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随机参数变化对可靠指标求解的影响
周月娥 1 , 符兴义 2 , 张 研 1
(1. 桂林理工大学广西岩土力学与工程重点实验室，广西桂林 541004；
2. 广西珠委南宁勘测设计院，广西南宁 530004)
摘要：考虑材料弹性模量和外荷载的随机性，基于摄动随机有限元法建立了结构构件可靠度
分析方法，并根据迭代点的不同分为基于验算点的迭代算法和基于均值点的迭代算法。通过
算例将 2种计算方法与基于蒙特卡洛法的可靠度算法进行了比较，结果表明：弹性模量随机
情况下，基于验算点的迭代算法计算结果精度高于基于均值点的迭代算法，并且在随机参数
小变异情况下具有良好的计算精度，误差均不超过 5%；荷载随机情况下，不同变异系数下
2 种方法的计算精度都比较好，误差均不超过 1%；弹性模量和荷载都随机情况下，在随机
参数小变异的情况下 2种方法的计算精度都较好，误差均不小于 4%。同时考虑计算效率的
影响，弹性模量随机情况下建议选用基于验算点的迭代算法，荷载随机情况下 2种方法都可
以选用，弹性模量和荷载都随机情况下建议选用基于均值点的迭代算法。
关键词：结构工程；随机参数；随机有限元法; 优化迭代算法；可靠指标
中图分类号：TU311 文献标识码：A
Study of the influence of random parameters on the
reliability index solving
ZHOU Yue-e 1, FU Xingyi 2, ZHANG Yan 1
( Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering,, Guilin University o
f Technology, Guilin, Guangxi 541004, China; 2. Guangxi Zhuwei Nanning Survey and Design
Institute, Nanning, Guangxi 530004, China)
Abstract: Considering the randomness of elastic modulus and external load, reliability analysis method
was developed based on the perturbation stochastic finite element method. According to different
iteration points, this method can be classified into two types: the iterative algorithm based on checking
point and iterative algorithm based on average point. These two methods were compared with the
reliability analysis method based on the monte carlo simulation method. Case study has demonstrated
that the calculation accuracy of the first type method is higher than the second one in case of random
elastic modulus, which also has good calculation accuracy when the random parameters varied little
with, the calculation error less than 5%. When the load is random, the calculation accuracy of the two
methods are both favourable under different variation coefficients with the error of both methods less
than 1% . When the two parameters are stochastic with little variation, the calculation accuracy of both
methods are both good with the error of both methods less than 4%. After analysing the calculation
time, the iterative algorithm based on checking point was recommended in the case of random elastic
modulus. Both calculation methods can be selected when the load is random. The iterative algorithm
based on average point was recommended under the condition of two stochastic parameters.
Keywords: structural engineering; random parameter; stochastic finite element method; optimized
iterative algorithm; reliability index
实际工程中存在着大量不确定性因素，比如材料因素、几何特性、以及荷载等。在对
结构进行响应分析和可靠度分析时需要考虑这些不确定性因素的影响。确定性有限元法是对
结构进行响应分析的常用方法，并且发展成熟可以用以分析各种类型的结构。然而，该方法
是将实际存在的随机参数当作确定性量来处理。随机有限元法是在确定性有限元法基础上发
展起来的可以考虑参数随机性影响的方法，常用到的有蒙特卡洛有限元法[1]、摄动随机有限
元法[2]和响应面法[3]。其中，摄动随机有限元法属于二阶矩法，它是通过输入的随机变量来
计算响应量的前二阶统计矩。另一方面，可靠度分析是计算与极限状态函数相关的失效概率
基金项目：国家自然科学基金(51409051)；广西防灾减灾与工程安全重点实验室开放课题基金
(2014ZDK0012)；桂林理工大学博士科研启动基金(002401003442)
第一作者：周月娥（1982—）, 女, 讲师, 主要研究方向为基于随机有限元的可靠度分析方法
通信作者：张研, 讲师, 主要研究方向为工程结构安全性分析，
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[4]。考虑不确定性因素后，可以用可靠指标的优化迭代算法[5-6]来计算结构的可靠度，该方
法是以结构可靠度分析常用的一次二阶矩法[7]为基础，关键是要寻找验算点的坐标。当结构
功能极限状态函数为随机变量的隐函数时，寻找验算点坐标的主要问题是要确定结构功能函
数的梯度向量，可以将随机有限元方法用以解决这一问题。目前，已有一些学者在随机有限
元法应用于结构响应和可靠度分析方面取得了一些研究成果[8-13]。
本文考虑随机场的离散处理，首先结合摄动随机有限元法和可靠指标的优化迭代算法建
立了基于摄动随机有限元法的可靠指标求解方法，并根据迭代点的不同分成基于验算点的迭
代算法和基于均值点的迭代算法 2 种方法。进而将 2 种方法与传统的基于蒙特卡洛有限元法
的可靠度计算方法通过算例进行了比较分析。在此基础上，研究分析了随机参数荷载和弹性
模量的变化对于可靠指标求解的影响规律。
1 随机有限元法原理
蒙特卡洛有限元法
蒙特卡洛有限元法又称随机抽样方法，以确定性有限元法为基础计算样本反应量。该方法的
优点是解题程序简单，不受待解决问题多因素复杂性的限制，通常用以检验其他方法的正确
性。但是其依赖于大量抽样模拟，因此计算工作量巨大。
摄动随机有限元法
将作用在结构上的荷载以及结构的弹性参数弹性模量通过随机场 ( , )S x 来处理，并且通过随
机场空间离散法可以将其转化为一组随机变量 T1 2, ,..., MS S S 。在建立结构势能泛函之初就将结
构随机参数随机性引入的基础上，利用变分法可以建立随机有限元法控制方程：
II II
i i i
Ka P
Ka P K a
Ka P
（1）
其中 II
1 1
1 E
2
n n
ij i j
i j
a a
II
1 1
1 E
2
n n
ij i jj ii j ij
i j
P P K a K a K a
式中，K 、a 、P 分别为随机矩阵K 、a 、P 在均值S 处之值， iK 、 ia 、 iP 分别为K 、a 、
P 对 iS 的一阶偏导数在S 处之值， ijK 、 ija 、 ijP 分别为K 、a 、P 对 iS 和 jS 的二阶混合偏导
数在S 处之值， i 为随机变量 iS 在其均值 iS 处的波动量，E[ ]i j 表示 i j 的均值。
2 结构可靠指标及其优化迭代算法
结构可靠指标
在结构可靠度分析中，可以通过功能函数 Z 来描述结构的极限状态，将影响结构工作的
基本随机变量作为自变量时，Z 可写为
g( )Z S (2)
其中 T1 2[ , , , ]MS S S S
式中，S 为结构在施工和使用过种中的材料参数、几何参数以及荷载参数等随机变量。
结构的可靠指标定义为[8]
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Z
Z (3)
式中， Z 、 Z 分别为 Z 的均值和标准差。
结构可靠指标的优化迭代算法
结构可靠指标的求解可以从其几何意义出发寻求求解方法。当随机变量处于标准正态随
机变量空间中，其几何意义为坐标原点到极限状态曲面的最短距离。所以，可靠指标的获得
就是在标准正态随机变量空间的功能函数面G( )x 上找到与坐标原点的距离最短的点 *P 。寻
找点 *P 的问题是一个优化问题：
1T 2* *
*
min
. G( ) 0
x x
x
(4)
式中， * * * *1 2( , , )nx x x x 为功能函数面上任一验算点。
采用 Hasofer 等[5]提出的优化迭代算法对式(4)进行求解。该方法采用式（5）计算得到
验算点 *x ：
( )1 ( )T
( )
( )
grad ( )
k
k k
k
G
G
xx x ζ ζx (5)
式中， 1kx 为第 1k 次迭代计算得到的验算点， ( )gradG( )kx 和 ( )grad ( )kG x 分别为第 k次
计算得到的功能函数的梯度及其范数，ζ为迭代点移动的方向。
3 结合随机有限元法的可靠指标求解
结合蒙特卡洛有限元法的可靠指标求解编程
由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算。因此，可以
先对影响结构可靠度的随机变量进行大量的随机抽样得到随机样本，再把这些随机样本值代
入有限元控制方程得到响应量的解，然后将响应量的解代入结构功能函数，确定其失效与否，
最后求得结构的失效概率。这里将结合蒙特卡洛有限元法的可靠指标求解方法记为 RMCS。
结合摄动随机有限元法和优化迭代算法编程
功能函数梯度求解
与 RMCS 通过抽样分析获得可靠指标不同，基于摄动随机有限元法求解可靠指标是用
节提到的可靠指标的优化迭代算法。摄动随机有限元法可以和该方法结合的关键在于可
以根据随机有限元法控制方程很方便地确定式(5)中的梯度向量 grad ( )G x 。通常，通过离散
随机场可以得到代表结构随机特性的随机变量S ，而这些随机变量一般情况下并不处于标准
正态随机变量空间内，所以 grad ( )G x 为
gradG( ) gradg( )
Sx Sx (6)
式（6）中，由于功能函数 g( )S 难以用随机变量显式表达，所以不能直接计算求解其梯
度 gradg( )S 。当结构的功能函数建立在力学特性基础上时，可以把随机变量S 分为与结构抗
力R 和作用效应F 有关的两类。据此，功能函数的梯度为
gradg( ) R R F F S J g J g (7)
式中， Rg 、 Fg 分别为功能函数对中间变量R 和F 的梯度向量， RJ 、 FJ 分别为R 、F 的
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Jacobi 矩阵。
由于结构的随机响应F 很难用S 显式表示，因此实际应用中利用解析方法求解 Jacobi
矩阵 FJ 非常困难。而 RJ 、 Rg 和 Fg 较容易求解。所以，式(7)的求解关键是确定 FJ 。 FJ 的
第 i行的转置是响应F 的一阶偏导数，当结构响应取为结点位移时有：
i iF a （ 1,2, ,i n ） (8)
则有：
TF iJ a （ 1,2, ,i n ） (9)
由 节可知，结点位移{ }ia 的表达式可以利用摄动随机有限元法的控制方程式(1) 得
到：
1i i i a K P K a (10)
随机变量变换处理
通过 节介绍的方法可以确定式(6)中的 gradg( )S ， S x 的确定涉及到相关随机变
量S 的处理问题，这里采用 Orthogonal 变换。
首先，通过正交变换得到一组不相关的正态随机变量Y ：
T T
1 2[ , , , ]nY Y Y Y A S (11)
式中，A 是与随机变量协方差矩阵 SC 的特征值 i 1,2,...,i n 相应的 n个正交规范化特征向
量形成的矩阵。
然后将Y 标准化，得到一组不相关的标准正态随机变量x ：
i
i i i i
i
Y i
Y Y Y Yx
（ 1,2,....i n ） (12)
式中， iY 、 Yi 分别为随机变量 iY 的均值和标准差。
式(12)用矩阵表示为
( ) x T Y Y (13)
结合式(11)可得：
1
S ATx (14)
可靠指标求解算法流程
节和 节已解决用式(5)寻找验算点的关键问题，下面结合摄动随机有限元法和
优化迭代算法，给出基于验算点迭代寻找标准正态变量空间中距离原点最近点的具体算法
（记为 RPSFEM1）。：
（1）将随机场离散成为一组随机变量S ，形成S 的协方差矩阵 SC ，求解 SC 的特征值和特征
向量。
（2）结合功能函数式求出 g R 和 g F 。
（3）确定初始迭代点 0S ，一般以均值点S 为初始迭代点。此时， 0 0 。
（4）迭代开始，形成验算点处的刚度矩阵K 和荷载列阵P ，解刚度方程得a ；形成验算点
处的 iK 和 iP ，由式(1)求得 ia 。
（5）选取结构控制截面的挠度 作为功能函数的控制量，从 ia 中可以获得 对 iS 的一阶偏
导数在S 处之值 iδ，由式(6)、(7)、 (10)和 (14)计算标准正态随机变量空间中的功能函数梯
度 gradG( )x ：
1gradG( ) i
x AT δ (15)
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（6）计算功能函数梯度的范数 gradG x 。
（7）求出迭代点移动方向ζ和移动步长 a：
gradG( )
gradG( )
xζ x ，
( )
grad ( )
Ga
G
x x (16)
（8）求出标准正态变量空间中新的验算点坐标 1kx (k第一次取为 0)。
（9）求出原变量空间中与 1kx 对应的验算点坐标，做为新的迭代点。
（10）计算可靠指标 1k (k第一次取为 0)。
（11）进行收敛判别：计算功能函数 g S ，如果 g S ，那么继续迭代，回到步骤（3）；
如果 g S ，那么进一步计算 1( )k k k ( 1k )进行判别：若 则回到步骤
（3），继续迭代计算；若 ，则表示迭代计算收敛，迭代停止。
上述基于验算点的迭代算法中摄动随机有限元法所起的作用在步骤（4）中充分体现，
当随机场变异系数较小时，可以用简化的方法来确定验算点处的位移，具体是在求得随机场
均值处的位移a 、 ia 、 ija 之后，利用验算点的坐标 * *( )i i iS S 来计算位移 *a ：
* * * *
1 , 1
1
2
n n
i i i j ij
i i j
a a a a (17)
及其一阶偏导数 *ia ：
** *
1
1
2
n
i i j ij ji
ji
aa a a aS (18)
将该简化方法记为 RPSFEM2，其优点是只需根据均值计算一次响应量，不用重复形成
步骤（4）中的刚度矩阵和荷载列阵，节省了计算量。但能否保证验算点处于均值点附近以
保证摄动展开式的收敛需要验证。
4 算例分析
两端固定梁，长度L 6 m ，截面惯性矩 4I m ，梁上作用均布线性荷载。可取梁的
弹性模量 E、均布荷载 q为影响结构随机性的随机参数。考虑随机参数的随机性时用一维均
匀随机场来描述，且 E 的均值为 N mE ，相关长度 θ mE ； q 的均值为
1 N mq ，相关长度 θ mq ，随机场协方差函数均为指数型:
1 22 θ2 21 2, δ Ex xSS EC x x E e (19)
式中， δE表示随机量 E的变异系数。
对梁进行可靠度分析时，取其功能函数为：
0G W (20)
式中，W 为随机变量取均值时的梁跨中挠度值， 0W 为梁实际跨中挠度值。
RPSFEM1 和 RPSFEM2 的计算结果分析
分 3 种工况来考虑随机参数的随机性，第 1 种考虑弹性模量的随机性，均布荷载当作确
定性参数处理；第 2 种考虑均布荷载的随机性，弹性模量当作确定性参数来处理；第 3 种同
时考虑 2 种参数的随机性。在 3 种不同工况下，分别用 RPSFEM1 和 RPSFEM2 对梁进行可
靠度分析，并将计算结果同 RMCS 的计算结果进行比较，做出误差分析。分析结果如图 1
所示。
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误
差
绝
对
值
/%
变异系数
RPSFEM1
RPSFEM2
(a)工况 1
误
差
绝
对
值
/%
变异系数
RPSFEM1
RPSFEM2
(b)工况 2
误
差
绝
对
值
/%
变异系数
RPSFEM1
RPSFEM2
(c)工况三 3
图 1 计算结果分析
从图(a)可以看出，弹性模量随机情况下，当变异系数小于时，RPSFEM1和RPSFEM2
的计算结果与 RMCS 的计算结果误差相差不大，均不大于 5%。当变异系数大于 时，
相比 RPSFEM2， RPSFEM1 的计算结果与 RMCS 的计算结果误差相对较小。但是，随着变
异系数的增加，2 种方法的计算误差都相应的增加，并且当变异系数大于 时，RPSFEM1
的计算结果与 RMCS 的计算结果误差也较大。在变异系数等于 时，计算误差达到了 7%。
从图(b)可以看出，在荷载随机的情况下，随着变异系数的增加，RPSFEM1 和 RPSFEM2
的计算结果相差不大。并且，2 种方法与 RMCS 的计算结果的误差随着变异系数的增大会增
加，但是误差相对较小，均不超过 1%。
从图(c)可以看出，在弹性模量和荷载同时随机的情况下，随着变异系数的增加，
RPSFEM1 和 RPSFEM2 的计算结果相差不大。但是，2 种方法与 RMCS 的计算结果的误差
随着变异系数的增大会增加，当变异系数小于 时，2 种方法的计算结果与 RMCS 的计
算结果误差小于 4%，当变异系数大于 时，2 种方法的计算结果与 RMCS 的计算结果误
差都较大。在变异系数等于 时，计算误差达到了 %。
比较图(b)和图(c)可知，荷载随机影响的情况下，RPSFEM1 和 RPSFEM2 在不同变异系
数情况下的计算结果吻合较好，2 种方法均适用。比较图(a)和图(c)可知，弹性模量随机影响
的情况下，当变异系数大于 时，RPSFEM1 和 RPSFEM2 的计算结果相对于 RMCS 的计
算误差相对较大，超过了 5%，只能适用于随机参数小变异情况下的可靠度分析。
RPSFEM1 和 RPSFEM2 的计算效率分析
在 节 3 种不同的工况下，当变系数为 时,将 RPSFEM1、RPSFEM2 和 RMCS 这
3 种方法对梁进行可靠度分析所用的时间列于表 1，以便进行计算效率分析。
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表 1 计算时间 ms
工况 计算时间
RMCS RPSFEM1 RPSFEM2
1 2136 3 1
2 3586 1 1
3 2581 2 1
从表 1 可以看出，3 种工况下，和 RMCS 相比，RPSFEM1 和 RPSFEM2 的计算效率相
对要高很多。在随机参数小变异的情况下，3 种工况下 RPSFEM2 的计算效率相对 RPSFEM1
的计算效率要高。综合考虑计算结果和计算效率两方面因素，工况 1 下建议选用 RPSFEM1，
工况 2 下 2 种方法都可以选用，工况 3 下选用 RPSFEM2。
5 结 语
基于摄动随机有限元法建立了结构构件可靠度分析方法，并根据迭代点的不同分为基于
验算点的迭代算法 RPSFEM1 和基于均值点的迭代算法 RPSFEM2。
荷载随机情况下，RPSFEM1 和 RPSFEM2 与 RMCS 的计算结果误差相差不大，不超过
1%；弹性模量随机情况下，在变异系数不超过 时, RPSFEM1 和 RMCS 的误差相差不大，
均不超过 5%；弹性模量和荷载都随机的情况下，变异系数不超过 时，2 种方法和 RMCS
的误差相差都较小，均不超过 4%。和 RMCS 相比，RPSFEM1 和 RPSFEM2 的计算效率相
对要高很多。综合考虑计算结果和计算效率两方面因素，弹性模量随机情况下建议选用
RPSFEM1，荷载随机情况下 2 种方法都可以选用，弹性模量和荷载都随机情况下建议选用
RPSFEM2。
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