联立方程组模型的参数估计
一、最小二乘估计及其问题
二、间接最小二乘估计
三、工具变量法估计
四、两阶段最小二乘估计
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一、最小二乘估计及其问题
可以用普通最小二乘法估计参数的情况：
联立方程组模型的方程没有内生解释变量；
内生解释变量与方程的误差项没有强相关性。
例：递归模型
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如果联立方程组模型的方程，既非解释
变量全部是外生变量或前定变量，也不
像递归模型那样解释变量与误差项都没
有相关性，那么普通最小二乘估计得到
的参数估计量既非无偏的，也不是一致
估计。
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二、间接最小二乘估计
1、基本思想
对于恰好可识别的联立方程组模型方程，结
构式参数与简约式参数有一一对应关系。由于
简约式参数不存在内生解释变量的问题，最小
二乘估计是有效的。
通过简约式参数的最小二乘估计间接得到结构
式参数的估计。这种估计方法称为“间接最小
二乘估计”。
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2、间接最小二乘估计一般步骤和公式的推导。
设联立方程组模型的结构式为：
化为简约式为：
结构式参数和简约式参数之间的关系为：
或
假设需要估计的结构式方程是恰好可识别的，
因此可以采用间接最小二乘法估计参数。
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（1）用最小二乘估计简约式的参数。
以简约式的第l个方程为例：
该方程的系数构成行向量
，它的最小二乘估计量为：
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这些参数估计向量可以合并成下列简约式
模型参数的估计量矩阵：
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（2）根据结构式参数与简约式参数的关系
解结构式参数的间接最小二乘估计
模型的结构式参数和简约式参数总体上
有关系：
第一个结构式方程的参数与简约式参数
之间有关系式：
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因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
也就是
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分别由分块矩阵 和
表示 和 。
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这就是联立方程组模型的恰好可识别方
程参数的间接最小二乘估计的一般式。
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例
假设已经根据20组观测数据计算出如下
的二阶矩矩阵
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求市场供求均衡模型
第一个方程的参数估计。
首先确定
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市场均衡模型第一个方程三个参数的间
接最小二乘估计向量 ：
根据这些参数估计，得到该方程的回归
直线为：
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三、工具变量法估计
（一）用例子说明联立方程组模型参数的工具变
量法估计：
一个三方程联立方程组模型为
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找到合适的工具变量 ：选择与 相关性较强
的 作为估计第一个方程参数的工具变量。
根据工具变量法估计公式，第一个方程的参数
的工具变量法估计为
的工具变量法估计则为
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（二）推导工具变量法估计的一般公式
仍然设估计联立方程组模型的第一个方
程，并设它是一个过度可识别的方程。
该方程用与单方程多元线性回归分析相
似的观测向量方程可表示为
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将工具变量观测矩阵 代入工
具变量法估计公式
可以得到：
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例 ：若联立方程组模型为
并已根据50组观测数据计算到二阶矩矩阵
估计第一个方程中的参数 和 。
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若用 作为工具变量，可得第一个方程的工具
变量法估计：
即两个参数的工具变量法估计分别为：
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四、两阶段最小二乘估计
阶段一：寻找理想工具变量
阶段二：用第一个阶段找到的工具变量进行工具
变量法估计 。
（一）利用下面的方程说明两阶段最小二乘估计
的思路和方法，仍然讨论其中过度可识别的第
一个方程的参数估计。
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作为工具变量，比 和 都理想。
根据这种思路先估计 的简约式方程：
得到最小二乘估计回归方程：
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把 作为工具变量对第一个方程进行工具变
量法估计，得到 的两阶段最小二乘估计为：
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方程中的常数项仍可用通常的方法估计：
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（二）联立方程组模型参数两阶段最小二
乘估计的一般公式
设一般联立方程组模型的第一个方程是
过度可识别的。
设方程的观测向量方程形式为
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这个方程中出现的 以外的内生变量的简
约式观测向量方程形式为
对它们分别作最小二乘估计，得：
因此这些内生变量的估计量为：
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它们可以合并为：
用 代替第一个方程中的 ，得到
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再对该方程运用普通最小二乘估计，得
到两阶段最小二乘估计
这就是两阶段最小二乘估计的一般公式。
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例 ：以上一个例子的模型和相关数据二阶矩矩阵
为例，求第一个方程两个参数的两阶段最小二
乘法估计。
首先，用最小二乘法估计第一个方程的内生解
释变量 的简约式参数，得到
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因此 对全体前定变量的回归直线为：
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两阶段最小二乘估计的公式为
根据数据的二阶矩矩阵，公式中的各个二阶矩
数值分别为：
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由两阶段最小二乘估计的公式，可得该模型第
一个方程参数 和 的最小二乘估计向量：
即两个参数的两阶段最小二乘估计分别为：
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