现代控制理论
第3章 控制系统的状态空间分析
线性系统能控性和能观测性的概述
线性连续系统的能控性
线性连续系统的能观测性
线性离散系统的能控性和能观测性
对偶性原理
系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系
系统的能控标准形和能观测标准形
实现问题
线性系统能控性和能观测性的概述
系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很重要的基础性概念，是由卡尔曼（Kalman）在六十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态x(t)变化引起的输出y(t)的变化。
能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控制的可能性；
能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统状态的可能性。
对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制系统构成中的两个基本问题。
线性连续系统的能控性
状态能控性
定义：若系统(A(t)，B(t))对初始时刻t0，存在另一时刻tf（tf > t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间tf − t0内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在（t0，tf）时间间隔内是状态完全能控的，简称状态能控的或能控系统。
若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。
说明：
（1）根据定义，如果系统在（t0，t1）时间间隔内完全能控，那么对于t2 > t1，该系统在（t0，t2）时间间隔内也一定完全能控。
（2）如果在系统的状态方程右边迭加一项不依赖于控制u(t)的扰动f(t)，那么，只要f(t)是绝对可积函数，就不会影响系统的能控性。
线性定常系统的状态能控性
定理3-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵
Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
的秩为n，即
rankQc = n
证明 已知状态方程的解为
在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令
利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理
eA = 0() I + 1() A + … + n1() A n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即
rank[ B AB A2B … An 1B ] = n
例3-1 设系统的状态方程为
判断其状态能控性。
解：系统的能控性矩阵为
Qc = [ B AB A2B ] =
rankQc= 2 n
所以系统状态不完全能控。
2 1
1 1
1 1
3 2
2 2
2 2
5 4
4 4
4 4
首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。
由前章可知，系统(A，B)和( ， )之间做线性非奇异变换时有：
定理3-2： 设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，是系统经线性变换后的对角线矩阵
中, 不包含元素全为零的行。
P是非奇异阵
∴
其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B)状态完全能控的充要条件。
将对角标准形的每一行写成如下展开形式
显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，
( i = 1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素
不同时为零。
例3-3 考察下列系统的状态能控性。
(1)
(2)
(3)
定理3-3 若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当形时，则系统能控的充要条件是：
（1）输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；
（2）输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。
上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。
例3-4 考察下列各系统的状态能控性。
（1）
（2）
最后指出一点，当系统矩阵A为对角标准形，但在含有相同的对角元素情况下，定理3-2不成立；或系统矩阵A为约当标准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，定理3-3不成立。
线性定常系统的输出能控性
在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。
定义 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能控的。
定理3-4 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即
rankQ =rank[ CB CAB … CAn -1B D] = m
例3-6 设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。
∫
∫
+
+
u(t)
x1(t)
x2(t)
y(t)
x1(t)
x2(t)
解：描述系统的状态空间表达式为
rankQc = rank[ B AB] =
1 1
0 0
∴ 状态是不完全能控的。
rankc = rank[ CB CAB D ] =[ 2 0 0 ]
∴ 输出是完全能控的。
系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就是两者之间没有必然的联系。
线性系统的能观测性
状态能观测性
定义 对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf >t0，能够根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。
值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考虑系统的自由运动即可。
线性定常连续系统的能观测性
定理3-5 线性定常系统(A，C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵
Qo =
C
CA
CA2
…
CAn1
满秩，即
rankQo = n
证明 不失一般性，假设t0 = 0， 则齐次状态方程的解为
x(t) = eAt x(0)
y(t) = CeAt x(0)
因为一般m < n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，…，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵Qo满秩。
2 1
2 1
Qo = =
C
CA
1 0
1 0
例3-7 考察系统
的能观测性。
rankQo = 2 = n
所以系统是能观测的。
定理3-6 设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的对角标准形
中，Ĉ不包含全为零的列。
定理3-7 设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的约当标准形
中，和每个约当块Ji（i =1，2，…，k）首行相对应的Ĉ的所有那些列，其元素不全为零。
例3-8 分析下列系统的状态能观测性
（1）
（2）
（3）
（4）
线性离散系统的能控性和能观测性
线性离散系统的能控性
设线性定常离散系统的状态方程:
x(k+1) = G x(k) + H u(k)
定义:对于系统 (G，H)，如果在有限采样间隔内kT t nT，存在阶梯控制信号序列u(k),u(k+1),…，u(n1)，使得系统从第k个采样时刻的状态x(k)开始，能在第n个采样时刻到达零状态，即x(n) = 0，则称该系统在第k个采样时刻上是能控的。若系统在第k个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。
定理3-8 线性定常离散系统(G，H)，定义能控性矩阵为
Uc = [ H GH G2H … G n 1H ]
若系统矩阵G非奇异，则状态完全能控的充要条件是
rankUc = n
证明 已知状态方程的解为
根据假设条件，当k n时，x(k) = 0，即
G n 1H u(0)+…+ G H u(n2)+ H u(n1) = G nx(0)
当G是非奇异矩阵时，对于任意给定的非零初态x(0)，Gnx(0)必为某一非零的n维列矢量。因此，方程有解的充要条件是n × n系数矩阵，即系统的能控性矩阵Uc 满秩。
例3-9 线性离散系统的状态方程为
试判断系统是否具有能控性。
解：
Uc = [ H GH G2H ] =
0
0
1
0
1
1
1
1
2
解：
Uc = [ H GH G2H ] =
1 0
0 1
0 0
1 2
0 1
1 0
0 4
0 1
4 2
例3-10 线性离散系统的状态方程为
试判断系统是否具有能控性。
线性定常离散系统的能观测性
定义如果根据第i步以后的观测值y(i)，y(i+1)，…，y(N)，能唯一地确定出第i步的状态x(i)，则称系统在第i步是能观测的。若系统在任意采样时刻上都是能观测的，则称系统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。
定理3-9 线性定常离散系统 (G，C)状态完全能观测的充要条件是nm × n的能观测性矩阵Uo满秩，即
证明 由于所研究的系统是线性定常系统，所以可假设观测从第0步开始，并认为输入u(k)=0，此时系统为
x(k+1) = G x(k)
y(k) = C x(k)
利用递推法，可得
y(0) = Cx(0)
y(1) = Cx(1) = CGx(0)
…
y(n1) = CG n1x(0)
写成矩阵形式
由于y(t)是m维矢量，因此上述n个联立方程实质上代表了n·m方程。要想从这n·m个方程中求得唯一的一组解x(0)，必须从这n·m个方程中找出n个线性无关的方程，即x(0)有唯一解的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩。
例3-11 试确定由下列状态表达式
所描述的系统是否能观测。
0 0 1 1 0 0
3 0 2
1 0 1
9 0 1 2 0 3
解： 系统的观测性矩阵为
Uo = [ C CG CG2 ]T =
离散化系统的能控性和能观测性
这里所说离散化系统的能控性和能观测性，是指一个线性连续系统在其离散化后是否能保持其完全能控性和完全能观测性的问题。这是在构成采样数据系统或计算机控制系统时所要考虑的一个重要问题。
例3-12 设线性定常系统的状态空间表达式为
试分析其离散化后系统的能控性和能观测性。
解：（1）分析(A，B，C)的能控性和能观测性
∴ 连续系统是状态完全能控且完全能观测的。
（2）分析(A，B，C)的离散化系统
C =[ 0 1 ]
（3）离散化系统的能控性和能观测性
显然，上述矩阵是否满秩，唯一地取决于采样周期T的数值。
若取T = k ( k = 1，2，…)
rankUc = 1 rankUo = 1
此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的。
若取T k ( k = 1，2，…）
rankUc = 2 rankUo = 2
这时，上述离散化系统是完全能控且能观测的。
detUc = 2sinT·[cosT1]
detUo = sinT
定理3-10 线性定常连续系统(A，B，C)，是状态完全能控（能观测）的，经离散化后的系统，其状态完全能控（能观测）的充分条件是：对满足
Re[ i j ] = 0
的一切特征值，使采样周期T的值满足关系式
Im[ i j ] 2k/T （k = 1，2，…）
例3-12 系统特征值
I A =
1
1
= 2+1
= j1
2 2k/T T k
对偶性原理
从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性和能观测性，无论从定义或其判据方面都是很相似的。这种相似关系决非偶然的巧合，而是有着内在的必然联系，这种必然的联系即为对偶性原理。
设系统1的状态空间表达式为
设系统2的状态空间表达式为
称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对偶系统，反之，1是2的对偶系统。
C
B
∫
+
+
u1(t)
x1(t)
y1(t)
x1(t)
A
∫
BT
CT
+
+
u2(t)
x2(t)
y2(t)
x2(t)
AT
从结构图上看，系统1和其对偶系统2的输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。
对偶性原理 系统1状态完全能控（完全能观测）的充要条件与其对偶系统2状态完全能观测（完全能控）的充要条件相同。
证明 系统1的能控性和能观测性矩阵分别为
Qc1 = [ B AB A2B … An 1B ]
Qc2 = [CT ATCT … (AT)n 1CT ]
系统2的能控性和能观测性矩阵分别为
= [ B AB A2B … An 1B ] T
∴ rank Qc1 = rank Qo2
rank Qo1 = rank Qc2
根据这一原理，一个系统的状态完全能控性（能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性（能控性）来研究。
系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系
前已述及，系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念。而传递函数矩阵概念，目前已被广泛用于控制工程中，那么它们之间是否存在内在联系呢？回答是肯定的。为了阐明它们之间的联系，首先应该对不完全能控，或者不完全能观测系统进行结构分解，即把系统中不能控或不能观测的部分同系统的能控与能观测部分区分开来，要做到这一点，一般可用线性变换来解决。
系统的结构分解
1. 系统按能控性分解
定理3-11 设有n维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQc=k<n，则必存在一个非奇异矩阵Tc，令 ，能将系统变为
k维子系统是能控的。
n–k维子系统是不能控的。
其中，列向量q1 ，q2，…，qk 是能控性矩阵Qc中k个线性无关的列，另外n – k个列向量qk +1 ，…，qn是在确保Tc为非奇异的情况下任意选取的。
能控部分
不能控部分
∫
+
+
x2(t)
A22
A12
y(t)
B1
∫
+
+
u(t)
x1(t)
A11
C1
∫
+
+
C2
+
+
解：（1）判断系统是否完全能控
rankQc = 2
∴ 原系统是状态不完全能控的。
例3-14 线性定常系统状态空间表达式为
试求系统的能控子系统。
（2）结构分解 取
Tc =
1 0
1 1
0 1
0
0
1
l维子系统是能观测的。
n–l维子系统是不能观测的。
2. 系统按能观测性分解
定理3-12 设有n维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQo=l<n，则必存在一个非奇异矩阵To ，令 ，能将系统变为
C1
B1
∫
+
+
u(t)
x1(t)
y(t)
A11
B2
∫
+
+
x2(t)
A22
A21
能观测部分
不能观测部分
rankQo = 2
∴ 原系统是状态不完全能观测的。
（2）结构分解
例3-15 把例3-14系统按能观测性分解。
解：（1）判断系统是否完全能观测
3．系统按能控性和能观测性分解
将上述两个定理结合起来，就可得到卡尔曼（Kalman）标准分解定理。
定理3-13 设有n维线性定常系统(A，B，C)，若系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个非奇异矩阵线性变换，可使系统变换为如下形式
co
+
+
u(t)
y(t)
cô
ĉo
ĉô
例3-16 把例3-12系统按能性和能观测性结构分解。
解：（1）判断系统的能控性和能观测由例3-12和例3-13知
rankQc = 2 < n rankQo = 2 < n
（2）将系统按能控性分解 根据例3-12，
取
系统分解后
（3）将不能控子系统按能观测性分解
（4）将能控子系统按能观测性分解
非奇异线性变换矩阵为
综合以上结果，系统按能控性和能观测性分解后
系统传递函数中零极点相消定理
证明 Σ(A，B，C)的传递函数为
G(s) = C(sI − A)−1B
（1）证充分性：如果传递函数C(sI − A)−1B中不出现零、极点对消，系统Σ(A，B，C)一定是能控能观测的。
假设G(s)的分子、分母无零极点对消，系统Σ(A，B，C)却不能控或不能观测，因而一定可对系统进行
定理3-14 一个单输入单输出线性定常系统Σ(A，B，C)，若其传递函数中没有零点和极点相消现象，那么系统一定是既能控又能观测的。若有零、极点相消现象，则系统视状态变量的选择不同，它将是不能控的，或者是不能观测的，或者是不能控不能观测的。
能控性或能观测性结构分解。如设系统Σ(A，B，C)不完全能观测，则将其按能观测性分解后可得
系统传递函数应满足
由于 的维数低于A的维数，但又假设系统无零极点对消，故上式不可能成立，因此系统Σ(A，B，C)的传递函数无零极点对消，系统必是能观测的。同理，可证明系统也必能控。
（2）证必要性：如果系统Σ(A，B，C)能控且能观测，传递函数G(s)中没有零极点相消现象。
如果系统Σ(A，B，C)不是G(s)的最小实现，则必存在另一个系统，有更小的维数，使得
由于 的阶次比A低，于是多项式det(sI− )的阶次也一定比det(sI−A)的阶次低，但是欲使上式成立，必须是C(sI−A)−1B的分子分母之间出现零极点对消，于是反设不成立。
[证毕]
这时特别需要指出，上述定理对于多输入多输出系统只是充分条件，而不是必要条件。
系统不完全能控但完全能观测。所以系统传递函数中必有零极点相消现象。
例3-18 试判定系统
的传递函数中是否有零极点相消现象。
解： 系统的能控性矩阵和能观测性矩阵
系统矩阵A有两个特征值：λ1 = 1，λ2 = 4。从上式可看出，λ1 = 1的因子被约去了。
如果把系统矩阵A化为对角形，那么λ1 = 1被约去的现象就看得更清楚了。不难求得变换矩阵为
由上述状态表达式清楚地看到，对应于λ1 = 1的状态方程根本没有输入，自然不能控，也不会出现于系统的传递函数之中。
通过以上分析我们得知，系统的传递函数（传递函数阵）所表征的只能是既能控又能观测的子系统。除此之外，由于系统不能控或不能观测部分的运动无法用传递函数（或传递函数阵）反映出来。若没有反映出来的部分有不稳定的运动模式，那就会有“潜伏振荡”发生，这就是用传递函数来描述系统的局限性。
系统的能控标准形和能观测标准形
标准形亦称规范形，它是系统的系数在一组特定的状态空间基底下导出的标准形式。而系统的能控标准形和能观测标准形，指的是系统的状态方程和输出方程若能变换成某一种标准形式，即可说明这一系统必是能控的或能观测的，那么这一标准形式就称为能控标准形或能观测标准形。由于能控标准形常用于极点的最优配置，而能观测标准形常常用于观测器的状态重构，所以这两种标准形对系统的分析和综合有着十分重要的意义。
系统的能控标准形
1. 单输入单输出系统
定理3-15 设单输入单输出系统(A,B,C)，其中
则此系统为能控标准形，那么该系统一定是完全能控的。
证明 因为
能控性矩阵的秩 rankQc =rank [ B AB … An1B ]
Qc满秩，∴ 该系统是状态完全能控的。
定理3-16 设线性定常系统Σ(A，B，C)，如果系统是能控的，那么，就一定存在一个非奇异变换，能将上述系统Σ(A，B，C)变换成能控标准形。
变换矩阵P由下式确定
式中P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1 = [0 … 0 1]Qc1
证明 假设下式成立
令
因此有
P1A = P2
P2A = P1A2 = P3
…
Pn1A = P1An1 = Pn
于是
又 ∵
将等式两边转置后有
P1[B AB … An1B ] = [0 … 0 1]
由此可得 P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1
解： Qc=[B AB ] =
rankQc =2，系统是能控的。
P1 = [0 1][B AB]1 = [0 1]
例3-19 试将下列系统的状态方程
变换为能控标准形。
1
1
1
3
=[ ]
从而得能控标准形为
2．多输入多输出系统
设线性定常系统Σ(A，B，C)，A为n×n系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为m×n输出矩阵，如果系统是能控的，那么就一定存在一个非奇异线性变换，能把系统变换成如下的能控标准形：
其中a1，a2，…，为系统特征多项式
sI A = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an
的系数；0r和Ir分别表示r×r零矩阵和单位矩阵。
系统的能观测标准形
1. 单输入单输出系统
定理3-17 设单输入单输出系统(A,B,C)，其中
则此系统为能观测标准形，那么该系统一定是完全能观测的。
C = [ 0 … 0 1]
定理3-18 设线性定常系统Σ(A，C)，如果系统是能观测的，那么，就一定存在一个非奇异变换，能将上述系统Σ(A，C)变换成能观测标准形。且能观测标准形的系统矩阵中a1，a2，…，an 为系统特征多项式
sI A = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an
的系数；变换矩阵T为
T = [ T1 AT1 … An1T1 ]
式中
例3-20 若系统的状态空间表达式为
试将其变换为能观测标准形。
解： ∵
rankQc = 2 = n
∴ 系统是能观测的。
根据
有一点需要特别指出，即对于单输入单输出系统而言，因其能控性矩阵Qc和能观测性矩阵Qo只有唯一的一组线性无关矢量，所以当原系统状态表达式变换为能控标准形或能观测标准形时，其表示方法是唯一的。
故有
2．多输入多输出系统
设线性定常系统Σ(A，B，C)，A为n×n系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为m×n输出矩阵，如果系统是能观测的，那么就一定存在一个非奇异线性变换，能把系统变换成如下的能观测标准形。
其中a1，a2，…，an 为系统特征多项式
sI A = s n + a1s n 1 + … + an 1 s + an
的系数；0m和Im分别表示m×m零矩阵和单位矩阵。
C = [0m … 0m Im ]
3．8 实现问题
状态空间分析法是现代控制理论的基础。因此，如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统地首先要解决的问题。对于结构和参数已知的系统，可以通过对系统物理过程的深入研究后，直接建立系统的状态空间表达式。但是，有很多实际系统，其物理过程比较复杂，相互之间的数量关系又不太清楚。此时，要直接导出其状态空间表达式显得十分困难，甚至是不可能。
为了解决这类问题，一个可能的办法是，先用实验的方法确定系统的传递函数（或传递函数阵），然后根据传递函数推导出相应的状态方程和输出方程。由传递函数阵或相应的脉冲响应阵来建立系统的状态方程和输出方程的问题，即称为实现问题。而系统的状态方程和输出方程则称为系统传递函数阵的一个实现。
定义和基本特性
使得
G(s)=C(sI A) 1B
成立，则称系统Σ(A，B，C)是G(s)的一个实现。相 应地，如果其
H(t)= L1[ G(s)]= CeAt B
则称该系统是脉冲响应阵H(t)的一个实现。
1. 定义 如果对给定的一个传递函数阵G(s)，能找到相应的线性定常系统状态空间表达式
2．基本特性
（1）对任意给定的传递函数阵G(s)，只要满足物理上可实现的条件，那么一定可以到其实现，这是实现的存在性问题。
（2）实现的实质是用状态空间分析法，寻找一个与真实系统具有相同传递函数阵的假想系统。但从传递函数阵出发，一般可以构造无数个与真实系统输入输出特性相同的假想系统。因此，实现具有非唯一性。
（3）当传递函数阵G(s)所有元的传递函数Gij (s)均为s的真有理分式函数（即分子多项式的阶次低于分母多项式的阶次）时，其实现为Σ(A，B，C)形式。当Gij (s)的分子多项式的阶次等于分母多项式的阶次时，其实现为Σ(A，B，C，D)形式。且有
按标准形实现
能控标准形（能观测标准形）实现就是由传递函数阵或相应的脉冲响应阵所建立的状态表达式，不但完全能控（能观测），而且为标准形式，则称为能控标准形（能观测标准形）实现。这两种典型实现，是找到最小实现的必经之路。
1．单输入单输出系统的实现
定理3-19 若单输入单输出系统的传递函数G(s)为
其中，ai和bi（ i =1，2，…，n）为实常数，则其能控标准形的实现为
能观测标准形的实现为
证明 证能控标准形的实现。
∵
例3-21 试求传递函数
的能控标准形实现和能观测标准形实现。
解： ∵ a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6
b1 = 1 b2 = 4 b3 = 5
① 能控标准形为
②能观测标准形为
2．多输入多输出系统
对具有r个输入和m个输出的多输入多输出系统，可把m×r的传递函数阵G(s)写成和单输入单输出系统传递函数相类似的形式，即
式中B1，B2，…，Bn均为m×r实常数矩阵，分母多项式为该传递函数阵的特征多项式（最小公分母）。
能控标准形实现为
能观测标准形实现的各系数矩阵为
显然，能控标准形实现的维数是n×r，能观测标准形实现的维数是n×m，为了保证实现的维数较小，当m > r，即输出的维数大于输入的维数时，应采用能控标准形实现；当m < r时应采用能观测标准形实现。
例3-20 试求传递函数阵
的能控标准形实现和能观测标准形实现。
解：将G(s)写成按s的降幂排列的标准格式，即
r = 2 m = 2
a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6
B1
B2
B3
能控标准形实现的各系数矩阵为：
能观测标准形实现的各系数矩阵为：
B=
B3
B2
B1
=
6 2
6 3
5 3
5 4
1 1
1 1
最小实现
由上述分析可知，对应于一个传递函数阵（传递函数）G(s)的实现不是唯一的，而且实现的阶数上也有很大的差别。一般总希望实现的阶次越低越好，但是，阶数显然是不能无限的降低。因此，在很多可能实现中，总会存在一个状态变量个数最小或阶数最低的实现，这就是最小实现。事实上，最小实现反映了系统最简单的结构，因此最具有工程意义。如用模拟计算机来实现，则所用的积分器的数目是最少的，
对于给定的传递函数阵G(s)，虽然其最小实现也不是唯一的，但是，它们的维数是相同的，而且必是代数等价的。
定理3-20 传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A，B，C)为最小实现的充要条件是：Σ(A，B，C)不但能控而且能观测。
证必要性：设系统Σ(A，B，C)为G(s)的一个最小实现，其阶数为n，但系统Σ (A，B，C)不完全能控和不完全能观测。
∵ Σ(A，B，C)不完全能控和不完全能观测，那么系统Σ(A，B，C)必可进行结构分解，其能控且能观测部分也是一个实现。显然其维数一定比系统Σ(A，B，C)的维数n低，这表明Σ(A，B，C)不是最小实现，与假设条件相矛盾。故系统Σ(A，B，C)必为完全能控且完全能观测的。
充分性 采用反证法
设Σ(A，B，C)是G(s)的一个实现，但不是最小实现，并能控能观测的，其阶数为n。
此时必存在另一个实现，其阶数为n′ < n。
由于Σ和Σ′都是G(s)的一个实现，则对任意的输入u(t)，必具有相同的输出y(t)，即
考虑到u(t)和t的任意性，故
当t = τ时，则得
对上式两边微分，推得
…
∵ 已设Σ(A，B，C)为完全能控且能观测
∴ 上式等号左边矩阵的秩为n，等号右边矩阵的最大的秩为n′，假设n′ < n不成立，故系统Σ(A，B，C)必为最小实现。
[证毕]
上式可改写成
根据这个定理，一般而言，构造最小实现一致可按如下步骤进行：
（1）对给定的系统传递函数阵G(s)先找出一种实现Σ(A，B，C)；
通常，最方便的方法是选取能控标准形实现或能观测标准形实现。
（2）对所得实现Σ(A，B，C)中，找出其完全能控且完全能观测部分，即为最小实现。
∵ m = 1 r = 2
a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6
B1 = [ 0 0 ] B2 = [ 1 1] B3 = [ 3 1]
因m < r，故采用能观测标准形实现。
例3-21 试求传递函数阵
的最小实现。
解：
∴ 系统是既能控又能观测的，它为最小实现。
如果现采用能控标准形实现
显然，能控标准形实现不是最小实现。需要进行结构分解，找出其状态完全能观测部分。
第3章 小 结
1、系统的状态能控性
（1）若线性定常系统Σ(A，B)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始状态x(t0)转移到状态x(tf ) = 0，则称系统是状态完全能控的。
反之，若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用，则称系统是可达的。
对线性定常系统，可控与可达是可逆的。
（2）线性定常系统能控性判据
① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n
② 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。
③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。
④ Σ(A，B)为能控标准形。
（3）线性定常离散系统能控性判据
rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n
（4）线性定常系统离散化后的能控性：
连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采样周期T的选择有关。
（5）能控标准形
① SISO Σ(A，B) ，其A和B有以下的标准格式
② 对能控系统Σ(A，B)化为能控标准形的变换矩阵P是唯一的，且
P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1
2、系统的输出能控性
（1） 若线性定常系统Σ(A，B，C，D)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始输出y(t0)转移到y(tf )，则称系统是输出完全能控的。
（2）输出能控性判据为
rankQ = rank[ CB CAB … CA n1B]= m
（3）状态能控性和输出能控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。
3、系统的状态能观测性
（1）若线性定常系统Σ(A，B，C)能根据有限时间间隔 [t0，tf ]内测量到的输出y(t)，唯一地确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全能观测的。
（2）线性定常系统能观测性判据
①
② 当A为对角形且特征值互异时，输出矩阵C中无全为零列；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，C中与约当块第一列对应的列不全为零，且C中相异特征值对应的列不全为零。
③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。
④ Σ(A，B)为能观测标准形。
（3）线性定常离散系统能观测判据
（4）线性定常系统离散化后的能观测性：
连续系统不能观测，离散化后的系统一定不能观测；连续系统能观测，离散化后的系统不一定能观测，与采样周期T的选择有关。
（5）能观测标准形
① SISO Σ(A，C) ，其A和C有以下的标准格式
C = [0 … 0 1]
② 对能控系统Σ(A，C)化为能观测标准形的变换矩阵T是唯一的，且
T = [ T1 AT1 … An1T1 ]
4、对偶原理
线性系统Σ1(A，B，C)与Σ2(AT，CT，BT)互为对偶系统。若系统Σ1能控（能观测），则Σ2能观测（能控）。
5、线性定常系统的结构分解
从能控性和能观测性出发，状态变量可分解为能控能观测xco，能控不能观测xcô，不能控能观测xĉo，不能控不能观测xĉô四类。以此对应，将状态空间分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的结构分解。研究结构分解更能揭示系统结构特性和传递特性。
6、最小实现
（1）已知传递函数阵G(s)，找一个系统Σ(A，B，C，D)满足关系
C(sI A)1B+D = G(s)
则称Σ(A，B，C，D)为G(s)的一个实现。
（2）若传递函数阵G(s)的各个元素均为s的有理分式，且分子分母多项式的系数为实常数时，则G(s)一定是可实现的，且其可能的实现有无穷多个。
（3）在传递函数阵G(s)的所有可能实现中，状态空间维数最小的实现称为最小实现，也叫不可约实现。
（4）若传递函数阵G(s)是可实现的，则其最小实现有无穷多个，而且相互间彼此代数等价。
（5）传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A，B，C，D)为最小实现的充要条件是不但能控而且能观测。
例3-25 若系统的状态空间表达式为
分别确定当系统状态可控及系统可观测时，a，b，c，d应满足的条件。
可见，当a − b − c − d ≠ 0时系统可控；当c ≠ 0时系统可观测。
解：
证明 系统可控性矩阵和可观测矩阵为
例3-25 设n阶系统的状态空间表达式
若CB = 0，CAB = 0，…，CAn−1B = 0，试证：系统不能同时满足可控性、可观测性的条件。
可见，QoQc不满秩。根据矩阵理论，Qo，Qc中至少有一个矩阵不满秩，即系统不能同时可控可观测。证毕。
例3-28 已知系统的传递函数为
（1）试确定a的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；
（2）在上述的a取值下，求使系统为状态能控的状态空间表达式；
（3）在上述的a取值下，求使系统为状态能观测的状态空间表达式。
（4）求a = 1时，系统的一个最小实现。
解：
（1）当a = +1，或+3，或+6时，传递函数有零极点对消，这时系统或是不完全能控，或不完全能观测。
（2）取能控标准形的实现。
（2）取能观测标准形的实现。
（4）方法有很多。
比如把（2）中的能控标准形系统进行能观测性结构分解，求出能控能观测子系统，即为一个最小实现；
把（3）中的能观测标准形系统进行能控性结构分解，求出能控能观测子系统，也可找出一个最小实现；
现在把传递函数中的零、极点消去，然后找出一个实现即为最小实现。
结 束
