关于汽车保险费用的研究
摘要
本文就政府实行“安全带”法规后，因事故死亡率降低，而引起的汽车保险费
用变化问题进行研究。结合汽车保险的相关知识，我们从保险公司的角度，分析
其所需赔偿费受法规影响后的变化，计算人均所需赔偿费用，如果其降低，意味
着人均风险的下降，保险公司所需要的支出也将下降，本着公平考虑保险公司和
投保人的利益互惠，汽车保险的费用也将存在降低的可能性。在建模过程中，通
过查阅书籍，我们对模型进行合理的假设使问题简单化，通过对基本保险费变化
与死亡率下降的关系来分析讨论，回答题目的保险费变化的问题。
关键字：基本保险费 泊松分布
目录
摘要 ............................................................................................................1
1.问题重述 ...........................................................................................3
2.问题分析 ...........................................................................................3
3.合理假设 ...........................................................................................3
4.变量声明 ...........................................................................................4
5.模型建立 ...........................................................................................4
未颁布法规情况下次年基本保险费估算 ..............................4
颁布法规情况下次年基本保险费估算 ..................................7
6.模型求解及结果分析 .......................................................................7
7.模型评价 ...........................................................................................9
参考书目 ....................................................................................................9
1.问题重述
某公司只提供一年期的综合保险单，这一年里，若没有要求赔偿，则给予额
外补助。顾家（即参加保险的人）被分为 0、1、2、3 四类。类别越高，从保险
中得到的折扣越多。计算保险费时，新顾客通常属于 0 类，在顾客延续其保险单
时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别；若在上一年内要求过赔偿，如有
可能则降低两个类别，否则为 0 类。顾家退出保险，不论是自然的还是事故死亡
引起的，将退还给保险的适当的部分。当前，公众观众的关注的热点问题市政府
提出实行“安全带”法规，这种法规施行，虽然每年的事故数量不会减少，但事故
中的受伤司机和随乘人员肯定会减少，从而医疗费会减少,这是政府预计会出现
的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗？而这也正是保
险公司及顾家共同关心的问题。对于采用安全带的法规结果数据统计结果表明：
死亡的司机减少 40%，我们所要研究的就是在这样的前提下，基本保费是否可以
降低，以便照顾到公司及顾家双方的利益不受损。
2.问题分析
由于政府实施安全带法规，死亡的司机会减少 40%。如果该保险公司的基本
保险费保持不变，那么由于死亡人数减少，从而导致索赔支出明显减少，那么该
保险公司的盈利就会明显增加，所以政府期望减少保险费的数额，我们只要建立
一个模型估算出下一年的事故赔偿费总额和总投保人数，最后通过得到的各类的
净保费以及已知的该类的无赔偿保险费优惠率（折扣率）就可计算得到基本保险
费。
3.合理假设
1) 保险公司只提供一年期的保险单,保险公司下一年的保险费预算只与基本险
有关，而与附加险无关。
2) 若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助。
3) 客户被分成0，1，2，3 类，新客户属于0 类。
4) 当客户续保时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别，若上一年中要求
过赔偿，则降低两个类别或0 类。
5) 客户注销时保险公司将退还保险金的适当部分。
6) 每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和。
7) 注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。
8) 每一类别的没有索赔补比例（所交保险费的折扣率）不变。
9) 自动终止保险人数与总投保人数比例不变。
10) 死亡司机人数与索赔人数比例不变。
11) 新车使用三年后报销，即三年后的自动退保人数等于三年前的新投保人数。
且每年的新投保人数按等比例增长。
12) 下一年的平均死亡赔偿费不变。
13) 下一年的平均修理费不变。
14) 下一年的平均医疗费不变。
15) 下一年的平均偿还退回的保险金额不变。
16) 颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。
17) 注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。
4.变量声明
1) n：本年投保人数
2) m：未颁布法规情况下次年投保人数
3) bm: 颁布法规情况下次年投保人数
4) Q：法规未颁布情况下的次年费用
5) BQ：颁布法规情况下的次年费用
6) ：法规未颁布情况下的次年费用
7) ：法规颁布情况下的次年费用
8) Y：未颁布法规情况下每年基本保险费
9) BY：颁布法规情况下每年基本保险费
10) ω: 新投保人数的增长比例。
11) c：未颁布法规情况下投保人所承担的平均事故赔偿费（即净保费）
12) bc：颁布法规情况下投保人所承担的平均事故赔偿费（即净保费）
13) r：未颁布法规情况下投保人中没有要求索赔的人所占的比例（即所交基本保
险费的折扣率）
14) br：颁布法规情况下投保人中没有要求索赔的人所占的比例（即所交基本保
险费的折扣率）
15) i：取 0,1,2,3，代表 0,1,2,3 类
其中上述符号可以有下标。下标“m”表示总投保人数或总索赔费用，“xi”表示第 i
类续保人数，“n”表示新投保人数，“z”表示注销人数，“s”表示索赔人数，“w”表示死
亡人数或者死亡赔偿费，“x”表示修理费，“y”表示医疗费，“t”表示自动退保人中索
赔过的人数。
5.模型建立
未颁布法规情况下次年基本保险费估算
根据假设
次年 3 类总投保人数为：3 类总投保人数=3 类续保人数—3 类注销人数—3 类
降为 1 类的人数（索赔人数）+3 类注销人中索赔过的人数（包括 3 类死亡人数
和 3 类自动退保人中索赔过的人数）（因为索赔人数和注销人数中都包括这部
份人）+2 类升为 3 类的人数。而 2 类升为 3 类的人数=2 类续保人数—2 类注
q
qb
销人数—2 类索赔人数+2 类死亡人数，即：
mm3 = nx3 − nz3 − ns3 + nw3 + nt3 + nx2 − nz2 − ns2 + nw2
次年 2 类总投保人数为：2 类总投保人数=1 类升为 2 类的人数=1 类续保人数
—1 类注销人数—1 类降为 0 类的人数（即索赔人数）+1 类死亡人数+1 类自
动退保人中索赔过的人数，即：
mm2 = nx1 − nz1 − ns1 + nw1 + nt1
次年 1 类总投保人数为：1 类总投保人数=0 类升为 1 类的人数=0 类总投保人
数—0 类注销人数—0 类索赔人数+0 类死亡人数+0 类自动退保人中索赔过的
人数+3 类降为 1 类的人数（3 类索赔人数—3 类死亡人数―3 类自动退保人中
索赔过的人数），即：
mm1 = nm0 − nz0 − ns0 + nw0 + nt0 + ns3 − nw3 − nt3
次年 0 类总投保人数为：0 类总投保人数=0 类索赔人数—0 类死亡人数―0 类
自动退保人中索赔过的人数
+1 类降为 0 类的人数（1 类索赔人数—1 类死亡人数―1 类自动退保人中索赔
过的人数）+2 类降为 1 类的人数（2 类索赔人数—2 类死亡人数―2 类自动退
保人中索赔过的人数）+下一年的新投保人数，即：
mm0 = ns0 − nw0 − nt0 + ns1 − nw1 − nt1 + ns2 − ns0 − nt2 + mn
由假设得下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即：
mwi=msikwi
由假设可得：下一年的自动退保人数与总投保人数成比例；再由假设可得：注销
人数等于自动退保人数与死亡人数之和。即：
mzi=mmikzi+mwi
对于 i 类总投保人数中的每一个人，因为它服从泊松分布，所以它索赔 k 次的概
率 p 为：
所以，它至少索赔一次的概率 为：
所以在 个人中有 x 个人向保险公司索赔的概率为：
索赔人数用它的期望来表示，为：
!)()( kekKp kii
)0( i
ieKpKp iii
)0(1)1(
min
knk
n
xn
i
x
i
x
ni eeCCxp
)()1()1()(
所以：
由上所述可得到次年第 i 类索赔人数与总投保人数的关系为：
由假设可得：次年的新投保人数等于这一年的新投保人数与等比例系数之积为：
所以，第 i 类总的死亡赔偿费可表示为：
总的修理费用可表示为：
总的医疗费可表示为：
总赔偿费=总死亡赔偿费+总修理费+总医疗费，即：
总的偿还退回金额等于人均退回金额与自动退出保险人数之积，即：
根据以上各式，可得各类投保人人均所承担的事故赔偿费=（该类总赔偿费+该
类总偿还退回金额）∕该类总投保人数，即：
次年基本保险费 Y，可用各类人均事故赔偿费（即各类的净保费）和各类的保险
费折扣率表示为：
所以，Y 为：
)1(])([
1
i
mi
n
x
isi enxxpn
mi
)ln(ln simimii nnn
)1( iemm misi
nn nm
wiwiwi qnQ
xixixi qnQ
yiwisiyi qnnQ )（
yixiwisi QQQQ
)( wizicici nnqQ
micizii nQQc )(
mi
i
imi
i
i mcmrY
3
0
3
0
)1(
mi
i
imi
i
i mrmcY )1()(
3
0
3
0
颁布法规情况下次年基本保险费估算
根据假设，法规颁布前后有下列因素不变：
新投保人数，各类别总的投保人数，平均修理费，平均医疗费，平均死亡赔偿费，
所以有：
bmn = mn，bmmi = mmi， = ， = ， =
法规颁布后变动的因素有：死亡人数，索赔人数，注销人数，他们的变动情况可
用下列三个式子所示：
颁布了法规后，每个类别的死亡司机数都比法规颁布前减少了 40%。可得：
bmwi = mwi×60%
由假设，死亡人数和索赔人数比例不变，可得：
bmsi = bmwi÷kwi =（mwi×60%）÷kwi = msi×60%
因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和，在死亡人数百年东的情况下，
注销人数可表示为：
bmzi = mzi - mwi×40%
由假设得下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即：
mwi=msikwi
由假设可得：下一年的自动退保人数与总投保人数成比例；再由假设可得：注销
人数等于自动退保人数与死亡人数之和。即：
mzi=mmikzi+mwi
次年基本保险费 Y，可用各类人均事故赔偿费（即各类的净保费）和各类的保险
费折扣率表示为：
所以，Y 为：
6.模型求解及结果分析
根据题目所提供的表的数据，代入模型进行求解。首先，求解ω。根据假设
可得：1996 年新投保人数等于 2000 年的自动退保人数，为：索赔人数―死亡人
数=340221。1997 到 2000 年的新投保人数按等比例增长，因此有：340221×ω
4=384620。所以等比例ω=％。其次，求解自动退保中的索赔人数，解法如
下所示：
设第 i 类中某人在该年的第 K 天自动退出,则该人在前 K 天中索赔过的概率
wqb wq xqb xq yqb yq
mi
i
imi
i
i bmbcbmbrBY
3
0
3
0
)1(
mi
i
imi
i
i bmbrbmbcBY )1()(
3
0
3
0
为：
Pri (K) = K×μi÷365
因 K 是随机变量，且 1 ≤ K ≤ 365 ，设 Pr (K=k)=β ,易知β =1/365 。从而，
第 K 类中自动退出的某一个人索赔过的概率在这一年中的期望为：
i= (Pri(k))= (ki÷365)=i/2
与前面计算索赔人数的期望同样的方法可求得该年中在第 i 类的自动退出
的人群中向
保险公司索赔过的人数期望值是：
nt= （n si – nwi）×(1 - e- i )/2
根据模型求解，我们得到在没有颁布法规的情况下次年数据：
2001 年总死亡人数 44057，总注销人数为 394825.
偿还退回金总额=人均退回金的金额×总注销人数，即为 百万元
总索赔费= ），即为 百万元。
最后得到颁布法规前的基本保险费为：6096 元。
总死亡人数：26434，总注销人数：377202，偿还退回总金额： 百万元，
总索赔费： 百万元。
最后得出法规颁布后的基本保险费为 3656 元。
结论：一句体重所给的 2000 年的保险数据估算出次年中颁布法规前后两种情况
下的基本保险费，他们分别为：6096 元，3656 元。
由此可见，通过计算，我们得到的基本保险费在理论上是降低的，因此我们
可以回答题目的问题，保险公司在法规颁布之后，保费应该下调，虽然说我们只
用了一年的数据来计算，可能具有一定的偶然性，但是也能从一方面反映一段时
间内由法规的影响而造成的保费下降趋势。
365 365
类
别
没有索赔
补贴比例
（%）
续 保 人
数
新 投 保
人数
总 投 保
人数
索 赔 人
数
死 亡
司 机
人数
平 均 索
赔费（元）
0 0 1241266 396543 1627809 573124 11460 25560
1 25 1758291 0 1758291 580274 23227 31088
2 40 1178323 0 1178323 118252 2339 23528
3 50 8782372 0 8782372 702658 7031 18568
类别 没有索
赔补贴
比 例
（%）
续 保 人
数
新 投 保
人数
总投保人
数
索 赔 人
数
死 亡 司
机人数
平 均
索 赔
费（元）
0 0 1241266 396543 1627809 343874 6876 25560
1 25 1758291 0 1758291 348164 13936 31088
2 40 1178323 0 1178323 70951 1403 23528
3 50 8782372 0 8782372 421595 4219 18568
3
0i
类的平均赔偿费类总的索赔人数 i( i
7.模型评价
本模型的误差来源主要是从假设中产生，现实情况之中我们知道，保险公司
的报价以及声誉将会影响投保的人数，同时，不同时间死亡人数，修理费用，索
赔费用等都会产生变化，而我们是假设其不变的，而且，所求得的一些重要的、
所设概率分布的参数只由一年的数据算得，无法十分精确的与现实生活拟合所以
不能非常客观地反映事实情况。
但我们的模型给出了一个在简化条件下的，求解保险费的较完整的解决方案。
我们对于单个人索赔次数服从泊松分布的假设源于前人的大量统计得出，能够较
好地模拟现实。所以还是具有一定的参考价值。
参考书目
[1]李秀芳，曾庆五，《保险精算》，北京,中国金融出版社，
[2]姜启源， 《数学模型》 ，北京,高等教育出版社，
[3]杨起帆， 《数学建模案例集》 ，北京,高等教育出版社，
[3]杨起帆， 《数学建模》 ，北京,高等教育出版社，
