有很多人因研究证券而名闻天下，但
没有一个人因此而富甲天下。
符号说明
• C ：欧式看涨期权价格
• p ：欧式看跌期权价格
• S0 ：当前股价
• X 、K:执行价格
• T : 到期期限
• : 股价波动率
• St ：t时的股价
• C :美式看涨期
权价格
• P :美式看跌期
权价格
• ST :期权存续期内股价
• D :期权存续期
内红利现值
• r : T时刻到期的无风
险收益率（复利）
多头（买方） 空头（卖方）
亏损有限 亏损无限
权利
买的权利
卖的权利
支付期权费
基本术语：
基础资产
期权的执行价格
期权费
到期日
看涨期权：预期标的资产价格上升
看跌期权：预期标的资产价格下降
第一节 期权基础
一、基本术语：
美式期权
欧式期权
二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益
1.看涨期权多头的损益
损益
ST
K
看涨期权多头 看涨期权空头
多头
时间
股价
0
损益
空头
K
2.看跌期权的损益
损益
STK
看跌期权多头 看跌期权空头多头
0
损益
空头
K
三、期权的价值（期权费）：
期权的价值＝内在价值+时间价值
1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。
价内期权（期权处
于实值状态）
平价期权
价外期权（期权处
于虚值状态）
价内期权（期权处
于实值状态）
价外期权（期权处
于虚值状态）
平价期权
看涨期权 看跌期权
At-the-money option：两平期权
In-the-money option：实值期权
Out-of-the-money option：虚值期权
例如某股票的现价为42元，其看涨期权的执行价格为38元，则内在价值为4元。
理解：当前的价值
内在
价值
特征
的几
个概
念
内在价值
不可能为
负。
2.期权的时间价值：期权费-内在价值
原因：期权的权利和义务不对称，看涨期权
的空头具有亏损无限而盈利有限的特征，时间
价值是多头给予空头的风险补偿。
时间价值的特征：执行价格既定时，期权距
到期日越远，期权的价值越大，期权越接近到
期日，时间价值就越小（时间价值衰减），并
且距到期日的时间很长时，期权价值的衰减几
乎是线性的，在距到期日还剩几周时，时间价
值就开始急剧下降，到到期日时，期权的时间
价值为0
到期日
时间
时间价值
期权有效期内随其标的资产价格波动
可为持有者带来收益的可能性所隐含的
价值。
股价
期权价值
内在
价值
时间
价值
看涨
期权
价格
期权的时间衰减特征对期权的出售方是有利的，
水平价差组合的构造者就是希望通过出售期权来
获取这种衰减的时间价值，因为他们希望到期时
期权已无价值或价值大大减少。
斜
率
小
于
1
四、期权的特征
杠杆性
期权多头损失有限性和期权空头损失的无限性；
权利和义务的不对称；
期权的价值（或者说期权交易者的损益）与到期日基础资
产的价格之间的关系是非线性的，这一点与期货不同；
非线性特征使得求期权价格时，必须对基础资产建模，本
章中的二叉树模型和B-S模型是典型的例子；
无论基础资产市场是多头、空头还是盘整的，期权交易者
都可获益。
一、单期模型
100
90
120
第二节 二叉树模型(binomial model)
无风险利率 股票
X＝100的买权
1.举例
期初
期末
上升
-180 -180
240 180
-60 0
0 0
下降
（1）
（2）
（3）
-200
3C
0
资产
组合
现金流
（1）以10％的利率借入资金
，即到期还本付息180
，
（2）以价格100买入2股股票
（3）以价格C卖出3份期权
构建套利组合：
2.一般化
（1）以r的利率借入资金B，即
到期还本付息BR（ ）；
（2）以价格S买入h股股票；
（3）以价格C卖出1份期权。
S
dS
uS
无风险利率 股票 X＝S的买权
令
风险中性概率
期初
期末
上升
-BR -BR
hus hds
-Cu -Cd
0 0
下降
（1）
（2）
（3）
B
-hS
C
0
资产
组合
现金流
风险中性定价与风险中性概率
风险中性世界：通过数学变换（概率测度变换），把原来实
际的概率空间变为一个新的概率空间，在这个新概率空间下，
股价的收益率是无风险利率，同时，方差不变，因此称为风
险中性定价。
这时，股票的期望收益改为无风险收益，而方差不变。
h：称为套头比，有时也称Delta () ，
是股票期权价格变化与标的股票价格变化
之比，即对一单位现货头寸进行套期保值
所需的套期工具单位数。
解决上例：
时间为T（以年为单位），将R改为：
100
90
120
无风险资产 股票
X＝100的买权
股价 = $18
股价 = $22
股价 = $20
例题：看涨期权 ，当前股票价格为 $20，三个月末其价格将为$22或$18，该
股票相应3个月期的看涨期权执行价为$21，假设无风险收益率（连续复利）
为12%。
解决：1.画出二叉树；2.求出u和d；3.求出套头比；4.求出风险中性概率；5.
给该买权定价。
股价 = $22
期权价格 = $1
股价 = $18
期权价格 = $0
股价 = $20
期权价格=?
风险中性概率：
期权的价值为
100
120
90
144
108
81
A
B
C
D
E
F
二、两期模型
C
值随时间节点的变化而变化，
即随时间变化而变化。
倒推算法：
风险中性概率不变
三、参数的确定
1.确定
的收益
的方差
White算法：固定 求u、d
1
CRR模型：确定u、d ，再求
取
注：该概率并非风险中性概率，而是期望收益为μ的概率。
无套利要求：
当标准差远远小于无风险收益率时，可能会产生套利，所以时
间间隔的选择很重要，因为u、d是它的函数。
2.单期期限 的确定
3.标准差与期望收益的计算：统计学
则：
例题
第三节 Black-Scholes期权定价
一、预备知识：正态分布与对数正态分布
如果随机变量 为正态分布，即 ，则称X
服从对数正态分布
好处：若X、Y均服从对数正态分布，则
也服从对数正态分布
二、预备知识：股票价格模型的演绎
1900年Bachelier：股价服从正态分布
缺陷：有限负债，即股价不可能为负.
简单净收益率（单利R）服从正态分布： 缺陷：多期问题：多期收益是单
期收益的乘积，单期是正态分布
则多期不是正态分布。
对数收益率服从正态分布
股价服从几何布朗运动：和对数收益率服从正态分布一致
0 t1 t2 T
单期
多期
单期
多期
好处：解决有限负债和多期问题。
股价
股价
若对数收益服从正态分布，则相对收益（短期收益）服从对数正态
分布，由于S0为常数，故股价服从对数正态分布。
三、对数收益：连续复合收益率，即连续复利率
允许股价以递增的比率增长，同时它的复合增长率保持为常数 。
取值范围为 ，而短期收益 为 ，符合有限
负债。
价格的对数分布是向右偏斜的，这与经验数据相容。
时刻的瞬时收益：
为常数a
为可导函数
为随机变量
四、标准布朗运动：维纳过程
一个随机过程 ，它在一个微小时间间隔 之间变化为 ，如果：
（1）
（2）
（3）对于任意两个不同时间间隔， 相互独立，即独立增量
2.性质：
称 为标准的布朗运动
维纳过程处处连续但处处不可导：
独立增量意味着 不能由 预测，过程（曲线）是不光滑的。
有关增量
是随机变量：
这意味着： 可取任意值
1.定义：
维纳过程的一阶变差和 在任意区间内都非有界
维纳过程的二阶变差和 收敛，且当
它以概率1收敛 t
这意味着： 可能是无穷大
T：为任意长的时间，可能很短。
随机微分：沿用微分的符号：
乘积
0 0
0
随机微分规则
是随机微积分的基本元素，也是连续时间金融的基本元素
不存在
当h趋向无穷小的时间间隔dt时，布朗运动的无限小增量：
仍记为 ，它是一个随机变量。
五、一般维纳过程：
白噪声：用于模拟不可预料
的世界状态对金融产品价格
带来的冲击
被放大或缩小b倍
现实的应用：离散化
六、扩散过程：伊藤过程
乘积
0 0
0
泰勒展开：
伊藤过程：只与S和 t 有关的过程
七、ITO伊藤定理：
设 表示漂移率， 表示波动率， 是S和t的函数
则有：
例题：设
解：
解：
例题：设
证券价格的自然对数 所遵循的随机过程
解：
伊藤过程是一个维纳过程驱动的过程，即基本元素是标准的维纳过程
伊藤定理是实现随机过程之间的变量代换的方法
随机微积分的基本公式是
证券价格的自然对数 所遵循的随机过程
如果：
八、几何布朗运动描述股价
金融学中，对股票价格作如下假定：股票价格呈对数正
态分布，股票的对数收益率服从正态发布；股票价格遵循几何
布朗运动；三者等价。
：称为漂移率，其金融意义是股价瞬间变化的期望收益。
称为白噪声，用于模拟不可预料的世界状态对
金融产品价格带来的冲击。
是瞬间方差或扩散系数，金融上是测量变量
的易变性。
乘积表示股价收益变化中由不确定性因素造成的部分，即随机冲击，通
过波动率放大或缩小后传导给股票价格。
此时，随机过程中的随机变量的数字特征不再是确定的
数，而是时间的函数
其他表示：
是什么 离散化将
年化
统计学：
是简单收益 在 期间的期望收益（平均收益），故
称预期收益率。由于 是以年为单位， 是单位时间 内经年化后
的年收益率。
目的与步骤：为了给期权定价，为了方便，需要知道S的绝对量的分布，
以便直接由S计算。为此，需要下面的两个步骤：
1.使用随机微积分，作变化：
说明几何布朗运动与正态分布的等价性
说明随机微分不同于一
般意义上的微分。
是什么
是股票连续复利的收益率，是随机变量
是什么
是对数收益（连续复利） 的期望
收益，故称预期收益率。由于 是以年为单位，
是单位时间 内经年化后的年连续复利收益率。
年化
统计学：
是什么 是连续复利的标准差，也是经年化后的年标准差
假设随后五年的年收益率分别为：10%, 12%, 8%, 9%,和11%
则算术平均值为：
几何平均值为：
算术平均值要略大于几何平均值，而后者也是我们事实上可能获得
的实际收益率。
连续复利是无限的几何平均，二者存在的数量关系：
因为：
2.用统计学知识，获得以下变换
也服从正态分布
服从对数正态分布
总结：
伊藤定理
对数正态分布
1.逻辑起点：萨缪尔森于1965
年的几何布朗运动模型：
2.模型起点：对数正态分布
3.运用统计学的知识，估
计模型参数：
服从对数正态分布4.得出ST的模型和参数
离散化模型，恰当的选
择 ，估计出：
十、Black-Scholes微分方程：二阶线性偏微分方程
1）股价符合以和为常数的布朗运动（随机过程）；
2）没有卖空限制；
3）没有交易费用或税收；
4）证券高度可分；
5）期权有效期内没有红利支付；
6）没有无风险套利机会；
7）证券交易连续；
8）无风险利率r为常数并对全部到期日都相同
1.假设
2.股价S遵循以和为常数的几何布朗运动，即
3.设f为依赖S的衍生证券的价格，即f是S和t的函数，由伊藤定理：
市场无摩擦（完美市场）
或
设组合包含x份股票和y份看涨期权，则组合的初始价值为
其中，买权价格c的运动遵循伊藤定理，则有：
在一个无限小的间隔内，组合的变化为：
令：
这样组合就复制了无风险证券（与S无关），组合的收益应是无风险收益
4.构造组合去复制无风险证券，即组合是收益是确定的
复制组合
衍生证券：1单位衍生证券空头
标的证券（股票）： 份股票多头
则：
在 时间后组合价值的变化
5.组合价值 在 时间下是无风险的，无套利假设下，则有：
-Scholes微分方程
任何依赖于基础证券价格S的衍生证券的价格都满
足该微分方程（物理学中的热传导偏微分方程，也称线
性抛物线偏微分方程，）。
针对具体问题，加上一些必要的边界条件和初始条件，就形成了解决一
般衍生产品定价问题的通用模式。
解方程的方法：解析方法和数字方法（二叉树模型和蒙特卡罗模拟）
注意：该方程中
已没有
验证远期合约是否满足B-S偏微分方程
假设股价服从几何布朗运动
求期货 所遵循的扩散过程
7、Black-Scholesd的边界条件(boundary conditions)
Black-Scholesd的边界条件（终端条件）
当t =T时，
根据边界条件可以倒向解出微分方程的解
十一、Black-Scholes定价公式（欧式期权）
N(x) 为均值为0标准差为1的正态分布变量的累计概率分布函数。
其中：
看涨期权与看跌期权的平价关系：
•
Black-Scholes定价公式的案例
一个欧式看涨期权，S0=105，K=100,r =10%，D = 0，T =
年， = 30%。计算c：
N(d1) = +×) =
N(d2) =
其次：
最后：得到c值为：
首先：计算d1和d2
u
十二、影响期权价值的因素
影响因素 欧式看涨
期权
欧式看跌
期权
美式看涨
期权
美式看跌
期权
标的资产价格（+） + - + -
执行价格（+） - + - +
到期期限（+）
？ ？ + +
波动率（+） + + + +
无风险利率（+） - + - +
c p C P变量
S0
K
T
r
D
+ + –
+
? ? + +
+ + + ++ – + –
–
– – +
– + – +
十三、隐含波动率（波动率微笑）
B—S公式
期权价值向前
期权价格向后
历史波动率：根据历史数据估计的波动率。
隐含波动率：根据期权价格倒算出的波动率。
波动率微笑：相同标的资产的不同期权应该有相同的波
动率，但现实中却不同的现象称为波动率微笑。
股价
期权价值
内在
价值
时间
价值
期权的上限：
期权的下限：
B-S公
式
平价期权 实值期权虚值期权
股价
期权价值
内在
价值
时间
价值
期权的上限：
期权的下限：
B-S公
式
期权交易的实际做法中，并不是将买权执行,而是将随股票价格上涨而上
涨的买权卖掉而获利了解。
随着时间的推移，期权的价值会随着标的资产价格的变化而变化，买权
多头的损益应是一条曲线，该曲线上任何一点处的斜率都小于单位1，这也
说明了期权的价值与标的资产的价格之间是非线性的（从BS公式也可知道）
。
几点说明：
该曲线的斜率称为“套头率”，它表
示每份标的资产的空头所对应的买权份
数而进行的对冲。它在套期保值中起着
重要的作用。
损益
ST
K
当 时，买权的多头是亏损的，但这个亏损是缓慢增加的，
最多只能达到买权的买价，这意味着：在股票价格下跌时，买权多头
将该期权卖掉，多少都能卖出一个价格，而非像折线那样将原有的价
格赔光。
一、期权交易所的术语：
报价单位
交易单位
期权形式
执行价格设置
最小
4.分红 & 股票分割
假设你拥有N单位的期权， 执行价格为K :
现金红利并不调整场内交易的期权（当然是否考虑红利对期权
估价方式有很大的影响）
当存在n对m的股票分割时，
执行价格变动为mK/n
期权数量增加为nN/m
股票红利的处理与股票分割的处理相类似
一个看涨期权：以$20每股的价格买入100股股票
在下列情况下，期权合约如何进行调整:
2对1的股票分割?
25%的股票红利?
20
22
18
两步二叉树案例
二叉树图如下，单个步长为3个月，r仍为 12%.
• 二叉树图如右 , X=21
• B节点的估值
= *(* + *0) =
• A节点的估值
= *(* + *0) =
20
22
18
A
B
C
D
E
F
两步二叉树案例：一般结论
• 二叉树图如下
S0
f
S0u
fu
S0d
fd
S0u2
fuu
S0d2
fdd
S0ud
fud
72
0
48
4
32
20
60
40
50
A
B
C
D
F
E
•
看跌期权的例子
二叉树图如下 ,其中 X = 52, u = , d = , r = 5%, T = 2
12 >
美式期权
72
0
48
4
32
20
60
40
12
50
A
B
C
D
F
E
* =
-
-=
-
-
=
du
d
p
Tr
•
原则:
•最后节点的期权价值与欧式期权相同
•较早节点期权价值取如下两者中的较大值：
-- 由之前方程计算出的值
-- 提前执行所得收益
二叉树如下, X = 52, u = ,d = , r = 5%, T = 2
Delta
Delta () 是股票期权价格变化与标的股票价
格变化之比
值随时间节点的变化而变化
2.做市商
大多数交易所采用做市商制度来进行交易
做市商对期权的买入价(bid price)和卖出价(ask price)进行报价
做市商报出期权的买入价和卖出价时并不知道询价的人是要买入
(buy)还是要卖出(sell)该期权
3.保证金(Margin)
投资者出售期权时要求一定数量的保证金
出售无保护期权（naked option）时初始保证金是以下两个计算结
果中取大的那一个结果：
出售期权的所有收入加上期权的标的股票价值的20%减去期权
处于虚值状态的数额 (如果有的话)
出售期权的所有收入加上期权的标的股票价值的10%
其他的期权交易策略还有其他的特殊条款，比如指数期权，应该将
以上计算过程中的20%改为5%。主要的原因是通常情况下指数的波
动性要小于单个股票的波动性。
五、期权场内交易机制
1.参与者
5.认股权证（ Warrants ）
认股权证是由公司或金融机构发行或出售的期权
流通在外的认股权证的数量取决于初始发行的数量，只有当期权执行或
到期时其数量才会发生变化
执行时，初始发行者只需与当前认股权证的持有者进行结算
公司如果发行本公司股票的看涨认股权证，执行认股权证时将导致公司
向认股权证持有者发放新的库存股票
6.可转债（Convertible Bonds）
可转债是公司发行的、在一般债券上附加期权的一种债务工
具，持有者有权在将来的特定时期内根据某个确定的比例将
可转债转换为该公司的股权
一般来说可转债是可赎回（callable）性质的
可赎回条款赋予发行可转债的公司具有强迫债券提前转换成
股权的权利，而持有者别无选择
谢 谢
三月-
2209:50:0709:500
9:50三月-22三月-
2209:50
09:5009:50:
07三月-22三
月-
2209:50:07
2022/3/24 9:50:07
