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层次分析法和模糊数学在工程投标风险分析中
的应用
摘 要：投标决策对任何一个承包商都是非常重要的,承包商若不加选择地对多个工程进行
投标，一旦不能中标，势必造成企业人、财、物的浪费。本文以工程投标为研究对象，运用
模糊数学和层次分析法的理论，对投标风险的风险决策进行了研究。
关键词：层次分析法，模糊数学，投标风险
0. 引言
工程项目投标报价是一个充满不确定性的过程，投标报价的不确定性受工程项目的规
模、复杂性和技术含量等因素的影响，同时也受时间、资源和环境的制约。目前，承包商通
常是在综合考虑直接费(人工费，材料费，机械设备费等)和间接费(上级管理费等)来计算工
程成本[1]，然后在其基础上加上一个合理的标高来确定最终的报价。标高代表着承包商的利
润，标高报的高，利润大，但是中标概率低。标高低，虽然中标概率高，但是利润小，所以
标高的确定至关重要。合理的标高就是要在投标商的中标概率和盈利水平之间寻找最佳的平
衡点。因此，如何尽快确定标高，成为投标报价的核心。
1. 现在工程报价方法的分析
Friedman模型
该模型以最低标中标，通过计算承包商单独对每一个竞争者的赢率来计算其中标概率。
但是它只考虑了单一影响因素——竞争者状况，该模型要求对竞争对手过去投标的有关资料
和信息十分了解，并假定竞争对手的投标模式稳定不变，然而，在实际投标中是很难获得完
备的资料信息，况且竞争对手的投标策略也不是固定不变的，因此，该模型在实际应用中具
有较大局限性。
基于博弈论的报价模型
该模型依据博弈论的思想分析投标者之间报价行为，与Friedman模型同样的不足是只考
虑了一个影响因素，虽然此模型考虑了信息不完备时的报价策略，但由于数据收集和分布函
数确定的难度较大，将基于博弈论的模型应用于实际尚需进一步研究。
基于BP神经网络的预测
这种方法可以提高报价的精度，但目前还没有一个便于选定最合适的神经网络结构的标
准方法，只能用大量时间试凑，而对于BOQ(Bill Of Quantity)中不同的分项工程，它的特征
因素不同，导致了如果采用神经网络方法，则没有一个通用的模型结构，只能针对分项工程
每一项，分别建立模型，影响了模型的精确性，增加了人工交互的复杂性。同时，神经网络
需要大量的训练样本，而企业目前分地区历史数据的积累不可能达到这么大的规模。而且，
对于神经网络来说，网络结构参数的选择也是十分重要， 由于输入层与隐含层神经元个数
的增加，在增加网络的表达能力的同时，也会影响其收敛的速度和增加噪音干扰，所以在多
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特征因素输入的情况下，系统收敛所耗费的时间会大大增加，同时预测的精确度会下降。而
特征因素反映了工程与分项工程的信息特征，信息越多才能使报价越准确，因此神经网络的
应用有一定的局限性[2-4]。
2. 层次分析法
层次分析法(The Analytic Hierarchy Process，AHP)是美国运筹学家T．L．Satty等人于20
世纪70年代提出的一种定性和定量相结合的多准则决策方法。它是指决策问题的有关元素分
解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一
方法的特点，是在对复杂决策问题的本质，影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构
建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多
目标，多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法[5]。其主要步骤如下。
确定目标和多层次递阶结构模型
分析决策问题时，首先要把问题条理化层次化，构造出一个有层次的结构模型，在这个
模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上
一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为3类：
(1) 最高层(目标层)：这一层次中只有1个元素，它是分析问题的预定目标或理想结果；
(2) 中间层(准则层)：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次
组成，包括所需要考虑的准则、子准则；
(3) 最底层(方案层)：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
影响投标报价的风险因素主要有3类：(1) 业主方面的因素，即业主的经济能力和信誉
等因素；(2) 承包企业方面的因素；(3) 项目方面的因素，如风险、技术等因素。具体而言，
投标商确定投标报价时考虑的风险因素有以下l5个(见图1)，由此可得层次结构模型。
图1 投标报价影响因素的层次结构模型
构造两两比较的判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假定上层次的元素以
环境因素 A 公司因素 B 项目因素 C
工程所在地A1
材料供应A2
劳动力资源A3
竞争对手状A4
后续项目A5
当前已有工B1
施工设备B2
市场份额B3
财务状况B4
技术水平B5
准则层
方案层
项目规模C1
工期要求C2
项目资金C3
业主情况C4
合同条件C5
投标报价的标高 目标层
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A为准则，所支配的下一层次的元素为A1,A2,A3,A4,A5,目的是要按它们对于准则A的相对重
要性赋于A1,A2,A3,A4,A5相应的权重，当A1,A2,A3,A4,A5 对于A的重要性可以直接定量表
示时(如利润多少、消耗材料量等)，它们相应的权重可以直接确定，但对于大多数社会经济
问题，特别是比较复杂的问题，元素的权重不容易直接获得，这时就需要通过适当的方法导
出它们的权重，所用的导出权重的方法就是两两比较的方法。在这一步骤中，决策者要反复
回答问题，针对准则A，两个元素Ai和Aj哪一个更重要，重要程度如何?并按○1～○9的比例标
度对重要性程度赋值，下面列出了○1～○9标度的含义，这样对于准则A，下一层的元素通过两
两比较构成一个判断矩阵[6]。其中aij就是元素Ai与Aj相对于准则A的重要性的比例标度。
○1～○9比例标度的含义
○1 两个元素相比，具有相同的重要性 1
○2 两个元素相比，前者比后者稍重要 3
○3 两个元素相比，前者比后者明显重要 5
○4 两个元素相比，前者比后者强烈重要 7
○5 两个元素相比，前者比后者极端重要 9
○6 两个元素相比，前者比后者稍不重要 1/3
○7 两个元素相比，前者比后者明显不重要 1/5
○8 两个元素相比，前者比后者强烈不重要 1/7
○9 两个元素相比，前者比后者极端不重要 1/9
注：这些数字是根据人们进行定性分析的直觉和判断力而确定的。
若元素i与元素j的重要性之比为aij，那么元素j与元素i重要性之比为aji，显然，
判断矩阵具有如下性质：
(1)aij>0 (2)aji=1/aij (3)aii=l
我们把这类矩阵A称为正反矩阵。对于正反矩阵A，若对于任意i,j,k均有aik X ajk=aik ,此时
称该矩阵为一致矩阵。
判断矩阵的一致性检验
根据矩阵理论，如果λ 1，λ 2………λ n满足式
λΑΧ = Χ
的数，也就是矩阵A的特征根，并且对于所有aii=1,有 1
n
i
i n
=
=∑D
显然矩阵具有完全一致性，λ 1 = λ max=n,其余特征根均为零，而当矩阵A不具有完全一致
性时，则有λ 1 = λ max>n，其余λ 2………λ n有如下关系：
max
1
n
i
i n λ
=
= −∑D 此时要进行一致
性检验。对判断矩阵进行一致性检验,计算:
CR=CI/RI (1)
式中,CR(consistency ratio)为一致性比例。当CR <时,认为判断矩阵的一致性是可以接受
的,否则应对判断矩阵作适当修正。CI(consistency index)为一致性指标,按下式计算:
CI=(λ max-n)/( n -1) (2)
式中, λ max ——判断矩阵的最大特征根;
n——成对比较因子的个数;
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RI(random index)——随机一致性指标,可查表确定，如表1所示。
表1 随机一致性指标RI值
计算特征向量
计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
Mi=
1
n
j
aij
=
∏ i=1,2……n
计算Mi的 n次方根wi = n Mi
对向量W =[ 1w .....wi ,....]T i=1,2…n
Wi=
1
n
j
Wi
Wj
=
∑
, 则W=[W1,W2,…….Wn]T为所求的特征向量，在模糊数学中作为权重。
计算判断矩阵的最大特征根λ max= )(
1
n
i
i i
AW
nW=
∑
计算CR,若CR<,则判断矩阵具有满意的一致性。
3. 模糊数学
模糊数学就是试图利用数学工具解决模糊事物方面的问题，模糊数学的产生把数学的应
用范围，从精确扩大到模糊领域，去处理复杂的系统问题。
模糊综合评价是借助模糊数学的一些概念，对实际的综合评价问题提供一些评价的方
法。具体地说，模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边
界不清，不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的
一种方法。综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象一个非负实数——评
判指标，再据此排序择优。其主要步骤如下：
确定评价因素和评价等级
根据事物本身的性质确定其影响因素，设U=（u1,u2,………um）刻画被评价对象的m个
因素（即评价指标），然后根据其某些属性将这m种因素分成几个子集，先对子集进行分析，
然后再分析整体；V=（v1,v2,……vn）刻画每一因素所处状态的n种判断（即评价等级）。
这里m为评价因素的个数；n为评语个数。评语如： V=（优，良，中，差，劣）=（1，2，
3，4，5）。
确定评判矩阵和权重
在许多实际问题中，确定元素u对集合A隶属关系大小时，可以用模糊统计的方法来得
到，即通过做大量的模糊统计实验，找出其统计规律[7]。
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R
I
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1） 统计实验的基本要求是：在每一次实验下，要对u是否属于A作一个确切的判断，既在
每次实验下，A必须是一个取定的普通集合。
2） 统计实验的特点：如果在所做的实验中，元素u属于A的次数为m,则u对于A的隶属频率
定义为
u对于A的隶属频率=u属于A的次数m/实验的总次数n
当实验次数无限增大时，元素u对A的隶属频率总是稳定于某一个数，这个数称为元素u对A
的隶属度。由这些隶属度形成一个模糊关系矩阵，这个矩阵就是所求的评判矩阵R。根据专
家打分，由层次分析法确定各因素的权重。
进行模糊合成和做出决策
R中不同的行反映了某个被评价事物从不同的单因素来看对各等级模糊子集的隶属程
度。用模糊权向量W将不同的行进行综合，就可得到该评价事物从总体上来看对各等级模糊
子集的隶属程度，即模糊综合评价结果向量[8]。
引入V上的一个模糊子集B，称模糊评级，又称决策集。B=（b1,b2,……..,bn）.
B=W x R （ W为某一层的权重）
如果评价结果 jb∑ ≠ 1，应将它归一化。
bj表示被评价对象具有评语Vj的程度。各个评判指标，具体反映了评判对象在所评判的特征
方面的分布状态，使评判者对象有更深入的了解，并能作各种灵活的处理。如果要选择一个
决策，则可选择最大的bj所对应的等级Vj作为综合评判的结果。
4. 实例
某施工企业要对某工程进行投标，利用模糊数学和层次分析法进行决策，以确定最优投
标报价。
分析影响因素，建立指标体系的层次结构
指标体系的层次结构见图1
利用层次分析法确定各级因素的权重
表2 根据专家的打分确定权重
A B C 权重
A 1 1/6 1/4
B 6 1 3
C 4 1/3 1
λ max=, CI=,CR=<满足一致性检验
表3 影响环境因素的权重
A1 A2 A3 A4 A5 权重
A1 1 4 1/5 1/6 1/2
A2 1/4 1 1/7 1/5 1/4
A3 5 7 1 3 3
A4 6 5 1/3 1 2
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A5 2 4 1/3 1/2 1
λ max=, CI=,CR=<满足一致性检验
表4 影响公司因素的权重
B1 B2 B3 B4 B5 权重
B1 1 1/6 1/4 1/3 1/4
B2 6 1 4 3 3
B3 4 1/4 1 1 1/2
B4 3 1/3 1 1 1/3
B5 4 1/3 2 3 1
λ max=, CI=,CR=<满足一致性检验
表5 影响项目因素的权重
C1 C2 C3 C4 C5 权重
C1 1 1/2 1/4 1/5 1/6
C2 2 1 1/4 1/4 1/3
C3 4 4 1 1/2 1/2
C4 5 4 2 1 2
C5 6 3 1/2 1/2 1
λ max=, CI=,CR=<满足一致性检验
利用模糊统计计算模糊评价矩阵
根据专家的意见，确定评价集V=（优，良，中，差，劣）=（1，2，3，4，5）
由5位专家进行打分，得到各因素的评价表。
表6 各因素的评价表
A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 C1 C2 C3 C4 C5
专家
1
1 2 3 3 5 2 2 1 3 2 4 2 2 4 4
专家
2
2 3 1 4 4 2 4 1 2 2 3 3 4 2 2
专家
3
1 2 2 2 3 2 1 1 2 3 2 4 2 2 1
专家
4
2 3 2 4 5 4 3 1 2 2 1 3 3 2 2
专家
5
1 2 3 2 3 1 1 1 5 1 2 2 4 3 3
表7 环境因素的评价结果
评价为1 评价为2 评价为3 评价为4 评价为5
A1 3 2 0 0 0
A2 0 3 2 0 0
A3 1 2 2 0 0
A4 0 1 1 3 0
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A5 0 0 2 1 2
R环境=
0 . 6 0 . 4 0 0 0
0 0 . 6 0 . 4 0 0
0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 0
0 0 . 2 0 . 2 0 . 6 0
0 0 0 . 4 0 . 2 0 . 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
用同样的方法可以得到 R公司=
0 . 2 0 . 6 0 0 . 2 0
0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0
1 0 0 0 0
0 0 . 6 0 . 2 0 0 . 2
0 . 2 0 . 6 0 . 2 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
R项目=
0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0
0 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0
0 0 . 6 0 . 2 0 . 2 0
0 0 . 6 0 . 2 0 . 2 0
0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
模糊综合评判
准则层的模糊综合评判：
R环境=（,,,, ）
0 . 6 0 . 4 0 0 0
0 0 . 6 0 . 4 0 0
0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 0
0 0 . 2 0 . 2 0 . 6 0
0 0 0 . 4 0 . 2 0 . 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=（ , , , , ）
同样可以得出公司和项目的评价结果
R公司=（ , , , , ）
R项目=（,,,,0 ）
目标层的模糊评价结果
R=（,,）
0 . 1 4 2 6 0 . 2 9 4 6 0 . 3 1 3 6 0 . 1 8 9 0 0 . 0 6 1 2
0 . 3 7 4 0 0 . 1 6 8 0 0 . 1 6 3 0 0 . 2 7 0 0 . 0 2 5
0 . 0 5 3 6 0 . 5 2 9 6 0 . 2 1 6 8 0 . 2 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=（ ,,,,）
最后结果表明，%的人认为此次投标为优，%的人认为此次投标为良，认为为中，
差，劣的人为%,%,%.
根据综合评判的结果作出决策
根据以往的经验，如果b4+ b5 >20%,则作为费标，此工程不应该投标，否则应该投标，
假定预算价格是q，最终的理想报价是Q=q (1+ b4+ b5)
Q即为工程的最优报价。
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5. 总结
在工程投标时，要考虑许许多多的因素，这些因素的关系错综复杂，并且许多是难以量
化的定性指标，而层次分析法正好解决这个问题。它是定性和定量相结合的方法，它把决策
者的经验量化，从多角度多层次解决问题，从而能找到一个另人满意的结果，但是它并不是
一个最优的结果，它需要决策者长期的积累相关的数据，并且对这些数据进行分析，完善模
型，从而得到接近最优的报价。
参考文献
[1] A N 鲍德温，R 麦卡弗，S A 奥泰法著.国际工程编标报价[M].北京：水利水电出版社，1994.
[2] 胥悦红，顾培亮.基于BP神经网络的产品成本预测【J】.管理工程学报，2000(4)：61．65.
[3] 李文华.基于人工神经元的建筑规划方案造价人工及主材消耗的快速预测方[J] .建筑科学，2000(2)：
58-61.
[4] 苏振民.基于BP神经网络的工程造价估测方法【J】.‘基建优化，2000(8)：40-42.
[5] 荩垆.实用模糊数学[M].北京：科学技术文献出版社，1989：194．201.
[6] 杜栋，庞庆华.现在综合评价方法与案例精选[M]，清华出版社，2005.
[7] 汪培庄，韩立研.应用模糊数学[M].北京：北京经济学院出版社，1989.
[8] 郭嗣琮，陈刚.信息科学中的软计算方法[M]，东北大学出版社，2001.
The Application of AHP and Fuzzy Mathematics in the Risk
Analysis of Project Bidding
Xie Weibiao
School of Bussiness Administration, Liaoning Technical University, Liaoning,Huludao(125105)
Abstract
Bidding decision is very important for any contractor. If a contractor enters a bid blindly , it is bound to
cause enterprises, financial, and material waste. This article takes the project bidding as the research
object to research bidding risk, using the theory of fuzzy mathematics and AHP.
Keywords: AHP, fuzzy mathematics, bidding risk
