第31卷 第1期 仪 器 仪 表 学 报 No. 1 2010年1月 Chinese Journal of Scientific Instrument Jan. 2010 *多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟 1,2111崔鹏飞，张立勇，仲崇权，李 丹 （1 大连理工大学电子与信息工程学院 大连 116024；2 东南大学自动化学院 南京 210096） 摘 要：诸如电导率等许多参数测量问题可转化为阻容网络模型。本文采用多个频率的交流方波激励阻容网络，在响应信号与激励、阻容参数之间非线性关系的基础上，将阻容解耦测量问题转化为非线性最小二乘参数估计问题。为在线实时应用，采用最速下降法求解，并辅以仿真分析的方法，具体讨论了求解的全局最优性及迭代收敛速度等问题。针对电导率测量问题的阻容模型，实验结果表明了所提方法的有效性。该方法将作为干扰的电容效应建入模型，通过估计干扰来消除干扰能够提高测量精度，并可有效抑制测量过程中多种不确定性的影响。 关键词：阻容网络；非线性最小二乘；参数估计；软测量；电导率 中图分类号：TP274 文献标识码：A 国家标准学科分类代码： Numerical simulation of resistance-capacitance decoupling soft-sensing with multi-frequency AC square excitation 1,2111Cui Pengfei，Zhang Liyong，Zhong Chongquan，Li Dan （1 School of Electron. & Inf. Eng., Dalian Univ. of Technol., Dalian 116024, China; 2 School of Automation, Southeast Univ., Nanjing 210096, China） Abstract：Many parameter measurement problems, such as conductivity measurement, can be transformed into a resistance-capacitance (RC) network model. In this paper, multi-frequency AC square wave is adopted to excite RC network, and the measurement of RC decoupling can be converted to parameter estimation with nonlinear least squares on the basis of the nonlinear mathematical model of the response signal, excitation signal and RC parameters. Due to on-line application, steepest descent method is used to solve the parameters. Assisted by simulation analysis, the global optimality of the solution and the iterative convergence rate of the parameter calculation are discussed concretely. Aiming at the model of RC network in conductivity measurement, the experimental results show the ef-fectiveness of the proposed method. When measuring conductivity, capacitance effect is considered as disturbance and can be eliminated by being constructed into the mathematical model for further estimation, which can improve the precision of the measurement and restrain the effects of measurement uncertainty effectively. Key words：RC network; nonlinear least squares; parameter estimation; soft-sensing; conductivity 是以其中一个参数为主导参数，另一个作为干扰，通过1 引 言 近似、补偿或滤波等方式减弱干扰的影响，实现主导参[1]数的测量。这类方法可以削弱干扰，但不能从本质上消阻容网络在工业中应用广泛，电阻和电容作为阻容除干扰，从而影响了测量的精度。 模型的基本参数，对其测量方法的研究有着重要意义。作为阻容耦合情况下进行电阻测量的典型应用，电但在测量中，电阻和电容通常耦合在一起，表现为电阻[1-3]导率测量具有重要研究价值。目前基于电导池电特性和电容的并联体系，电阻测量要考虑分布电容的影响，模型研究的基础上，提出了一些解决电导率测量中极化[1-2]而电容测量要受到介质漏电阻的影响。传统测量方法收稿日期：2009-03 Received Date：2009-03 *基金项目：国家“863”重点项目(2007AA041301，2007AA041407)资助
第1期 崔鹏飞 等：多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟 155 [1,3]效应和电容效应的方法。电导率测量的实质就是在采图2为交流方波激励下电极输出电压V进入稳态后O用交流或脉冲激励消除极化效应的基础上，如何减弱电的充放电波形，如图中实线所示。设方波脉宽为T，周[3]容效应的影响从而测出阻容耦合网络中的电阻值。常用期为2T。 的方法有相敏检波法、双脉冲法和动态脉冲法等。上述方法都是基于电导池的电特性阻容模型提出来的，在原理或操作上存在一些不足，但构成了电导率测量的理论[1]基础。目前，基于上述方法的电导率测量技术的研究依然十分活跃，诸如对电导电极输入信号的选择和输出信[4-7]号的调理电路设计等层面的研究成果层出不穷。 本文在电导池阻容模型的基础上，将软测量方法应用于电导率测量中阻容耦合网络的参数解耦。为了消除 极化效应，采用交流方波激励阻容网络，选取适当的激图2 电极输出电压V波形 O励信号和响应信号作为二次变量，建立激励信号、响应 Waveform of electrode output voltage 信号与电阻、电容两参数之间的数学模型。在获取二次变量测量数据的基础上，采用参数估计的方法可实现阻在周期性方波激励下，V也为周期波，其中V(t)为O1容网络的参数解耦。考虑到测量中多种不确定性的存在，电容充电电压，V(t)为电容放电电压。可以求得V表达2O采用多个频率的交流方波进行激励，将软测量问题转化式为： 为非线性最小二乘参数估计问题。应测量实时性的要求，ER⎧−t/τxV(t)=(1e)−1⎪采用最速下降法进行优化求解，实验结果表明该方法能R+R1x⎪够快速、准确地进行阻容参数解耦，提高了测量的精度。−T/τ⎪ER1−e−t/τx采用软分析计算取代不易进行的直接测量，是测量领域 e (0≤t≤T)⎪−T/τR+R1+e[1,8]⎪1x发展的新趋势。 (1) ⎨ER−(t−T)/τx⎪V(t)=−(1−e)+[2]22 方波激励阻容解耦测量原理及数学模型 ⎪R+R1x⎪−T/τER1−e⎪−(t−T)/τ在电导率测量中，电导池表现为一个复杂的电化学x e (T≤t≤2T)−T/τ⎪R+R1+e系统。影响电导率测量的因素主要是极化效应、电容效⎩1x[1,3,6,9]应和温度。一般情况下，采用交流激励源可以消除式中：τ为R与阻容网络所构成电路系统的时间常数： 1极化效应。在高溶液电阻（低电导）或者激励频率较高τ=(R/R)⋅C (2) 1xp的情况下，可得到电导池简化等效电路如图1中虚线框采用半波整流，整流后的电压波形V如图3所示。 O1[1-3]所示。R为溶液介质电阻，C为电极引线分布电容。xp电导池可以等效为阻容耦合网络，对电导率的测量最终归结为阻容解耦测量问题。 [2]阻容解耦软测量方案的原理框图如图1所示。其中 R为分压电阻，与电极相分压。激励源采用幅值为E、图3 半波整流输出电压V波形及直流量v 1O1占空比为50%的交流方波。电极输出V经缓冲、整流后 Half-wave rectification output voltage and DC voltage O得V，再经缓冲、滤波输出得直流量v。 O1其中：t、t为电压过零点，满足V(t)=0，V(t)=0。在AB1A2B0～2T区间积分，求得半波整流下的输出直流量v： t2TA1 v=((−V(t)d+(−V(t)d)=12∫∫2T0tB (3) −T/τER1τ1+ex图1 方波激励阻容解耦测量原理框图 (+ln)R+ Schematic diagram of RC decoupling 式中：τ如式(2)，是未知量，故直流量v在已知E和Rm1easurement with AC square excitation
156 仪 器 仪 表 学 报 第31卷 [10]条件下为R、τ和T的三元函数，记为v=F(R, τ, f )，f这样有利于求得非线性代价函数的全局最优解。但由xx 为方波激励源频率，f =1/2T。 于智能算法的收敛性和收敛速度依概率成立，因此很少被应用于对确定性与实时性要求很高的工业在线实时测3 阻容解耦参数估计 量领域，而这时梯度类算法却显示了其优势。目前求解非线性最小二乘问题常用的梯度类方法有 非线性最小二乘原理 [11-12]法等，这类方法由于采用局部线性近似，其收敛速度快。选择两个频率f和f，得到两个直流量v和v，联1212但当解决类似于电导率测量这类阻容网络解耦问题时，立得关于R和τ的二元方程组，采用不动点迭代法可实现x由于阻容参数的数值特征及之间的函数关系特征，会产[2]对参数的求解。但由于测量过程中存在多种不确定性，生病态矩阵的问题，数值不稳定，这些内容在这里不再并将通过求解直接传播到参数估计中。为了减小测量不确赘述。 定性的影响，选择多个适当的频率点f, f,…, f，可测得相12n本文采用最速下降法对式(5)进行优化求解。由式(5)应的直流输出v（i=1,2,…,n），将多组频率f及直流量viii及式(6)可得到代价函数的梯度： 代入式(3)可得关于R和τ的非线性超定方程组： xT⎡∂g∂g⎤−Tτ1⎧ER1τ1+e∇g(R,τ)= (7) xx⎢⎥v=(+ln)∂R∂τ1⎣⎦⎪xR+R2T21x1⎪其中： ⎪ M (4) −Tτ⎨ni⎧∂⎡ER1τ1+e⎤x⎪=2v−(+ln)⋅−Tτ∑ni⎪⎢⎥ER1τ1+eR+22xi=1⎣⎦⎪x1v=(+ln)⎪n−Tτ⎪R+R2T2i⎪⎩1xn1τ1+eR1(−E)⋅(+ln)⋅⎪2根据非线性最小二乘原理，使残差平方和为最小可2T2(+)⎪i1x (8) ⎨获得R和τ的参数估计，即： −Tτxni∂g⎡ER1τ1⎤⎪xn=2v−(+ln)⋅∑i2⎢⎥⎪minz=g(R,τ)eτR+R2T2 (5) i=1∑⎣⎦x1xii⎪i=1−Tτ−Tτii⎪ER⎡1+eeT⎤其中： (−)⋅ln+⋅⎪⎢−Tτ⎥i(R+R)T21eτ−Tτ⎩⎣⎦i1xiER1τ1+exe=v−(+ln) (6) ii最速下降算法的求解流程如下： R+R2T21xiT1)给定初始点x=[R τ]，精度ε>0，令k=0； 0x00代价函数式(5)曲面如图4所示，这里取R=100 kΩ。 12)计算∇g(x)； k*3)若||∇g(x)||<ε，则迭代计算结束，取x=x，即 kk* *TT[Rτ]=[R τ]，否则转到4)； xxkk4)采用法进行精确一维搜索，求φ(λ)= g[x−λ∇g(x)]的极值点λ，使g [x−λ∇ g (x)]< g (x)，kkkkkkkλ为第k步迭代步长； k5)令x= x−λ∇ g (x)，k=k+1，返回2)。 k+1kkk采用梯度法求解时，由于待求参数R和τ在数量级上x相差很大，不利于应用最速下降法在代价函数式(5)所示的曲面上搜索。所以应对待求参数进行规范化处理，如下： abp=R10,q=τ⋅10 (9) x图4 代价函数曲面图 式中：a、b为非负整数，选取适当的a、b，则待求参数 Curved surface of cost function R和τ就处于接近的数量级。通过数量级变换，便于求x解过程中的优化搜索。 参数估计的优化计算 全局最优性分析 在非线性最小二乘的框架下进行优化计算时，不同当非线性最小二乘应用于测量领域的参数估计问题的应用场合应选用不同的优化方法。在对实时性要求不时，待估参数作为物质世界中的一种客观存在，具有唯高的测试等领域，应选用遗传算法等现代计算智能方法，
第1期 崔鹏飞 等：多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟 157 一性，其只能与全局最优解相对应。但梯度类算法其机理是建立在局部下降的基础上，解的全局最优性得不到保证，得到的可能只是局部最优解。因此在利用梯度类算法进行优化求解时，需要对解的全局最优性进行讨论。 由如图4所示代价函数g(R, τ)曲面可以看出，该曲x面具有较为简单的单调性。由图4也可直观地看出该曲面的全局最优解在设定参数R=100 kΩ，τ=50 μs附近。x为了更为直观，将方程组(4)中的方程两两相除得到仅关于τ的方程组，这里假定n为偶数，n为奇数时同理。 −Tτ1⎧1τ1+e +ln⎪2T2v(b)τ范围为0~200 μs 11⎪=−Tτ(n/2)+1⎪v1τ+e(b)Range of τ: 0~200 μs (n/2)+1+ln⎪2T图5 关于τ的代价函数g(τ)曲线图 (n/2)+11⎪⎪ Curve of cost function about τ (10) M⎨⎪−Tτn/2由图5可以看出关于τ的代价函数在0~200 ms范围1τ1+e⎪+ln⎪内仅存在唯一的极小解τ。将τ代入式(5)，得到仅关于2Tv00/2n/2=⎪−TτnR的代价函数z=g(R，τ)，其曲线如图6所示，其中图1τ1+ex2x0⎪n+ln⎪6(b)为图6(a)的局部放大图。 2T2n⎩应用非线性最小二乘法，其代价函数即残差的平方和为： n22z=g(τ)=e (11) ∑11ii=1其中： −Tτi1τ1+e+lnv2T2iie=−z (12) i−Tτ(n/2)+iv1τ1+e(n/2)+i+lnT(n/2)+i 则代价函数g(τ)的曲线如图5所示，其中图5(b)为图5(a)1(a)R范围为0~20 MΩ x的局部放大图。(a)Range of R: 0~20 MΩ x (b)R范围为0~200 kΩ x(a)τ范围为0~200 ms (b)Range of R: 0~200 kΩ x图6 关于R的代价函数g(R，τ)曲线图 xx0(a)Range of τ: 0~200 ms Curve of cost function about R x
158 仪 器 仪 表 学 报 第31卷 由图6可以看出在0~20 MΩ范围内关于R也仅存在不同而选择不同频率组。对式(3)进行分析有： x唯一的极小解。因此依据对τ和R的分析并由图4所示⋅R⎧xx,T→∞→0⎪式(5)的曲面可以直观地看出：代价函数g(R, τ)存在唯一R+Rx⎪1xv= (13) ⎨的极小解。因而通过最速下降法可以获得该问题的全局⋅Rx⎪,T=τ=12τ最优解，后面的实验结果也说明如此。 ⎪R+R⎩ 初值策略与收敛速度分析 由式(13)可知，频率f由0变化到1/2τ时，响应信号v有最速下降法求解需要预先给定迭代初值，初值的选较大范围的变化，因此激励源频率应在小于1/2τ范围内取影响优化搜索的效率。由图4所示的代价函数曲面可[2]选取。在进行参数估计时，依据所选阻容参数值的大小，以看出，在相对低阻范围，曲面随电阻参数变化较为陡选择的激励源频率组分为三种情况。 峭，在该区域内梯度值较大，进行优化搜索时收敛速度1)τ>500 μs时，选定频率范围为10~200 Hz，本文选快；而在相对高阻范围，曲面较为平坦，在该区域内梯取的频率组为10，20，30，40，50，60，70，80，100，度值小，进行优化搜索时收敛速度相对较慢。因此，选130 Hz; 取迭代初值点时，使其接近或者小于待估参数真实值，2)50 μs≤τ≤500 μs时，选定频率范围为100~2 000 Hz，有利于加快优化搜索的速度。 本文选取的频率组为100，200，300，400，500，600，700，800，1 000，1 300 Hz。 4 实验结果与分析 3)τ<50 μs时，选定频率范围为100~10 000 Hz，本文为验证阻容解耦软测量方法的优越性，针对电导率选取的频率组为100，500，1 000，2 000，3 000，4 000，测量问题，采用在响应信号的基础上加入人工扰动，来5 000，6 000，7 000，8 000 Hz。 模拟在较为恶劣情况下的应用。设定方波激励信号的幅分别测试电容值为1 000 pf、5 000 pf、10 000 pf三种值为1 V，在响应信号上加入限幅和标准差都为8 mV的情况下电阻值在5 kΩ~1 MΩ范围的阻容解耦参数估计，高斯白噪声，该扰动幅度相对于低频激励时的响应信号结果如表1~表3所示。其中R和τ为理论值，R为基准x1幅值能够达到3%~4%，相对于较高频率激励时的响应信分压电阻，R和τ为采用最速下降法求解时的迭代初值，x00号幅值能够达到6%~8%。 **a和b为依据式(9)进行规范化处理时的常数，R和C为 多频率方波激励阻容解耦的实验结果 估计出的电阻及电容参数，e和e为电阻和电容参数的RxCp选取10个不同频率的交流方波作为激励信号。为了相对估计误差，k为5次计算的平均迭代次数。使测量信号v具有一定的分散性，应依据时间常数τ的i表1 C=1 000 pf数值结果 pTable 1 Numerical results for C =1 000 pf p**R/kΩ R/kΩ τ/μs Rτa b R/kΩ C/pf e/% e/% k x1x0 0 7 3 6 7 1 160 4 6 51 4 5 51 5 5 51 5 5 511 5 4 1 511 6 4 1 1 511 6 4 1 表2 C=5 000 pf数值结果 pTable 2 Numerical results for C=5 000 pf p**R/kΩ R/kΩ τ/μs Rτa b R/kΩ C/pf e/% e/% k x1x0 0 7 3 5 5 4 5 4 51 4 4 4 51 5 4 5 51 5 4 4 511 1 5 3 5 511 1 6 3 5 1 511 1 6 3 1 4
第1期 崔鹏飞 等：多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟 159 表3 C=10 000 pf数值结果 pTable 3 Numerical results for C=10 000 pf p**R/kΩ R/kΩ τ/μs Rτa b R/kΩ C/pf e/% e/% k x1x0 0 7 3 5 0 9 4 5 9 51 4 4 9 51 5 4 9 51 5 4 9 511 2 5 3 10 511 3 6 3 10 1 511 3 6 3 10 表4 两种方法结果比较 Table 4 Result comparison of two methods 两频率电阻估计误差分布/% 多频率阻容解耦电阻估计误差分布/% RkΩx/ 10 000 pf 1 000 pf 5 000 pf 10 000 pf 1 000 pf 5 000 pf 7 1 结果分析 上，对阻容解耦软测量方法开展了研究。在软测量方案中，由表1到表3可以看出，在测量信号所受干扰较大建立了激励信号、响应信号与阻容参数间的数学模型，利的情况下，阻容解耦估计总能够达到较高的精度。在优用多频率方波激励及其响应建立方程组，应用非线性最小化搜索中每次都可获得正确解，这也表明了代价函数式二乘原理对未知阻容参数进行解耦估计。从实验结果可以(5)极值的唯一性。由最速下降优化搜索的平均迭代次数看出该方法能快速、准确地获得阻容参数的估计值，表明k可以看出，该方法能够快速地进行阻容解耦计算，能够了该软测量方法应用于工业在线实时测量的可行性。对于较好地满足工业在线测量实时性的要求，从而验证了该电导测量问题，该方法把作为干扰的电容效应建入数学模阻容解耦软测量方法的可行性。 型，通过估计干扰以消除干扰，避免了直接测量电阻时分在电导率测量中，分布电容C作为干扰存在，因此布电容的影响，提高了测量精度。另外，利用多组测量信p重点对R的测量精度进行讨论。表4给出了本文方法与息基于最小二乘原理也能抑制信号测量中不确定性的影x文献[2]中方法的结果比较，可以看出本文方法具有更高响，从而提高阻容解耦测量的精度。 的估计精度。文献[2]采用两频率方波激励阻容网络，联参考文献 立方程组后应用不动点迭代法进行求解。但由于该方法[1] ZHONG CH Q, HAN H L, ZHANG L Y, et al. Summary 是建立在恰定方程组基础上的，因而对测量中的不确定of conductivity measurement[C]. IEEE Proceedings of 性没有抑制作用，而本文的方法是基于最小二乘原理求the 6th World Congress on Intelligent Control and auto-解超定方程组，因而可有效抑制测量中多种不确定性的mation, June, 2006, 6: 5106-5110. 影响，提高阻容解耦测量的精度。 [2] 仲崇权, 兰敬辉, 杨素英. 一种消除分布电容影响的电阻测量方法[J]. 大连理工大学学报, 2003, 43(3): 5 结 论 372-376. 本文依托电导池阻容模型进行物理、数学抽象的基础ZHONG CH Q, LAN J H, YANG S Y. A method of
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