利率风险价格形式实证研究: *扩展仿射模型和半仿射模型的比较 121郑振龙，柯鸿莫天瑜 （1. 厦门大学金融系；2. 第一创业证券） 作者简介： 郑振龙（1966—），男，汉，福建平潭人，金融学博士，国务院学科评议组成员，国家重点学科厦门大学金融学学术带头人，“闽江学者”特聘教授，厦门大学金融系教授、博导，《金融学季刊》主编。研究方向为资产定价、金融工程和风险管理。 电话：13906038903 传真：0592-5920923 邮箱：zlzheng@ 通讯地址：厦门大学金融系，361005 柯鸿，男，1984年7月出生，汉族，籍贯福建宁德，金融工程硕士，第一创业证券固定收益部。研究方向为资产定价、金融工程与风险管理。 电话：15019267841 邮箱：skywater_finance@ 莫天瑜（1983－），女，汉族，籍贯浙江，在读博士，厦门大学经济学院金融系金融工程专业。 电话：13779968337， 邮箱：skyfish83_xmu@ *基金项目：教育部“国际金融危机应对研究”应急项目：金融市场的信息功能与金融危机预警(2009JYJR051)；福建省自然科学基金：卖空交易对证券市场的影响研究（2009J01316）。 1
利率风险价格形式实证研究:扩展仿射模型和半仿射模型的比较 ［摘要］在仿射利率期限结构动态模型（Affine DTSM）框架下，利率风险价格主要有四种设定形式：完全仿射模型（CAM）、实质仿射模型(EAM)、扩展仿射模型(EXAM)和半仿射模型(SAM)。其中，EAM优于CAM、EXAM和SAM均优于EAM已经经过理论和实证的证明。然而，EXAM和SAM的孰优孰劣无法单从理论上的比较得出结论，同时亦鲜有相关的实证文献对其进行比较研究。因此，本文运用卡尔曼滤波方法，在三因子CIR基础上对SAM、EXAM和EAM进行了实证比较，实证结果表明EXAM要优于SAM。此外，本文的稳健性检验表明，EXAM虽然已为目前的最优利率风险价格形式，但其仍然不够完善。 关键词：利率仿射模型；利率风险价格形式 An empirical Research of Specification of Interest Risk Price —A Comparison between Extended Affine Model and Semi‐Affine Model Zheng Zhenlong, Ke Hong [Abstract] There exists four primary specifications of interest risk price (Completely Affine Model、Essentially Affine Model、Extended Affine Model、Semi‐Affine Model) under the framework of Affine DTSM. It has been proved that EAM is superior to CAM, and that EXAM and SAM are both superior to EAM. But no theoretical evidence and few empirical study could help to determine a better model between Semi‐Affine Model and Extended Affine Model. So this paper does an empirical comparison on SAM、EXAM and EAM, and the results suggest that EXAM is the best 2
specification of interest risk price. However, the robust test suggests that EXAM is not perfect enough to capture all the information. Key words: Interest Rate Affine DTSM; market price of interest risk 3
一. 引言 究竟怎样的利率动态期限结构模型（Dynamics Term Structure Models, DTSM）才算是一个成功的利率模型？它需要符合哪些性质和依照哪些评判标准呢？只有首先解决了这个问题，在实际应用中我们才能更好的选择所需要的模型，对目标函数进行建模。 为便于分析，我们可以将利率DTSM分解为三个组成部分： a) 瞬时利率r与状态变量X的函数关系 b) 风险中性测度（Q）下，状态变量X的动态过程 c) 现实世界测度（P）下，状态变量X的动态过程 风险中性测度Q，是债券价格的定价测度。只有准确描述了状态变量X在这一测度下的动态过程，并正确构造了瞬时利率r与状态变量X的函数关系，才能够准确拟合利率期限结构，从而对债券及其衍生产品进行定价。 而现实测度P，描述的则是状态变量X在真实世界的过程。只有对这一测度下状态变量X的动态过程正确建模，并正确构造瞬时利率r与状态变量X的函数关系，才能够正确的描述债券价格在现实世界的过程，进而准确提取我们所需要的信息，例如，期限溢价、市场对收益率曲线变化的预期、债券超额收益等等。 因此，一个DTSM模型是否成功，关键在于其能否对三个组成部分进行准确建模。 针对这三个组成部分，学术界和业界进行了许多的研究，并发展出一系列的DTSM模型，例如，仿射模型（Affine DTSM）、二次高斯模型（Quadratic‐Gaussian）、非仿射随机波动率模型（nonaffine‐stochastic volatility）、以及包括跳跃或机制转换的模型（Jumps、Regime Switching）等等。在众多模型中，本文所关注的是目前应用最为广泛的仿射模型框架。 仿射模型是对DTSM三个组成部分中的(a)与(b)进行了限定，而对(c)并没有做额外的限定： 4
a) 风险中性测度Q下，状态变量X的瞬时漂移率与瞬时方差被设定为X的线性函数 b) 瞬时利率r被设定为状态变量X的线性函数 '在这两个假定下，债券价格可以方便的表示为P(τ)=expA(τ)−B，而(τ)XA(τ)、()tt则服从一个用数值方法十分易解的黎卡提常微分方程组（Riccati ODEs）。所以，相比较B(τ)其他DTSM而言，在仿射模型框架下对利率期限结构的实证研究就变得十分易于处理，而这也是仿射模型无论在学术界还是业界都十分受欢迎的主要原因。 对仿射模型进行实证最基本的方法，便是利用收益率曲线的面板数据来拟合参数。由于面板数据同时包括了利率横截面和时间序列的信息，因此利用面板数据可以同时得到状态变量在风险中性定价测度Q和现实测度P的参数，即，同时得到状态变量X在风险中性测度Q和现实测度P的动态过程。 然而，许多实证表明，在传统的利率风险价格形式（例如将利率风险价格设定为瞬时波动率和一个常数的乘积）的设定下，仿射模型无法同时准确地描述状态变量X在现实测度P和风险中性测度Q的动态过程，具体表现为：在较好地拟合其横截面利率期限结构的时候，却无法同时对未来收益率的变动进行较好的预测；或无法较好地拟合期限溢价的时变性等等。 导致仿射模型出现这一问题的原因有很多，例如，利率风险价格设定形式不够灵活，瞬时利率r或许是状态变量X的非线性函数，没有考虑跳跃和机制转换这些因素，等等。因此，要改进仿射模型可以从多方面入手，而本文所关注的是利率风险价格的设定形式问题。 利率的风险价格，是连接风险中性测度Q和现实测度P最重要的枢纽。状态变量X在真实世界的动态过程，与风险中性世界是不一样的。例如，在风险中性世界中，利率动态过程的漂移率是线性的，但是在真实世界却可能是非线性的。再如，两个世界中的均值回复速度或长期均值水平可能是不一样的。风险价格形式设定不正确，将直接导致两个测度下利率动态过程的错误估计，从而致使真实信息的错误提取。因此，为了更准确的描述利率在风险5
中性测度和现实测度中的动态过程，国外学者们已经越来越重视实证中所选择的利率风险价格设定形式，并且发展出了更加灵活、更加合理的新一代利率风险价格设定形式。 目前为止，理论界主要发展了四种利率风险价格设定形式：完全仿射模型（Completely Affine Model, 此处以下简称为CAM）、实质仿射模型(Essentially Affine Model，简称为EAM)、扩展仿射模型(Extended Affine Model，简称为EXAM)和半仿射模型(Semi‐Affine Model，简称[1]为SAM)。其中，EAM已经被证明是优于CAM的利率风险价格设定形式（Duffee(2002)），[3][9]而EXAM ((Cheridito, Filipovic and Kimmel(2007))和SAM（Duarte(2004)）又分别被证明了是优于实质仿射模型的更加一般化的利率风险价格形式。因此，目前为止我们可知EXAM和SAM是最优的两个利率风险价格形式。然而，我们在实证时仍然会遇到一个问题：扩展仿射模型和半仿射模型哪个更好？目前为止尚未发现国内外有文章对这两种利率风险价格形式进行正式的比较研究，而这正是促成本文的重要原因之一。 本文拟在三因子CIR模型的基础上，利用卡尔曼滤波法对EAM、EXAM和SAM进行实证比较研究，希望能为国内外学术界的相关研究发展贡献一份微薄的力量。 本文分为六个部分。第一部分为引言；第二部分简单介绍了仿射模型的债券定价基本理论；第三部分系统介绍了利率风险价格的发展脉络，并对各利率风险价格进行了详细的比较分析；第四部分介绍了本文实证研究方法；第五部分为实证研究结果；第六部分为全文的总结。 6
二. 仿射模型框架下的债券定价 仿射模型框架下，瞬时利率r被设定为： t'r=δ+δXt0xt （1） 其中，δ是1×1的标量；δX,是n×1的向量。 0xt而状态变量X在风险中性测度Q的动态过程假定为： QQQdX=(ψ−KX)dt+ΣSdW （2） ttt' （3） S(i,i)=α+βX,S(i,j)=0,i≠j,1≤i,j≤ QQQ其中，是风险中性测度Q下标准的布朗运动，,ψα,β是n×1向量，K,Σ是n×Wiitn的矩阵，S是n×n的对角矩阵。 t[12]Duffe and Kan (1996)证明了在（1）、（2）、（3）式的假定下，剩余期限为τ到期支、付1的零息票债券，在t时刻的价格将服从如下形式： P(τ)tt+τQP(τ)=Eexp(-rd )tts()∫t'=expA(τ)−B(τ)X()t （4） 其中，A(τ)是1×1的标量，B(τ)是n×1的向量，它们都是剩余期限τ的函数，并服从如下的常微分方程组： ndA(τ)1Q2=−Ψ'B(τ)+[∑'B(τ)]α−δ∑ii0dτ2i=1ndB(τ)1Q'2=−KB(τ)−[∑'B(τ)]β−δ∑iixdτ2i=1 （5） 由于到期支付1的零息票债券，在其到期时的价格P必须等于1，否则会出现无风(0)t险套利机会，所以式（5）的常微分方程组还必须满足一个边界条件：A(0)=B(0)=。 0[12]需要注意的是，Duffe and Kan (1996)在推导式（4）、（5）时，并没有对状态变量X在现实测度P下的动态过程做出任何的限定。因此，理论上不论状态变量X在现实测度下的动7
态过程假定为何种形式，只要满足了（1）、（2）、（3）式的假定，式（4）、（5）都能够成立。而利率风险价格是连结现实测度和风险中性测度唯一的枢纽，只要合理设定了利率风险价格的形式，就能够推导出状态变量X在现实测度下的动态过程，进而得到各经济变量如持有期收益率、连续复利收益率等在现实测度下的动态过程，以对这些经济变量进行观察和预测。 Λ例如，设n×１向量为风险价格，则状态变量在现实测度下的动态过程可以表示为： tQQQdX=(ψ−KX)dt+ΣSdWttt （6） QQP=ψ−KX+edt+ΣSdWtt,xtt其中e=ΣSΛ表示状态变量的风险溢酬。 t,xttτ则由式（1）、（4）、（6）推导可得，剩余期限为的零息票债券的瞬时持有期收益率在现实测度下的动态过程为： dP(τ)Pt=r+e(τ)dt+vτdW()() （7） tt,PttP(τ)t'其中vτ=−B(τ)ΣS()，表示持有期收益率的瞬时波动率； tt'eτ=vτΛ=−BτΣSΛ，表示持有期收益率的瞬时风险溢酬。 ()()()t,Ptttt可见，我们只要合理了设定Λ的形式，就能够通过面板数据拟合出持有期收益率现实t测度动态过程的各个参数，进而对持有期收益率进行观察和预测。 三. 利率风险价格形式的发展 虽然利率风险价格的设定形式不影响式（4）、（5）的推导，但利率风险价格的设定仍需要满足一系列的假设条件，例如需满足无套利假设、需尽量准确地刻画投资者对利率的风险态度、要能同时刻画利率一阶矩和二阶矩的动态变化过程等等。因此，为了能更好的刻画投资者的风险态度、以及更好地刻画利率一阶矩和二阶矩的动态变化，目前理论界主要发展了以下四种利率风险价格设定形式。 8
(一) 完全仿射模型（Completely Affine Model，CAM） [14]最早的利率风险价格形式由Fisher and Gilles (1996)提出： （8） Λ=Sλtt1其中，λ表示n×1的向量。 1在这种设定下，状态变量在现实测度下的动态过程可以表示为： QQPdX=(ψ−KX)dt+ΣSλdt+ΣSdW （9） ttt1t其中Σ状态变量X的Sλ表示风险溢酬e。 tttt,x由于方差S也是状态变量的线性函数，因此在这种风险价格设定形式下，状态变量Xt'在风险中性测度和现实测度的动态过程、甚至随机贴现因子的方差ΛΛ全部都是状态变量tt [10]X的线性函数，所以Duffee(2002)称这种风险价格形式是完全仿射的。 [2][5]CAM提出后，被学者们广泛使用。例如，Chen and Scott(1993)、Dai and Singleton (2000)、[8][13]DE JONG（2000）、Lamoureux and Witte(2002)等以及目前为止国内的大部分学者都使用completely Affine的风险价格设定进行了各类实证研究。 然而，这种completely Affine的设定，却无法从理论上刻画风险溢酬的各种实际特性。为更好的说明，我们考虑一个两因子模型： QQσ0⎛⎞⎛⎞ϕ⎞⎛⎞k0111Q （10） dX=−Xdt+dW⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎟tttQQ0k0σXϕ⎝22t,2⎠⎝2⎠⎝⎠在该两因子模型下，状态变量和持有期收益率的瞬时风险溢酬可以分别表示为： 2⎛λ(1)σ⎞11e=⎜⎟t,x2λ(2)σX1t,2⎝⎠ （11） 2⎛λ(1)σ⎞11 （12） eτ=−Bτ'ΣSΛ=−Bτ'()()()⎜⎟t,Ptt2λ(2)σX1t,2⎝⎠首先，从式（11）、（12）中可以看出，风险溢酬无法受到自身波动率之外的因素影响，9
[10]这与实际发现并不相符。例如，Duffee(2002)指出，在剔除掉波动率的影响后，持有期收益率的风险溢酬还与收益率曲线的斜率存在十分显著的正相关关系。 其次，CAM无法刻画持有期收益率风险溢酬小均值、大方差的特征。式（12）中，如果持有期收益率的风险溢酬要满足小均值、大方差的特征，那么需要需要相反的λλ(2)(1)11符号才行。然而，通常无法拥有一个相反的符号，因为的符号决定λλ(2)(1)λλ(2)(1)1111、、了状态变量风险溢酬的符号（大量实证表明，在CAM下二者通常都为负）。 此外，在CAM的设定下，现实测度和风险中性测度动态过程的漂移项中，有许多参数都是两个测度或漂移项和波动率项所共用的，例如该两因子模型在现实测度下的动态过程为： Q2Qσ0⎛⎞⎛⎞ϕ+λ(1)σ⎞⎛k011111P dX=⎜−X⎟dt+dW⎜⎟⎟⎜tttQ2Q0k−λ(2σ0σX)ϕ⎝21⎠2t,2⎝2⎠⎝⎠QQX的均值回复速度k在两个测度下是一样的，X的长期均值水平ϕ在两个测度t,11t,22下是一样的。然而，如果实际情况是两个测度下的参数并不一样，那么这些参数的拟合就会出现不可预见的结果：有可能更接近风险中性测度，有可能更接近现实测度，也有可能走了一个折衷的路线。 可见，CAM有着很大的局限性。在用CAM进行实证的过程中，经常会出现无法同时准确拟合利率的横截面性质和时间序列性质的问题：要么风险溢酬拟合不好而无法进行较好地预测，要么牺牲了其他参数（例如，拟合期限结构形状和定价的参数）的拟合效果来改善风险溢酬的拟合效果。 [5]Dai and Singleton (2000)利用CAM对其提出的经典仿射模型（Canonical Affine Model）进行了实证研究，其结果表明CAM很好地刻画了持有期收益率风险溢酬低均值、高方差的特性，然而横截面利率期限结构形状的拟合误差却很大。 [1]Ahn, Dittmar, and Gallant (2002)发现CAM无法准确刻画利率的条件波动率的变化。 10
（二） 实质仿射模型（Essentially Affine Model，EAM） [10]Duffee（2002）在CAM的基础之上进行改进，提出了EAM的风险价格形式： −Λ= （13） Sλ+SλXtt1t2t−其中，λ表示n×1向量，λ表示n×n矩阵，S表示n×n的对角矩阵，其对角元素12t为 '−1'⎧(α+βX),ifinfα+βX>0;()⎪−iitiit （14） S(i,i)=⎨t0,otherwise.⎪⎩根据Girsanov定理，在该设定下，状态变量在现实测度下的过程可以表示为： QQ−P （15） dX=Ψ−KXdt+ΣSλ+IλXdt+ΣSdW()()ttt12tt'⎧−1,ifinfα+βX>0⎪()−iit其中，I是n*n对角矩阵，。 I(i,i)=⎨0,otherwise.⎪⎩EAM提出的目的，主要是为了在波动率之外，引入其他因素（如斜率）来影响风险溢酬的变化，从而刻画风险溢酬均值小、方差大的特性。我们同样以（10）式的两因子模型和持有期收益率的风险溢酬来说明EAM对CAM的改进。 在EAM和（10）式的两因子模型下，状态变量和持有期收益率的风险溢酬可以表示为： 2⎛⎞λ(1)σ+λ(1,1)X+λ(1,2)X112t,12t,2 （16） ⎜⎟e=t,x 2λ(2)σX1t,2⎝⎠2⎛⎞λ(1)σ+λ(1,1)X+λ(1,2)X112t,12t,2'' （17） ⎜⎟eτ=−B(τ)ΣSΛ=−B(τ)()t,Ptt2λ(2)σX1t,2⎝⎠方框里所表示的是EAM比CAM多出的变量。Essentially Affine 与CAM的不同主要表现在两个方面： 首先，服从Vasicek Process的状态变量X的风险溢酬，除了受到其自身波动率影响外，t,1还受到X和X的影响，进而，作为状态变量风险溢酬的线性组合的持有期收益率风险溢t,1t,2酬也引入了波动率之外的影响。这是符合风险溢酬实际特性和经济直觉的：人们对于持有期11
收益率的风险所要求的风险补偿，受到波动率之外的其他因素（例如期限结构的形状）影响。 Xλ(1)λ(1)λ(1,1)λ(1,2)其次， 的风险溢酬的符号不再仅仅取决于，这样之间便可112t,12以有相异的符号。因此，相比较CAM而言，EAM就更能刻画持有期收益率小均值、大方差的特征。 再次，在EAM下，该两因子模型在现实测度下的动态过程为： Q2Qσ0⎛⎞⎛⎞ϕ+λσ⎞(1)⎛k−λ(1,1)−λ(1,2)1111122Q dX=⎜−X⎟dt+dW⎜⎟⎟⎜tttQQ20k−λσ0σXϕt⎝212,2⎠⎝2⎠⎝⎠可以发现，相比较CAM而言，两个测度下的动态过程允许有更多不同的参数，从而在一定程度上避免了不同测度共用参数的问题。 从以上分析可以发现，EAM是比CAM更具一般化性质的风险价格设定形式，λ=0时，2EAM就是CAM。因此在实际应用时，无论从模型设定一般化角度，还是从经济意义上的角度来看，EAM都是比CAM更好的选择。 然而，需要注意的是，EAM虽然在风险价格形式设定上比CAM迈进了一大步，却仍然存在着它很明显的不足之处： 首先，为了更好地刻画风险溢酬的特征，必须在一定程度上放弃利率方差的时变性特征。 −S(i,i)在EAM中，被设定为这样一种形式：t'−1'⎧(α+βX),ifinfα+βX>0;⎪()−iitiit S(i,i)=⎨t0,otherwise.⎪⎩−S(i,i)只有在该因子的方差下界大于0时才不为0。这样设定的目的是为了避免无套利t机会的存在：当一个因子的波动率为0时，与该因子相关的风险溢酬必须等于0，否则理论上就可以进行无风险套利。 2σX例如，在两因子模型中，服从平方根过程的状态变量方差为，方差下界等于0，t,21−如果将与该状态变量相关的S(2,2)设为2，则该状态变量的风险溢酬为tσXt,212
2λ(2)σX+λ(2,1)X+λ(2,2)X，当某一时刻该状态变量的方差等于0时，其风险溢酬12t,22t,12t,2λ(2,1)X等于而不为0，所以理论上就会存在无风险套利的机会。 2t,1因此，EAM要刻画风险溢酬的特征，必须在一定程度上放弃利率方差的时变性特征，在其模型中必须至少有一个因子服从类似Vasicek Process的过程，使研究者在选择模型时会面临一个到底要刻画风险溢酬还是利率方差时变性的尴尬境地。而且对于常用的多因子CIR模型而言，EAM就对CAM没有任何的改进，仍然无法准确刻画风险溢酬的特征。 其次，如果服从Vasicek Process的状态变量的风险溢酬能够受到服从Square Root Process的状态变量的影响，但是为什么反过来不行呢？这个问题无论从理论上还是实际上都解释不通。 此外，虽然EAM大大减轻了状态变量动态过程在现实和风险中性两个测度下共用参数的情况，但只要多因子模型中有状态变量服从Square Root Process，就仍然会存在共用的参数。 [10][5]Duffee(2002)在提出EAM后，使用QML估计，在Dai and Singleton (2000)的Canonical 仿射模型基础上对EAM和CAM进行了实证比较，结果表明，使用EAM的风险价格形式， [10]能更好地在现实测度中预测未来收益率曲线的动态变化。同时，Duffee(2002)也指出，三因子Essentially‐Gaussian Model对未来收益率一阶矩的预测效果最好，但对未来利率波动率的预测效果却不如三因子CIR模型。 [6] [10]Dai and Singleton (2002)借鉴Duffee(2002)的风险价格设定方式进行研究，也发现了同样的问题：EAM在CIR框架下无法同时准确预测未来利率的一阶矩和二阶矩。 （三） 扩展仿射模型（Extended Affine Model，EXAM） [3]为了改进EAM的缺陷，Cheridito, Filipovic and Kimmel(2007)提出了EXAM的风险价格13
形式： λ+λX12t （18） Λ=tStλλ其中，是n×1向量，是n×n矩阵。 12根据Girsanov定理，在该设定下 ，状态变量在现实测度的动态过程可以表示为： QQPdX=Ψ−KXdt+Σλ+λXdt+ΣSdW()()tt12tt （19） 其中，Σλ+λX()表示状态变量的风险溢酬。 12t需要注意的是，在（18）式中，波动率S是风险价格的分母。在这种设定下，当状态t变量波动率等于0时，状态变量的风险溢酬Σλ+λX()却不为0，这样就会导致理论上存12t[3]在无风险套利的机会。为了避免这种情况的发生，Cheridito, Filipovic and Kimmel(2007)分别对状态变量在风险中性测度和现实测度下的动态过程进行了相应的参数限制（Feller 条件），使得波动率S恒大于0，从而无法出现无风险套利机会。在对参数进行限制的前提下，t[3]Cheridito, Filipovic and Kimmel(2007)通过等价鞅测度的存在性进一步证明了EXAM的无套利性质。 从理论上说，EXAM比EAM更具一般性，因为只要对参数进行Feller条件限制，保证方差恒大于0，则无论状态变量的动态过程设为哪种形式（包括均方根动态过程），状态变量之间都能相互影响到对方的风险溢酬变化。 这里我们以两因子CIR模型为例： QQ⎛⎞σX0⎛⎞ϕ⎞⎛k0⎞1t,111Q⎜⎟dX=⎜−X⎟dt+dW⎟⎜⎟tttQQ0kϕ0σX⎝2⎠⎝2⎠2t,2⎝⎠ （20） 在EXAM的框架下，状态变量和持有期收益率的风险溢酬可以分别表示为：⎛⎞λ(1)+λ(1,1)X+λ(1,2)X12t,12t,2⎜⎟e=ΣSΛ=t,xtt（21） λ(2)+λ(2,1)X+λ(2,2)X12t,12t,2⎝⎠ 14
⎛⎞λ(1)+λ(1,1)X+λ(1,2)X12t,12t,2''⎜⎟e=−BτΣSΛ=−Bτ()() （23）t,Pttλ(2)+λ(2,1)X+λ(2,2)X12t,12t,2⎝⎠方框中所表示的是EXAM比EAM多出的变量。 比较两种风险价格形式的不同，可以发现EXAM几个方面的改进： 首先，EXAM中因子之间能够相互影响对方的风险溢酬，而EAM下风险溢酬则只受状态变量其自身波动率的影响。因此，在EXAM下，风险溢酬中的各参数的符号都可正可负，即使在多因子CIR模型下，EXAM也能很好的描述风险溢酬的特性，进而更好的刻画了投资者面对风险源的态度。 其次，在EXAM下，状态变量在现实测度下的动态过程为： QQ⎛⎞σX0⎛⎞ϕ+λ⎞(1)⎛k−λ(1,1)−λ(1,2)1t,111122P⎜⎟dX=⎜−X⎟dt+dW⎟⎜ttt QQ(2,1)k(2,2)ϕ+λ(2)0σX⎝222⎠⎝21⎠2t,2⎝⎠可以发现，根据EXAM对风险价格形式的设定，只要对参数进行Feller条件限制，并设定参数限制条件使动态过程在两个测度下都能得到唯一解，那么，两个测度下的漂移项中的所有参数（包括长期均值、回复速度、状态变量之间的相关关系）都可以拥有不同的值。这就使得在实证研究时，同一个参数不用同时描述两个测度的动态过程，从而在理论上可以准确地同时刻画两个测度下的动态过程。 [3]Cheridito, Filipovic and Kimmel(2007)在提出EXAM的定义后，在Dai and Singleton [5](2000)的Canonical 仿射模型基础上，用MLE估计比较了EXAM、EAM和CAM三种风险价格的优劣，结果发现EXAM确实能够在不影响利率横截面性质拟合的情况下改进利率时间序列性质的拟合。 （四）半仿射模型（Semi-Affine Model，SAM） [9]为了改进EAM在CIR模型中的应用，Duarte(2004)提出了SAM： 15
−1−Λ=Σλ+Sλ+SλXt0t1t2t （23） λ其中，为n×1向量，其他符号与EAM相同。 0在该设定下，状态变量在现实测度下的动态过程可以表示为： QQ−1−PdX=Ψ−KXdt+SΣλ+Sλ+IλXdt+ΣSdW()()ttt0t12tt （24） −1−其中，表示状态变量的瞬时风险溢酬。 SΣλ+Sλ+IλX(t0t12t可以发现，在这种设定下，状态变量在现实测度下的动态过程和状态变量的瞬时风险溢酬是非Affine形式的，但是状态变量在风险中性测度下的动态过程仍然是Affine 形式的，[9]所以Duarte(2004)称这种风险价格形式为SAM。 SAM对EAM的改进，主要是体现在多因子CIR模型上。假设一个两因子CIR模型为： QQ⎛⎞σX0⎛⎞ϕ⎞⎛k0⎞1t,111Q⎜⎟dX=⎜−X⎟dt+dW⎟⎜⎟tttQQ0kϕ0σX⎝2⎠⎝2⎠2t,2⎝⎠ 则SAM框架下，状态变量和持有期收益率的风险溢酬为： 2⎛⎞σXλ(1)+σXλ(1)1t,101t,11⎜⎟e= t,x2σXλ(2)+σXλ(2) （25）2t,202t,21⎝⎠2⎛⎞σXλ(1)+σXλ(1)1t,101t,11'⎜⎟e=−Bτ ()t,P2σXλ(2)+σXλ(2) （26）2t,20t,21⎝⎠其中方框表示SAM比EAM多出的变量。 我们接下来比较一下SAM与EXAM的几点不同，以及它对EAM的改进： 首先，在这种设定下，风险溢酬、现实测度下的漂移项都是状态变量的非线性函数。这是与之前的三种风险价格设定形式所不同的。 其次，为了刻画风险溢酬的小均值、大方差特性，我们需要风险溢酬中的各参数能够改变符号。EXAM的方法是在其中一个状态变量的风险溢酬中引入了另外一个状态变量的影响，以使风险溢酬中的各个参数的符号可以改变；而SAM则直接在风险溢酬中引入状态变量自身的均方根，从而使得各参数符号能够改变。 16
[9]Duarte(2004)在提出SAM后，用MLE对SAM、EAM进行了估计和比较，发现在大多数模型中，尤其是多因子CIR模型，SAM在一定程度上能够改进EAM对收益率曲线的预测能力。 四. 本文的实证研究方法 （一） 本文的实证动因 完全仿射模型（CAM） 改善了风险溢酬的刻画，但存在无法同时刻画一阶矩和二阶矩的动态变化的问题。 实质仿射模型(EAM )试图 解决 EAM的问题 扩展仿射模型(EXAM) 半仿射模型(SAM) 图1 风险价格发展脉络图 [10]图１给出了四种风险价格的发展过程。根据之前的理论分析以及Duffee(2002)、[9][3]Duarte(2004)以及Cheridito, Filipovic and Kimmel(2007)的实证，我们可以知道，EAM是比CAM更加一般化的风险价格设定形式，而EXAM和SAM也都分别通过各自的方式改进了EAM，是比EAM更优的风险价格设定形式。 然而，EXAM和SAM之间，哪一种风险价格设定形式是更优的呢？本文以下将对EXAM和SAM的优劣进行实证比较，以弥补国内外在这一块的空白，为日后的进一步研究提供参考。 17
本文研究的主要方法是利用利率期限结构的面板数据，通过卡尔曼滤波估计出EAM、EXAM和SAM在三因子CIR模型基础上的各个参数，并比较三种风险价格对期限结构横截面性质和时间序列性质的拟合以及预测能力，以此作为风险价格优劣的评判标准。 （二）因子模型的选择 在Affine DTSM框架下，本文选择三因子CIR模型作为比较风险价格优劣的基础。 在三因子CIR模型下，瞬时利率与状态变量的函数关系为： 3r=X∑tt,i i=1而状态变量在风险中性测度下的动态过程可以写为： ⎛⎞QQσX001t,1⎛⎞ϕ⎞⎛k00⎞11⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎟QQdX=−0k0Xdt+0X0dW t22t2t,2t⎜⎟⎜⎟Q⎜⎟⎜⎟ϕ00k33⎝⎠⎝⎠00σX3t,3⎝⎠使动态过程在风险中性测度下存在唯一解所需要的参数限制是： QQϕ≥0,k≥0,i=1,2,3ii 此时债券价格和连续复利收益率可以表示为： 'Pτ=expAτ−BτX()()()tt'Aτ⎛Bτ⎞()()Rτ=−+()⎜⎟ττ⎝⎠其中， Q3⎡2ϕ⎤1QQ−⎞γτ−γτ()()iiiAτln2+k−γτlnγ+k1e+2e()()()()∑(⎢iiiiii⎟⎥2σ2i=⎠1⎣i⎦−γτ()i21−e(Bτ=()iQ−γτ−γτ()()iiγ+k1−e+2e()(iii22γ=k+2σiii18
（三）风险价格设定形式的选择 本文选择EAM、EXAM和SAM三种风险价格形式进行比较研究。 比较EXAM和SAM的优劣是本文的主要目的，而EAM的选择则是为了提供一个基准。 1. EAM的风险溢酬 在三因子CIR模型中，EAM的风险溢酬为： 2⎛σXλ⎞(1)1t,11⎜⎟2e=σXλ(2)t,xt,21 ⎜⎟2σXλ(3)3t,31⎝⎠为了使状态变量在现实测度的动态过程有唯一解并恒大于0，所需参数限制是： Q2k−σλ(i)≥0,i=1,2,3ii11Q2ϕ≥σ,i=1,2,3ii2 2. EXAM 的风险溢酬 三因子CIR模型中，EXAM 的风险溢酬为： ⎛λ(1)+λ(1,1)X+λ(1,2)X+λ(1,3)X⎞12t,12t,22t,3⎜⎟e=λ(2)+λ(2,1)+λ(2,2)+λ(2,3)t,x12t,12t,22t,3λ(3)λ(3,1)Xλ(3,2)Xλ(3,3)X12,12,22,3⎝⎠ 为了使状态变量在现实测度的动态过程有唯一解并恒大于0，所需参数限制是： λ(i,j)≥0,1≤i,j≤3,i≠j;21Q2ϕ+λ(i)≥σ,=1,2,3;i1i2Q⎛ϕ+λ1⎞()11⎜⎟−1PQKϕ+λ2≥0()()21⎜⎟Qϕ+λ3()31⎝⎠ 此外，EXAM还要求状态变量在风险中性测度下恒大于0，所需参数限制是： 1Q2ϕ≥σ,i=1,2,3ii2 3. SAM的风险溢酬 19
三因子CIR模型中，SAM的风险溢酬为： 2⎛⎞σXλ(1)+σXλ(1)1t,101t,11⎜⎟2e=σXλ(2)σXλ(2)t,x2t,20t,21 2σXλ(3)+σXλ(3)3t,303t,31⎝⎠为了使状态变量在现实测度下的动态过程有唯一解并恒大于0，所需参数限制是： Q2k−σλ(i)≥0,i=1,2,3ii11Q2ϕ≥σ,i=1,2,3ii2 为便于比较，我们将三种形式的风险溢酬写到一个式子中，并对参数做一些等价的变换： ⎛⎞λ(1)X+λ(1)+λ(1,1)X+λ(1,2)X+λ(1,3)X0t,112t,12t,2t,3⎜⎟e=λ(2)X+λ(2)+λ(2,1)X+λ(2,2)+λ(2,3)t,x0t,212t,1t2,3 λ(3)X+λ(3)+λ(3,1)X+λ(3,2)X+λ(3,3)X0t,312t,12t,22t,3⎝⎠其中，有一条下划线的代表SAM专有的参数，有两条下划线的代表EXAM专有的参数，没有下划线的表示EAM、EXAM和SAM共用的参数。 （四）数据描述 数据来源：Wind数据库，由Nelson‐Siegel‐Svensson法拟合出的银行间国债收益率曲线。 时间跨度：从2005年1月4日至2008年12月1日 时间间隔：一星期，总共192个星期。 其中，2005年1月4日至2008年5月5日共163个星期2771个数据用于样本期内拟合，2008年5月6日至2008年12月1日共29个星期的数据用于样本期外检测。 （五）估计方法的选择：Kalman Filter [11][8]Duffee and Stanton(2004) 和DE JONG(2000) 通过比较各种估计方法的有效性后发20
现，研究仿射模型时，使用kalman filter是最有效、误差最小的估计方法。因此，本文选择Kalman Filter法进行估计，具体估计步骤详见附录A。 本文采用最小化残差平方和的方法选择状态变量的初始值： 2'⎛⎞⎛Aτ⎛Bτ⎞()()⎜⎟⎜:Rτ−−+X()∑⎜⎟min00 ττXτ0⎝⎠⎝≥00Rτ()0τ表示在0时刻、到期日为的连续复利收益率，单位为百分点。 五. 实证结果 （一）参数估计结果 表1 参数估计结果 EAM SAM EXAM Log‐likelihood 2 σε() () () Q ϕ 1() ( ) ( ) Q ϕ 2() () () Q ϕ 3( ) () () Q 1() ( ) ( ) Q 2() () ( ) Q 321
() ( ) ( ) σ 1() () () σ 2() ( ) () σ 3( ) ( ) () λ(1) － － 0－ () － λ(2) － － 0－ () － λ(3) － ‐ － 0－ ( ) － λ(1) － － 1－ － () λ(2) － － ‐ 1－ － () λ(3) － － ‐ 1－ － () λ(1,1) ‐ 2() ( ) () λ(2,1) － － 2－ － () λ(3,1) － － 2－ － () λ(1,2) － － 2－ － () λ(2,2) ‐ ‐ ‐ 2( ) () () 22
λ(3,2) － － 2－ － () λ(1,3) － － 2－ － () λ(2,3) － － 2－ － () λ(3,3) ‐ ‐ 2 () () () 注：为提高拟合精度，本文先将收益率数据放大100倍后，再进行参数估计。故表1参数所适用的收益率计算公A(τ)B(τ)Rτ=(−+X)/100()tt式为。括号（）里是参数的标准误。 ττ根据表1给出的估计结果，可以首先得到的一些结论是： 首先，从极大似然值看，总体而言，EXAM对EAM的改进效果要明显优于SAM。 其次，EXAM对模型拟合优度的提高，可以一部分在利率期限结构的横截面性质上体2σε现出来。表示卡尔曼滤波测量方程的误差方差，即，收益率曲线形状拟合的误差方差，在一定程度上可以代表横截面的拟合效果，在三种模型中EXAM的方差是最小的。 此外，从参数的标准误看，无论是SAM，还是EXAM，它们比EAM多出的参数的标准误都很小，所以P值都显著的异于0。这说明状态变量的风险溢酬，除了受状态变量自身的波动率影响外，确实还受到其他因素的影响， （二）样本期内一阶矩预测误差 23
图2 样本期内一阶矩预测误差均值 图3 样本期内一阶矩预测误差RMSE 首先从图2可以看出，EAM和SAM对短期利率的预测偏误较大，分别达到个百分点和个百分点。相比较而言，EXAM的预测偏误的稳定性较强，对不同到期日的利率的预测误差均值一般不超过个百分点。 从图3可以看出，EXAM的样本内一阶矩RMSE要明显优于SAM和EAM。而SAM对EAM的改进则不大。 通过图2和图3的分析，我们发现，EXAM对样本内利率期限结构一阶矩的拟合程度，要优于SAM和EAM，即，EXAM更准确地刻画了利率的风险溢酬的动态变化过程。 （三）样本期外一阶矩预测误差 图4 样本期外一阶矩预测误差均值 图5 样本期外预测误差RMSE 首先，通过图4和图5，我们发现EXAM对样本期外预测效果的改进并没有那么明显，其预测效果与EAM基本类似。而SAM对样本期外的预测误差的波动比较大，有时优于EXAM和EAM，有时却比它们糟糕，从图5中可以很明显看出这一点。 其次三种模型对短端利率的预测都不是很好，但是相比较而言，仍然是EXAM的RMSE较低。此外，三种模型都对1至4年间的利率和长端利率的预测效果较好。 通过以上分析，可以得到的结论是：在样本期外，EXAM和SAM对EAM的一阶矩预测 效果改进效果并不明显，但总体而言，EXAM的一阶矩预测效果较为稳定。24
（四）二阶矩预测误差 图6 二阶矩样本期内预测误差均值 图7 二阶矩样本期外预测误差均值 图8 二阶矩样本内RMSE 图9 二阶矩样本外RMSE 从图6、图7可以看出，三种模型都倾向于高估利率的波动率。而EXAM预测二阶矩的效果，显然要好于其他两种模型，这一点从图8、图9的RMSE也可以很明显的看出。 以上比较了三种风险价格设定的实证结果，这里我们将各个比较结果做一个小结。为了方便阅读，我们将各种比较结果归纳入表2。 表2 实证结果比较 极大似然值 Extended 优于Semi优于Essentially 收益率曲线形状的 Extended优于Semi优于Essentially 横截面拟合误差方差 样本内一阶矩预测误差 Extended 优于Semi近似于Essentially 样本外一阶矩预测误差 三种模型无明显区别 样本内外二阶矩预测误差 Extended优于Essentially优于Semi. 我们发现，EXAM在改进利率现实测度一阶矩、二阶矩动态过程拟合的同时，还改进了利率风险中性测度动态过程的拟合。因此，EXAM的风险价格设定形式，在很大程度上25
要优于SAM。 （五）进一步的检验 我们在看到EXAM的改善效果的同时，我们还需要考虑另一个问题：其风险价格设定是否刻画了风险溢酬变化的所有内容？其是否完全解决了多因子CIR模型的问题？ 为了检测EXAM是否考虑了利率期限结构的所有信息以及是否解决了多因子CIR模型的问题，我们对以下方程进行样本期内的回归： Rτ−ERτ=α+βlevel+βslope+βconvexityε()(())t+ ttt+ tτ1,τt2,τt3,τtt+ +R8+R15()()()tttlevel=;t 3slope=R15−;()()tttconvexity=+R15−2R8;()()()tttt (27)方程左边表示模型隐含的样本内预测误差。 如果EXAM的风险价格设定，考虑了所有的关于收益率曲线形状的信息对风险溢酬变化的影响，那么上述方程中的系数应该是不显著的，P值应该较大。因此，本文选择了剩 t余期限为年、5年和10年的收益率为代表，分别对上述方程进行回归，其中指定为一个星期。 表3 样本内预测误差对level、slope和convexity的回归结果 ESS SEMI EXT τ= 2 α τ() () () β 1,τ() () () β 2,τ() () () β 3,τ() () () τ =5 26
2Adj-R α τ() () () β 1,τ() () () β 2,τ() () () β 3,τ() () () τ=10 2Adj-R α τ() () () β 1,τ() () () β 2,τ() () () β 3,τ() () () 注：括号（）里表示P值 表3给出了回归的结果。我们发现： 1首先，无论是哪一种风险价格设定形式下，方程大部分的系数都显著不为0，这说明预测误差仍然与收益率曲线形状的三个因子之间存在着很显著的关系。因此，我们发现EXAM虽然比SAM和EAM的一阶矩预测效果更好，但是在三因子CIR模型框架下，其仍然无法完全囊括收益率曲线形状的所有信息。 其次，虽然表三的结果不令人满意，但它仍然从一个侧面说明了EXAM确实优于SAM2和EAM。因为从表三中的调整R看，从EAM到SAM再到EXAM的回归拟合优度存在一个递减的趋势。 六. 全文总结 利率风险价格，是连接现实测度和风险中性测度的枢纽。利率风险价格设定形式的优 1 Duarte(2004)采用类似的办法比较了EAM和Semi‐Affine Model，同样发现系数都显著不为0。 27
劣，会直接影响到模型拟合的准确程度。 目前在Affine DTSM框架下，主要有四种风险价格设定形式：CAM、EAM、SAM和EXAM。CAM是目前国内许多学者所使用最多的风险价格设定形式，然而这种风险价格设定形式有着极大的缺陷，例如，无法描述利率风险溢酬的时变性、许多参数由现实测度和风险中［1］性测度的动态过程共用等。为了改进CAM的缺陷，Duffee(2002)提出EAM以改进其对利率风险溢酬动态过程的拟合。但是EAM同样存在缺陷：无法改进多因子CIR模型，即，[9]无法同时准确刻画利率的一阶矩和二阶矩的变化。因此，Duarte(2004)和Cheridito, [3]Filipovic and Kimmel(2007)各自提出了SAM和EXAM，试图改进EAM的缺陷；并且他们都表明了，其风险价格设定在一定程度上改进了EAM。然而，我们无从得知EXAM和SAM两种形式到底哪一种更优，因为目前国内外尚无文献做过相关研究。 因此，本文以三因子CIR模型为基准，通过卡尔曼滤波估计，比较了EXAM、SAM和EAM三种风险价格对利率变化一阶矩二阶矩的样本内外的预测效果、以及各自对横截面性质的拟合能力。实证结果表明，无论从一阶矩预测、二阶矩预测还是横截面性质的拟合效果上，EXAM都明显优于SAM，而SAM对EAM的改进则不是很大。 然而，本文通过一阶矩预测误差对Level、slope和convexity三种因子的回归发现，EXAM仍然无法完全解决EAM的问题，在多因子CIR模型框架下，其对二阶矩预测能力的提高，仍然是以牺牲一阶矩预测能力为代价的。因此，通过风险价格设定来改进多因子CIR模型对利率一阶矩的预测，仍然需要进一步的深究。 附录A 一. 漂移项为状态变量线性函数时，状态变量的条件均值与条件方差 要用卡尔曼滤波进行估计，首先要计算状态变量的条件均值与条件方差。 28
假设状态变量的动态过程为： dX=K(θ−X)dt+ΣSdW,S=α+βXtttttt [14]Fisher and Gilles(1996)给出了Affine Model下条件均值和条件方差的一般性式子： EX|X=φ(T−t)X+DT−tKθ()()Ttt'TVar(X|X)=φT−sFt,sφT−sds()()() Tt∫tτ−Kτ()其中，Ft,s=α+βEX|Xφτ=e,Dτ=φsds()()()()()Tt∫0−Kτ()e注意，表示对整个矩阵−Kτ()求e，在matlab中用expm命令表示 。 [10]K而Duffee(2002)给出了当可对角化时，条件均值和条件方差的解析式： −1Di,i=d令，)。 K=NDND表示K的特征值矩阵，(i*−1*X并定义X=NX ，则的动态过程可以表示为： tt*****dX=D(θ−X)dt+ΣSdWtttt ****−1*−1S=α+βX;θ=Nθ;Σ=NΣ;β*=β通过推导可得： −KT−t−KT−t(())(())EX|X=I−eθ+eX,()Tt()t **'Var(X|X)=NVarX|XN()TtTt −1−T−td+d()()**jkVarX|X=d+dGj,k−e()()()Ttjk0{()}n−1−T−td+d()()⎡*jk⎤+θd+dGj,k1e() ()∑ijki()⎢⎥⎣⎦i=1n−1−d+dT−t()−dT−t()**()jki+X−θd+d−dGj,kee()()()∑t,iijkii()}i=1***'***'(j,k)其中，G=Σdiag(α)Σ,G=Σdiag(β：,iΣjk()。f(,){}表示第个元素为0if(j,k)的矩阵。 [1]**2 注意Duffee(2002)给的VarX|X有误，将式中的某个加号写为乘号了；而Duarte(2004)给的式()Tt子也犯了同样的错误。 29
二. Semi-Affine Model下，状态变量的条件均值和条件方差 在SAM下，状态变量在现实测度下的漂移项是非线性的，无法通过前面的方法直接求[9]得条件均值和条件方差的解析式。因此，这里采用Duarte(2004)的方法求近似的条件均值[9]和条件方差。Duarte(2004)表明，当时间间隔小于一个月时，这种近似所产生的误差很小，几乎可以忽略不计。 在SAM下，状态变量的漂移项可以写为： −1μX=Kθ+ΣSΣλ−KX,()0'S(i,i)=α+β 'Q'1−K=K−Σλ(1)β.......,λ1β−ΣSSλ()(111n2QQ'1Kθ=Kθ+Σλ(1)α.......,λ1α()111n'X对α+βX做一个附近的一阶泰勒展开，得到： tii'βX−X()''itα+βX α+βX+iiiit '2α+βXiit将泰勒展开近似值代入漂移项，并合并同类项可得： −1−1μX Kθ+ΣAXΣλ−KX−ΣBXΣλ()()()()t0t0 其中，AXBX()()是对角矩阵，其对角线元素为： tt'−βX'itAX=α+βX+()i,itiit'2α+βXiit 'βXiBX=()i,it'2α+βXiit这样，就可以得到SAM非线性漂移项的一个线性近似，从而利用这个近似值就可以应 [10]用Fisher and Gilles(1996)和Duffee(2002)的方法来求得状态变量的条件均值和条件方差。 三. 卡尔曼滤波估计步骤 η令表示所有需要估计的参数，则测量方程可以表示为： Aτ,ηBτ,η()()Rτ,η=−+X+ε;()tt,τ ττ30
εt,τ表示横截面拟合的误差。 卡尔曼方程的迭代步骤为： Xη0|01. 用最小化残差平方和的办法求得状态变量的初始值，并为赋予可能的值。 Xt2. 计算的条件均值和条件方差： *'−KΔt−KΔt()()V=NVNX=I−eθ+eX,(T|tT|tt+Δt|t| Rτ,η()t3. 计算的条件均值和条件方差： 'Aτ,ηBτ,η()()BB⎛⎞⎛⎞2R=−+XV=V+σt+Δt|tt+Δt|R,t+Δt|t⎜⎟t+Δt|t⎜⎟ε ττττ，⎝⎠⎝⎠4. 计算预测误差： e=R−Rt+Δt|tt+Δtt+Δt|t t+Δt5. 用的信息更新状态变量： 'BB⎛⎞⎛⎞⎛⎞−1−1X=X+VVe, V=V−VVVt+Δt|t+Δtt+Δt|tt+Δt|t⎜⎟R,t+Δt|tt+Δtt+Δt|t+Δtt+Δt|tt+Δt|t⎜⎟R,t+Δt|t⎜⎟t+Δt|t ττ⎝⎠⎝⎠⎝⎠通过不断迭代1至5的步骤，最终可以求得极大似然值。极大似然值函数为： T'−1Log−likelihood−logV+eVe())∑R,t|t−ΔttR,t|t−Δtt t=Δt31
［参考文献］ ［1］ Ahn D. H., R. F. Dittmar, and A. R. Gallant (2002). Quadratic term structure models: theory and evidence [J]. Review of Financial Studies 15 (1), 243–288. ［2］ Chen R. R., and L. Scott (1993). Maximum likelihood estimation for a multifactor equilibrium model of the term structure of interest rates [J]. Journal of Fixed Income 3, 14‐31. ［3］ Cheridito P., D. Filipovic, and R. L. Kimmel (2007). Market price of risk specifications for affne Models: theory and evidence [J]. Journal of Financial Economics 83, 123–170. ［4］ Cox J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). A theory of the term structure of interest rates [J]. Econometrica 53, 385‐407. ［5］ Dai Q., and K. J. Singleton (2000). Specification analysis of affine term structure models [J]. Journal of Finance 55, 1943‐1978. ［6］ Dai, Q. and K. J. Singleton (2002). Expectation puzzles, time‐varying risk premia, and affne models of the term structure[J]. Journal of Financial Economics 563, 415–441. ［7］ Dai, Q. and K. Singleton (2003). Term sturcture dynamics in theory and reality [J]. Soc Financial Studies. 16,631‐678. ［8］ De Jong F. (2000). Time series and cross‐section information in affine term‐strucutre Models [J]. American Statistical Associaltion:300‐314. ［9］ Duarte J. (2004). Evaluating an alternative risk preference in affne term structure models [J]. Review of Financial Studies 17 (2), 379–404. 32
［10］ Duffee . (2002). Term premia and interest rate forecasts in affine models [J]. Journal of finance 57, 405–443. ［11］ Duffee G. R. and H. Stanton Richard (2004). Estimation of dynamic term structure models [J]. Haas School of Business, . Berkeley. ［12］ Duffie D. and R. Kan (1996). A yield‐factor model of interest rates [J]. Mathematical Finance 6, 379–406. ［13］ Lamoureux C. G. and H. D. Witte (2002). Empirical analysis of the yield curve: the information in the data viewed through the window of cox, ingersoll, and ross [J]. Journal of Finance 57, 1479–1520. ［14］ Fisher M., and C. Gilles (1996). Estimating exponential‐affine models of the term structure [J]. Working paper, Federal Reserve Board. ［15］ Vasicek O. (1977). An equilibrium characterization of the term structure [J]. Journal of Financial Economics 5, 177‐188. 33
