信息熵在水系统中的应用研究综述
王 栋，朱 元 甡
（河海大学 水文水资源及环境学院，江苏 南京 !"##$%）
摘 要：在介绍信息熵基本概念和理论的基础上，对其在水系统中的应用研究，主要从概率分布推导和参
数估计、熵谱预报、水文（水质）站网布设评估、水质水环境的预测预报评估、水系统建模评估、水力学、河流
地貌学等问题进行了综述，并对今后的研究进行了展望。
关键词：信息熵；水系统；应用研究；综述
中图分类号：&!’( 文献标识码：) 文章编号："###*#%+!,!##"-#!*###$*#(
!##" 年 水 文 第 !" 卷 第 ! 期
收稿日期：!###*#.*"/
" 引言
水系统是一个复杂巨系统，包含了诸多不确定性，
例如随机、模糊、灰色等，为了深入研究这些特性，水文
水资源工作者探索引入随机过程理论、模糊数学理论、
灰色系统理论等，提出并发展了随机水文学 0"*’1、模糊水
文学0/2+1、灰色系统水文学0(等分支学科，推动了水文水资
源学科的研究。
熵是衡量系统无序或混乱程度的一个量度。“熵理
论，对于整个科学来说是第一法则”（爱因斯坦）。熵源于
"$ 世纪经典热力学，是一个极其重要的物理量，但又以
其抽象隐晦、难于理解而著称。"##多年来，经过诸多学
者之不懈钻研，熵已经成为一个在自然科学、工程技术、
社会科学和人文科学中得到广泛应用的概念。
近 ’#年，信息科学为研究信息的不确定性，定义了“信
息熵”，并取得了丰硕的研究成果。本文对熵及信息熵理论
作一简要介绍，着重说明其在水系统中的应用研究进展。
! 信息熵基本理论
!"# 熵
熵概念内涵丰富，源远流长，在不同领域都得到深
化和泛化，仅定义就有几十种。但一般说来，基本上分为
两类0%*"#1：
一类称之为物理熵，包括热力学熵和统计力学熵，
都是用于描述物理系统无序或混乱程度。"%(+年，德国
科学家 3456789:89 首先引入了一个新的态函数———熵，
用来定量阐明热力学第二定律。他从明确表述第二定律
到正式引入熵的概念，足足经历了 "+个春秋。这是热力
学熵。"%.. 年，;4<=6>?@7AA 赋予熵以统计解释，大大丰
富了其物理内涵，明确了它的应用范围。玻耳兹曼关系
式，被称为只有牛顿运动定律和爱因斯坦质能关系式才
能与之媲美的公式。这是统计力学熵。
另一类称之为信息熵。"$!$ 年，匈牙利科学家 ;4
B?:67CD提出了熵与信息不确定性的关系，进一步拓宽了
熵的内涵。"$/% 年，贝尔实验室的 54BE7AA=A 创立了信
息论，他把通讯过程中信源讯号的平均信息量称为熵，
从而使得熵概念的应用领域又获得了新的扩展。这就是
本文所说的信息熵。
!"! 信息熵及其性质
信息蕴含于不确定性之中，信息量的定量表征必
然联系着不确定性的度量。对于离散无记忆信源的
信息量，54BE7AA=A将信源 ! 的熵定义为 "维概率矢量
（’）扩展性。随机变量 ! 有 " 种取值，如果增加一
种取值，只要第 "F"种取值的概率趋近于零，即 !!#，而
其他概率不改变，则其熵相等。这也是熵函数的总体平
均性，即为：
$
!"（#!$#"，⋯，#"）% !"&!（#! ##" #⋯，#"，#"&!） $%&
（%）确定性。只要信源符号表中第一个符号的出现
概率为 !，信源熵就等于零，即为：
!$!#’&(!$!#’#’#⋯，’）(’ $)&
（)）可加性。!（’·(）表示 ’、( 的联合熵，当 ’ 与 (
统计独立时，有：
!（’·(）(!（’）&!（(） $*&
（*）强可加性。以 !（( )’）表示已知 ’ 条件下 ( 的
条件熵，则有：
!（’·(）(!（’）&!（()’） $+&
同样有：
!（’·(）(!（(）&!（’)(） $,&
（+）递增性。如果能将某一事件（发生概率为 #）分解
为二，其条件概率分别为（!-*）( #! .#，*( #" .#，由于分解
不确定性增加了，增加的熵为 #!"$!-*#*&。这就表明了以
下递增性：
!"（#!$#"，⋯，#"）%!"+!（（#! /#"）##0⋯，#"）
/$#! /#" &!" $
#!
#! /#"
# #"#! /#"
& $1&
（,）极值性。对于任意概率分布 #,，它对其他概率分
布 *,的自信息2-345$! . *,&6取数学期望时，必小于 #,本身
的熵。这也被称为 789:;<<4<辅助定理：
!$’&%!"（#!$#"，⋯，#"）!+
"
, % !
!#, 345" *, $!’&
应用 789:;<<4< 辅助定理容易得出最大离散熵定
理：离散无记忆信源输出的信息符号，出现概率相等时
（即 #,(! . "），熵最大。
（1）条件熵!无条件熵。即为：
!（()’）!!（(） $!!&
由此可得：
!$’·(）%!（’）&!（()’）!!（’）&!（(） $!"&
上述结论很容易推广到条件多的熵小于条件少的熵，即为：
!（’)’!）"!（’)’!’"） $!0&
!"# 最大熵原理（$%&’）
!1)+年，=8>8?;@<AB首次对信息熵明确提出了最大熵
原理（CDE=），从此 CDE=得到了深入研究和广泛应用。例
如，可根据 CDE=解决求解的不适定问题：在所有的可行
（可能）解中，应该选择其熵最大的一个。熵最大意味着对
因为数据不足而作的人为假定（人为添加信息）最小，从而
所获得的解最合乎自然，偏差最小。同时，CDE=又具有计
算简单快捷等优点2!%6。将 CDE=写成以下数学表达式为：
-./. F;G0(-
1
"2$3&3<22$3&643 $!%）
1
"2$3&43%! $!)）
1
"3, 2$3&43%6, ,%!#"#⋯，7 （!*）
’"8 （!+）
式中：1 为随机变量 ’ 所在集合；2$3&为 ’ 的密度函数；
6, 为第 , 阶原点矩；7 为 ’ 的矩的阶数；8 为保证 ’ 有
意义的量。模型的约束条件为 7/"个。
为了求得 2$3&的表达式，可以用经典的微积分方法
来解此模型。引入拉格朗日乘子得：
-8/8 F;G0(0/$!’ /!&2 1"2$3&43-!6/
7
, ( !
!!, 23,2$3&43-6,6 $!,）
解出密度函数：
2$3&(AGH$!’/
7
, ( !
!!,3,& $!1）
此即最大熵密度函数的解析形式，只要确定其中的
参数 !就可以确定 2$3&。
0 信息熵在水系统中的应用研究
信息熵在水系统的许多问题中得到了应用，现分类
综述如下。
#"( 概率分布推导和参数估计问题
在水系统中应用信息熵最多的是频率分析问题，依
据 CDE=推导水文随机变量的概率分布和参数估计。可
以基于 CDE=推导的概率分布，由于仅有的参数是以约
束方程组形式表达的，因此从某种意义而言，得出的分
布是无参数的。也可以对给定的有参概率分布，基于
CDE=进行参数估计。在下述诸多概率分布中的应用表
明：该法与极大似然法相当，但计算更为简单快捷；优于
其他如矩法、概率权重矩法、混合矩法、累计量法、最小
二乘法等传统参数估计方法。
!1+" 年，?8D894<I5; 首次应用 CDE= 推导出基于有
限数据的小偏差的正态分布。!1+* 年，他还针对降雨-
径流过程，定义了条件熵，应用 CDE= 推导出径流对降
雨的条件分布。!1+1年，C8J8?4KLMM对于极值-N 型分布
基于 CDE= 加以分析，提出了一种参数估计的简单算
法，并以年最大洪水序列进行了解释和验证。,’年代中
期，O8C89L<5: 和 P89L<5: 先后以 CDE= 推导出两参数
Q;FF; 分布、C-NNN 型分布、三参数对数正态分布、对数
C-NNN 型分布，并加以参数估计，特别指出 CDE= 法和极
大似然法之间存在一种特殊的联系。!1,)年，李元章和
丛树铮研究了以 CDE= 估计参数问题，认为以之确定分
布密度函数 2$3&与概率分布函数 /$’&是一致的，提出的
熵参数估计方法比普通适线法方便 2!)6。O8C89L<5:应用
CDE= 推导出对数 QIFRA3 分布、JALRI33 分布和极值-
NNN 型分布，并进行了参数估计。!1,*年，S8945;K;和 E8
TU;VL 等以 CDE= 推导了多元分布，并将其应用到年降
水和年最大降水的分析中。!1,+ 年，徐宗学探讨了
CDE= 的数学性质及其与极大似然法的相互关系 2!*6。S8
W8XL<Y 和 Z87:A<应用 CDE= 推导了满足一致性准则的
先验分布，用于多元系统的可靠性分析。C8[8PUBM;<4\L]
和 O8C89L<5:基于 CDE=推导了多元频率分布用于洪水
分析。!1,*年，^ 8?;L<和 O8C89L<5:对极值-N 型分布分析
3LF
"#’
!’
研究了以 !"#$作参数估计的优点。%&’(年，)*+,-,.和
/*!*01234对这一问题加以进一步研究，%&’& 年又研究
了对数 !5666 型分布的 !"#$ 参数估计方法。%&’( 年，
/*!*01234 和 +*)*-9.: 应用 !"#$ 建立了所谓参数
空间扩张法，可用于以有限个参数显式表达的任何概
率分布，并估计了 ;<1=>:: 分布及极值 666 型分布的参
数。#*?1-,<2@1.- 和 )*+,-,. 等研究了两元极值分布的
!"#$ 参数估计方法。%&&A 年，/*!*01234 和 B*?*C,>1D<
等基于 !"#$对三参数对数正态分布以及 ;<1=>:: 分布
进行了参数估计。&A 年代，/*!*01234 和 E*F>- 等基于
!"#$ 分别推导并估计了三参数双对数分布、两参数
!.,<@-分布、三参数通用 !.,<@-分布、两参数双对数分
布，%&&( 年又应用到两参数通用 !.,<@- 分布中。GAAA
年，张明引入 !"#$对地貌瞬时单位线中的滞时概率密
度函数进行了研究，导出滞时概率密度函数等价于 !5
!型分布H%(I。
除了 !"#$方法之外，其他熵原理也在概率分布推
导和参数估计问题得到了广泛应用。 %&’J 年，K*F*
研究了包括不同假定分布函数、不同类型数据
流、不同单位的熵等多种情况下熵的应用问题。%&’’年，
M*C*N12O 和 /*0-:.2. 提出了所谓分位数约束互熵最小
法，该法基于有限数据来确定随变的概率分布，约束以
规定分位数的形式出现。文中特别指出，此法满足对基
于数据的概率系统进行分析的两个根本原理：不变性原
理和数据单一性原理。M*C*N12O，E* !* E-23 和 /*0-:.2.
将前文的分位数约束互熵最小法应用于洪水频率分析
中，分析其稳健性，并与矩法和极大似然法作了比较。
%&&% 年，M*C*N12O 和 E*!*E-23 应用分位数约束相对熵
方法P7$?Q，分析风暴条件下海水水位等水文极值的模
型。%&&R年，/*0-:.2.和 M*C*N12O提出了一种所谓尾分
位数约束的相对熵方法，该法使用逻辑概率，可对推理
模型加以选择和率定，是概率统计模型的一个替代。
%&&’ 年，/*0-:.2. 和 +*0*",@<3. 在三种推理水平上发展
了 7$?，并将之用于 湾流域 V 条独立河流年最大
洪水的区域分析。
!"# 熵谱预报问题
传统谱分析方法的缺点是分辨率低和自相关函数
最大时滞选择的主观性。最大熵谱分析是一种为克服这
些不足而新近发展的方法。%&J( 年，B*!*S>,3 首次提出
了最大熵谱分析方法（#$0+）。%&’G年，$*K*<D证明
了 #$0+与其他一些谱分析法并不冲突，同时 +7 模型
还是 #$0+的特例。
%&’A 年，+*7*7.- 和 F*!..= 等比较了谱分
析中的几种新近发展的方法，表明 #$0+ 方法在水文
时间序列的分析中是非常有效的。%&’R 年，黄忠恕研
究了波谱分析方法P包括富氏级数谱、周期图、功率谱、
最大熵谱Q在水文上的应用，探讨了最大熵谱分析截止
阶的确定问题H%’I。%&’R年，7*?*$1:=<,@和 7*+*C4,1D@<2D<2
将 #$0+应用于美国加州中部的年水量序列分析，结论
是更适用于干旱年的预报。%&’J年，F*!..= 和
+*7*7.-对印度南部和中部的降雨与河道流量序列应用
#$0+加以研究；%&’’年将之应用到水文时间序列分析
中，与传统谱分析方法进行了比较，从而将谱分析与计
算和随机模型耦合到了一起。%&’(年，!*?*),D@.2-W1T 和
/*!*01234基于 #$0+对多元随机洪水进行了分析；%&&%
年建立了单变量模型，研究了三种情况：正向预报、反向
回复、实时插补。%&&R年，两人还运用 #$0+建立了一种
实时洪水预报模型，建模基础是描述降雨和径流系列自
身和相互联系的自协方差矩阵和互协方差矩阵，所建模
型也适于其他有关联的水文过程。在不同地区的 X个流
域验证了所建模型，数据抽样间隔和预见期从几分钟到
一天，在难以得到模型参数先验信息的所有个案下，所
建模型都比相空间模型要好。作者认为该模型的数学
形式与两元回归模型相近，确定条件下，这两个模型
相当。%&’& 年，M*7*Y.:<Z1-D 和 !*+*KU,.D[1D 将经典的
S>,3 方法推广到多信道问题，提出了一种新的求解多
信道正规方程的谱估计递归算法，建立了一个线性预
测模型来对区域降水时间序列进行分析和预测。%&&G
年，许金殿和李立等将 #$0+ 用于大亚湾水温波动分
析，探讨了存在于海域内水温变化的显著波动周期、夏
季的波动特点等H%&I。
!"! 水文水质站网布设评估问题
水文站网的布设评估是较为复杂的问题，主要难点
是对站网效率和资金收益的评估缺乏对比的基础。对水
质站网而言，耗费资金和时间更多，使得问题更加突出。
站网布设评估通过引进信息熵概念，定量估计出各站网
所获得的信息量，进而对比在取得相同信息量条件下，
各站网的效率、收益和成本。信息熵在水文水质站网的
布设评估问题上，得到了广泛应用。
%&(&年，;*S*=<12提出：由于熵能够描述数据
的利用程度而可以用来量化监测工作的效率和收益。
%&’A 年，;*?*<:@-2 和 K*E> 将熵的概念引入到水
文气象站网的研究中，他们基于熵的概念来估计区域水
文的不确定性，从而计算了信息传输量。结果表明：熵方
法在评估测站数量和位置的空间优化设计方面是一种
方便的手段。%&’( 年，M*S*E.,-3:> 和 /*\<W8<W1T4
通过定义信息的已传输量和可传输量，以熵对同一河流
上站点间的水文信息传输进行量测，从而进行测站站网
的空间设计。%&’&年，K*E> 在假定连续分布函数的
前提下，应用熵的概念估计区域水文不确性和流域信息
以进行站网设计。%&&G 年，M*S*E.,-3:> 和 M*+:]
:.2 基于熵的原理进行了对已有站网的时间抽样频
率、空间抽样地点以及联合时 ^空设计特征加以评估的
研究工作。%&&G年，!*?*),D@.2-W1T和 /*!*01234建立了一
种基于熵的降雨站网评估方法，应用 !"#$ 推导了表征
雨量时空相关性的多维分布，定义了所谓等信息线，从
%%
而使某一雨量站的保留或删减完全取决于其信息量的
增减。将该法应用于美国 !"#$%$&’& 州降雨站网的时空
分布，对一日、二日、周、月、年 ( 种观测时段和不同季节
的情况进行了评估，所定义等信息线尤其适于用在现有
站网增设或删减站点的分析。他们还结合美国加州 )&’
*"%+的 ,,-年降雨序列资料，在测站之间的信息传递问
题的研究中应用熵。,../ 年，0&’1 0#2#$’ 和 34546#7’
将熵和有向信息传输指数引入到站网布设中，并采用了
无参数估计法，来率定熵计算中联合分布的二维密度函
数以减少误差。8999年，)4:;<#=，>4645&7?&’@$"1=# 和 A4
B4)$’1C基于熵原理进行了已有站网的时间抽样频率、空
间抽样地点以及联合时 D空设计特征加以评估研究的后
续工作，改进了以前的熵法E 提出了一种基于熵的新的
研究方法，以对监测站网的基本特征进行评估。张继
国和刘新仁由熵的空间分布状况，研究了信息有向传
输问题，初步揭示了淮河流域部分区域内的降水在空
间分布的结构特征，研究结果表明，利用熵来分析水
文水资源中的不确定性是一种有效的方法 F88G。为了从
理论上真正清楚信息传输的机理，张继国和刘新仁又
在数值模拟的基础上提出了信息传输函数模型，使信
息传输研究从离散状态过渡到连续状态，在引进信息
距离与信息场的基础上，将站点的信息传输从单一方向
推广到周围区域，并利用聚类分析方法进一步刻划了降
雨的空间分布不均匀性F8HG。
!"# 水质水环境的预测预报评估问题
最小相对熵IJKLM方法具备了最大熵方法的所有特
性而更易于考虑先验信息。,..H年，N434O""PQ#7R和 S4
*4T=7R@C阐述了在概率逆向演算模型中，应用 JKL来推
求其先验概率，并在地下水水文学中污染物运移问题中
进行了应用。后来（,..-年），又以 JKL反演方法对一维
的、恒定速度和弥散度系统中，由已知的污染物排放形
成的羽状形态，回复其演变过程。模拟算例表明：JKL
方法不仅可以从含有噪声数据中求解源函数，而且可以
进行预测。,..U年，他们对 JKL及其在地下水文学中
的应用加以了详细阐述。,../ 年，N4V#%?#=R"’" 和 W4
X"#=Y+7 基于 B:JL 提出了一种对不连续监测站点进行
水质预测的新方法，可以根据下游测站水质量测值的变
化对上游干、支流水质进行无偏估计。澳大利亚昆士兰
J&@<+’;$+ 河的验证实例表明：该法不但预测相当适用，
而且可以判识造成下游水质发生观测变化的污染源排
放地点。后来（,..(年），两人讨论了应用 B:JL在不连
续的站点预报水质等级的计算效应问题，指出：实用中
应用熵理论的难题在于以离散函数逼近连续概率分布
函数，以供熵函数分析之用。,../年，34L46&7Q+ 和 *4Z4
[7#$%+ 等对承压以及非承压含水层中的一维稳定地下
水流测压水头进行了有关研究，以 B:JL 推导了其概率
分布。,..U年，张成科综合考虑了水质评价的模糊性和
随机性，基于 B:JL 建立了水质模糊评价模型，算例表
明：新模型不仅可以克服均值化的影响，而且可给出评
价的可靠性F89G。,...年，陈小红、宋强等以熵来描述水库
水环境变化的不可逆过程，分别对水体的摩尔熵、水体
污染过程中熵的变化以及水环境系统中的熵流和熵产
生进行了描述，给出了具体的数学表达式F8,G。
!"$ 水系统建模评估问题
,.\H 年，W4J"7"@C" 和 64L%]$=P"7& 首次应用边际熵
和条件熵，推导了一种客观判据———“传递信息”，从而
评估水文系统数学模型的优度。,.U- 年，S4X4[C&]?&’
扩展了这一研究工作，将熵作为水文数据不确定和模型
性能的一种测度，提出以比例量而不是固定的各组间距
来计算熵具有理论和实际优势，还建议了一种评估模型
性能的新准则。对于某些水文过程的随机建模而言，
B:JL是一个适用高效的有力工具。,.U\年，A4B4)$’1C
和 B4Z4V7%Y&’"^$@ 以 B:JL 研究了沉积物生成的随机模
型建模问题；,.UU年，对水质组分（磷）建立了一种随
机—确定型模型，随机部分基于 B:JL得出。,..,年，B4
O4*"_$YY借助产流机制和流域平衡方程建立了以概率分
布表示的流域模型，以相应于不同贮水元件的贮水量的
代表流域，以 B:JL 推导了该流域内水量的概率分布。
尽管所建模型需要实际数据加以评估，但该文表明了如
何将熵与流域动力机制联系在一起，这对于其他水文过
程的建模有借鉴意义。
另外，近些年来，配水管网的可靠性问题越来越引
起关注。,..9年，V4N_#?&C，W4X"#=Y+7 和 )4V46C&YY 在前
人工作的基础上作了深入研究，使得基于熵的表征配水
网可靠度和冗余度的参数更实际和综合。,..,年，两人
又基于信息熵的概念提出了一种度量配水管网规划中
所固有的冗余问题，泵和贮量的影响并未考虑。
!"% 水力学问题
,.U\ 年，[‘!4[C$# 首次将 B:JL 用于推导明渠流
的流速分布，推导了明渠流的垂向流速分布、切应力分
布和悬移质浓度分布的熵函数方程，认为熵为水力学中
引入概率搭建了一座极佳的桥梁，除了在建模和参数估
计方面，还使考虑水力学过程的内在不确定性成为可
能；后来（,.UU年），将研究拓展到了二维流速分布问题，
应用 B:JL推导了明渠横段面上二维流速分布方程，该
方程能描述纵向最大流速发生在水面或水下时的垂向
和横向的流速变化，并得出了其他有益结论。他在 ,.U.
年继续对明渠流的流速分布问题加以深入研究；,..,
年，则综合阐述了明渠流研究中熵的应用，包括借助最
大熵对流速分布建模，在模型参数、能量和动量系数、曼
宁方程流速均值、流速均值和极值的位置等问题中应用
熵。,..8年，[‘!4[C$#和 34O4J#77&R将 B:JL的应用进
一步推广到了明渠非均匀流流速的概率分布问题中。
,../年，[4S40&’1的研究表明：可以通过基于熵最大化
以及能量耗散最小化的变分方法，来推导流体动力学和
水力学中的基本理论。,..( 年，[‘!4[C$# 和 [4N4NQP$’
,8
!"#$ 认为：当流量和水深达到一定程度时，渠道断面的
平衡状态趋近于逼近熵参数的常数值。
!"# 河流地貌学问题
%&’( 年，)*+*),-.-/$ 和 0*+*)"123,#1 首次将熵的
概念引入到河流地貌之评估中，其应用基于如下理念：
热力系统中热能与温度和河流系统中势能与标高之间
的类比。后来，“熵与势能之间存在某种关联”这一设想
陆续在水力学、河流工程、沉积物传输等问题上得到了
成功应用。%&4%年，5*6*7"12以熵描述河道演变，推导出
了两个关于河网形成的定律。%&4&年，8*0*9":;和 6*<*
=*9":#,>重新评价了河流地貌学中熵的概念。%&&?年，
@*A".--B 假定了河流以调整空间标高的方式来获得势
能最大均一状态，从数学上证明了均一性与最小方差和
最大信息熵具有联系，这与 5*6*7"12 的河流平均落差
定律是一致的。%&&C 年，D*E#-B,1F#1- 和 G*5/".> 等应用
前述关系分析了流域地貌特征，以熵研究了流域断面，
还探讨了熵与分形维数之间的联系，并以意大利南部的
C个流域进行了验证。作为气候模型和河流敏感性的鉴
定工具，河流水情需要一种客观的分类方法。为此，%&&4
年，H*AB">-:>I"#"建立了一种基于熵的分类函数，主要优
点是该方法可以考虑季节水流类型的时间连续性，而这
一点常为其他方法忽视，应用实例证明了其有效可行
性。
J 展望
从本质上看，水文学及水资源学科是一门有关水信
息的学科，引进熵和信息熵概念和理论，可以为水信息
不确定性的测度，建立理论基础和探求新的实用手段。
现有的大量研究成果表明，在水文频率分析、水文变量
时间序列分析、观测站网布设规划和管理、水文预测模
拟模型的研建等不同类型问题研究中，熵和信息熵概念
及其分析原理可以发挥重要的作用，具有广阔的应用前
景。
水系统的不确定性的来源是多方面的，包括有自然
发展过程本身的随机性、观测资料信息的不完备性、认
识判断的失误、经验理念偏离实际等。因此，在水系统的
风险分析和风险管理研究中，必须分析处理两类信息。
一类是可以通过各种观测手段获得的，原型观测和室内
室外实验成果及其误差，有关这部分资料信息属于客观
信息。另一类则是主观信息，是与知识、推理、判断、经验
以及价值取向有关。前者属传统信息熵的研究范畴，有
必要也有可能在水系统中进一步开展这方面的研究。对
于后一类主观信息，是少能直接观测和以公式表达的，
带有模糊和灰色性质，这类信息的测度似可借助“模糊
熵，灰色熵”加以研究。因此，在风险分析和风险管理研
究领域中，有必要拓展信息熵在水系统中的应用范围，
开展模糊熵和灰色熵的研究与应用。
熵是一个内涵和外延极其丰富的概念，就目前在水
系统中的应用来看，只有河流地貌学研究，比照物理熵
（包括热力熵和统计力学熵）概念和原理，探索流域河网
发育的规律，取得一批成果。绝大多数研究集中在信息
熵的概念和原理应用上，主要是分析研究水文变量的统
计特性，其物理基础比较薄弱，存在一定的局限性。水系
统是一个自然系统，水循环过程的内涵和外延是极其丰
富的，远非动力方程和连续方程所能概括的。水系统的
现象解释、过程模拟、模型建立，不应也不能脱离水系统
的物理基础。有理由相信，物理熵概念和原理在水系统
的研究中，应当也可以发挥其重要作用，开展这方面的
研究是有价值的。
进入 (% 世纪，科技面貌日新月异，我们为了跟踪世
界水科学的进展，掌握“熵”在水系统中的应用，初步收
集和研读有关文献资料，计划在此基础上再结合实际开
展一些研究实践。我们目前的理解还很肤浅，受到时间和
水平的限制，评述也未必准确到位。“纸上得来终觉浅，穷
知此事要躬行”，相信通过今后的实践，我们的认识可能
会有进一步深化和完善。恳切希望得到批评和指正。
参考文献：
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4篇幅所限，W9 篇外文参考文献从略:
作者简介：王栋（68W50），男，山东沂水人，河海大学博士研究
生，主要从事水文水资源水环境领域的风险分析、系统优化、
非线性建模、不确定性问题研究；朱元 （68NN0），男，安徽旌
德人，教授，博士生导师。
（责任编辑：刘金清）
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T 结语
（6）通过敦化站的模拟成果表明，这种模拟寒冷地
区的产汇流多年连续演算的途径是可行的，效果也较好。
（5）模型中的计算方法简便，易于理解和掌握。
（N）从春汛和流冰期过程线上可以看到，有些影
响融雪及蒸散发的因素（如日照、湿度和风速）还需
予以分析研究 。
（S）本次所选流域在寒冷地区的寒冷程度还不
够典型，模型中所设想的一些机制还不十分完善，
如 &6（.）及 &5（.）本次选用同一公式形式影响很小。因
此，尚需进一步研究。
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作者简介：关志成（68TT0），男，黑龙江海林人，高级工程
师，硕士，主要从事水文分析与计算工作。
4责任编辑：刘金清）
（上接第 !"页）
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