 n方程(3)中的指数项可看成一势函数Φ，通过引入金融系统整体结构变量ξ=ax，k∑kii=1依据系综势函数与动力学演化方程之间的联系得 &ξ=λξ+S(ξ,ξ,Lξ)+F(t)k=1,2,L,n (6) kkkk12nk方程(6)就是金融系统结构演化动力学方程的一般形式。若认为金融系统中组元像无规80 分子一样仅存在低阶作用(短程作用、无记忆的短时作用、遍历的微观动力学)，即S=0，式k(6)为经典Langevin方程，它趋向具有指数概率分布的无序结构。此时，系综概率分布函数的广义指数式(3)就是一个等同于经典的标准指数概率分布，这是均衡经济理论对金融系统的认识。而实际的金融系统是存在高阶作用(长程作用、持续作用、弱混沌的微观动力学)的，S≠0，式(6)为广义Langevin方程，它描述了由活性或智能组元x自组织相互作用导致金融ki85 系统有序结构形成和演化的动力学。它给出了这样的图像：在通过组元间复杂非线性相互作用寻求最大信息熵的自组织过程中，一个在空间中延展的金融系统有序结构逐步流动蔓延形成，该有序结构常具有分形(或幂律)特性；此时系综概率分布函数的广义指数式(3)就自然退[3]化成幂律分布及其它任意分布。当前，以均衡理论为基础的新古典经济学在面对金融危机这样的复杂现象已面临严峻挑战，更多的实证研究表明金融系统是非均衡的有序耗散结构，[4]90 如常表现偏离指数型的幂律分布。因此，基于上述广义信息熵及其最大化原理为金融系统提供了一个更符合实际情形的模型。 具体说来，金融系统中的广义流代表了物质流、能量流和信息流，更具体的说则是代表了资金流。物质流、能量流和信息流最后都是以资金流的方式表现出来的。把整个金融系统抽象为一团流体是合理的，系统内部的组元之间的广义信息作用决定了流体的整体形态，流95 动形态就展示了金融危机的发生过程。譬如08金融危机，起决定作用的是各金融机构以及投资者之间的次级贷款、CDS、CDO等产品的交易。它们最终都可以以资金流的方式表现出来。这些作用不断使风险放大，最终引发了金融危机。运用上述最大流原理的数学模型进行模拟即可以监测出整个过程的发展。这也为未来建议一套预警机制提供了思路。历史上每次金融危机都有经济学家对之进行了预言，但都是从定性的角度，最大流原理的研究方法可100 以在定性的基础上分析出发展过程，从中提取出关键的监测组元，然后将危机的孕育过程量化，以此作为预警和检测的指标，预防金融危机的发生。当然也可以用这一套经济物理学的方法对一些经济学家的推断和猜想进行验证。 2 金融危机生成动力学的案例分析 以08年金融危机为例进行分析。借款人找抵押贷款银行借款获得贷款，并每个月付按105 揭；抵押贷款银行找到投资银行作为其代理人，将按揭打包评级并做成债券，然后出售，并在各金融机构之间交易；保险公司为其开发CDS担保风险。可以说由次级贷款引发的风险经过打包评级、杠杆操作和担保三级的放大，使得次贷规模和风险迅速膨胀，最终导致了此次危机。因此，次贷规模、各金融机构投资杠杆比率、CDO交易量以及CDS交易量是引发- 3 -
中国科技论文在线 此次金融危机的主要参量。由于CDS是在OTC市场进行交易，以及杠杆比率所具有的隐蔽110 性，这几种数据获取信息的成本比较高。考虑到这些参量直接反应在金融系统组元上，选取GDP、利率、收入、CPI、股票指数、出口、进口和汇率等作为组元x, x,…x，获取美国12n[5]2003年至2008年的该8个指标数据并归一化处理，理论人工神经网络的方法对方程(6)重构求解，计算相应的ξ值以了解金融系统结构演化特性，结果如图2。 7654ξ值3210时间 115 图2 2003年至2008年稳定ξ值变化 Fiure2 the ξ changes from 2003 to 2008 ξ是表征金融系统模式和发展状况的核心变量。从图2可以看到，ξ值随时间的变化与事实是符合的，从03年开始，在政府低利息刺激的政策下，次级贷款迅速发展，整个市场120 的泡沫基本面在不断恶化，ξ值不断上升直至金融危机爆发。从ξ值的发展趋势，政府的联合救市计划取得了一定得效果。ξ值开始回落，这和实际的经济系统还是比较符合的。 为获得更细节的结果，需做进一步的分析。选取的八个指标对广义流的意义是明确的。GDP增长率指标反映了人们对国家宏观经济的未来预期，如果增长率较高，则表示人们对未来经济增长看好，于是会继续将资金投入到该国市场上去。收入指标表示人们能获得的，125 收入越高，人们用于消费和投资的资金流越充裕。物价指数指标反映了人们消费水平对经济的影响，物价指数较高，增长较快，表示消费增加，从而消费对经济增长的贡献度也增加。进口、出口指标反映了一国和国外贸易资金流大小。汇率指标对资金流的影响在于，汇率较低时，对于国外资金来讲国内的投资相对便宜，能够吸引国外的资金到国内投资。利率指标反映了机构或个人贷款的成本大小，间接反映了对贷款的需求程度。股价指标则反映了金融130 资产对资金的吸引程度，股价越高表示金融资产市场资金越充裕，也即吸引了越多的资金。创建一个正内切单位圆的N边形，其N个顶点分别表示用来描述一个金融系统的每个指标。在圆心与各个顶点的线段上取值，其值等于各个指标的权重终值，最后将各个权重终值点相连表示该金融系统广义流形态。图3至图6展示了几个有代表意义的结果。 - 4 - ξ值2003q12003q32004q12004q32005q12005q32006q12006q32007q12007q32008q12008q3
中国科技论文在线 汇率利率汇率利率进口0收入进口0收入出口cpi 出口cpi 股票指数股票指数2007q32007q4 135 图3 2007年第三季度 图4 2007年第四季度 Figure3 the third quarter in 2007 Figure4 the fourth quarter in 2007 2008q42008q3gdpgdp11汇率利率汇率利率进口-1收入进口-2收入出口cpi 出口cpi 股票指数股票指数2008q32008q4 图5 2008年第三季度 图6 2008年第四季度 140 Figure5 the third quarter in 2008 Figure6 the fourth quarter in 2008 利率权值的变化表示的是人们从银行获取贷款的成本，从03年起政府采取的低利率政策促进经济发展。03年开始到04年利率起到得作用还没发挥出来，但从05年开始利率指标的权值开始增大，这说明经历了一个较长的时间周期，利率政策的效果开始显现。随后随145 着危机的爆发，银行提高利率，收紧信贷，利率政策开始改变，但是由于整个金融系统信心崩塌，利率的改变对经济系统所起到得作用不大。CPI权重的变化可以看到人们消费对整个经济的影响，消费指数在07第三季度和08第三季度都存在一个突变，说明消费的变化对经济系统的影响显著。这是由于当时对整个经济形式的恐慌以及随着当时人们拥有的资产缩水所引起的消费衰退，从而导致了经济的衰退。这也就说明了消费的变化是金融危机发展的传150 导器。同时进口、出口和汇率的权重一直保持着比较稳定，这说明外国经济体对美国经济体的影响作用始终很平稳。这是由于美国世界经济的主体地位决定的。 从以上分析可以看到，经济的基本面形成是由各种因素(以指标表示)相互作用形成的。它们形成的形状代表了不同的流态。当经济系统的流态发生突变的时候，即代表了危机的爆发。可以看到，雷达图在2007第三季度和2008第三季度发生了两次突变，这正好是华尔街155 比较动荡的时期。 上述运用的ξ值和雷达图权重的两套分析方法，和实际的经济情况是比较吻合的。从ξ值的变化我们知道政府采取的联合救市计划是有效的，这解决了经济学家一向争论的是否救市的争论。因此在未来我们还要进一步加强对金融市场的救助。从权值的雷达图知道，消费变化和经济基本面得变化密切联系，因此，要改善经济基本面，政府应制定政策促进消费，160 恢复消费者信心。 - 5 -
中国科技论文在线3 结论 本文基于广义信息熵建立了金融危机生成的新理论模型，并通过数值模拟研究了08年间金融危机发生的特征，重点讨论了金融危机结构演化的原理和动力学过程。由于实证数据有限，本文的结论还是很初步的，但无疑为研究复杂金融问题提供了全新的视角和启示，在165 宏观调控方面起到很好的参考作用。 [参考文献] (References)[1] Edgar E P. Chaos and order in the Financial systems[M]. New York: John Wiley and Sons, Inc, 1996. [2] Feng Q Y, Chai L H. A new statistical dynamic analysis on vegetation patterns in land ecosystems[J]. Physica 170 A: Statistical Mechanics and Its Applications, 2008, 372(6): 793-807. [3] Chen L M, Chai L H. A theoretical analysis on self-organized formation of microbial biofilms[J]. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 2006, 370(2): 793-807. [4] Mantegna R N, Stanley H E. An introduction to econophysics: correlations and complexity in Finance[M]. . Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000 175 [5] Department of American economic statistics [EB/OL].[2009-5] - 6 -
