第五讲 证券价格及其敏感性
如何给固定收益债券定价？
固定收益债券与利率有何关系？
如何测度固定收益证券价格对利率的敏感性？
参考书
本讲义的Excel 注解
Sundaresan：固定收入证券市场及其衍生产品，第2版，第4章。北京大学出版社。
Brigham 等: 财务管理基础，第9版，第9章，中信出版社。
目录
价值的含义
影响证券价值的两个因素：预期回报和回报的波动性
固定收益证券定价
债券市场价值与利率的关系
固定收益证券的利率敏感性尺度：久期和凸性
证券价值的含义
账面价值
证券在资产负债表上的价值
清算价值
公司破产时，证券的出售价格。
市场价值
证券在市场上交易时的价格。
经济价值
又称内在价值，是用适当贴现率对债券未来现金流进行贴现时，所得的现值。经济价值高于市场价值，说明在该投资者看来，该证券的市价被低估。反之，经济价值低于市场价值，该证券的市价被高估。
证券定值
马克思说：
证券的“市场价值，会随着它们有权索取的收益的大小和可靠程度而发生变化”
…这种证券的市场价值部分地有投机的性质，因为它不是由现实的收入决定的，而是由预期得到的、预先计算的收入决定的”；
如果“现实资本的增值率不变，或…年收益已经由法律规定，并且有充分保证，那么，这种证券的价格的涨落就和利率成反比”。
“在货币市场紧迫时，这种证券的价格会双重跌落；第一，因为利率提高，第二，因为有大量证券投入市场，以便变为现实货币”。-资本论，卷3，530页。
这段话说明了包括股票在内的证券的定价要素，以及投资证券的风险。
决定证券价格的因素：
证券的预期收益流，
收益的稳定性或风险，
市场利率。
证券的预期回报和波动性
证券的回报即投资总收入与投资额之差：
回报率rate of return =（收入-投资）/投资
非固定收益证券的预期回报率
用概率做权数的平均投资回报：
固定收益证券的预期回报
固定收益证券在持有期内的预期回报是固定的，等于到期收益率或持有期收益率。这类证券如在到期前出售，则其最后一期的回报是不确定的。
证券回报的波动性是证券实际回报偏离预期回报的程度，即投资证券的风险
测量证券波动性的尺度是证券回报率的方差2和标准差
投资回报的方差或标准差越大，该项投资的风险越大。
两个公司股票在未来各种情景下的预期回报和回报波动率
A公司的预期回报高，但是收入可靠性低，即风险更大；B公司的预期回报低，但风险较小。
发达市场的主要债券种类
国债
中央政府发行的债券，有主权风险，即国家拒付债务的风险。
抵押债券mortgage bonds
以公司的一定资产做偿债担保的债券。公司破产，债券持有人可以通过强行出售这些资产来实现自己对公司的要求权（债权）。
信用债券debentures
无担保债券，债券持有人没有针对公司特定财产的留置权（扣押然后自行处置的权利）。债权人的要求权仅仅受公司未充当担保品的财产保护。信用强的公司通常发行这种债券。信用弱的公司在担保品用完时也高利发行这种债券。
次级信用债券subordinated debentures
债券持有人对公司财产要求权的级别，在公司破产时，低于或次于高级债务senior debt（如银行贷款和其他短期债务）。
开发债券development bonds和污染控制债券pollution control bands
发达国家的地方政府为发展工业增加就业和控制污染而发行的债券。如美国州政府的产业开发署发行开发债券，然后将所筹的资金低利转贷给一家企业，让其扩大生产以便增加就业。地方政府的污染控制署发行债券，然后将资金低利转贷给电厂或汽车制造厂，以便让其控制污染。这类债券一般免税。
已保险市政债券
美国市政府发行的由保险公司做保证人的债券。市政府违约时，保险公司负责偿还债权人本息。因为风险较低，所以这类债券的利率较低。
暗含选择权（期权）债券
可赎回债券Callable bonds
可赎回债券内含债务人的买回债券选择权（期权），债务人在一定的条件下可以选择是否按一定的价格买回(赎回)自己发行的债券。在利率下降，债券价格上升时，债务人可以提前赎回自己发行的债券，以便用更低利率融资。
债务人为取得的这一权利付出的费用，即赎回溢价。赎回溢价一般为一年票面利息，其后逐渐下降。例如，假定面值1000元，息票率为10%，期限10年的可赎回债券，第一年赎回时的价格是￥1000+100*(10/10)=￥1100，第二年(剩余9年)赎回的价格是￥1000+100*(9/10)=￥1090。
可赎回债券一般都有赎回延迟期。延迟期内债券不可赎回，时间通常在发行后的1-5年内。
暗含选择权（期权）的证券-续
可转换证券convertible securities
是一种债券或优先股。证券持有人可以在特定的条件和条款下，选择是否将企业的债券或优先股转换为企业的普通股。
转换价格conversion price是债券面值与可得股数的比例，一般高于当前公司股票市场价格的20-30%左右。
转换价格=债券面值/可得股份数 =￥1000/100=￥10
可转换证券转换率conversion ratio是债券面值与转换价格的比率
转换率=债券面值/转换价格 =￥1000/￥10=100股
避免公司稀释股份的保护措施
股份增发和分割会稀释股票，导致股票价格下降。例如，公司在延迟期结束前或后将股份以1换2的比例分割股份，股票价格因此从20元变为10元。转换的收入由￥20*100=2000元，下降为￥10*100=￥1000
因此，一般转换条款中都规定，如果因为股票分割、增发和其他原因导致公司的股价下降到转换价格以下，则转换价格必须降低，即转换比率必须提高。
我国企业发行的可转换债券的利率一般各年不同。
无期权固定收益证券的定价
零息债券
息票债券
其中，ik代表各种期限的零息债券的即期利率。
因此，要对债券定价，首先得推导零息债券即期利率的期限结构。
利率期限结构反映了市场对未来利率变化的预期。这种预期并不一定与实际利率变化一致。
即期利率曲线的构建
一般而言，即期利率指当前在市场上交易的各种期限债券的利率，远期利率是隐含在即期利率中的未来即期利率。
但是，在分析金融市场时，人们所说的即期利率专指从政府债券推导出来的各期限零息债券的即期利率。
从政府债券推导出来的零息债券利率的期限结构，被称为“零息债券即期利率期限结构”。
从国债利率中推导即期利率的过程，被称为：“捆箱子”。
基本原则是：用这些即期利率复制出来的一系列零息债券的现值之和，应该等于有息国债现金流的现值，就是说，定价过程应该是无套利的，复制和被复制债券应该有相同的价值。
假设的20种政府债券的期限和结构
债券描述
从短期国债利率求零息债券的即期利率
从短期国债利率求零息债券的即期利率-续
用以上方法，可以从有息国债的利率中，推出6月期、1年期、年期、2年期和年期的零息即期利率Z1, Z2, Z3, Z4和Z5。
反复使用这一方法，可以推出全部余下15期（15个半年）的利率。
这些利率代表了0-10年期零息债券的期限结构，是某个特定时间债券定价的参考利率。
理论即期零息利率
无期权债券定价
用Excel函数计算债券价格
注：双击可打开上表。
债券价格与市场利率的关系-1
债券价格与到期收益率YTM成反比
债券价格是未来现金流用到期收益率贴现所得的现值。
同一现金流，用较大贴现率对其贴现，将得到一个较小的现值；用较小的贴现率对其贴现，将得到一个较大的现值。
另一个解释是：债券价格是从未来各期付款中扣除利息的剩余部分。
未来各期付款=各期息票金额+票面值。
利率或到期收益率上升，各期付款中所含利息增加，从各期付款中扣除的利息额增加。在未来各期付款额（息票额和面值）不变条件下，这导致余额即债券价格减少。
债券价格面值1000，息票率10%，2006-11-15发行，
期限分别为1、10、20年的债券
债券价格与市场利率的关系-2
如果债券的到期收益率YTM等于息票率，则债券的市场价格等于其面值。
面值1000元，息票率为10%的1年期债券，在YTM大于息票率10%时，其市场价格小于面值1000元；在YTM小于息票率10%，其市场价格大于面值1000元。
这是因为，债券的1000面值是用息票率做贴现率时所得的现值或债券价格。市场利率从而YTM等于息票率，就等于用息票率来对债券未来现金流贴现，所得现值自然等于债券面值。
债券价格与市场利率的关系-3
债券期限越长，对利率变动越敏感。
债券的利息可以看作是一个年金，即 各期利息I=A1+A2+…+An
市场利率上升，债券的到期收益率也上升。
这意味着所有债券都负担了一个新的额外年金 I=A1+A2+…+An
各期利息（即“年金”）现值的增额（各期 A的现值总和），就是债券价格（总现值）的减额。
1年期债券的新增年金A1的现值显著低于10年期债券新增年金的现值（可用年金现值公式计算），故在利率上升时，长期债券价格的下降幅度大于短期债券。
面值1000元，年息票率=10%，剩余10天的债券，每天有元的应计利息。由于收益率上升到20%，每天额外增加的收益，共的收益。用%的日利率(=20%年利率)对额外增加的每天的现金流贴现，得到需要从面值中减去的现值元。
剩余3650天的债券，原来每天也有元的应计利息，收益率上升后每日收益增加到元。用%的YTM对新增加的现金流贴现，得到需要从面值中减去的现值元。
到期日越短，在利率上升时，需要从面值中减去的新增收益的现值就越少。
例：
债券价格与市场利率的关系-4
随着债券到期日接近，债券价格向债券面值回归
这是长期债券对利率的敏感性大于短期债券的另一种说法。
更接近到期日的债券就是期限更短的债券。这时候利率变动对债券价格的影响急剧下降。
面值1000元息票率10%的债券，在剩余期限还有1天时， 未来付款=面值+应记利息=1000*(1+10%/365) =1000*(1+%) =1000+=元
假定在最后1天市场利率相对于息票率上升5倍，达到年率=50%的水平，则日率=50%/365=%
把债券的未来付款按照50%的年率(%的日率)贴现，得到到期前1天债券的现值：
1天后，得到收入=
该收入中利息部分==
利率上升了5倍，债券价格仅有轻微的下降，从1000元降到元。
而一个其他特征相同，但是到期年限还有10年的债券在利率从10%上升到50%时，价格将从1000元降低到元。
债券价格与市场利率的关系-5
债券的息票率越低，或者付息速度越慢，对利率变动越敏感
如果两种债券，到期收益率、面值和剩余期限都相同，息票率不同，则两者的价格对市场利率的敏感性一定不同。
息票率高的债券，每年偿付速度快，在任一时点上的剩余未付本息较少，因而其价格受利率变动的影响也相对较小。
如，面值、期限和YTM都相同，都分别是1000元，5年和10%的两个债券，A的息票率=20%，B的息票率=2%。两者的价格分别是：A=￥1386，B=￥691.
两者到期末都得到1000元的名义本金
这说明A(实际本金1386元)的利息支付较快，到最后一期时部分本金都被支付了。
B(实际本金691元)利息支付较慢，到最后一期时未付利息大于息票收入。自然，后者受利率变动的影响更大。
注意：这一原理在到期时间、YTM以及息票率差都很大（如超过50年的期限和50%的利率和息票率差在数倍以上）时，不再有效。
例如，上述债券，当剩余期限变为58年，YTM=86%以后，两者的修正久期相同。当剩余期限变为59年，YTM=86%，%息票率的债券的修正久期要更短些，不过差别近似于零。
零息债券的付息速度最慢，因此，其对利率变化最敏感。
债券价格与市场利率的关系-6
到期收益率下降引起的价格上升变化，大于到期收益率上升引起的价格下降变化。
换句话说，当到期收益率偏离息票率时，其向下的偏离会导致债券价格更大的变化；向上的偏离则导致相对较小的变化。
原因是利率下降，债券价格上升，变化的基数扩大，每一个百分点的利率变动对应一个更大的金额变化。
零息债券的息票率为零，其价格敏感性最高
本图说明：付息速度越慢，或息票率越低，债券价格对利率变动越敏感。
债券的利率敏感性尺度
久期
凸性
综合的债券利率敏感性尺度—久期duration
久期是价值和时间加权的期限尺度，用来测量生息资产作为现金流入的时间和付息债务作为现金流出的时间
久期测量承诺的未来现金支付（现金付出或收入）的货币加权平均期限。
久期是测量债券价格利率敏感性的综合指标，其中包含了债券到期日和利息支付速度等因素。
久期也可以被理解为债券对市场利率的价格弹性。
综合的债券利率敏感性尺度——久期duration(2)
基本关系：
久期反映了市场利率变动与所引起的债券价格变动之间的关系。
较长的债券久期，表明债券价格对利率更大的敏感性。
影响久期的因素包括
到期收益率
债券期限
债券息票率的大小（利息支付速度）
作为将未来付款作为现金收回所需加权平均时间的久期
久期是将未来现金流收回所需的“货币加权平均时间”
把未来现金流作为现值收回所需时间
久期的计算-2
D被称为麦考利久期，DM=D/(1+r)是已经标准化的修正久期.
作为债券价格的利率敏感性的久期
久期也是价格对利率敏感性指标。
作为债券价格敏感性尺度的久期
债券描述
期限：15年
息票率：10%
到期收益率：7%
当前价格： $1,
预期到期收益率变动：D2%
YTM变动后的债券价格：$1,.
债券的修正久期：
求债券价格的利率敏感性
久期与证券价格的敏感性
我们可以用下面的公式计算债券价格的利率敏感性：
例
久期公式推导
对上式各项分别求一阶导数：
加总：
等式两边同除以P：
用Excel函数Duration，MDURATION计算久期
问题
2005年金融联考题
假定：市场上的利率期限结构平坦，市场年利率均为10%（按一年计息一次计算）。
一个债券基金经理可选择A、B两种债券投资。两种债券的面值都是1000元，剩余期限都是3年，付息频率都是每年1次。A债券的息票率为8%，B债券的息票率为10%。
基金经理预期所购证券的持有期为一年，并预测市场利率期限结构今后会平行向下移动。不考虑其他因素，请问对该投资经理而言，哪种债券是较好的选择？
标准答案：计算两个债券的久期（6分）；分析（2分）
问题-续
我的答案
答案1：两种债券都买。对基金经理而言，这是最好的选择。相对来说，预测1年后的利率要容易些。如果自己预测与市场预测的差距不大，选择变得不重要。如果自己的预测与市场的差别很大，自己预测错误的概率很大。为保险起见，最好两种都买，不然基金经理会问：为什么不能两种都买？（最现实的答案）
答案2：如果两债券的到期收益率都一样，购买息票率为8%的A债券。因为，其他条件相同，息票率较低的债券久期较长，因而在利率如预期下降时，其价格上升的幅度较大。（最符合出题者意图的答案）
这样，还需要计算久期吗？
答案3：
凸性
债券价格曲线的弯曲程度或非线性程度。久期测量价格相对于利率的变动或敏感性，凸性测量这种变动的加速度或敏感性本身的变化。
凸性=债券价格对利率的二阶导数/2倍的债券价格
凸性推导
该公式的二阶导数为：
债券价格：
泰勒扩展式：
凸性公式推导-续
债券价格：
凸性公式推导-续
对上述价格公式的每一项分别求二阶导数：
加总后得：
凸性公式推导-续
已知债券价格的二阶导数为：
对上式两端同除以2倍的债券价格P，得到凸性：
凸性测度的，是债券价格的线性变化（近似变化）与实际变化的差，或价格曲线斜率的变化速度。因为无期权债券的上述差额或价格曲线斜率本身的变化速度始终为正，所以，无期权债券价格的凸性始终为正。
凸性与债券价格变化
由凸性导致的债券价格百分比变化可表示如下： 债券价格变化率≈凸性×收益率变化的平方 (ΔP/P) ≈D2 ×(Δy)2
由凸性导致的债券价格的变化可以表示为： 债券价格变化≈凸性×收益率变化的平方×债券价格 ΔP≈D2 ×(Δy)2×P
凸性的应用
凸性的应用-续
ΔP≈D2 ×(Δy)2×P
股票定价
股票定价的基本方法是计算预期的未来股息的现值。
投资股票的收益
=持有期的预期股息收入D+股票出售的价格
而股票出售价格主要由出售时的预期未来股息De和贴现率r决定。
所以，决定股票价格最重要因素是：
未来股息支付De
对未来股息贴现的贴现率r
股息的资本化公式
假定该公司的股息D有一固定的增长率g，则得到稳定增长模型或Gordon模型：
一公司当前股息为￥，该股息的预期增长率为8%。假定要求回报率是%，该公司股票的价格是多少？
股票价格对股息的敏感性
股票价格股息增长率的敏感性
股票价格对贴现率的敏感性
股价与股息和股息增长率正相关，与要求回报率负相关；与当前股息有线性关系，与增长率有非线性关系；要求回报率是影响股价的最重要因素。
短期和长期股息现值对股价的影响
固定增长股票的预期回报率
公式：
这说明股票的预期回报率有两个部分：
1.预期股息收益率，即1期股息/0期股价
2.预期资本利得收益率，即在给定g的条件下，股票增值的收益。
固定增长股票的预期回报率-续
P0=D1/(r-g),
P1=[D1(1+g)]/(r-g),
P1 =P0(1+g)
预期回报率和预期价格计算
预期价格计算-续
非稳定增长股票定价
公司股息在现实中的增长并不稳定。在增长不稳定条件下，需要将未来股利变化分为当前短期和未来长期两个部分。假定在当前短期内股息以一固定速度增长，然后再未来又以一固定速度增长。
计算未来长期股息的现值的方法是：先计算未来长期股息在n期的价值，然后再将其贴现到当前时期，即0期。
例.
P0=D1/(r-g), P1=[D1(1+g)]/(r-g), P1 =P0(1+g)
