等价鞅测度和鞅定价方法导数改变期望值一个概率分布通常具有两大特征：位置和形状。改变期望值就是改变位置；改变方差则是改变形状的一个方式。在本章中，我们试图改变位置（即期望值），但不改变分布的形状。改变期望值一般可以通过：为随机变量加上一个常数，改变其期望值。这一方法在统计学和计量中很常见，但在金融资产定价中，我们希望实现的是将资产预期收益率从 > ≅ ris>k p remium ≅调整至 > ≅ 以规避对风险溢酬的估计，简化期望值的计算。显然我们并不知道期望的风险溢酬究竟是多少，因此无法采用这一方法。改变概率测度，改变期望值，但不改变方差。在概率测度下，随机变量的分布为 1↑3 1 0 1°→°3 3 1↓3 1 则我们有 > ≅2 9 83为了将其期望值调整为，我们采用概率测度。显然，概率测度应满足以下三个条件：新概率之和等于；在概率测度下的期望值为；方差仍保持为98。可以求得概率测3度应为
12↑2429 1 0 2°→°239 3 5↓33 1 可以看出，从概率测度到，随机变量的取值并未变化，变化的是其对应的概率。要令期望值下降，需要将较大取值的概率调低，较小取值的概率调高。在概率测度下，随机变量服从正态分布 ,Π2 ς如果希望将其期望值调整为，定义随机变量 Π22 2ς Πς将乘以，可以得到 1 2 2ς2ς2 Σ式意味着，在概率测度下，服从期望值为，方差为 2ς的正态分布。如果希望将其期望值调整为，则定义随机变量 χ 2ς 22Π 2 Π ς将乘以 χ，可以得到 χ 1 ς 2 222 Σ ς式意味着，在概率测度 χ下，服从期望值为，方差为 2ς的正态分布。在概率测度下，随机向量 12 服从联合正态分布，即, 11 > Π ≅ 2ς ς♠1 112↔1 1 Π≡211222122221,22 Σς Π ♠ςΠ↔ ≡←≈≈ 6←……12其中 6 12ς 22 ς122 ς如果希望将其期望值调整为，定义随机变量
> ♠12 ≅↔↔←121ςς12 ςς ≡≈≈…1♠↔← 1 Π≡≈…> 1Π2 ≅ 121 ♠↔↔←Π1ς 2ς1 1222122 ς ς≡≈≈…♠↔← ≡≈Π … Π将乘以，可以得到 1 > ≅211ς 12♠ ↔1♠ς ≡≡12122, 6122←↔2←≈…≈…122 Σ12显然以上方法可以推广至多维连续随机向量的情形。导数我们将 中的随机变量称为关于的导数。在离散分布下，我们有 Ζ ΖΖ 或者 Ζ ƒ Ζ Ζ在连续分布下，则表示为 ≥ Ζ Ζ 实际上，通过（满足一定性质的）导数，我们既可以从概率测度变换至，也可以从概率测度变换至。 在什么情形下，导数存在？或者说，什么情形下我们可以对概率测度进行上述变换？由于我们希望能够通过导数在两个测度之间自由变换，从数学上看，与应该都不能为零。但由于分子分母均为概率，因此：当概率测度与关于中哪些集合具有零概率是一致的时候，导数存在，我们可以在两个测度之间自由变换：
1 当概率测度与关于中哪些集合具有零概率是一致的时候，我们称它们为等价测度。注：对于等价测度来说，当我们称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一个测度下成立。注：在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度下必然也是无风险组合，因为两个等价测度对于具有概率的事件是一致的。 几乎必然非负。 > ≅1 证明： > ≅ :≥ Ζ 1Ζ: > ≅ > ≅证明： > ≅ :≥ > ≅:≥当几乎必然严格为正时， > ≅ ♠↔ ← ≡≈…证明： > ≅ :≥ ♠↔← :≡≈…≥在概率空间 ⊥,:上，如果是几乎必然非负的随机变量，且满足, > ≅1 ，则对于 定义的 ≥ Ζ Ζ是一个概率测度。 证明： 由 : : ≥ Ζ > ≅1Ζ 可证其正则性。 为证其可数可加性，设是中一列互不相交的集合，并定义1,2,...
φ♣•♦ ÷≥ Ζ Ζ Ζφ : φ 1 ♥≠ l im≥ Ζ Ζ Ζ ο φ: 。显然有 1 , φ φ1 l im ƒ Ζ Ζ Ζ ο φ1 δ2 3δ... δ 1 和li mο φ ，可得 φ l imƒ ο φ 1 φ ƒ 1 假设 ⊥,:, 为概率空间， 为域流,0 δ δ。随机变量几乎必然为正，并且满足 > ≅1 。导数过程定义为 | ♠← ≡… 鞅性质。 ♠← | ≡…| ♠← | ♠← ≡… ≡… 对于 可测的随机变量，在由 ≥ Ζ Ζ定义的概率测度下，有 > ≅ > ≅ ♠←| ♠←≡… ♠← ≡…≡… 给定0 δ δ ，δ对于 可测的随机变量，在概率测度下，有
♠← ≡1| … ♠←| ≡…证明：根据条件期望的部分平均性质： >| ≅ Ζ Ζ ≥ Ζ Ζ≥要验证导数过程的性质，意味着要验证1 | ♠← Ζ Ζ ≥ Ζ ≡… Ζ ≥或1 | ♠← ↔ > ≅≡…≡≈…由性质有1 ♠← ≡… ♠←| ♠ ≡≡←…≈≡…… > ≅定理定理（一维情形） 设 概率空间,0δ是 δ ⊥,:, 上的布朗运动。 ,0 δ是 关于δ该布朗运动的域流。设 Ο ,0 δ是 一个δ适应过程。定义 e xp122 0 0≥Ο ↑→↓ Ο≥ ↵ 0 ≥Ο ≥ Ζ Ζ在 ≥2 20 Ο ♠↔← φ ≡≈…条件下，我们有
> ≅1 并且，在概率测度下，过程 ,0 δ是 一个δ布朗运动。 证明： 首先，由于遵循广义几何布朗运动的随机过程 S 0 te1220 u du t0≥ς u dW utS ς≥是一个鞅过程，因此 > ≅1 为导数过程，概率测度和是等价测度。 其次，讨论定理条件。从可知 Ο 从而有 1 0 ≥Ο 因此定理条件意味着伊藤积分 和0 ≥Ο 均为 方差有界，是平方可积鞅。最后，验证过程 布朗运动。如果一个,0 δ是 δ过程初始值为、具有连续路径、在时刻的二次变分为、并且具有鞅性质，该过程就是布朗运动。 0 0 且 续；,0 δ连 δ显然 的二次变分等于 的二次变分。即 在概率测度下是一个鞅。 Ο1 因此， 在概率测度下是一个鞅。 ♠← ≡…1| ♠← | ≡… ：等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的。例如在二叉树模型中，真实概率测度和风险中性概率测度都基于相同的树；在蒙特卡罗模拟中，可能的路径是一致的。不同的只是发生的概率。
： Ο 是什么？定理（多维情形） 设W t 是,0 δ 概δ率空间 ,⊥:上的维布朗运动。设, λ 是一个t1 ,.. .,Ο维 适应过 程。定义 , 0 δ ΟδZ t e xp122 0 λ u 0λ≥ u dW u ↑→↓ ≥ ↵W t W t 0λ ≥u 假设 λ≥ u 20 Z2 u ♠↔← φ ≡≈…令 Z=Z T 则 E Z> =≅1在由 P A Z≥ ω P ω 给出的概率测度下，过程W t 是维布朗运动。 ： 0λ ≥u dW u 0 1 ≥ƒ10Ο≥ ƒΟλ u ƒΟ 122 ♣♦1♥ •÷≠式意味着 0 ≥ Ο ：维布朗运动意味着相互独立。W t 的分量过程在概率测度下是独立的，但在概率测度下未必独立。因为在概率测度下，尽管W t 的分量过程是独立的，但 Ο 却以路径依赖的、适应的方式依赖于所有布朗运动W t 。1 , .. .,
等价鞅测度与鞅定价方法测度转换的基本定理设两种资产在风险中性测度下分别服从如下过程： σ t W t vtWt其中W t 表 示风险中性测度下1 , 2 的,.. .,d维标准 布朗 运 动 ； σ t ，, vς t 。那么，用'1 1 , , ς 作为计价单位的' 资产的价格 在 测度下是鞅过程，即 ♠↔ ≡←≈…其中表示测度下的条件期望，概率测度的定义为： e xp v( s)dW(s)1 ≥v (s)2♣♦♥ ≥ •020÷≠也就是说，在测度下的市场风险价格是资产 的波动率v t 。在测度下，dWN t 是标准布朗运动，并有dWN t dW t v(t)' 风险中性测度下的资产定价假设采用货币市场账户 为计价单位。由于 过程的波动率为，因此在以货币市场帐户 作为计价单位的测度中，风险价格为，而风险价格为的测度正是我们前面介绍的风险中性测度。根据式，我们有() ()♣♦♥ •()()÷≠定义
1 0 ≥ 我们有 () () 这是风险中性测度的一般结论：在该测度下，资产价格的贴现服从鞅过程。公式就是其中的一个典型例子。远期测度下的资产定价如果采用时刻到期的零息债价格 作为计价单位，相应得到的测度通常称为远,期测度。远期测度是我们在为利率产品定价时最常用的测度。在远期测度下，根据以及零息债到期价值为的性质，有() ()♣♦♥ •(,)(,)÷≠ 其中 表示在以(,)作为计价单位的远期测度下的期望值。从而可得资产 以货币单位表示的价格为 也就是说，只要知道时刻到期的零息债价格以及B(t,T)远期测度下资产到期回报的期望值，我们就可以得到该资产在时刻的价格。远期测度的基本性质是：在该测度下，未来资产价格的期望值等于该资产价格的当前的远期价格，因此该测度被称为“远期测度”。在利率上，上述性质要略作调整，令 表示时刻从到的远期利率，由远期利率的定义有 ♠↔ ≡←≈…令 则有 注意到 等式右边的分子是两个不同剩余期限的零息债的价差，因此 对应了一项可
交易资产，从而可以运用测度转换的原理得到， 在以作为计价单位的远期测度下是鞅过程，即 ♠↔ ≡≈ ♠←… ↔ ← ≡≈… ♠← ≡…其中* 表示在以(,*)作为计价单位的远期测度下的期望值。也就是说，在以(,*)作为计价单位的远期测度下，远期利率服从鞅过程，当前的远期利率就是未来对应期限即期利率的期望。这个性质在利率产品定价中常常用到，其典型代表是模型。模型假设远期利率在 * 计价的远期测度下服从如下的随机过程, ς 则利率顶的定价公式为 1 , ♠ 1←♣1≡• ♦ 2lnς, υ… υ1 , 1 υ ⊥ , , 1υ ÷21 2 其中 ♥≠ 1 ς , υ ς , υ 21 1 2, ς ≥利率顶是国际金融市场上交易量最大的利率期权产品之一。 远期测度适合于未来只有一次payoff的衍生产品定价。 互换测度下的资产定价定义时刻的年金现值因子为 1 ƒ 1 , 1 0其中为年金的起始时刻， 为每次现金流发生的时点， ，而 δ。如 果以 作为计价单位，根据式，我们有
♠↔← ≡≈…其中 表示在以 作为计价单位的测度下的期望值。从式可以看出，以年金现值因子 作为计价单位的资产在该测度下服从鞅过程。事实上，在这一测度下，可以证明远期互换利率服从鞅过程，因此该测度常常被用于为互换的衍生产品定价，从而被称为互换测度。下面我们来讨论这一性质。我们已经学过，利率互换可以分解为固定利率债券与浮动利率债券的组合。考虑一个时刻开始、时刻到期的标准利率互换，固定利率和浮动利率的交换时点为 ，其中 。设定 在时刻 （ δ）的（远期）互换利率为 ，运用式定义的年金贴现因子，该利率互换分解得到的固定利率债券在时刻的价值可以写成 而浮动利率债券的价值在时刻应等于，相应地在时刻的价值为 。由于互换利率是使互换价值为的利率，因此合理的互换利率公式为 与远期测度相似，式右端的分子对应了一个可交易的资产组合，因此我们可以运用式推知（远期）互换利率在以年金现值因子 作为计价单位的互换测度下是一个鞅过程。这一测度多被用来为互换期权定价，典型代表为模型。模型假设在对应的互换测度下服从 ς 则相应的利率互换期权定价公式为 υ υ♠ ⊥ ← ≡… 0 υ υ 1 ♠← 212 ≡…其中 1 显然，如果 ，这就是一个即期开始的利率互换；如果 ，这就是一个远期开始的利率互换。
♠1≡ 2ln↔ ς , ≈ υ 002 ←…1 ς , υ 00 ς , υ 2100 1 02,ς ς0 ≥0资产交换期权 资产交换期权是指期权多头在到期时有权利用资产交换资产（假设两种资产都不支付收益，我们的结论略为调整，即可推广至支付收益的情形）。显然，这样一个期权的到期回报为 max ,0 为了给该期权定价，我们转换至以作为计价单位的测度。根据式()，在这个测度下，我们有 ♠↔ ≡←m♠ax≈… ,0 ≡ ♠ ♣ ≡ •因此有 ↔ ≈ max↔1,0 ♦ ≈÷ ↔← ≈… ↔← ♥ ≈…≠ ♠ 1 2 ≡↔≈←… ♠ ≡… 其中 > ≅ 1 2ln ς υ 21 ς υ 2 1 ς υ 在以作为计价单位的测度下，我们有 ♠↔ ≡←≈… ς 也可根据引理求得（）。因此，
1 2 ：上式中的 ？2 是什么含义 1 和 2 呢？又称为跨货币衍生产品（），是国际金融市场上最常见的衍生产品之一，在结构性产品中尤为常见，其本质特征是其到期回报以一种货币计算，但实际支付以另一种货币进行，如在交易的日经股票期货，其到期回报以美元（国家）计算，但标的资产价格却以日元（国家）计量。在测度下，一个可交易的资产价格总是服从1 1 Ο ς ς 1 转换至测度意味着其随机过程变换为2 2 Ο ς ς 2 也就是说，布朗运动发生了变化，同时期望漂移率增加了 2 Ο 1 Ο ς对于一个不可交易的资产，虽然其随机过程不能表达为式或，但根据引理，测度转换也会使其期望漂移率增加 2 Ο 1 Ο ς因此对于任意资产，测度转换都会使其期望漂移率增加 2 Ο 1 Ο ς其中 ς 为该资产对数的波动率。现在定义一个随机变量 21 我们称之为计价比率。根据引理，我们有 ς 2 ς 1 ς 也就是说，如果我们从以计价的世界转换至以计价的世界，除了布朗运动的变换之12外，任意资产漂移率的变动为
ς ς在测度下，一个资产价格服从1 1 ƒΠ ς1如果该资产是可交易的，则 1 Π ƒ1, Ο ς1转换至测度意味着其随机过程变换为2 1 Π 2 , Ο 1, Ο ♣, ♦♥ ς ƒ, ς •1 ÷≠ ƒ定义计价比率 21 根据引理，我们有 ς, 2, ς 1, ς 也就是说，如果我们从以计价的世界转换至以计价的世界，除了布朗运动的变换之12外，任意资产漂移率的变动为 , ς ς1 ƒ又因为 ƒς , 1 ƒς , 1 和 , Υ ς ς > ≅ > ≅ > ≅ ƒ ς ς,,
因此，当计价单位从转换至时，漂移率的变动为12 Υ ς ς现定义个测度：一个是以日元零息债1 计价的测度，一个是以美元零息债,2 , 计价的测度。要从测度转换至测度，计价比率为 2 ,1, 其中 表示每一美元值多少日元。可以看出， 实际上是美元的远期汇率。根据式，从测度转换至测度，漂移率的变动为 Υ ς 。 也ς就是说，只要假设波动率和相关系数为常数，1 2 Υ ς ς 我们将这一调整称为调整。例如，假设日经指数现在价值日元，红利率，年期美元无风险利率和年期日元无风险利率分别为和。以日元计价的年期日经指数远期价格为15000 0. 02 1 1 5150υ.75假设日经指数波动率为，年期美元日元汇率波动率为，两者的相关系数为。那么，在以美元零息债 , 1 计价的测度下，年后日经指数的期望值为 0.υ20. 12υ1 1υ 根据远期测度的性质，这个测度下的期望值显然就是以美元支付回报的日经指数远期合约的远期价格（近似等于期货价格）。一个是指交换两种货币的利率，但交换时以一种货币计价。例如一个年期的，每年按照万英镑交换美元和英镑的年期利率。假设当前美元和英镑的利率期限结构均为水平（年计次复利）。如果分别以美元和英镑计，美元和英镑的远期利率应均为。但由于美元利率也要以英镑计价，因此美元的远期利率需进行调整。假设美元利率波动率为，每英镑兑美元远期汇率波动率为，两者相关系数为，则调整后的美元远期利率应为 Υ ς ς 0|.050 .05 0υ.12 υ υ υ
注意因此期的调整量分别1 。为、和英镑。最终该互换价值为 1 英镑.如果从以本国的货币市场账户1 作为计价单位的测度转换至以外国的货币市场账户2 作为计价单位的测度，我们就从本国风险中性测度转换到了外国风险中性测度。根据式，测度转换导致的漂移率变化为 Υ ς 。 注ς意到 2 , 1,因此 ς ς即漂移率变化为 Υ ς ς或者说，风险价格从变化至 Υ ς。在本国风险中性测度下，汇率 服从 1 2 ς 1 运用引理， ♣♦♥1 •÷≠ 2 1 ♣21♦ς •÷ 1 ♣♥≠1 ♦♥ •÷≠ς这里出现了一个悖论：如果在风险中性测度下 的漂移率为1 2 ，从对称性来说，1 的漂移率应为2 1 而不是。这就是 。2 1 2ς 如何解释这一悖论？其关键之处在于式并不真的是对称的。真正的对称，应该是在外国风险中性测度下来考察1 的漂移率，因为1 是指元本币值多少外币。而式是在本国风险中性测度下进行的。为了转换至外国风险中性测度，调整为 2ς，
因此，在外国风险中性测度下， ♣♦1 • 1 ♣21 ς • 1 ♣ •♥÷≠♦♥÷≠2 ♦♥ ÷≠并不存在！：转换测度并不意味着转换了计价货币。 假设一个两年期的美式期权，到期支付max 英镑，但,0 为指数的大小。目前指数为点，红利率为，波动率为，每英镑所值美元的汇率的波动率为，两者相关系数为。英镑和美元的无风险利率分别为和。我们可以用树图方法为该美式期权定价。首先我们在美国风险中性测度下建树，然后转换至英国风险中性测度。根据式，树图的漂移率应提高 0υ.250 .12υ% 由于原来的美国风险中性测度漂移率为，转换测度后，漂移率应为。由于英国无风险利率为，因此一个漂移率为的资产可以视为红利率为的资产进行定价。远期价格与期货价格 现在考虑风险中性测度与 , 远期测度的转换。根据式，当我们从传统的风险中性测度转换至 , 远期测度时，漂移率提高了 ς ς 在传统风险中性测度下， , ♠← ≡…而在 , 远期测度下， , ♠← ≡… 0 0,0, ♠← ≡因此有♠… ←≡…1 ⊥ ♠← ≡… ♠← ≡ ♠ ≡♠…←… ←≡… 1 , , 0
也就是说，利率与 正相关时，期货价格高；反之则远期价格高。 鞅定价方法的一般步骤 运用鞅定价求解 的一般步骤为： 验证无套利和市场完全；确定等价鞅测度；以 的形式表达被定价资产的到期回报；求得 ♠| ↔ ≡←≈…根据 进 行 定价 ♠↔。 ≡←≈…利用价格公式构建对冲策略。以上仅为标准步骤，并不是所有的定价都需要运用到第和第步，在一些情形下，我们可能只需要运用其进行一定调整，例如，更多的例子可参见第章。因此对鞅定价方法的运用是非常灵活的。但无论如何，合理的等价鞅测度的选择是所有问题的核心。我们往往选择一个 或 可以消掉的测度。最后，第步虽然被许多教科书忽略，事实上其在衍生产品的实际定价中是至关重要的。如果没有找到对冲策略并予以实施，那么你得到的价格就纯粹是一个“理论”价格。对冲是金融机构赖以生存的法宝，对冲技巧和对冲能力的大小也是区分金融机构强弱的关键。真实情况是：金融机构先运用上述步骤定出理论价格，再运用第步构造和实施对冲策略，最终以对冲成本确定真实价格。 当以股票价格作为计价单位时，在几何布朗运动的假定下，新测度下的漂移率显然为 2ς 另一种求解漂移率的方法：即寻找一个新的漂移率 Πχ，使得新的密度函数 χ Σ ς Πχ()12exp{ln02},0 !满足
φ≥() χ (0)()0()(0) φ≥() χ (0)()0()(0)可以解得 χ Π2 。 ς ♠ ≡ 因此有 ↔≈←… ♠ ≡ ↔≈ ←… ()() 12其中 { }τ(1 )
资产定价的基本原理在这个部分中，我们讨论采用鞅定价方法时必享满足的前提条件。资产定价第一基本定理基知䇶引ޕ离散的模型，有ࣙ于理解资产定价基本定理。假设市场上存在种资产。定义时刻的资产价格向量为S t , ,.. '12., 1υ其中 表示资产在时刻的价格。定义Ḁᣅ资者的ᣅ资组合权重向量为ș t Τ ,.Τ. ., '1,2 1 Τυ 其中 Τ 可以为正、为负或为零。则该ᣅ资者时刻的ᣅ资组合价值为 ' Τ 1 1 υ 假设在 ∋时刻，状态空间为ȍ t+ ǻt Ζ , ∋Ζ ,.. . ∋ '2,Ζ 1 υ ∋即在该时刻有种可能的情形，这些情形中有且只有一个可能发生。定义相应的现实概率测度向量为P t+ ǻt , ∋ . ., ∋ '12,. 1 υ ∋以 ∋表示第种资产在第种状态下的回报，则 ∋时刻，这种资产的回报⸙䱥为 11 ∋1 ♣♦ ∋•Dt+ǻt ÷1 ∋ ♥ υ ∋≠因此，前述ᣅ资组合在 ∋时刻的可能的回报⸙䱥表达为 D ' t+ ǻt ș 。t 1 υ 注意，等价测度意味着两个测度有相同的 ς 代数和相同的状态空间（将概率为的非空集合或是概率为的状态৫掉）。
下面我们在上述离散模型的设定下给出无套利的严格数学定义。如果不存在ᣅ资组合满足以下任一条件，我们称该市场是无套利的。 ' Τ D 1 ' 1 υt + 0ǻ ；tșt 1υ 0τ ' Τ D 1 ' 1 υt + 0ǻt ș t 1 υ 0!δ注：向量Y 0!，表示其每个元㍐都大等于，且至少有一个元㍐大于；Y 0τ表示其每个元㍐都大等于；Y0表示每个元㍐都大于。理解无套利：如果一个市场上，存在下述情况：Ḁᣅ资组合初期有正的收ޕ，期ᵛ不ҿ（回报非负）；或是初期不需要支出（可能是收ޕ，可能是），期ᵛ却有正的收ޕ，这个市场就存在套利机会注意其中不व含初期和期ᵛ同时为的情形，则我们就说该市场是无套利的。无套利意味着“没有ݽ䍩的ॸ佀”。套利是指满足以下条件的资产组合价值过程（即一种交易策略）， 0 0 ，并且存在未来的Ḁ个时刻 0!， ⊥ 0τ 1 , ⊥ 0 0! !或 0 0 ⊥ 0 τ1 如果存在一个向量Ȇ t Σ , Σ ,.. . '12, Σ 1υ使得S t D t+ ǻt Ȇ t 1 υ 则称Ȇ t 为到 ∋时刻的状态价格向量。我们可以将状态价格视为一㊫特↺证券在时刻的价格，例如 1Σ 对应的是在 ∋时刻，如果发生状态回报为则回报为的证券在时刻的价格，其余以此㊫推。这种证券通常被称为证券。注意我们构建的组合 是S t 的㓯性组合，因此 也可以用Ȇ 加以表达。t也就是说，知道了状态价格和D 证券或是证券组合定价。t+ǻ ，就可以为t
资产定价第一基本定理 ݵ分性。假设存在一个严格为正的状态价格向量，即Ȇ t 0。首先， D ' t+ ǻ 意 味着ᣅ资组合在任意状态下的回报tșt 1 υ 0τ Τ ∋0，由 状τ态价格向量的定义可知X t ƒ。也就是 Τ Σ ∋ 0 ∋ τ1说，无套利定义中的第一种套利情形不可能出现。其次， D 资组合在任意状态下的回报't+ǻtș意味着ᣅt 1 υ 0! Τ ∋0， 且τ至少有一个状态的回报为正。假设该正回报为 Τ ∋，则X t ，无套利 定义中 的 第二种 套利情形 也不会 发生。 1 ƒ，所以Τ Σ∋0 ∋ !㔬上可知，ݵ分性成立。 必要性。必要性的证明远没有ݵ分性那么简单，我们仅给出一个说明性的证明。严格证明需要用到分离䎵平面定理，ᝏޤ䏓的同学可以参看。首先，如果状态价格向量不存在，也就是说，㓯性方程组S t D t+ ǻ是 无解 的。t这意味着该方程系数⸙䱥的〙不等于增广⸙䱥的〙，即 ζ 。而无套, 利条件则意味着如果D' t +ǻt ș ， 则t 0 。' Τ 也 就 0是说，D' 0 和 D ,S ' 0 同解，于是必然有 。因此，无套, 利条件成立意味着状态价格向量存在。其次，如果存在状态价格向量，但至少有一个状态价格 Σ 0δ。构造一个ᣅ资组合，使得回报在该状态下为正而在其Ԇ状态下为零，从而有X t ƒ Τ Σ ∋ 0 ∋ δ1也就是说，至少有一个状态价格小于意味着存在套利机会，反之，无套利意味着状态价格向量严格为正。
资产定价第一定理是金融经⍾学和资产定价的基⸣性定理。㔍大多数高㓗经⍾学和资产定价的教ᶀ都会以该定理作为开ㇷ。无套利是金融中的基本原则，状态价格向量则是定价核（）、随机贴现因子（）、风险中性测度、等价鞅测度等概ᘥ中的核心要㍐。资产定价第一定理本质上是不依赖模型的。为了简明证明的需要，我们构建了一个有限状态时间模型。该结论在推广到无限状态连续时间仍然成立，只是证明远没有这么ⴤ㿲易៲。 由于无套利意味着状态价格向量严格为正，因此我们只要证明严格为正的状态价格意味着风险中性（等价）测度的存在即可。 定义货币市场账户 ，其价格满足 ，其 中 ≥ 为 ⷜ时, !无风险利率。对货币市场账户运用状态价格定价法，有 ƒ Σ 1其中 , 1 表示时刻不同状态下货币市场账户的回报。 ,2,..., 对于任一证券，我们有 ƒ Σ 1 ƒ Σ 令 Σ 可以证明 是风险 中性 测度 下的概 率。 '1,2,..., 首先， 是一个 概率 测度, ，因为,.. ., '12 ； Σ 0! ƒ； Σ 1ƒ11 由于分母为常数，而分子可加，因此满足可加性。其次，该测度与现实测度是等价的。因为状态空间相同，并且其每一个元㍐的概率都大于。最后，该测度的特征为
Σ ♠ 1 ƒ↔≡←≈… 或 ≥ ♠↔← ≡≈…也就是说，任意证券对货币市场账户的相对价格为鞅过程，即比值的增䮯率为0，任意资产价格的增䮯率等于货币市场账户的增䮯率。这就是我们常常使用的风险中性测度。 以远期测度为例。用 , 表示时刻到期面值为1元的零息债在时刻的价格。显然 , , 对该零息债运用状态价格定价法，有 , ƒ Σ 1 对于任一证券，我们有 Σ , ƒ Σ 1 Σ ƒ 1 ƒ令 Σ ƒ Σ 1 可以证明 是远 期测度下 的概率 。 . ., '1,2,. 首先， 是一个概率测度，因为 Σ； Σ 0 ! 1 ƒ ƒ； Σ 11 ƒ Σ 1ƒ 1 由于分母为常数，而分子可加，因此满足可加性。
其次，该测度与现实测度是等价的。因为状态空间相同，并且其每一个元㍐的概率都大于。最后，该测度的特征为 , ♠↔ ≡,←≈…这就是远期测度。 证明概要：以风险中性测度为例。当存在风险中性测度时，对于一个初始值等于的组合，我们有 0 ♠← 0 ≡… 由于 为正，上式意味着 ⊥ 0! ⊥ 0 0! 对于一个初始值小于的组合，我们有 0 ♠← ≡… 由于 为正，上式意味着 ⊥⊥ 0 0 !0 0 ! 已知市场上有种证券 ， 在时刻所有证,, 券的回报只有种状态，回报⸙䱥为 10810♣10108♦♥ •÷≠时刻 , 8, 7 假设利率为常数，试求风险中性定价测度并为 定价。 解：令风险中性概率为P T ，则 '1,2
↑ 10 °♠← 1 ≡ 10 2 8 …→ 8 10 7 °1°↓ 2 1可解得 ↑° →°1 0 .625 ↓2 0 .375从而 ♠← 0 .8 10 1 υ≡… 82 可以看出，正如我们在二叉树定价法中发现的，风险中性概率实际上是䳀含在两个已知的资产价格ؑ息中的（无风险零息债和股票价格），在无套利条件下可求解得到。可以ᜣ䊑，如果未来状态有种，有种已知的资产价格ؑ息（其回报⸙䱥非满〙），我们就可以解出风险中性测度。但如果只有少于种的已知的资产价格ؑ息，这时满足无套利条件的风险中性测度的解可能有多个，从而导致风险中性测度尽管存在，却并不ᜏ一。这样， 可能的解就有多个。 换一个䀂度， 䘈可以如下求得，由于 也就是说，资产 可以视为 和 的Ḁ种组合，因此 1 .8 因此，这里的 实际上是衍生产品和߇余证券。显然，要使得未知价格的资产可以写为已知价格资产的ᜏ一组合，如果未来的状态有种，同样要求市场中应有种已知的资产价格ؑ息（其回报⸙䱥非满〙）。 总之，这个例子说明，无套利仅意味着等价鞅测度的存在，但并不保证ᜏ一。那么如何保证ᜏ一等价鞅测度和衍生产品ᜏ一定价？回ㆄ这个问题的是资产定价第二基本定理。 资产定价第二基本定理 对于任意或有要求权 ，如果存在一个ᣅ资组合 使得
对于所有的几乎必然成立。那么称 是可达的（）， 是 的对冲或复ࡦ组合。如果市场上所有的或有要求权都是可达的，那么称市场是完༷的（）。：完全市场完美市场无套利和市场完༷性的考察 从以上可见，在我们运用鞅定价方法之前，必享首先验证无套利条件和市场的完༷性。 对于二叉树模型而䀰，如果已知无风险零息债和股票的当前价格 0 , 0 。只要 1 1 ! 1 00 0!就意味着无套利条件成立。由于只有两个状态，债券的回报与股票的回报㓯性无关，所以市场是完全的。 无套利的证明与单期的情况㊫似。要证明完༷性，由于在0时刻的对冲组合显然只能模拟或有要求权在1时刻的回报，这种情况下要如何讨论市场的完༷性？ 对于任意或有要求权 ，如果对于每个时刻 δ，都存在一个ᣅ资组合 使得 那么称 是动态可达的， 是 的动态对冲或动态复ࡦ组合。如果市场上所有的或有要求权都是动态可达的，那么称市场是动态完༷的。对于动态完༷的情形，我们无法在期初构造一个模拟组合然后一ࣣ≨䙨地等到期ᵛ，完全复ࡦ 的回报，但在期间只需不ᯝ地动态调整这一组合就可复ࡦ。事实上，这也正是在连续的模型中我们需要作出的假设，期权必享是能够动态复ࡦ的，能在风险中性测度下加以定价。因此与期货定价不同，“无交易䍩用”假设对于期权定价来说是致ભ的假定。
设 是概率,0 δ δ空间 ,:上的布朗运动，, 朗,0 δ是 由该δ布运动生成的域流。设 ,0 δ关 于这δ一域流是一个鞅。则存在一个适应过程 ∗ ,0 δ， 使得 δ 0 ≥ ∗ ,0 δ δ鞅表示定理保证了无套利情形下对冲策略存在的可能性，但只有当市场完全时，能真正运用市场中的可交易资产构造出对冲策略，从而实现ᜏ一定价。鞅定价与定价的在一致性首先回ᗶ方法的基本ᙍ路。我们在无套利条件下，通过构造可交易资产的无风险组合，推导出ٿᗞ分方程，衍生产品的定价通过求解得到。显然，方法的根本前提也是无套利和市场完༷性！第二，市场风险价格是联系鞅定价与定价的重要ẕằ。第三，实际上就是风险中性测度定价。对冲策略的构造 我们已经发现，尽管我们在定价步骤中将对冲策略᭮在最后一步，但能够构造对冲组合是衍生产品能够运用等价鞅测度定出㋮确价格的核心和关键。实质上，对冲是国际金融市场上的“大⧙家”们的生存法宝。 真相：我们不能ᧂ除特ᔲ࣏能和预测ᑍ存在的可能性，但是至少这不是ঊᖙъ尤其是䍼⨳这种依赖于外在随机性的ঊᖙъ㧧利的基（ᣃ䰴型的ঊᖙ会有所不同，因为ᒨ运ݯ的数量是事先知道的）。事实是，уъ的䍼⨳公ਨ是采用㊫似于风险中性定价的方法来设定䎄率的。Ԇ们计算风险中性概率的依据是下注仍。Ԇ们需要保证不管比䎋的结果如何，Ԇ们都可以大փ上无风险地㧧得一ㅄ֓金。当不同的ঊᖙ公ਨ下注的分布不同时，Ԇ们设定的䎄率会很不一样。我们来看一个例子。这是从уъ䍼⨳㖁ㄉ᪈ᖅ的Ḁ场比䎋的䎄率。我们可以看到两家ঊᖙ公ਨ开出的䎄率很不一样，如果这是基于у家的看法，我们只能说至少有一个у家预测非常不㋮确。我们䘈可
以看出这些䎄率都是ㅖ合无套利原理的，因为两家公ਨ都至少有一个结果的䎄率小于。当一家ঊᖙ公ਨ面Ѥ单方向的大仍下注时它会ᘾ么ڊ？它们会对冲。在这种情况下，ঊᖙ公ਨ会大ᑵ降低该方向的䎄率，并大ᑵ提高其Ԇ方向的䎄率，以期੨引其Ԇ⧙家来为其提保险，保证无论比䎋结果如何都不会面Ѥ大ᑵ的ᦏཡ。当然，ঊᖙ公ਨ没有уъ的交易所和流动性㢟ྭ的市场其进行完美对冲，因此我们也可以时常ੜ到ঊᖙ公ਨ因为ߧ䰘比䎋而䚝ਇᦏཡ的消息，但是经শ了这么䮯的শਢ考验而存活下来的ঊᖙ公ਨ们显然都是对冲的高。真相：我们经常ੜ到ḀԱъ因为䐏高ⴋ等ᣅ行ڊ衍生品交易ᐘҿ产的消息。这是不是国际ᣅ行的䱤䈻？事实上这些国际ᣅ行的利来Ⓚ从来都不是对䍼，Ԇ们基本不会持有大仍的㼨䵢头ረ，Ԇ们㢟ྭ的风险管理和㋮࿉的对冲技巧是其存活和㧧利的基。我们可以从ᒅӪ༛出⡸的䬰小说中看到这些ᣅ行的作法。在ljNJ中作者参与的每ㅄ交易高ⴋ其实都是一Ҡ一আ，也就是说都是进行过对冲的；而在lj说䈾者的ᢁݻ⡼中NJ所罗䰘ݴᕏ的债券䬰ઈ们不䚇余力地Ⅺ僇ᇒ户䍝Ҡ也不是因为Ԇ们知道未来的䎠࣯，而是因为Ԇ们里有大量的此㊫头ረ，Ԇ们需要对冲。ljᇭᇒӪ生NJ中ᗧᴬ们的任࣑之一就是要说服交易ઈ使用新模型进行对冲。所以虽然每年发表了大量关于预测的⹄究报，这些ᣅ行们一点也没有按照预测进行ᣅ机的䘩䊑，而按照Ԇ们的预测进行ᣅ机的散户们往往ᦏཡ重。从现实的Ṹ例看，高ⴋ没有在和市场ፙⴈ中䚝ਇ大量ᦏཡ，因为Ԇ们通过向वᤜ俉和大䱶在的许多୶Ӫ和㘱年Ӫ出了䘧你债券；而䐏大量中国Աъ的⸣⋩衍生品交易也不是㼨䵢的头ረ，已经有⹄究指出，在中⎧⋩ᐘ仍ҿᦏ的例子中，中方Աъ对对方其实是日本տ৻等䍒ഒ。总之，对冲是国际金融机构生存的根本。对Ԇ们来说，大部分情况下找到合适的对冲策略比计算出近似合理的价格要重要得多，Ԇ们总是在对冲成本的基上加成报价。如果不能进行复ࡦ，Ӫ㊫就只能通过预测未来给出定价，（除了上ᑍ和ク䎺者，）䈱都无法保证自ᐡ预测的价格是正确的，䮯期只通过ᣅ机㧧利的机构ق䰝的概率为。事实上，目前市场上的ؑ用衍生产品，即使有一个“近似合理”的价格，但却很䳮实施或找到合理的对冲方法，这也是为何此次次䍧ড机中市场䚝ਇ重ࡋ的根本原因。真相：
尽管对冲具有如此重要的地位，但当系统性ড机发生时，对方风险和流动性风险仍将是致ભ的。对冲仅仅在市场有᭸运行时能真正发ᥕ作用。
