第 卷 第 4期
2001年 8月
西 南 交 通 大 学 学 报
JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSⅡlY
Vo】36 N0．4
A g 2001
文章编号：0258-2724(2001)044)433—04
投资组合风险测算的风险价值方法
田 军
(郑州航空工业管理学院应用科学系，河南 郑州45~05)
摘 要：指出了传统方法求投资组合风险价值(VaR)的缺点 ．考虑用价格比的对数定义的几何收益率来计算投
资组合VaR值，建立了投资组合风险 VaR测算估计方法，并阐述了 VaR方法的局限性。
关键词：投资模型；风险；投资组合；VaR方法
中图分类号：F830 9 文献标识码：A
Value-at-Risk Method for Portfolio Risk Estimation
7"1_4N hn
(Dept．of App1 Sci，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry-Management，Zhengzhou 450005，China)
Abstract：The value—at—risk(VaR)model developed recently is a mathematical model to estimate and
aontrol finan cial risk．The disadvantages of traditional method s axe pointed out．The VaR method for
portfolio risk estimation is proposed． In the proposed method， the VaR value is calculated with
geome~c yield that is defined by logarithmic coat ratio． Th e limitations of VaR method arc also
explicated．
Key words：investment model；risk；portfolio；VaR method
风险价值(VaR，Value at Risk)代表在一定置信水平和一定的持有期内某一金融工具或投资组台所面
临的最大潜在损失额 。
风险价值VaR测算方法对金融机构实时监测其风险资产是非常重要的。随着巴塞尔银行监管委员
会对风险价值量评估方法的不断完善和对各签约成员国越来越紧迫的要求，以VaR为基础的金融风险管
理技术必将有着广泛的适用性。
1 vaR模型
VaR法借助于某一金融工具或投资组合市场价值变化的概率来表示投资的风险属性，即用密度函数
或累积概率来表示风险。VaR法可以得出多维风险的一个一维近似值。因此它可测度不同市场的不同风
险并将其用一个确切数值表示出来。
设 t)为标的资产t时刻的价值；Wo为在相关期限开始时标的资产的价值； 为持有期内投资组台
的收益率；／x为单位时间内(通常为一年)R的平均收益率；At为持有投资组合的时间长度。若 在设定
置信度 下的最低回报率为R’，则 在该置信度 下的最低期末价值为 ’： (1+R )，此时
1一 =P(R <R’) (1)
的期末价值均值减去最低期末价值，就是该投资组台的潜在最大损失，即VaR，表示为
V：E(W)一W (2)
因为
收稿日期：2000-03—20
作者简介：田军(1963一)，男，副教授，博士
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434 西 南 交 通 大 学 学 报 第36卷
E(W)=E (1+R)]=E( + R)：WogAt
W’= (1+R )
所以
V= ( △f—R ) (3)
由此可知，如果能推算出某置信水平d下的R’值，即可求出某投资组合在该置信度下的VaR值。
2 投资组合风险的 VaR测算方法
文献[1]给出了当R服从正态分布的VaR计算公式。一般地，当投资组合中的品种较多，组合比例恰
当时，投资组合的收益率近似服从正态分布，但当投资组合的品种较少，组合比例不当时，投资组合的收益
率一般不服从正态分布，此时利用式(3)来求VaR的值非常困难，在这种情况下，必须寻求其它的方法。
不妨设有n种证券的投资组合。 表示第 种证券在时刻f时的价格； 表示第 i种证券f时的投资
比例 ：( ， ，⋯，扎) 为投资组合权重系数向量。
假定 ① 证券交易是连续的；② 不存在无风险套利机会；③标的资产不支付红利或其他收益；③ 无
风险利率为瞬间常数。
对于第 个证券，其收益率为
： (4)
一 1
则投资组合的收益率为
= ∑ R
投资组合期望收益率为
E( )= =∑ (5)
投资组合的方差为
( ) 2 一 苫 + 一 ，Ox
其中n为协方差矩阵
n =
6r1 n ⋯ 6rI
O'2t 0"2 ⋯ h
O=r／l ⋯
(6)
凼为
鲁： 2+ 煮 =2c。v( +骞 )=2c。v( ) (7)
且
警= 鲁 ． a ，
则投资组合变动性的相对变化对各资产证券权重变化的敏感指标为
： ： (8)
P帆 |
口=F~／(xrO)是衡量一种证券对投资组合整体风险的影响程度。从而，投资组合的方差可变为
2 = l( 】 +∑ l，)+X2( 2 ；+ ∑ )+--． (9)
J=2 J=】． 2
即
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第4期 田军：投资组合风险测算的风险价值方法 435
COv( ¨ )+ zcov( t， )+⋯： -(卢1 )+ z( )+⋯= ；(∑ ) (1o)
这说明投资组合的风险可以分解为对每种证券投资风险的组合。这样，用类似的方法可知
，投资组合
的VaR值为
V=V(∑ )= + +⋯+ (11)
利用单个证券收益率的方差来估计投资组合的VaR值，往往会出现价格是负的情况，而且采用式(4)
定义的收益率还隐含着任何收入只有在期末才用于再投资。因此，将考虑用价格比的对数定义的几何收
益率来测算投资组台的VaR值。
将投资组合对应的周期Eo，明分割成n个小段[O，T1]，[ ， ]，⋯，[ 明，每个小段上所对应
的几何收益率分别为 rt， ，⋯， 则总收益率
- e z e +⋯ 靠 e = (∑ e ) (12)
● l
这样，T时期后，投资组合所对应的收益率为
(鲁) (扣 )
当投资期限很短时，I／'i l《1，由Taylor公式知
e1 = l+ + + ．．· l+，
于是有
In(∑ (1+ i))=In(1+∑ ， )
● l J=l
应用 Taylor公式，可得
因此，若令 =In(1+ )，就有
对于 ，应用式(6)，有
即
所以
其中 是置信度参数。
∑
= ∑
= 【∑ 2 2 +2∑ 。鼍 ]}
i=1 1《 (J《
V = 0
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
3 方差估计
在实践中，利用式(18)来求 也较困难，通常利用已有的历史数据来估计 的标准差。假定所有观
∑Ⅲ
II
∑ II
=
一 叫
II +
√
有
而
狄
畸
《 ∑
2
}
∑
II
Il
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436 西 南 交 通 大 学 学 报 第36卷
察的分布都是相同和独立的，如果 m是观察的数目，已有的历史数据为Y ， ，⋯⋯Y 取
= ∑Y． (19)
= 一 ‘)2= 一 (20)
对于大多数每日都取样本的金融数列来说 ，式(21)中的第二项相对于第一项可以忽略不计。
倒 设有一投资组合所具有的历史数据由表】给出
表1 投资组合的历史观察值
编号 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 I3 14 ∑
v I．9 2．0 2．1 2 5 2 7 2．7 3 5 3．5 4．0 4 5 4．6 5．0 6．0 6 3 5I．3
3 61 4 O0 4．4I 6．25 7．29 7 29 12．25 I2．25 16．00 20．25 2I-16 25．oo 36 00 39．69 215．45
由式(19)及式(20)可得
，：l= 差 舛
= 击×2l5．45一等(3．664) =l6．573—14．458=2川5
因此，当取置信参数 =1．65时．投资组合的VaR为
V=1．65o- =1．65×、俪 =2．399
4 结束语
本文中建立了当投资周期很小时，投资组合风险测算的VaR方法，并在历史数据已知时，利用样本估
计给出了组合证券几何收益率的估计值，通过实例验证了该方法的可行性。
VaR所测度的是在一定概率保证下，一段时闯内由于市场波动而造成的一种金融投资工具市场价格
潜在的最大损失值。VaR方法以概率论作为基础，运用现代统计方法，可以得出多维风险的一个一维近似
值，这样它就能测度不同市场的不同风险并将其用一个确切数值表示出来。
vaR方法虽然应用广泛，优点突出，但它并不是风险管理的灵丹妙药，它也有其自身的局限性。首先．
VaR值表述的是在一定置信水平下的最大潜在损失，它无法计算使市场发生重大变化的突发性风险
(event risk)。对于过渡风险(transition risk)、头寸变换(changing positions)、不良头寸(problem positions)、
模型风险(model risk)、战略风险(strategic risk)等它都无能为力。而这种极端情况一旦发生，将会给投资
者带来巨大的损失；其次，VaR方法通常对交易频繁、成交量较大的金融品种风险测量比较准确，但对不活
跃、成交量小的金融品种风险测量的准确眭就要低一些；再次．在应用数理统计方法进行估计理论分布时，
由于样本容量的有限性，估计值往往存在估计偏差。而且．更为严重的是，有的实际分布根本就不符合理
论分布。这时，应用VaR方法来度量金融市场风险就失去了作用。
因此，在应用VaR方法测算投资风险时，仍需结合其他一些定性、定量方法，以保证使金融风险的衡
量更准确，风险控制更有效。
参考文献：
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