第14卷专辑中国管理科学Vol. 14, Special Issue 2006年10月Chinese Journal of Management Science October, 2006 文意编号:1003叩207( 2006 ) zk叩0117时06基于满秩灰损放假矩阵的灰矩阵博弈的炬阵法求解研究方志耕，刘忠峰，陈洪转(南京航空航天大学经济与管理学院，南京210016) 摘婆:以经典数学理论和思想发展起来的博弈理论对经济学、社会学等众多领域和学科产生了深远的影响，然而当博弈环境面临有限理性、有限知识和小桥本、贫信息等不确定性条件，博弈的损益值只能用灰数进行描述时，经典博弈现论将一筹莫展。灰矩阵博弈的高效率的求解问题是该领域E舆论研究和实用中的必须解决的关键问题。在文献7的研究基础之上，本文深入地研究了基于满秩灰损益值矩阵的灰矩阵博弈的矩阵法求解问题。在基于灰混合策略的灰矩阵博弈模型的求解过程中，灰矩阵法是一种较为简便而有效的求解方法。本文定义了灰矩阵博弈的局中人1和局中人2灰满秩损益值扩充方阵的概念，并且证明了:着这些灰满秩扩充1f碎的逆阵的最后一行和最右边一列满足非负性的条件，那么，这些灰逆阵的最后…行和最右边一列的灰元素值就分别对应辛苦局中人1和2的最优灰博弈策略及其最优灰博弈值。在此基础上，我们进…步地研究了1辈子局中人1和2的共同灰满秩扩充方阵的问题，并且证明了:若该共问灰满秩扩充方阵的逆阵的最后…行和最右边一列(不包括最右下角的灰元素)满足非负性的条件，那么，该灰逆阵的最后一行和最右边一别的灰元素值就分别对E挂着局中人l和2的最优灰博弈策略及其最优灰博弈值。关键词:灰满秩;扩充方阵;最优灰博弈策略;最优灰博弈值中?阁分类号:ω31文献析、识码:A在某种情况下使得运用这种博弈理论预测的结果与1号l富现实却大相桂靡。近年来，正是由于经典博鼻理论博鼻论始于1944年，它是以冯·诺伊曼(Von 中的这一咒法圆满解决的理性困感问题，却摧生了Neumann)和靡根斯坦恩(OskarMorgenstern)合作的进化博碎理论。进化博弈理论的产生与发展给博弈《博猝论与经济行为》一书的白版为标志。到20世理论的发展带来了新的曙光。近年来，在罔内、外有纪50年代，合作博弈发展到鼎盛期，非合作博弈也关进化博弈的理论研究与应用方面的文章已经占据开始产生。20世纪70年代之后，博弈论形成了了博弈论文献中的一个较大的份额，而且越来越个完整的体系。大体从20世纪80年代开始，博弈大[1]。博弈理论是在回答了…个个的现实向其提论逐渐成为主流结济学的一部分，尤其是在现代寡出的问髓同时，而使其自身不晰地走向完善。事实占理论和信息经济学方阁的应用成绩裴然，在一定，无论是经典博弈理论还是进化博痒黯论都是建程度上，甚至可以说它已成为做观经济学的基础。立在经典数学基础之上的，它们主要带及到，究全倍然而，这些以理性假设为基础发展起来的经典(合息静态、完全信息动态、不完全信息静态、不完全倍作与非合作)博弈理论虽然有着优美、严密的数学息动~和基于有限理性的进化博弈等问础。然而，推理与数学模型。但是，由于人类的理性的局限性，现实世界除了不完全信息和有限理性[川等之外，还存在未来的不确定性、有限知识和小样本、贫倍息收稿日期:2006曰0631;修订日期:2006仇。815 基金项因:国家自然科学基金资助项自(70473037);商京航空航不确定性[4J (灰信息)等等问题。天大学创新集体和科研创新基金资助琐阴(Y0488 事实上，在二人有限零和博部G= IS1'鸟，Af过091) ;江苏省研究生创新计划项曰:阂家教育部博士程中，博弈双方所依据的损益倔矩阵大部分都是事学科点科研基金资助项因(20020287001);江苏省自然科学基金重点项臼(BK2003211);商京航穷航天大先预测的[1IOJ由于人的认知水平的限制、倍息的学特聘教授科研创新茶余资助项目(1009ω260812 ) 不究全、系统的结构性和随机性波动得因素的影响，作者简介:Jg立耕(1962…)，判(汉族)，安徽人，南京航空航天使得人们在事先无法对其博弈结果值做出十分精确大学经济与管E辍学，教授，博士，研究方向:管竣工稳、灰色系统观论等"的判晰，其博弈损插偏矩阵是灰色的，可以用旺问灰?췲랽쫽뻝뗚?㛄ピ훐䍨䩯潦䵡卣䥳컄믹랽⣄㈱햪떱뗤퓚믬뗄ퟮ헳ퟣ닟맘틽늩乥䵯ꆶ볍뾪룶싛햼돌좻ퟷ췆쫕쳬〹톧듳쿖뷸샭쇋돶짏솢쾢뮹늻쫂쿈쪹?嘰佣?楮湡楥獵㈰畲룥뷰듳ㄩ뿆쳘헟톧ꆢㄴ벭맺헂튪늩컄뫏뻖폒ퟮ뗄럇싔볼춼쿗ㆣ瑯쾾〰?畭牧㔰쪼췪훰샭뛈뛸폫쒳쪵뮯싛뷸ꆭꎬ퓚뺲뚯듦좷훐풤뗃에퇔敳来湣?〶湡횾죕쿮톧ꎻ뗣울볲뺭믒긱扥뻭맜뇠ꎺ?쿗닟훐뇟폅컊뢺벰듊럖뇪?浥ꦺㄶ싛慮敮쓪닺헻붥짏ꎬ럇훖좴헢늩뗄뮯ꆣ컞뺭첬쫀퓚뚨닢좫죋뛏㒣犣?폚폫웚쒿뒴붭뿆믹뷌뷩볃즫湴샭뫅틔뮷㞵싔죋ⴭ믒쳢탔웤ꎺ샠쪶걓?룻붿쪼温獴싛듺짺뗄돉뫍ꎬ헢뫏ꎺ탂쯕퇐뷰쫚폫쾵쟩듳튻?랢늩쳢뗤ꆢ뷧캴탔쏇쫽灥뿆ꎺ뺭뺳싛쓑뗄ㆺ仂늩ꎬퟮ믒뫅싫㈰맺벯쪡믹훘뿆랽맜춳햺폚뫍敲폫ꎬꆣ쳥캪탅짵킩ퟷ뿶쿠컞샭햹?컄춬쫇쫽췪돽살䢡퓚ꆧ쾵웤捩톧뗤쏦붫킾믒춾𧻓?늢쳵폅ꎺ싺ꎬ〶볒쳥퇐뷰뗣횾샭慬뷌ㄹ쒦温뺭뫏㈰쾵훷쾢훁틔⦲쿂뺶램듸뗄쿗샭쪱좫폚쇋ꌨ뛾쮫ꆰ춳쫂늩〳쫽쇙튻뾻뻘훖닟쟒볾믒훈䌹?ꆪퟔ뫍뺿쿮뒴룻톧싛쒣쇵㐴룹뫏볃ퟷ쫀ꆣ쇷뺭뿉샭꧞〶좻뿆짺훺쒿탂⠱뗈쪹춥풲살훐싛뗤믹탅늻믒죋랽ꆭ뗄쿈?ꆪ톧폐돯領헳탈잸싔횤ꎬ늩ꎻ㌱훈탍ꆪ뿆퇐뒴쿮⡂믹㤶뷌ꎮ㈰샭쿞쒪ꇖ늩쬲뫐벰쏷쓇?삩쓪쮹ퟷ탐볍듳뺭볃틔탔쓀뗃ꆣ싺뷸쇋싛뗄쫇뛸뒡쾢췪좷탅폐쯹뷡컞쯰쮼㌱톧뒴탂쒿䬲뷰㋒쫚㝻싛샭햹껉?믒풵웤쇋쎴횵돤ꆣꞾꎬ첹뗄캪㜰쳥볃톧쮵볙퓋뷼뷢뮯퇐튻퓚쪹횮뚯좫뚨쾢쿞틀평릹램틦ꎻ믹탂볆⠲〰묩ꎬ㈰뫍탔ꆣ쾣쒣싺쓌ퟮꎺꎬ랽믒럥궼쯼뛷ꆷ랢쓪듓톧짨?떫탞뷰믹뮮〰㌲훺ꎬ늩폃뻶뗄뺿룶믘웤샭짏첬탅⦵쇣뻝폚뛔횵〶쮼ꆢ믒겱탍훈폅죴룃헳뚩뷰쿮㈰ㄱ쓐쪿쏓쫇⡏튻햹듺㈰뗄쏦틑캪헢살?쫯폫뷏듰ퟔ싛ꆢ쾢좵뫍죋웤뻘⥺ꎬ쿫폐뻘뻎뗄쯰ﺣ믒룃ꎻ죕훺쒿㈸⦣⢺틔獫쫩떽횮쫀튻뗄돉믹믓훖샭맢펦듳쇋짭뮹늻뷸뫍폐죎늩쯦헳쯰ꎬ웚쿮훺ꎻ㜰믄⠱뫗퇐毒랢쿞헳쓉쟳틦계늩릲쓦ퟮ돂?럫慲뗄뚦뫳볍늿펦캪뒡탗ꎺ쒿쿮맺〱쾾〰뺿헽탔싛ꆣ폃튻늻쫇쯼췪뮯폐쿞쫌틦죏믺묰햹횪늩뷢횵쟃?춬헳폅평㈰⠷쒿볒⦣ꦺ㦡ꎬ랽ꆤ돶쪢ꎬ㠰럖폃캢랢엓쫇삧뷼럝룶뛏뷸쏇좫늩쿞횪䜽탔뷡ㄱ웰쪶?쮵맽삩뒣횵믒뗄틦뫩폚〶〴⡙뷌뮽붿ꨲ낲쿲㟒살뫍뗄?돌돤곕ꆣ싺ퟮ늩억냦웚쓪ꎬ돉맛햹엃샭평믳닺쏦뛮룶뗘뮯훷탅?쪶?筳뻘쮮늨맻즫ꆪ㜳〴폽귋햺㘰믕ꎺ죋묰뗄킡룟킾훐랽퓚훈뫳?몣틁캪ꎬ듺폈벨뺭웰삡〸〳㠸늿헊뷌㠱죋맜싛폚컊짺살ퟟ늩튪쾢뗈탔뫍헳욽뚯횵?횵늩퇹킧뿁ꎬ헳ꦻ듋삩튻닟샠ꆪ㜩ꇗ㈩샭계싼뇪럇싛뾪웤엡볃살ꋑ풤뺭쳢폫컄뛸쿖쿲?짦뺲컊뻉킡듳뗄뗈ퟶㄵꎻ쪿?쓏릤?놾싊쮻믒뗄틄믹돤탐싔쾾⡖횾뫏탎쪼쫇좻톧뗄쿃닢뗤ꎬ랢퓚헂쟒쪵췪샭벰첬쳢樱퇹玣늿쿞틲돶뿉쓏뺩샭ꆢ뗄陸뻘룅뒡랽뫍ꎻ뻘?潮ꆣퟷ돉ꎬ퓚뗄뺭?샭뺩몽늩좴햹맺틑풽쿲짆싛떽ꆢ뗈놾몣럖훆쯘쪮틔싛욶쟳?헳쓮짏ퟮ몽뿕떽늩쇋쿖퓚믹뗤쓊뷡?득룸쓚뺭살웤ꆣ뚼늻좻횮ꆢ걁럖폃탔뛔탅뷢𥳐램ꎬ쓗뗄폒폅뿕몽㈰?튻듺뒡⢺맻샭짺늩ꆢ햼풽쳡쫂췪뛸췢욶綹탅펰뺫쟸뺭쾢컊좻쫇늢컒쓦뇟믒헳뗄몽쳬볃뗈쳢틋튻쟒쏇헳늩쫀튲맑뚨ꆣ?폫싛쇋?췢뻝쪵붨좫ꎬ탅쫂쾢쿬좷볤뻖톧늻쫇훖횤믐뷸뗄쇐?폐탅쾢ꎬ믒뗄쿞ꆢ좷룃뷏쏷킺튻ퟮ횵짧뚨쇬떾캪쇋췗늽뫳믒탔믡탔폲?볲ꎺ뗘튻풪믒ꎬ톧쳵샭뇣죴튱퇐탐쯘뗈볾싛쒻뛸헢?뺿뫍횵뻘훚ꎬ퇐튾폐킩믁쇋ퟮ뻍뛠늩뺿?킧믒킵믹폒럖쇬?뫍뗄싺쒻폚뇟뇰헳폲뗄쪵꧞쟳훈틔뻖ⴭ뛔뫍쯰폃쒵뷢삩훐丨펦늩톧틦훐쒾랽돤?죋늻ퟅ뿆횵뗄?램랽떾ㆺ냼뻖닺횻뇘ꆣ헳춷촲삨훐?짺쓜탫놾뗄횱ퟮ죋쇋폃뷢컄쓦릲폒ㆺ짮믒뻶뚨헳퓓춬쿂촲뗄풶쫽뗄쫌틥ꛗ믒뷇뗄뷸맘쇋ퟮ얾싺뻘펰탐볼ꏔ믒뫳훖훈폅쿬쏨컊?뻘튻탈삩풪믒ꎬ쫶쳢陸탐쬱돤쯘늩헳좻쪱ꆣ?늩뫍랽⧂?뛸ꎬ??램뺭쟳뷢퇐뺿
118 . 中国管理科学2006年数来表征，也就是说其博弈问题可以用灰区间数矩[α11 ,bJ [α12均12J…[αIn ,b] -1 ll 1n 阵博弈G(@)IS，(@)，乌(@)，A(@)f问题来[α21 ,b, ]α泣，bJ [a,b] -1 2222n 2n 描述[4，5J。B(@) = 2文献4提出了这种罄于灰区间数的炬阵博猝G[αnl [αn2 ,bJ…[αm ,bJ n1 n2 (@)问题，构建了一种A(@)中阻间数大小可以O 接判别情形下的纯策略解的求解模型。文献5和6(2) 从不间的决策角度，也分别对G(@)问题的纯策略例1某灰矩阵博弈G(@)=IS，S2;A(@)f问1解的决策准则和决策方法进行了讨论。文献7提供题的灰损益值矩阵如式3所熬。则脑中人1和2的了灰矩阵博弈问题的线性规划模型求解方法，然而灰扩充方阵分别如式4和5所法。诙方法的计算工作最却很大，且不便于利用一些现(2 0 [2，3J飞成的计算软件钮进行远算。回此，本文主要想研究A(@)叫o[3,4 ] (3) 和设计一种计算盘相对较小，且便于利用现成计算11 2 机软件钮(例如，maple6等系列软件包)，求解tf::\该( 2 0 [2,3J 1飞灰矩阵博弈的周中人的最优灰博那策略和博鼻值的1 0 [3,4 J 1 1 (4) BI (@)斗|矩阵法求解方法。在灰矩阵博弈的矩阵法的求解过I 1 2 1 I 程中，灰满秩扩充方阵是一种最简单，同时也是一种1 -1叩-1O) 的方阵，它含有丰富的求解倍息。下圃，我们(2 0 [2，3J…1飞将要证明灰满秩扩充方阵的灰逆阵中的最后一行和10 [3,4J 1 1 (5 ) B(@) = 1 . 1 2 最右边一列的灰冗紫值就分别对应于周中人1和2I 1 2 -1 I 的灰最?优解及其最优灰博弈筒。11 0 } 定义2(周中人1与2的1灰反满秩扩充方阵)任2 灰博弈损益值扩充方阵的概念及其逆阵给灰矩阵博算C叭(@)= 川1SI，S2;川A(@)λn川$忖〉E定E义1(局中人的灰博弈扩充方阵)饪给灰瓶中人l与2的灰扩充方阵B矶1(@)儿(忖n川川+叫1门州)叫X川(忖n川+叫I川叫)和阵博算G叫(@)口|川S"S2;川A(@)川|问题，辛若?其灰损益B矶2( @ ) (n川+1) 内X(忖n川+川l门川); 若B矶1(@)九(川nφ1) 叫x内(忖n川+川1门叫)和B矶2 值矩阵为方阵A川(@)λn川&(@) (n川川+川1)叫x(n川+1)中所有区间灰数的取数[忡川9盯]3元尼论取何列和最后…行分别加上列向量(仆1, 1 , .川….川'，1，川0)T和行值时，所胸成的臼化值姐阵均为满秩矩阵，则，我们向量(一1，由1，…，-1 ,0) ，就构成了新的方阵β1称灰扩充方阵风(@ ) (川)叫川)和82(@)(川1)叫川);此时，我们称该BI(@)为局中人1(@)(川')x (川1)分别为G(@)中间中人1与2的灰的灰博算扩充方阵，简称周中人1的灰扩充矩阵，如满秩扩充方阵，其灰秩数为(B)1言(B)= n + 1 0 2式1所示。若在A(@)nxn的最右边一列和最后一定理1(灰满秩扩充方阵是可逆灰阵)任给行分别加上列向盘(…1，叫1，…，…1，0)T和行向灰矩阵博弈G(@)= IS，S2;A(@)nxnf问题，其灰1 最(1, 1, , 1, 0) ，就构成了新的方阵B2满秩扩充方阵B，(@)(川1)x (川1)和B2(@)(O+I)X(川');此时，我们称该风(@)为周中人2(@)(川1)x (n + 1) (如式1和2所浓)必定是可逆灰的灰博弈扩充方阵，简称周中人2的灰扩充矩阵，如阵。式2所示。例2某灰姐阵博部G(@)皿18，8;A(@) f问12[α11 ,b] [α口，b]…[αIn ,b] ll 121n 题，局中人1的灰扩充方阵如式6所乖。求诙扩充1[句，b，J [α泣，bJ…[α初，bμ]1 222方阵风(@)的逆阵B-(@)及其灰秩数。1B,(@) = 解:运用经典数学的矩阵的逆阵及其求解方[α时，b法，可以求解G(@)的灰扩充BI(@)的逆阵町1J [a,bJ…[αnn，bnnJ 1 n1n2 n2 (@) ，具体求解过程如下:由1一1……o(1) ?췲랽쫽뻝훐㈰쫽헳쏨컄⡯뷓듓뷢쇋룃돉뫍믺믒뻘돌ퟮ붫뗄?뚨횵쇐쿲⡏쪽탐솿孮宿ꆭ튻楊⠱쳢暣嬲䄨せ⠳ꆻ䊡룸폚䈲돆싺샽랽램ꆢꎻㆡ忀ꎬ牬犡ꇱꇶㅬꇪ틔퇇牌ꆧ湵웲ピ?ꆪ揓ꇱ?㚣ꎬ⢾䊣샽⢻ꇱ벡?ꇱ빲맺〶살늩쫶쿗⧎에늻뗄믒랽짨죭뻘헳훐훘튪폒틥뫍솿㇋럖⠱㋋宿??틔ꆣ삩㎣ꌨ⠴뻖⡯쪱훈샭㋄⦣?뻀︲⦡ꎺ갲ꎬ⤨걄걏?漩훖갨⡯㇄먨⠵틂?ㅪ牬맜헽뇭?ꆮ㓌쫌뇰춬뻶뻘램볆볾헳ꎬ튪횤뇟ퟮ?⣒늩流?㊣믒돤갴漩뚨훐⤨뎻뻖䊣퓋뿉겾ꇱ汬궡ꆣ㍝ꎴ삩??탈漩⤽뎻䀩?⢾𥳐샭ꆣ㵬헷䜨㒡쟩뗄닟헳쯣튻냼늩쟳믒쏷폅캪뫳묱?뺡볓ㆣ没걢拒ꎬ쯰랽?틥죋쯹돤튾훐갨폃틔?ꎣꌩꎬꆢꢣ돤뒨뿆쮵?튾훖죀쯰ꎬ漩꼵겹탎뻶ힼ늩볆죭훖⣀?뷢싺랽믒쇐튻삩ꏈ짏겡?꽢ㄲ㈲푝抡틦헳㇓⬱릹?죋뺭쟳ꇫꎥ汬톧쒻걭淊抣?탈겡랽洫꦳涴튲㵻䦡쯕립쿂닟퓲?쯣볾볆뗄랽훈헳싺벰틦탐튻돤쇐궣ㄱ?嶡ꆭꎡ횵럖⦡돉䜨ㆵ뗤뷢튲扝쬱뒨긱먱ꎡ헳ꆧ꠨뻍厡?ꣁ뗄뷇뫍컊릤냼쯣뻖램삩ꎬ훈믒웤厣䄨럖ㆣ랽?쿲갱ꍝ뻘뇰䜨ꌨꋠ꧞쒻쓦쫽횵汉꧞폫뷕ꎻ⦣?궡풻럖䊡쫇ꌨ횻쯒뒿뛈뻶쳢ퟷ뷸솿걭훐ꆣ돤쯼삩풪ퟮ꺣漩뇰겡헳⡏ꎬ죧믒냗웤⤽쑇틀톧ﶳ삩쓀쑇㊵듋뮴ꎣ뇰ꌨ쮵漩陸믖닟ꎬ뗄솿탐쿠慰죋퓚랽몬돤쯘폅걓ꆣ볓궣⦡⣒〩죧쪽㵻삩⬱뮯믒筼⡯꦳䈱쳈꦳⡏쒻잿檾돤웤ꎬ?홁싔튲랽쿟좴퓋뛔汥뗄믒헳폐횵ꎺꆣ짏곒쪱볲ꎡ묱쯊쪽㒺䩳⦣곖⡯캪훈玣漩ㆺ⤽弱뻘⤽틂진늩厣틇⡯뷢럖램탔뫜쯣뷏㚵ퟮ뻘쫇럡헳뻍랽ꎻꆣ쇐묱돆ꎡ㏋촵믈쫽겣筊뷕삩슣ꎬ놣탋⦡䜨ꆭ촲뷕筊𥳐?먨⧖뗄뇰뷸맦듳ꆣ킡죏폅헳튻뢻럖䄨ꎻ쿲ꎬ뻖ꎵ릹流쯹캪걓玡⦼돤?컒곎陸궡漩玡죀틕컊伩탇쟳뛔탐뮮ꎬ틲뗁믒늩훖뗄뇰횵漩퓲솿〩훐쓗ㆣ돉뺡쪾厣䊣氨뻹⡂ꎺꎣ냆쓦䊡쏇틃탇ꌩ훐⦡쪾뗄죎ꎣ꦳쳢ꎬﶵ뷢䜨쇋쒣쟒듋탈늩?ퟮ쟳쓦뛔ꆣ緎퓚⠱죋겡ꏔ몣갨漩캪⦣ꎻ걳봶헳ꌨ룸돆잳걓쮻뻖죎ꌨ⦱룅뿉䄨쒾쒣漩쳖탍늻ꎬ뇣?뗄볲뷢헳펦쫌뻍ㆵ튱궣탂㊵뭁⢡싺갽ꎺ쯹틖벰믒ꎺ뷕룸룃울⬱훐ꆣ?틔漩?ﶴ탍컊싛쟳뇣놾폚ﺰ닟뻘떥탅훐쓮ㆣ릹쒻?곒뗄훖⡯⢡ꌫ훈⡂ꎻ쪾죊웤뻘ꎻ䊡썂틊⦺죋⬱폃緎ꆣ쳢뷢폚컄샻ﰩ싔헳ꎬ쾢뗄뻖곈겡돉틀믁묱랽탈⦡ꌫㄩ뻘ꎺ䄨ﶡ쟳쓦벰䄨죎ꌨꎺﶵ쵂㇓⦺잿믒쫌꧞ꆿ컄뗄랽샻훷폃ꎬ뫍램춬ꆣퟮ훐궣쇋꦳킺헳쬱ꎡㄩ⤽漩쟳?뷢웤伩쟸쑇짒쿗뒿램폃튪쿖쟳늩뗄쪱쿂뫳죋ꆣ갱탂漩췗〩죕⢢뫍ꎡ砨⢡쓈ꎬꎺ渫췈진緎룃랽䉦緎쓦볤?퓖㖺닟㟌ꎬ튻쿫돉뷢?쟳튲쏦ㆺ틋뗄?ꆣ㊵ꍽ渫ꌫ퓲ㆡ緎삩캪ꇊ햣?쫽?촶싔좻킩퇐볆돶횵뷢쫇ꎬ탐촲헳ퟮ〩랽뫍컊ㄩ쫌돤뻖캪ﶡ믒뻘?뛸쿖뺿쯣룃뗄맽튻컒뫍폒ㆺ헳곈탐쳢훐뻖휱훖쏇뇟췐䊣?쿲ꎬ죕곆죋훐컞튻?뛔?죋싛??좡뫎
119. 专辑方志耕等:基于满秩灰损益值矩阵的y<.矩阵博弈的矩阵法求解研究/''ttttttt-tt-tttEttB句 -A\飞’EAU /''tttl1ttttttt[ 14] 1、1、 '-, J+γ币1 。，.llIll-Ill--F/飞门11lil--Ill-fβ /''飞、、@ [ AUT正] 2Aql吁中E= = ，，Ut且呻+-γ' y嗣2 (6) AU飞\{ti】』飞、(13叫111 0 +2γ21) .1 (B1(@),E(@)) 4 + 2γ21 2 1 10 1 3 + 1 叫1…0100 1 /|'llIEll-A1υ\ Aυ nu-O-AV、、UAV I 3 +γ12 till--Ill-'''飞、J--OV A正吨，、‘句、节耐、、白、、‘目目，，，、、，，，，，‘‘、( Aι+ qM 叶γ' + Mγ' + Lγγ+1Eγ 。b 2 2 命，，JV崎+ γ' 2 叮e， ， F， 2 唱，，/I I2 +γ12 4 +γ12 + 2γ21 10 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 10+4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 (4 +γ12 + 2γ21)(10 +4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21) 4 +γ12 + 2γ21 2 + 2γ21 2 +γ12 10 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ12 4 +γ12 + 2γ21 4 +γ12 + 2γ21 4 +γ12 + 2γ21 故，该用中人1的灰扩充方阵是灰满秩方阵，其灰秩数(B)1口3，灰逆阵如式7所示。?10 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 l0+2γ12 + 8γ21 + 2γ12γ21 (4 +γ21 + 2γ21) (10 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 ) B;I (@) (7) 。、h·宁JV叫2" l，一+10 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 {A一牛'…M刷I …叩m"'2› qM 件γ' 2(4 +γ12 + 2γ21)(10 +4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 ) 2+2γ21 2+γ12 10+4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ12 4 +γ12 + 2γ21 4 +γ12 + 2γ21 4 +γ12 + 2γ21 的各个最优灰博那策略和灰博那值O3 局中人1的最优灰博弈策略和灰博弈值例3某灰矩阵博拌G(@)15;A(@)问= 1，比I定理2(局中人1的最优灰博弈策略和灰博题，助中人1的灰扩充方阵如式6所示。求该灰矩挥值)任给灰矩阵博弈G(@)口;A 阵博算G(@)过程中，周中人1的最优灰博挥策略12(@)，辛苦局中人1的灰扩充方阵风和最优灰博弈值O1-的灰滞阵B(@)(解:根据定理2可知，局中人1的最优灰博弈(@)(川1)x (川1)l川1)叫川1)存在，1-策略和最优灰博弈值分别为:且B(@) 的最脂一行的各个灰元素的1(川1)x (川1)值都不小于零;则，这些灰元素分别对应于局中人li [ nv Anυ nu ro叶l 2 + 呻I(8) m αXI叩………叩…l osγ21.γ21剧，飞4+γ12 + X~…2+2γ2_1 . _ r ~;n{ 2+γ2~n~{ 2+2γ2_1 [0. 330. 60J ,2 -4 +γ12 + 2γ21 …"飞4+γ12 + 2γ-;; J 0白如121sl山山\4"+γ12+ 2γ-;; J 0白12Y2I，γzlSll SI0+4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ2_ 1十:_/0+4γ12+ 6γ21rv川川②:叫一-4 +γ12 + 2γ21 l4+γ12 + osγ12.γ21S1 0+4γ12 + + 6γ21 2γdmαXn叶[ 1=,J 飞4 +γ12 + 2γ21 10句口，γ21';;1 ?췲랽쫽뻝랽ꆤ웨뎧?ꋨ涢㌫튻㈫ㄫ㐫⠴맊䉩⬲㴳㎾뚨?⡯쟒횵뎶쒵⠶샽쳢헳뫍뷢닟㵛㵬慩ꆣ㐭ꆱ浡ꆢ㵭ꆯ퓾汬ㅌꏜ㌫?㈭㐫椰㐭〱⠷ㄱ?礱㜱⬲㎣⬴㉔㈳㐫㑔ꎬꆢㆡ벭횾⡩⠳⬷⭹ꎬ氨⬳샭횵⦡⤨뚼뗄㏄늩ꎺ싔礱?䤭⬴䉬ퟮ㉹ㄲ㦡훖⡏?礱꼱㈱ⰲ㈫吱㜱ꎯꆿꎮꇱ꺣砨룻?礱㈫㈱⊣〫⬲㉉ㄲ룃漩꼱믒ꎯ㈨⧈ꎡꆣ늻룷뎻뻖?룹뫍쓄?㈫㈷㈳㉔㉬㈱ⴱ폅꼲ꇱꆢ탈뗈?㈳㈫ㆡ㑹㎣?㠷㈳⬲㙹㉩뻖㉹㘳ꎺ쓦㡹㉬㈱ㄲⰲ캸ꎡ뒨킡룶튾훐䜨뻝ퟮ彛?ꇱꎬ℡?ꎯ㙹⡯믒ꎺ?㉬ꎯ㈱쬱ⰲꇱㄲ꼲吲㎣훐헳⬲ꍽꆣ폚ퟮ?죋漩뚨폅㈫㉬㈱믹㐫⬲㈱㉬⦡늩氫ꇱ㜱⬴⬲ꇀ⬶ㄩ꼲죋⤴죧吲뗄튾ꎬ⢡쇣폅ㆵ맽샭믒㊣폚礱㌧㌬⬲㎣㉔ꇱ?礱㌬㎣ꎡ?㜲㈫ㄲ⡩ㄩㆵ⭹礱쪽꼱꼲㉹?죴ꎴꎻ믒꧞쒻돌㊿늩ꇱ싺ퟮ㈫ㄲ꼱溡渨삼㈳礲㉹㈷㉬ꎴ횵ꎯ훈氫〫⠱쒻ㄲ㟋ㄩ쓗뻖ꢵ퓲퇉죈늩쑇틀훐짖?긵㙹㜲㉹ꎯ?ㄲ㈱폅楮ㄴ믒㉉?ㄲꢡꆣ㈳㐳〫틀⬲流⠱꧞훐쒻ꎬ?⡯꦳ꪣ횵℡?㊡⬲쯰믒ꎯ㑹꦳礲뺡〫㐷얻쑇죋틄ꎡ헢닟⤽뻖겾럖〧吱틦↡ㄲ?㑔늩튲⡯ㆵ킩싔筓뷕훐훖뇰㉹궡횵㉬礲⬶뷕ㄲ꧞⤽쒻믒뫍ꆣ죋탈캪㎣?ꌩ뻘쀡뛾ㄩ礲⬶㜲쒲筓틀뭉풪믒ꎬㆵ쬱ꎺ헳뗄ꪡ닟氫?잻㌬ㄫ?ꆣ꦳弱쯘늩玣봶쓗ꍩ機℡긱뗄ퟮ싔믒㈳틂㉬㈷풺ꎬ⡯럖?몣쯹ퟮ뫳↡뻘ꎯ𥳐⬲ㄲ뫍춻厣뷕⤨뇰횵뭁쪾얻폅㑝⣐ꇛ헳튻ㄲ좷㌬礲튲몣ꆣ뛔⡯믒쀡꪿늩탐礲뷕ㄲㄩ?뭁벡⮡펦⥽쟳꧞늩?늩℡ㄩ礲㐫?뼩뗄폚컊룃쒲?뗄?곆ㄩ礱ꆣ뻖믒?룷뻘뛾ꎬ벱℡㈫횵⢡훐뻘?헳룶램틖㈷ꌫ죋?믒쟳죊㉬ㄩ?풪뷢ꦵﴨ듦ꆣ퇐쯘䈩퓚뺿뗄즡ꎬ稨⥏ꎺ죖ꎺ㱙﵆뼩槫㈱꒡ⱙ펴ꎣ㈱ꆣ몣ꎻꋸ겣氬ꇌ몣浡겣砨겣컥겣벱몣⦡겣ꎣ겡뮣ꌬ겡浡ꎣ砨몣橩겣벱몡⦡ꎣꎣ몡몣ꎣ겡꺣ꎣ겣몣겣꺣겣뮡몡ꌱꎣ㵛뮡ィꎡ긳뼽㌬嬰ィꎮ긶㐰ィⰰ?ꎮ㘷ꎬ
120. 汇和国管理科学2006年(1,1, ,1,0) T和行向最(1 ,1 , ,1,0) ，就构成了4 局中人2的最优灰博弈策略和灰博算值新的方阵B(@)(川1)叫川1);此时，我们称该B(@)定理3(局中人2的最优灰博弈策略和灰博为局中人的共问灰博弈扩充方阵，简称共同灰扩充辞值)任给灰矩阵博弈G(@)口1SI'鸟，;A(@)f. 矩阵，如式8所示。者B(@)(川1)x(.+1)的灰秩数为若局中人2的灰扩充短阵B(@) (川1)叫川1)的灰逆(B)=n+l，则称B(@)(o川)x (川1)为灰满秩扩充方211阵B-(@(川1)x (川1))存在，且B-(@) (川l川(川1)阵。22根据有关定理可知，我们可求得灰矩阵博拌G的最右边一刑的各个灰元紫值都不小于零;则，这些灰冗京分别对应于周中人2的各个最优灰博弈策略(@)问题的共同灰满秩扩充方阵B(@)(川1)x (们1)和灰博弈值。的灰逆阵Bω1(@)(川1)x (川)，如式9所示。[α11 , b]α12' b 12 [α1n ,b] ] ll 1n5 基于共同灰满秩扩充方阵的周中人的最b[α21 ,b] [α] (α2n，b.] 21 z优灰博弈策略和灰博班值B(@) 定义3(局中人的共同灰博拜扩充方阵及其[α川，b.] [αn2，bJ…[α阳, 1 n2n 灰逆阵)任给灰矩阵博弈G(@)= ISI,S2;A(@)f 1 o 问题，若其灰损益值矩阵为方阵A(⑧)川;则在A(8) (@)nxn的最右边一列和最后一行分别加上列肉[C，川，d1] [C,1 ,d,1 ] [c,.,d,.] 1111[C1,n ,d"J 1l川[ C,d] [ ,d,1 ] [ C， u 2跑2n[C +.d +J Zn1 2n1 1 B-(@) (9) ?[> d.] [C.,d.] [C.,d.] [C凡川，dn1 n2 n2 nn nn n川1] [C肘，dn+[c+,d+ [C+.,d’l+ ] [Cn1n n+叶.dn++，Jnn定理4(局中人的最优灰博弈策略和灰博弈最优灰博弹策略，即(@) [CdYl= 1川1>1n.+1 J, Y2 值)任给灰姬阵博弈G(@)= lSl，S2;A(@)f问题，(@) [Cdd= 2川，2，.n+1J，…，Yn(@)[C= n川+1J 同中人的共同灰扩充矩阵B(@)(川)叫川)的灰逆而该灰博蝉的博弈植为川.(@) u’ (@) = [ Cd] 阵B1 (@)(川)x (川1)存在，若B1(@)(o+I)X(川1)n+ 1.川I,0 n+1n+l ,的最后一行的各个灰元素的假都不小于霉，即例4某灰矩阵博那G(@)ISS2;A(@)f问= t>题，灰损益值矩阵A(@)如式6所示。求该灰博弈[C+l ’ d+.J注。③.[C+,2’ d川.2]去<2)…，n1nI1 n1nl]220@;的局中人1和2的最优灰博弈策略xJ@)i12 [ C川川l，d+川则，这些灰元素分别对应，,nn1.. n ( @) 1 2 j 于局中人1的各个最优灰博弈策略，即X(@) , no ,, Yj ,= ,,1= 解:运用与例2和例3中相同的方法，求该共[C d] Xd川川1.忖1，ιn川川+川, 引2(@)=[μC川n川+川 乱川nl伽什lβ[μC川川1.ρ乱d(n= n川川+叫若气(@)1..]川川+川1)川)的最右边叫x山(n川忖+州1同灰扩充方阵È(@)È-l(@).的灰逆阵如式10和一列的各个灰元素值都不小于零，[ CdIlP 川,.1n + 1 1 J ,11所示。~Oθ[Cd]注。<2)，[Cd] ， 川n川川'.2"’, 1，川，+ 1川1~O飞则，这些灰元素分别对应中人2的各个3 +γ12 111@ 0 0 (B(E(() 4 ,()) + I 2γ21 1 l@0 I 。1@ 01 0 0 3 +γu 0 0 o 0 ) - (1+ 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21) (3 -+2γ21 (4 + 1 2)’21) 0 I 2 -γ口-1 1 0 1 -。-ꎬ?췲랽쫽뻝훐㈰㒾뚨?죴헳뗄믒뫍?믹폅컊⡯䊡季㊣횵뻖孥폚㵛튻ꇝꋨ⡪⠱탂캪뻘⡂룹䈨ꆭ⠹ퟮ⢢뛸샽쳢뷢춬㇋ꆢꎯꇱㅊ뿚牌ㅩ뒱뿘틔ꆪꆣꏜ퓺ꆰほ뇈ꇫ??ꇱ佀?⢾季ꇱ뿚澡?ꆢ嵊?ꇱꆾ맺〶샭횵ퟮ풪믒틥쓦쳢⦡뀨ꆧꆣ梣㊣걤⧈풻佀ꎬ뻝漩ꎺꆭ季?룃㓄流ꇱꆢ훖뻖䉦폚훐掴뗄헳⤽⧎폅뒨쇐?ㄭ훖ꆧ㊡ꆢ맜헽ꎺ?⧈폒쯘늩헳ꎬꎡ漩⬱걤긲ꎮ⭬ꆣ캸뫳퓺ꎻㆣ폐㵛⮣뎻溣퓋삩뺡ꇱ탈훐氨릲죋ꆰꢣ랽삥쫌쓦믒?늩ꎬꝤꆯ뗄샭캸뇟럖?⧈죴ꎡ?撡ꎮ䦣ꎬ㊣⬱ㄨ튻ꆣ죋퓲겡맘⮣掣늩겣튾쯰걹폃돤ꇱ䲡ꇗㅩ쬲죋澡춬뗄ㆣ꺡헳죧⬱늩뿆쮵撡㊣?룷孃ꇱ튻뇰횵캸웤ꎵꝝㆣ꺡搲걤ꎮ튾漩탐⮡ㆵꎬ궣뗄뚨굝⬱⭬몣?틦ㆺ폫랽ꆪ톧뗄㊵괱믒쒹ꝝ긱쓗릲걤ꎣ䈨쪽ꎬ䊡?튾쇐뛔ꆣ닟믒쓗걤ꍝꎮ뒡㉝?⢡뗄ꎣ쒸룶뒨헢갱릲샭撡撣ꎬ꺡ꌫ횵촲⡯샽헳닍?ퟮ쒻⦡싺춬ꆣ걤漩㣋퓲ꌱ닟?뗄펦튾쯰ꆣ㉝?ꎴ룷걤킩ꎬ춬뿉ꎣ몣撡ꌫ늩꧞뻘⦣㊺닭싔뒨믒ꎮ겻얻폅틀송훈믒ꆰ⟒⢡流돆⡯싔룷폚?틦튱⬱꧞ꢡ룶ꆣ〩횪꺡ꎺꎡꌫ?ꎬ쑇헳ퟮ걊췀믒뫍튲ꎮ풪㊡ꆾ믒꦳궡삩ꆣ⬱ꎴ뺡䈨틂⤨꧞룶뻖횵?ꎮ쑇ꌨ뛹풪늩ꎬꍝ⮡ꌫㆣ撡⡯䄨폅㴱ﴳ⦵採늩꧞쯘꽤늩쑇ꌩ믒훐돤꧞뻘믁ㅝ⡯ꆣ풪얻嶣ㆡꡭ?ꏈ漩컒𥳐ꎡ꺡벴撣캪ꌫ⤽ꎬ쒻?쓀쒲⡯풪죋늩쑇헳킺⤽⬱쯘ꇝ⮡튲횵뒨럖꺺삩쏇ꍝꌫ몣ꎺꆣ筓죧㊣쿠틄??⦴랽뻘겸嶣푏ꆭ죀妡닟꦳?⤽쯘㊵⡯캪췗筳⦴뗄ꍝ꧞뇰췐돤뿉ㅝ겡틆ꎬ쪽춬닟헳?ァ믈뚼ꎮꎻ⡀ㄩ꦳涴ꌨ싔풺筳횵쒸⤽랽ꆣꇝ쒲뛔탏쟳ꌫꆯꎬ㛋닟궣뗄싔ꆣ?뗄䈨⡏꒡듋⦡ꇁꢣ漩뫍횵뷕춻?늻㉝ꎬ뚼筓헳?ァ?펦뗃⡯⮣厣流싔걩랽뫍믒⡯곇뻖튲漩⤽뮽⦲쪱궣⢡뷕곈㵛걛킡ꇝꎬ늻䄨믐玣곈?풣폚뼨믒嶣⤽깝몣뺡룪ㄬ램묨늩냆꧞믒⦡틈훐ꆭ季퀨ꎬ갩ꎴ䎡厣킡ꎬꋠ킷몣掴믔겼폚뻖ㆣ볲뻘겡튻ꆣ뭁ꏇꎻ漩?늩괱핦죋ꆣ뒨漩컒?꣎⡯봹ꎣ몣폚얻玣⦡횱뭁둸훐갱돆헳궣甫⡏⡀쟳ꢣ쇣ꎬꌫ?⥸ㄨ뗄ꎬ✲⢡랡쏇⬱ꪻ⦡쯹꺡겣쇣튲몣ꎡ⡯곕ꆣ죋릲늩걙⥽쎻⦣룃죧긲ꎬꆭ횵뭁⢡漩ꎻ꧞ퟮꎡ평⥽涴伩ꎬ⡯ꌫ㊵ꆭ돆춬⦵틂?ꎴ쪾궣ꆣ⤽컊튲걩릲쪽ꎬ⡯퓲쒲⡏ꎣ쿁컊벴ꦻ⤽쒸믒?튻꧞㴱ꌫ⢡ꢵ撡ㄩ룃쒻𥳐ꢣꆣ걤⥽ꎬ?믔탏쳢撴틔季孃ㆣ삩⤽?뫍溵ꌫ쒻ꎡ즽븴䈨틖죀걭栫ꆣꎬ헢?ꆧ갰돤季ꢣ뒨쒻ㄩ틄뀲⬱䀩죊꦳ꎬ킩??ꆣ?⦣틄ꆣ?갲嶣⦵ꎮꎬ⢡횱겾⮡?⢡겡쓗⭪걙嶡ꎮ뒨ꌫ춹ꎣꌫ궣㟱ꎺㄩ?퓓ꎬ릳걤ㄩ겸튱?직ꆣ힣撴撡?뛯⮣겡ꢣꎡ걝ꌨ궣꺡낡漩?ꍝ굝캮㈫稷ⶣ먷ꎺⶣ?
121 专辑方志耕等:基于1商秩灰损旅值矩阵的灰矩阵博弈的矩阵法求解研究1，卡γ1210 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ21 4 +γ" + 2γ21 -AV HV 10 + 2γ12 +8’)’21 + 2γ12γ21 ( 们) lU。10 (4 +γ21 + 2γ21)' (10 +4’)’12 +6’)’21 +2γ12γ21 ) o 0 J 10 + 2 + Y,2 1 + ’)’,2\ 10 + 4’)’12 + 6γ21 + 2’)’121’21 4 +γ12 + 2γ21 3 + 2γ21 B-I( (8)) ………~叫……I( II ) +γ12 + 2γ21 2 + 2γ21 lo + 4γ12. + 6γz，+2γ12γ12 I 4 +γ12 + 2γ21 4 +γ12 + 2γ21 ) ory [J]. Evolutionary Economics, 1998, (8): 15ω34 根据式11可得该灰缸阵博弈的间中人1与2[2] Dieter Balkenborg, Karl H. Schlag. Evolutionarily stable sets [ J J . 的最优灰博弈策略和灰博弈值分别如式12、13和International Journal Game Theory, 2001,29: 571 -595 14所示。[3 J谢识子.有限1理性条件下的进化博弈王理论[J].上海财经大学2 + 2γ吨'学报，2001，3(5):3-9. X(③￡[，， 1 4 +γ12个2γ21[4J方志梯，刘息峰回基于纯策略的灰矩阵二人有限零手u博弈模型研究[J].南京航空航天大学学报，2003，35(4):441 -445 Z2(@)=2+γ1~ = [, (12) [5] Zh geng Fang, Sifeng Liu. Grey matr x mode1 based on pure strategy 4 +γ12 + 2γ21 [ C J. Mohamed 1. Dessouky. Cathal Heavey, eds. Proceedi吨sof 19 + 7γ12 + 12γ21 + 3γ12γ21 YI (@)扫一一~一一一……一一一一=the 32nd International Conference on Computers & Industrial Engi翩4 +γ12 + 2γ2\ neering. Gemini Internat onal Limited Duhlin, lreland, 2003 : 520 -[,, 525 ?3 + 2γ2 [6J方志耕，刘忠峰3辈子纯策略的灰矩阵博弈模骂自研究(1 )一一Yz(@) = -:---~口[，(13) 4 +γ12 + 2γ21 灰矩阵博弈模刻构建[J].东南火学学报，2003,33 ( 6 ) : 796 800. 10 + 4γ12 + 6γ21 + 2γ12γ2\ 旷(@)= [7J方志讲，刘j思岭.辛基于区间数大小可步II};Ë的1瓦斯1I陈博弈的混合γ12 + 2γ21 贯主田各僻的讨论[JJ 中阁管王理科学，2004，10(专辑): = r min( !0+4γ12 + 6Y21 + 2γ12γ叶.mαz[8 J刘思峰，党耀阔，方志耕，等著.灰色系统理论及其成用飞4+γ12 + 2γ21 ,0 :5γ口，γ21条1(第二版)北京:科学出版社，ω329 (阻巳η协12+叫6句咐γ凯响')'凡均刀21l呻+勾2叶γ饥h川y12')叫'γ[9J方志耕，刘思峰，陆芳等.区间灰数表征与算法改进及其GM(I，4 + γ12 + 2γ2刽'0笃γl口2.γ剖也川1J 1)模型应用研究[JJ.中国工程科学，2005，7(2) :57 61. [ 10 J Daniel Friedman. On economy applications of evolutionalγgame (14 ) theory [J]. Evolutionary Economics, 1998,(8): 15叩346 结语[11] Dieter Balkenbor日，KarlH. ScI巾 stable阳ts[J] International Journal Game Theo町，2001，(29):571ω595针对灰瓶阵博挥中的局中人的最优灰博弈策略[ 12J谢识子-有限坝'1全条件下的迸化博弈现论[J].上海财经大学和博算假的的求解问册，本文设计了基于满秩灰损学报，2001，3(5):3-9 益值矩阵的矩阵求解方法。与矩阵博弹的版线性规[ 13 J钱颂迪烹编.运筹学[MJ.(修订版)北京:清华大学出版社，1990: 388ω420 划法相比，该方法不仅计算工作盘相对较小，而且便[ 14 J M. Voorneve1d. Pareto-optimal security strategies as minimax 8trat›于利用…些现成计算机软件包进行运算。但是，现egie8 of a standard matrix game [J J. Journal of Optim zation Theo-实中的灰矩阵博弈的损益值矩阵并非都是满秩的，ry and Applications, 1999, 102 ( 1 ) : 203ω210. 对于具有非满秩灰损益值矩阵的灰矩阵博弈的矩阵[15 J Kin Chung Lo. Nash equilibrium without mutual knowledge of ra嗣法求解问题，作者将另文阐述。tionality [ J J. Economic Theory, 1999, Springer噜Verlag( 14): 621 -633. 参考文献:[1] Dan el Friedman. On economy applicat ons of evolutionary game theω ꇫ?췲랽쫽뻝랽ꆤ?䊡㈫⬲㐫⠴뿳〫룹뗄ㄴꆰ㘷쪯嶣립嬴㵛뿚㵲뷡嬲⠱헫뫍틦뮮폚쪵뛔램닎ㄫ㌫潲䕣䉡䢣獴獥䥮䩯䝡周嬳톧퇐嬵䙡䱩扡潮灵孃䦣䡥潦瑨䍯䕮湥䑵㔲嬶믒㠰嬷닟嬸⢵㈹嬹ㄩ嬱䙲散敶条ㄹ慳浩敧浡佰特慮䅰㕝䍨睩浵歮牡瑩㘲튻ꆢꎬ?㐫㈫ꆢ浡浯㌲䥮慰潦䱯敱牡??礱⬲㜱㉔祉㑹汏⬴㌫㐫㉹瑥浥疣牥牡깄慶湦浰杩浩㖣ィ㦡潮㤰捵湩瑲瑵泒ꎬㄲ뀨吲㙔ꆧ⬷⭹〩汫깓慢畲敯湧獥敦扬楥潬慮瑩畮瑨潷礱㜱祉㈲⬴祛潮嵄瑳巐놨嶷뺿嵚瑲摥嶣湤瑥뻘싔巁?쒣そ灬ㅝ㉝㍝㑝璡浥䭩ꎬ?벭횾畩?礱㈫㉉㈱ㄲ⬴吱뻝ퟮ쯹㐰ꎮィ㐩뛔늩횵램샻훐폚쟳뾼㈷㜱㉬牮걇瑥敳敹敲畴ꨳ潭ꎺ物浡楸ꆪ慬묶폯?ㄭ漩㈫ㄩ㉬ㄲⰲ敮敨汥湡特ꎬ楸?牮楮摭楣畴捨摡浩潵㈫㉔⬶ꎬ㜱㉬㈬㈳㈧㈢䩝潭楥孊慴믊뷖桩牥杹깍獯敮敲?헳뷢ﺰ㈹탍䑡特䑩킻잮㌸䶣瑹杩楣慬㌳乡汩룻㈢?慴ꆯ⬲㉔扯污ꎬ卩枣慮牤穡摧㠢㈱㡹礲ㄲ㘷쪽폅쪾ⰰ㜵긶㔰믒?뻘쿠폃뗄뻟뷢컄✲㙹ꎯ楯?畫敤捥玣ꎮ㢡敳獨扲夲췟㈱㈫㈳祺ꎮ楣瑥嶣뛓㈰뺸来潨楯늩뗄벷펦湩孊整ꎬ쪶쯌깖慴楴礲⠱㜱㈱㉬㜲氫⬶㉉㌬㉴?牧枣湡㈰晥禣玣ꙉ깇䥲ꎮꨴ瑩뗈뺸?湡湳極ꇭ氫⬲㉹㜲ㄱ믒ꆣꎮꎬィ㙹✲뻘횵헳뇈튻폐컊쿗礲䕶玣?ﮣ껄湧慭걃깐湤?쳖놱폃嶣敲㈰폨뗏潯깊楯祛ㄹ〫㈷䤩ㄩ㈱깅〱敭敬佮特潮?쇋漩ꎺ㈷礱ㄲ䤫吱氫㊣慴牯畳ﮣꎮ㐷㈱ꆯꆮ⦡㊡?潬갱䭡癯ꎬ껓곁쾾敤楮慮쒣싛겵뺩퇐깅〱ꎮ훷牮潵湳䩝㤹ㄲ㈷㜲㈳㉔뿉늩嶣㚣갰㎣헳뗄ꎬ킩뻘럇쳢ꎺ㉹꼱桡捥瑲믹?⠱꼨牬汵㈹撣곁❙㉬쟉✱㉉뼫ㄲ㈢畴㤹탏㌨ꦺ敤楡탍孊돒ꎺ뺿癯ꎬ폐뇠敶牮ꎮ㈱〫㈲뗃??길ꆣ긱늩뗄뻘룃쿖헳싺ꎬ㜱⤧瑩ꎺ楮갲폚㉹楯㢣?㔩벷붿릹嶣ꮹ뿆孊汵⠲쿞ꎮ敬慬ㄹ䕣印ꆤⰲ?ㄲ杳㑔ꇶ㐳⬴潮㔷〰⤽?룃닟㍝㠳ㄲ㑝?쟳헳랽돉늩훈ퟷ湡갨햺붨껖画톧嶣瑩㤩샭퓋撣㤹潮物싺ꎺ벷ㄲⰱ礱慲ㆡ㎣퓙㷗㜲特㠩퓌㎡꺻뷌孊킹겷돶곂껖潮ꎺ탔돯깐ꎬ潭湧⬶㈫楬ꨵ먵훈믒싔ꎬ崨훐뷢쟳램볆?헟ꋠ礲㙹㙔ꎺ?㤵陸㈰嶣調뷖냦붷킹慲㔷쳵톧楣敲攬믒췟꺻뻘뫍ㄳ뗄컊뷢늻쯣쯰붫氫㉬ꎮꆪㄵﻏꎬ?꺶뺸짧벵調?ㆡ볾孍整㈨ힹ쯰㈷⬲陸췟헳믒?뻖쳢랽뷶믺틦쇭ꆪ습뾲ꟑꯄﮣꎬ좣꒳ꨵ쿂嶣澡ㄩ噥ㄲ㜱❹틦?㌴쒽?Ʇ쾴웑겵㈰껇첿㤵뗄긨ꩯꎺ牬≹㈲ㄲ늩훐ꎬ램볆죭틦횵컄맴횵ꎮ풵ꢣ뾲ﶴꞣ죖〴웑뷸탞灴㈰慧㈱ⰲ❙⢢?죋놾ꆣ쯣볾횵뻘닻?ㄩ㈱꾲쒻갲ꟑꞣ뮯뚩業㎡⠱뻘?뗈?뗄횵컄폫릤냼뻘쫶꧞튾〰Ʇꆿ꺻틊갲늩냦慬ꨲ㐩헳⡯풵쓀?㎣ꢣ짅㒣틉ﶱ〰?⦱ꎺ뻖럖ퟮ짨뻘ퟷ뷸헳ꆣ뗄쒻ꊵ갳갲킶갱ꯏ㖣샭놾ꎮ믒훐뇰폅볆헳솿탐늢튾?ﻈ㔨〰ꢵ〨뗍갷싛ꦣ샏⤽뻘?죋죧믒쇋늩쿠퓋럇䩝쯓㐩㎣쒻돀⠲孊뫇渨헳ꎮ탏ꎺ갳튾벭⦣嶣㇓쪽늩믹?뛔쯣뚼짏?㐴㌨?⦣?ꢸ먵껉ꪴ늩꧞좰ㄲ?폚뗄뷏ꆣ쫇늩몣ㆡ㘩?냆쒽㞡쾺?쓄ꆢ닟싺믒킡떫?닆춲ꨴꎺ꧞ꨶꎲꞳ뗄⤽ꏐ뺭꧞㐵㜹쒵ꛓ냆ㆣ욾ㄳ싔훈쿟ꎬ쫇뗄뻘췑듳쓄ꎮ㚡쒻썛?궴뫍믒탔뛸ꎬ뗄뻘헳튵킾룇톧ꏐ?䵝䴨램쯰맦쟒쿖ꎬ헳?뼨ꎮㆣ㋔??쟳ㄩ뇣뷢ꆪힹ퇐딽ꆪ뺿쪯?㵛ꆪ뗈ィꇫ?횿㵛?⦳ꆣ낡ꎮ㌳ꏲꎬ쪡ꆣ첡ꎮ?㚡ꍝ⠱㈩
. 122. 中国管现科学2006年Study on the Matrix Method for Solving Grey Matrix Game based on grey Profit and Loss Value Matrix F ANG Zhi-gen嚣，LIUSi-fen窟，CHENHong-zhuan,XU Xiang-min,LI Yuan-nian (School of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics (NUAA) ,Nanjing PR CHlNA 210016,China) Abstract: Game theory based on the theory and thought of classical math has brought far幽reachingaffects in the fields of economics , soc ology ,and many other fi日ldsand subjects. However, when game c rcum8tance faces to uncer唰tain condit ons, 8uch as bounded rationality 、boundedknowledge and small sample and inadequate information, and when the profit and 1088 of game can only be described by grey numbers. classical game theory can ’t f nd any way to solve them. The high efficiency of grey matrix game in solving these problems s the key problem which must be solved in the theory res♀arch and appl cation of this field. On the basis of the research in [7] thi8 paper further stud ed the matrix solution method for grey matrix game based on full-rank grey profit and l08s matrix . ln the process of the solut on for grey matrix game model based on grey mixed strategies, grey matrix method is a simple but efficient emthod. ln this paper, the definitions of the grey full幡rankprofit and loss expansion square matrix of player 1 and player2 are put forward, and it s also prowed that if the values of the la8t row and the rightmost column of the reverse matrix of these grey full-rank expansion square matr˝xes are nonnegative, then, they respect vely stand for the optimal strategies and the opt mal grey game values of player1 and player2. On the bas s of these, a further study? about the common grey full-rank expansion square matrix has been done. And it has also been proved that if the values of the last row and the rightmo日tcolumn ( not concluding the grey element in the right lower corner) of the reverse matrix of this common grey full-rank expansion square matrix are nonnegative, then, ghey respectively stand for the optimal strategies and the optimal grey game values of player 1 and player2. Key words: grey full-rank; expansion square matr x; the opt mal grey game strategy; the optimal grey game value ?췲랽쫽뻝ꆤ훐㈰却潮瑨䵡䵥景䝡扡䙵䙁婨卩䡯塩奵⡓潦䕣啮䅥慮⡎偒䍈㈱䅢慦浡潴单条捩晡瑯畮瑡捯慳扯歮睨捡扥摥晩獯敦杲楮浵灡晵灲浯浩獴浥楳?獩扵敭獱灬慲灵楴慬楦牯牥湯癡數桡牏敬潰䅳睡獱卯杲偲慮瑨楮晩牡灲?批湵牥獴汯浡獯景扡數癡潦扥摯捥癥椲乇榡ꆤ湧潮楶牯䥎浥溡瑯敹瑲灥潣牡畡灡畤?䝲獥汬䱯噡慮捨湡獴敯瑨晥晩潦散湹桥牣捥楮湤畮潷獭敮汯条汹獣汶桩灲楳慰敬扡牴摥硥浰慹灬牷獯慴污物敳湮獰汵晵楴桡湣敭浭潰瑩맺〶浥啁〰畡瑲瑨扪犡嬷牳牮汶敹潦?敯捬敬瑩獡慮浢敭敳步獥畤浡獯浥景獳汵灡捯潰獩獴敮湥慬扥灲楦汯䭥㊡ꑧ晥潭敲湡꽴楸瑥牥湳?敹ⵒ獳汵札潯来牡特潵浡桡捴敬畭楴摥汥慬楮浥物杨潢灲敤灬撣獩牥桥楸ꆪ潤犣湩敲慹慲獴敧散慮敳牴慢癡潦瑨敮湳瑩睯瑥潮맜헽䄩ㄶ捩?楮楴敮湧桵楡楣獩畴特慳扲摳潮浰敲ꎮ睨慲楥瑲汵瑨瑩杩湳敳畤楯獯潶慴污睥楸潤散嶣浮慵慮?牡浥捴杨瑨晡摳潭獴楯摧慤景扥汥潢楣깏獥ꎮ건瑩敲撣瑭敳慴潰斣桥潵捯汵摩浡牤ꎻ杹枣ꎬ慮瑹楣敳샭?獩潵慬汥玣周敮捨楸潤ꎮ潮楯浮浡䅮敤獴瑩?楮湴ꎺ爭楣瑳慮湳敱牭浳汥慴慲건湫䥮桥潮걡潳楶癥瑥㊣浭敳⡮湧⥯玣瑨ꎻ걌䍈ꎬ捡杨楴걣?潮䥮捳뿆乡䍨捹䥕䕎塕ꎬ䝡牥玣捥畡慴?楯捨杲湤斣汹杩浡깏潮멧ꎻ瑨ꎮ桩潴?禡污톧湪楮敹䱉乡浥慣걳獵瑥楯?건敳牥數ꉢ獳䡯?湪楮愩桩潣捨溣桥?灡潵楣楮湧楯睥걡溣湳?湤慬?汯湤건걧楯癥敤杹桥?犣ꎬ?慮걷?桥?
