第二章
行列式及矩阵的秩
第一节 行列式及其性质
一、行列式与行列式的值
二、行列式值的递推定义
三、行列式的性质
四、行列式的计算
一、行列式与行列式的值
对于一个 阶方阵
用记号
表示一个与A相联系的数，称这种表达式
把这个数称为行列式的值.
为矩阵A的行列式，记作det A，或 .
例如
二、行列式值的递推定义
用消元法解二元线性方程组
1、二阶行列式的定义
方程组的解为
由方程组的四个系数确定.
二阶行列式值的定义
定义1
即
的值.
如
主对角线
副对角线
对角线法则
二阶行列式的计算
若记
对于二元线性方程组
系数行列式
则二元线性方程组的解为
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1
解
对于三元线性方程组
消去未知数 可得方程
二、三阶行列式的定义
规定系数行列式的值为
最后的方程可表示成
并且记
则有
类此，记
则有
于是，当 时，三元方程组有解：
三阶行列式值的定义
定义2
表达式
的值称为三阶行列式 的值.
(1)沙路法
三阶行列式的计算
(2)对角线法则
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三
元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
如果三元线性方程组
的系数行列式
利用三阶行列式求解三元线性方程组
三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同
行、不同列的三个元素的乘积，其中三项为正,
三项为负.
其中
或
即
得
得
则三元线性方程组的解为:
例２
解
按对角线法则，有
例3
解
方程左端
例4 解线性方程组
解
由于方程组的系数行列式
同理可得
故方程组的解为:
3、 阶行列式的递推定义
余子式与代数余子式的定义
定义3
在 中，称 为元素 的
余子式，记作
元素 余子式，记作
且
而称 为元素 的代数余子式，
记作
阶行列式的值等于第一列的每个元素与其代数余子式乘积的和，
由此可得：
用递推的方法，定义 阶行列式的值为：
即
也称此式为行列式按第一列的展开式.
例3 计算行列式 的值.
解 按第一列展开，有
定理 行列式等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
例3 计算行列式 的值.
解 按第一行展开，有
接续
完
