第 23卷 第 4期
2014年 7月
重庆电子工程职业学院学报
ournal of Chongqing CoHege of Electronic En neefing
Vo1．23 No．4
lu1． 2014
DOI：10．13887~．cnki．jccee．2014(5)．043
双指数跳 CIR利率模型下无违约零息票债券定价
古洋波
(广西师范大学数学与统计学院，广西 桂林 541004)
摘 要：重大事件和重大政策会导致利率的不连续波动，传统的CIR利率模型不能体现这一特征。
将双指数跳跃加入到 CIR利率模型，利用公式，在双指数跳 CIR 利率模型模型中，可以对无风险零息
票债券进行定价。
关键词 ：双指数跳；CIR利率模型；公式
中图分类号 ：F830 文献标识码：A 文章编号 ：1674—5787(2014)05—0145—03
最常见的利率模型是 Vasicek模型【” Vas1’cek
模型有闭形式的解。且有均值回复的性质．但是该
模型总是出现正概率 ．使得利率取负值。这是不合
理的。为了避免这种现象出现。Cox，Ingersoll and
Ross(1985)对模型进行了修正 ．给出了利率动态
变化的 CIR模型[21
dr,=a(y—r,)dt+6、／ dz
其中O／， ，6为正常数，O／为利率 的回复速率 ，
为利率的长期平均水平。特别仅当t~2>2ay时，
ri：0；容易计算利率 r( 的均值和方差为：
E(r(1f)Ir,)=rte-~-')+T[1一e )]
Var(r IrI)=h 82【e州
一e蜊]+鲁【1一e 】
该模型也有均值回复的性质，且模型的初始
值非负时，利率不会取负值。
通过观察大量金融事件 ．发现利率的连续性
经常被一些突发事件破坏．例如 ，重大政策调整 、
全球或区域性金融危机 、热钱流动等 ，这给金融
市场产生巨大影响。1976年 Merton首次引入跳
扩散模型．将股票的价格分为连续部分和不连续
部分。其中不连续部分用泊松过程描述，并在跳
跃高度服从正太分布的情况下给出了期权定价
公式 学者也纷纷对 Me~on提出的模型进行改
进，如邓国和、杨向群【3]通过双指数跳扩散组合模
型研究美式期权定价问题和双指数跳跃问题 ．胡
新华、叶中行 等研究了带跳的信用价差期权问
题。把跳跃因素加入到模型中才更符合市场的实
际情况
1 模型及无风险零息票债券定价
设(Q，f。￡，P1是一个具有完备 的代数流动
概率空间．并假设金融市场无摩擦．无套利，可连
续交易，且交易时间为【0，1’]。在该金融市场中存
在不确定源：标准布朗运动 z 强度参数为 的
Poisson过程 Nl，以及非负独立随机变量列 J，。其
中Y=lnJj的概率密度函数记为f4x)。其中这些不
确定源都定义在该完备的概率空间中．考虑到市
场中含跳跃 因素 ，故市场是不完备的 ．选定一个
特殊的风险中性测度 不妨设 O就是该风险 R的
中性测度 ，则在风险中性测度 Q下 ，利率满足下
列随机方程
drt=a(y—r,)dt+3、／rt dz +JdN ，rt>0 (1．1)
其中Poisson过程 N。与跳跃独立随机变量列
Jj独立 ，与标准布朗运动 z 独立，且跳跃独立随机
收稿日期：2014—08—08
作者简介：古洋波(1988一 )，男，硕士研究生在读，研究方向 ：金融工程。
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变量列 Ji与标准布朗运动 z。也独立。且有‘fY(x)=
1e I q'q2 Ifx<o1，其中 11l>l，112>0，p+q 1p'q +q'q2e I p+q=l， 1e“I o1 fx<o1，其中 11l>l，112>0， ，
p，q≥0表示上跳和下跳时的概率。
假设无风险资产 B 满足 ：
{dB~=r,B,dt，0≤ (1．2)
故有：
定理 1：当 rt满足模 型(1．1)式时 ，设 面值为
1．到期日为T无违约零息票债券 t时刻价格 p(t,T)
贝4有：p(t，T)=exp(ct3I1+I2+Br【)
其中：
B=B(T)
一
仅+ ～ f 二 ：!± 二 )
6 l一( + )。～+( 一 )1
V =仅 +28
I1= R[(、／ 一 )，( 一、／ )，(一仅一、／ )，
一 )】
I2=hp'q。HI一8 (、／ ，、 一，6‘ 一、／ )，-,q 6
( +、／ )一(V— 2)，-q 6 (仅一、／广 )+(V—o【2)】+入p11 R[_
82( +
，x／W,8 一 )， 2{j ( +、／ )+ 一
1)， 6 一、／／ )一(v一 2)]一
n l I_
-nI 4 ⋯
证明：由模型假设及风险中性定价原理有 ：
p(t，T)：E lf 1
则利用利率的仿射期限结构．设 ：
E fe-f一。 lf]=exp{A(c B(t,T)rt}= (1．3)
则利用 Feynman—Kac公式，(1．3)式是下列 向
后 P．D．E的解 ：
{ aF． , , aF+ a F f’(rl+J't F_0
将(1．3)式代入(1．4)式 ，并令 A(t，1f)=A，B(t，1r)=
B，T=T—t，可得：
一 At_-B Trr+仅(r—r1)·B+-82rtB +入J (err 1)f(x)dx—
= O (1．5)
(1．5)可整理为：
f_Bl一仅B+}8¨一 ~．E(eBJ-1)B 1 B+RE( ：0 c—B 一仅B+}8 一 J—A + r =0
可将(1．6)式进一步整理为以下两个 O．D．E：
{一Bt-_仪B+152B2-1=~；B(，r=0)=0(1．7)
I—A~+arB+hE(e埘一1)=0；A(下=O)：0
由于(1．7)式中 B 满足的 O．D．E为常系数黎
卡堤(Riccati)方程 ，则由(1．7)式有
{B }82B2 B_1．其解为： 1 - ． 用午／ ：
l B =0)=0
B=B(-r)
： j 8)
8 }一( + )e +( 一 )J
这里 A=ot2+28 ．
又令q： e ]=入( +嚣 )，
又由(1．7)式有fA =仅rB+q，则可以推出
lAf下=O1_0
A(T)：仪r J。B(s)ds+J。q(s)ds (1·9)
引理 1：若 M(下)= ，其中ki(i=l，2，3，4，5)
均为常数 ．则有
R(kl， k4，k5)=』：M (s)d = kl ln
l 2k&zk nI I— I s“I1 k +k r
(i=l，2，3，4，5)为常数
第 5期 古洋波 ：双指数跳 CIR 利率模型下无违约零息票债券定价 l47
1
t=e l d ， x：l+
． dt
t
等 ^1 __J
一
』 毒 ax
=矗·n 1 l_ n
k4e~"+k5e I
k4e +k5 l
故由引理 1，结合(1．9)式，同时令 11,I2如下 ：
I，= (s)ds
= ( 二 ‘ !± 二 )
一 (X／V+ )e～ +( 一 )
： R【( 一 ) ，(仅一 )，(一
6
一 )，(o【一、／ )】
s= + 一 】ds=Xpxh』
ds+kp"q2 j~
．
1 as-入t
』： as
：
=kp'qlR[-8(、／V+ ，、／V，8(仅一、／V)，一11 8
(仅+、／ )一(V一仪2)， 18 一、／ )+(V一仅2)】+入p112R[_
6‘(、／ 十∞，、／ ，6‘( 一、／ )，一1126 (d十、／ )十(V一
2)，11：6 一、／ )一(V一 2)】一入T
A(T)=0【rI1+I2
故有 P(t， =exp{A+B rf}=exp{ rIl+I2+Brt}
2 结 论
在原始 CIR利率模型中引入了双指数跳跃 ．
使得模 型更 贴近金融市 场的实际情况 利用
Feynman-Kac利率模型的仿射结构．建立偏微分
方程。利用公式 ，并将偏微分方程转换成常系数
黎卡堤(Riccati)方程和微分方程 ，进而得到无风
险零息票债券的显示解。
参考文献 ：
[1]Vasicek 0．Anequihbrium characterization of the term
structre，J FinEcon，1977(5)：177—188．
[2]Cox J C，Inge~oU J E，Ross S．A theory ofthe term
structure ofinterest rates，Econometrica，1985(53)：
【3】邓国和，杨向群．随机波动率与双指数跳扩散组合模
型的美式期权定价D]．应用数学学报，2009，32(2)：236一
[4】胡新华，叶中行，白云芬．带跳的信用价差期权模型
Ⅱ]．统计与决策，2007(8)．
责任编辑 仇大勇
Zero Coupon Bond Pricing without Default under the Double
Exponential Jump CIR Interest Rate Model
GU Yangbo
(Sehool ofMathematics and Statistics，Guangxi Normal University,Guilin Guangxi 541004,China)
Abstract：Great events and major policy can lead to uncontinuous fluctuations in interest rate；however，
it cannot be reflected in the traditional CIR interest rate mode1．If the double exponential jump is added into
the CIR interest rate model，and the formula of Feynman-Kac is adopted，the zero coupon bond without risk
can be priced．
Key words：double exponential jump；CIR interest rate model；formula of Feynman—Kac
T
k
e ●
，● ● ● ● ● ● J
3 — 5 k —k
+ 一 +
t —f
k —k e — e
1— 4 k —k
T 0
，● ● ● ● ● ● J
