期货定价理论
欧阳良宜
经济学院
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内容提要
• 预备知识
• 远期合约定价
• 远期价格与期货价格
• 股票指数期货
• 外汇期货
• 商品期货
• 期货价格与预期现货价格
• 套期保值
• 总结
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复利计算
– 假设将金额A存于银行，名义年利率为R，计息方式为年度复利，
那么n年之后，这笔存款的数额将升为：
– 半年计息一次
– 每年计息m次
– 当m接近于无穷
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示例
• 例：假设存款金额为100，名义年利率为10%，存款期限为
1年，在年度计息的条件下，明年的期末存款余额为：
100× = 110
– 半年计息一次：
100×× =
– 每季度计息一次：
100×＝
– 连续复利：
100×=
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实际利率与计息次数
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不同计息次数利率的换算
• 连续复利与m次复利
• m次复利与k次复利
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示例
• 投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次，名义
年利率为12%，问与之等价的连续复利年利率为多少？
答案：
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示例
• 投资者甲将一笔存款存于银行，每季度计息一次，名义
年利率为12%。他的另外一笔存款是每月计息，但是两
者实际利率一致，那么按月计息的这笔存款名义利率是
多少？
答案：
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卖空（Short-Selling）
• 卖空
– 指的是客户从经纪商处借来证券出售，对证券价格进行投机的行
为。
• 特点
– 被卖空证券是经纪商从其他客户账户中借用出来的。
– 在平仓之前，证券所发生的现金流入，比如红利或者利息等，都
由卖空者代为支付。
– 卖空所得资金由经纪商进行保管，同时卖空者还需向经纪商缴纳
一定比例的保证金。
– 当卖空者平仓时，经纪商要在市场上买回被卖空证券。
– 当被借证券的原所有者需要时，卖空者必须立即平仓，从市场上
买回被卖空证券。
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卖空
投机者 经纪商 证券所有人
市场
证券保证金
证券 资金
投机者 经纪商 证券所有人
市场
证券资金
证券 资金
建立空头：
平仓：
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示例
• 投资者甲通过经纪商卖空500股通用电气股票（GE），卖空时GE
每股股价是100美元。经纪商要求甲缴纳20%的保证金。卖空之后
GE股票一直不断下跌。1个月后GE股票支付每股2美元的红利。3
个月后甲通知经纪商进行平仓，此时GE每股价格为90美元。假设
经纪商不对保证金支付利息，甲一直没有追加保证金，甲的资金成
本为年率12%。问甲卖空的净收益为多少？
答案：甲卖空GE股票的毛收益＝500×(100-90)=5,000
支付的GE红利＝500×2=1,000
保证金的资金成本=500×100×12%÷4=1,500
甲的总收益＝5,000－1,000－1,500＝2,500
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套利（Arbitrage）
• 含义
– 交易者通过精确的计算，发现不同市场中的相对价值差异，从而
采取相应的行动赚取无风险利润的行为。
• 跨市场套利
套利者利用不同市场相关证券价值的偏离来赚取无风险利润。
• 跨期套利
套利者利用同一市场不同期限证券价值的偏离来赚取无风险利润。
• 跨产品套利
套利者利用相关产品价值的偏离来赚取无风险利润。
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套利举例
例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票
远期合约价格为11元，目前市场的借贷利率为每年10％，
假设该股票在未来三个月内都不派发红利，问套利者将
如何操作？
答案：
当期：从市场上借入10元，买入该股票，同时卖出一份3
个月后到期的该股票远期合约
3个月后：交割该股票获得11元，偿还贷款本息。
套利者的利润＝11-10-(10×10%×3/12)=元
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套利举例
例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票
远期合约价格为元，目前市场的借贷利率为每年10％，
假设该股票在未来三个月内都不派发红利，问套利者将
如何操作？
答案：
当期：从经纪人处借入该股票，然后卖出该股票，获得
10元，按照10％的利率贷出去，同时买入出一份3个月后
到期的该股票远期合约。
3个月后：收回贷款本息，履行远期合约，把股票还给经
纪人。
套利者的利润＝10＋(10×10%×3/12)－=元
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套利有限性的证据
• Twin Shares（同权不同价）
– 皇家荷兰与壳牌石油
– ADS/ADR与原始股份
– H股，A股与B股定价
• Index Inclusion（指数编入）
– 标准普尔指数新增公司平均涨幅为%
– Yahoo公司
• Internet Carve-Outs（网络热）
– Palm与3Com公司的价格倒挂
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皇家荷兰与壳牌石油
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回购（Repo）
• 买断式回购
– 证券买卖双方在成交时约定在将来以确定的价格进行反向交易。
– 实质上是买方（正回购方）以证券为抵押向卖方（逆回购方）贷
款。
• 质押式回购
– 正回购方以证券为质押品向逆回购方进行融资。
– 回购一般期限在半年（182天）以下。
• 回购利率
– 回购利率实质上是短期拆借资金的成本。
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案例：券商资金黑洞
• 证券结算制度
– 联席结算法
– 标准券制度
– “欠库”
• 证券公司违规操作
– 原理
– 富友证券
– 闽发证券
– 南方证券
– ………
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远期合约定价
• 标记
– T：远期合约到期日
– t：当前时点
– S：交割品在当前时点的现货价格
– ST：交割品在到期时的现货价格（当前未知）
– K：远期合约规定的交割价格
– f：在当前时点远期合约多头的价值
– F：t时点的远期合约价格
– r：t时点的无风险年利率，以连续复利计算。
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无收入的交割品
• 无套利定价
– F＝Ser(T-t)
• 假如F>Ser(T-t)
– t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约
– T：交割远期合约，获得资金F，偿还债务
– 利润：F－Ser(T-t)
• 假如F<Ser(T-t)
– t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约
– T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓
– 利润： Ser(T-t) －F
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证明
• 资产
– 资产组合A：一份远期合约多头，现金Ke－r(T-t)，其中K
等于远期合约价格。
– 资产组合B：现货资产S
• 证明
– 资产组合A和资产组合B在T期的收益是完全一致的。
– f+ Ke－r(T-t) =S
– f=S- Ke－r(T-t)
– 在订立合约时，期货合约的价值为0。
– 从而K= Ser(T-t)
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比较
远期
合约
无风险
投资
合并
头寸
组合A
K
K 到期现货价格 到期现货价格
组合B
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示例
• 汇丰控股（HSBC Holdings）2005年3月15日收市价为
，假设汇丰控股在今后3个月内都不会发放红
利，无风险连续利率为，你认为6月15日到期的汇丰控
股远期股票合约的价格应该是多少？
F= Ser(T-t)=128×exp(×3/12)=
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有固定现金流入的交割品
• 无套利定价
– F＝(S－I) er(T-t)，其中I为交割品在(t, T)间收入的现值。
• 假如F>(S-I)er(T-t)
– t：借入资金S元，买入交割品现货，卖出远期合约
– T：交割远期合约，获得资金F和收入Ier(T-t)，偿还债务
– 利润：F－(S-I)er(T-t)
• 假如F<(S-I)er(T-t)
– t：卖空交割品，将所得投资于无风险资产，买入远期合约
– T：交割远期合约，获得现货S，将卖空头寸平仓。在(t-T)间支付
Ier(T-t)。
– 利润： (S-I)er(T-t) －F
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示例
• 汇丰控股（HSBC Holdings）2005年3月15日收市价为
，汇丰控股已经宣布将在5月15日发放红利每
股，无风险连续利率为，你认为6月15日到期
的汇丰控股远期股票合约的价格应该是多少？
I=2×e-r(T’-t)=2×exp(×2/12)=
F= (S-I)er(T-t)=()×exp(×3/12)=
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固定现金收益率的交割品
• 资产
– 资产组合A：一份远期合约多头，现金Ke－r(T-t)，其中K等于远期
合约价格。
– 资产组合B：现货资产S e－q(T-t) ，S本身提供一个连续收益率q。
• 证明
– 资产组合A和资产组合B在T期的收益是完全一致的。
– f+ Ke－r(T-t) =S e－q(T-t)
– f=S e－q(T-t) - Ke－r(T-t)
– 在订立合约时，期货合约的价值为0。
– 从而K= Se(r-q)(T-t)
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示例
• 道琼斯工业平均指数（Dow Jones）2005年3月15日收市为
10,745点，假设道琼斯指数在将来3个月内平均红利收益为
，无风险连续利率为，你认为3个月以后交割的道
琼斯指数远期合约价格应该为多少？
F= Se(r-q)(T-t)=10,745×exp[()×3/12]=10,812
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远期合约的价值
• 价值
– 远期合约初订立时对双方来说都是公平的，因此价值为
0。
– 远期合约订立以后，随着现货价格的变动，远期合约的
价值就会出现变动。
• 计算
– 对于多头来说，f=(F-K)e-r(T-t)
– F为按照当前条件计算的远期合约价格。
– K为远期合约订立时双方约定的远期合约价格。
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期货价格与远期价格
• 假如不同期限无风险利率都为相同的常数，那么同期限的期货价格与
远期价格是相等的。
• 多头期货交易策略
日期 0 1 2 … n-1 n
期货价格 F0 F1 F2 … Fn-1 Fn
期货头寸 eδ e2δ e3δ … e nδ
盈利/损失 0 (F1-F0 )eδ (F2-F1 )e2δ … … (Fn-Fn-1 )enδ
当日盈利/损失
在n日的价值
0 (F1-F0 )enδ (F2-F1 )enδ … … (Fn-Fn-1 )enδ
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分析
• 累计盈利/损失
– Σ (Fi－Fi-1 )enδ= (Fn－F0 )enδ
– 考虑到在到期日的期货价格就是当日的现货价格，Fn=ST
– 累计盈利损失可以记为(ST－F0 )enδ
• 考虑以下两个投资组合
– A. 将F0的资金按照无风险利率借出，同时执行累积期货策略
– B. 买入一份期货合约（价格为G0 ），同时将G0的资金按照无风险利
率借出。
• 投资结果
– 在T期时两个组合的最终收益都是ST
– 根据无套利原则，F0=G0
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期货价格与远期价格
• 无风险利率与交割品的价格正相关
– 对于多头来说，价格上升时期，从期货合约中获得现金利润，可
以以高利率进行无风险投资。
– 价格下降时期，可以从市场上借低利率的资金来补足保证金。
– 相对于期限相同，交割品相同的远期合约来说，期货合约更加有
利于多头，不利于空头。
• 无风险利率与交割品的价格负相关
– 期货合约相比类似的远期合约有利于空头，不利于多头。
• 短期期货合约与远期合约理论价格差异可以忽略不计。
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示例：远期合约Vs期货合约
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期货价格Vs远期价格
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股指期货
• 股票指数
– 道琼斯工业平均指数（DJIA）
– 标准普尔500指数（S&P 500）
– 日经225指数（Nikkei 225）
– 恒生指数（Hang-Seng Index）
– 伦敦金融时报指数（FTSE 100）
– 上证综合指数
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道琼斯工业平均指数
• 1896年，道琼斯指数开始编制，涵盖12只股票，指数编制
方法为直接平均法。
• 1928年，指数成分股增加到30只，1972年达到1,000点。
• 1995年，道琼斯指数达到5,000点。
• 1999年，道琼斯指数达到10,000点。
• 2000年1月14日，道琼斯指数达到历史最高11,722点。
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示例：上证综合指数编制
• 基期，基日与基期指数
– 上证综合指数以1990年12月19日为基日，以该日所有股票的市价
总值为基期，基期指数定为100点，自1991年7月15日起正式发布。
• 计算公式
– 报告期指数 =报告期基金的总市值 / 基期 × 基日指数
• 调整
– 新上市
– 除息
– 除权
– 摘牌
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指数期货套利
• 指数期货的定价
– F= Se(r-q)(T-t)
• F> Se(r-q)(T-t)
– 买入指数包含的股票。
– 卖出对应单位的指数期货。
• F< Se(r-q)(T-t)
– 卖空指数包含的股票。
– 买入相应单位的指数期货。
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Oct 19 1987
• 1987年10月19日，道琼斯工业平均指数从上一交易日的
2,下跌到1,738点，下跌%，甚至超过了1929年10
月28日单日跌幅%。全球金融市场都受到了这次崩盘
的冲击：
– 全球大部分股票市场都出现了相似程度的下跌。
– 投资者纷纷涌入安全的货币工具市场，造成利率下跌。
– 保险公司和养老基金由于持有大量股票，而造成资产大幅下降。
– 开放式基金面临赎回压力不得不抛售股票，进一步加剧了股票下
跌的趋势。
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股指期货价格
• 风险溢价
– 股票指数由于存在风险，需要有高于无风险利率的收益
• 股指期货价格成长
假设股票指数风险溢价为x
则：Sτ= Se(x+r-q)(T-τ)
而： Ft= Se(r-q)(T-t)
Fτ= Se(r-q)(T-τ)
所以： Fτ= Ft e(r-q)(τ-t)
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股指期货套期保值
• 分散化风险
– 通过分散化投资，可以将单一资产的风险降低
– 30只以上的股票组合，其风险（方差）有95%以上是市
场共有风险。
• 组合套期保值
– 套期保值头寸＝组合市值÷股指合约面值×风险系数
– 缩减风险：套期保值头寸＝组合市值÷股指合约面值×
（风险系数－目标风险系数）
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分散化风险－两资产示例
组合标准差
组
合
收
益
均
值
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外汇期货
• 考虑以下两个资产组合：
– 组合A：一份外汇远期合约多头，本币现金Ke－r(T-t)
– 组合B：外币现金Se－r’(T-t)
– 其中K为远期价格，S为当期价格
– r与r’分别为本币及外币无风险利率
• 在T期时
– 组合A的价值为S单位外币
– 组合B的价值也为S单位外币。
– 所以f +Ke－r(T-t) = Se－r’(T-t)
– F＝Se (r－r’)×(T-t)
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利率平价
• 假设目前美元一年期利率为2%，港元一年期利率
为4%，目前美元兑换港元汇率为1:8，你认为目前
的1年期美元对港元远期汇率应该是多少？
投资美元：1+2%
美元－港元－美元：1×8×(1+4%)÷F
两者应该价值相等，所以F=
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商品期货
• 商品保存成本
– F= (S＋U)er(T-t)
• 商品保存费率
– F= Se(r+u)(T-t)
• 商品增益比率
– F= Se(r+u-y)(T-t)
• 总结
– F= Se(c-y)(T-t)
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期货价格与预期现货价格
• Keynes and Hicks
– 如果投机者倾向于多头，而套期保值者倾向于空头，则
期货价格将高于预期的将来现货价格。
– 如果投机者倾向于多头，而套期保值者倾向于空头，则
期货价格将高于预期的将来现货价格。
• 风险溢价分析
– F=E(ST) e(r-k)(T-t)
• 实证
– F<E(ST)
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套期保值
• 基差风险
– 基差＝现货价格－期货价格
• 实际价格
– b1=S1-F1
– b2=S2-F2
– S2+F1-F2=F1+b2
• 标的资产与运用资产不同
– F1+(S2*-F2) +(S2-S2* )
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最佳套期保值比率
• 盈利/损失
– ΔS-hΔF
• 风险
– v=σs2＋h2σF2－2hρσsσF
– 2hσF2－2ρσsσF＝0
– 从而最佳套期保值比率h＝ρσs ÷σF2
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本章总结
• 预备知识
• 远期合约定价
• 远期价格与期货价格
• 股票指数期货
• 外汇期货
• 商品期货
• 期货价格与预期现货价格
• 套期保值
48
谢 谢
四月-
2106:54:2106:540
6:54四月-21四月-
2106:54
06:5406:54:
21四月-21四
月-
2106:54:21
2021/4/17 6:54:21
