拆分招标的供应商数量研究
0 龚秀瑾 周 蓉
摘要 许多企业在采购时，常常将整笔业务拆分为两个合同：较大的第--41同和较小的第二合同，通过
分批二级价格封闭式招标来选择不同的供应商供货。本文通过建立分批招标模型分析了供应商的投标策略
和买方的采购策略，得出了当参加第一合同竞标的供应商数 目和第二合同新引入的供应商数目满足一个不
等式时，拆分招标的采购成本小于整体招标的采购成本，并且指出了拆分比例对拆分招标的采购成本的影
响 。
关键词 拆分招标 供应商数目拆分比例 中标价格
1．拆分招标 的模型
招标采用分批二 级价格 封 闭式投标 ，模 型包
括三个 阶段 ：
第一个阶段 ，买方选择 出 12个有 足够 生 产能
力 的供应商和 m 个生产 能力 较小 的供 应 商 参加
竟标 ，并将整个 合 同拆分 为一个较 大 的第 一 合 同
和一个较小 的第 二合 同，a≥ 1／2为第一合 同 占整
个合同的比例， 一1一a 1／2为第二合同所 占的
比例 ；
第 二个 阶段 ，12个 有足 够生产 能力 的供 应 商
首先参 与第一合 同的竞标，分别选择 的报 价是
b ， (i一1，2，， )，其中报价最低的供应商以次低
的报 价中标 ，中标 供应商的利 润为 丌 ；
第 三个 阶段 ，由于第 二合同较小 ，可 以引入 m
个新的生产能力较小(最大的生产能力均为整个
合同的一半)的供应商参与竞标 ，这些新的供应商
和参 与第一合 同竞标但未 中标 的供应商一起参 加
第二合同进行的竞标 ，分别选择的报价是 6口，j( 一
1，2，， +m～1)，其 中报价 最 低 的供应 商 以次 低
的报 价 中标 ，中标供应商的利润为 即。
另外买方需规定赢得第一合 同的供应商将 不
能参与第二个合同的竞标，未赢得第一合 同的供
应商可以参加第二合同的竞标 ；为了避免成本最
低的供应商放弃第一合同的竟标而参与第二合同
的竞标，还需规定买方支付给第二合同中标供应
商的额外费用也要支付给第一个合同的中标供应
商 ，作 为给第 一个合 同的 中标 供应 商不 能赢 得第
二个合 同的机会成本 的补偿 。 。
模型假设 ：
1)买方所采购货物为同质且可分的；
2)买方对 整个合 同的估 值 为 v，v比成 本最
高 的供应商 的成本还 高 ，所 以买方不必 设保 留价
格 ；
3)有 2个以上风险中性 的供应商参与竞标，
每个供应商事先都知道将参加第一合同竞标和第
二合 同竞标的供 应商数 目；
4)c为某供应商生产整个合同的成本，则他
生产第一个同的成本为 a·c，生产第二合同的成
本为 卢·c；
5)竞标之前买方和供应商都不知道其他 供应
商成本 ，每个供 应商 生产 整个合 同 的成 本均 服从
[O，1]的均匀分布 ，概率分 布函数 为 G(c)。
2．模型 的求解
2．1．供 应商的投标 策略
买方首先进行第一合 同的招标 ，而对第一合
同进行投标的供应商的报价依赖于赢得第二合同
的期望利润 ，因此我们采用 逆向倒 推法 ，首先考虑
参与第二合 同的供应商 的报价策略 。第二合 同的
招标是在没有赢得第一合 同的( 一1)个供应商 以
及 m个新进入 的供应商 之 间进 行的 。根据 Ⅵck-
rey(1961)[7]的文章 ，我们 可知 ( +m一1)个供应
商最优 的报价 策略都 是按 照真 实 的成 本报价 ，即
6口(c；a， +m一1)一c。因此 ，如 果某 一个供 应商
的成本是 c，则他赢得第二合同的概率 为 1一O
(c)n+m一2，该供应商赢得第二合同条件下来 自第
二合 同的期 望利润为 ：
丌口(c；口， +仇一1)一(1一口)J3(e—c)·P(e为
次小 成本 I f为最小成本 )d
一(1一口)n( —c)·( +m一2)-
罢 d (1)7n+m 2 厂1一G(c) 一 、 、
作者简介：龚秀瑾，复且大学管理学院 管理科学系硕士研究生|周蓉，复旦大学管理学院 管理科学系。
·52· 《上海管理科学~2006年第1期
维普资讯
这里 是参与第二合同竞标的(13．+m一1)个
供应商 中成本次小 的供应 商 的成本 ，也就是第 二
合 同的均衡价格 。赢得第二合 同的供应商应该是
(n+m一1)个供应商中成本最小的供应商。我们
假设 G( )服从 0到 1的均匀 分布 函数 ，则 (1)式
可化为 ：
7r~(c；a， +m-- 1)一 —— ．(1一c) (2)
接下来考虑参与第一合 同竞标的供应商 的期
望利润。令 b (c)为赢 得第 一合 同的供应 商基 于
成本 的最优报价 ，则该 供应 商来 自第 一合 同 的期
望利润为 ：
丌 (z，C； ， )一 J (b ( )一c)·( 一1)·[1
一 G( )] 一 g( )· (3)
其 中 是可能 大 于真实 成本 C的某个 值 ，b
( )是参与第一合同竞标的另外( 一1)个供应商
中成本最低的供应商的报价 。
注意到 丌口(c；a，”+ 一1)是赢得第一合 同的
机会成本，则参与第一合同竞标的某一供应商的
全部期望利润可以表示 为 ：
7r(x，C； ， )一 丌口( ，C； ， )+ ( ～ 1)·G(z)
· [1一G(c)]卅 一 ·丌日(C；a， + 一1) (4)
总的期望利润是来 自第 一合 同 的期 望利 润 ，
加上来自第二合同的期望利润，其中来 自第二合
同的期望利润是 (1)式 的条 件期望 利润乘 以该 供
应商赢得第二合 同的概率 。
定理 1参与第 一合同的供应商 的最优报价为
b (c} ， )一c+(1／ )·[1一G(c)]m·
珊 (c}a， + 一 1) (5)
证明 每个供 应商 都会 按照 能够 使 自己的利
润最大化的投标 函数 进行 投标 ，则对期 望利润 函
数进行求导 ：
l 一0 (6)
口 z I
』 一 』 +( 一1)·g(c)．d x I
— f dx I ；f “
[1一G(c)] + 一2·丌8=0 (7)
a·r-b (c；a， )一c]·( 一1)·r-1一G(c)]n一2
·g(c)一( 一1)·g(f)·[1一G(c)]”+埘一2·邢
(8)
经计算可得 (5)式 。 证毕
假设 G(x)服从ro，1]的均匀分 布 ，则
， )一 c+ · (9)
a T 7咒 一 l
从上式可见 ，参 与第 一合 同的供应商 的最 优
报价 随其成本 的增 加而增 加 ，随供应商数 目 ，m
以及 a值 的增 加 而有减 小趋 势 。另外 ，随 着第 二
合同竞争的加剧，来 自第二合 同的期望利润减少
使得最优报价减小。
2．2．买方的招标策略
我们用 Cl( )，C2( )分别表示参与第一合同
竟标的 n个供应商中成本最低和成本次低的两家
供应商成本 的期 望值 ，其 中成本 最低 的将赢 得第
一 合 同。Cl( + 一1)，c2( +m一1)是参 与第二
合 同竞 标 的(n+仇一1)个供 应商 中成本 最低 ，成
本次低两家供 应商成本 期 望值 ，其 中成本最 低 的
将赢得第二合 同。C1( )，C2( )可以表示为
Cl( )一 nxg(x)[1一G( )]n一 ] 一 n
sc(1一sc) dsc一壬 (10)
C2( )一n(n一1)nxg(x)[1一G( )]n一2G( )
，)
dx一南 (11)
参与第 二合 同竞标 的( +m一1)个供应 商 中
成本最低的供应商以成本次低的供应商的成本中
标 ，其 中次低成本的概率密度 函数 ，( )是 以下 的
四种情况下各式子 的总和 。
情况 1(九个供应商 中的成本 次小 的供应商 的
成本 为 + 一1个供应商 中的次小成本 )：
ran(n-- 1)scz(1一 )m+n一3
情况 2(m 个 供应 商 中 的成本第 三小 的供 应
商的成本 为 n+m一 1个 供应商 成本 中的次小 成
本 )：
去 ( 一1)( 一2)．7C2(1一 )m+n一3
情况 3(m 个供 应 商 中的成 本 最小 的供 应 商
的成本 为 +m一 1个 供 应 商 成 本 中 的 次 小 成
本 )：
÷mn( 一1)jC2(1一．2C) + 一3
情况 4(m 个供 应 商 中 的成 本 次小 的供 应 商
的成本为 +m一1个供应商成本 中的次小成
本 )：
m(m一 1)nsc2(1一 )m+n一3+ m(仇 一 1)z(1一
sc)m+n一2
则买方第二合 同采购成本 的期 望值为 ：
EP日一 C2( + 一 1)一 J^z，(z)dsc一
篇 m 1 m m 1 ， (n+ 一)( + )( + +) 、⋯
买方第一合 同的采购成本 的期 望值 为 ：
EP 一Jab (c； ， )· ·( 一1)·G(c)·
r-1一G(c)q．-2·g(c)·dc
一 一I-r-(1一a)／a]·
·53 ·
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： 翌二
(竹+ + 1)·(竹+ )·(竹+ 一 1)
则买方整个合 同的采 购成本 为 ：
EP(口)一aEP + (1一口)·EP#
定理 2整个合 同的期望采 购成本为
(13)
(14)
EP(a)= 玎 丽
． (竹+ 一 1)(3n+ 2m)+ 竹 -I
。(竹+ 一 1)(竹+ )(竹+ + 1)
+[ 一 干 干 n (n干-- 1 )
一
(
+
n+ m
一
--
)
1
(
)
竹
(
十
3n +
)
2
(
m
竹+
)+ n
+
m ) 71 1 ·口 (1 5) (竹+ 一 )(竹十 )(竹+ + ) ⋯
证 明 买方的整个合 同的采购成本为
EP(a)= aEP + (1一口)·EP#
+ ·
千 n (n干-- 1 ) )+(1～a)·
(竹+ + 1)(竹+ )(竹+ 一 1)～ ⋯
± 二! ± ± 翌
(竹4- 一 1)(竹4- )(竹4- 4-1)
经计算得(15)式
定理 3假设 供应商 的成本 服从[0，1]累计 分
布函数为 G(c)的均匀分布 ，拆 分招标 的期望 采购
成本小 于整体招标 的期 望采 购成本 ，如果 ，竹满
足
>√号 +竹一号 (16)
其 中 竹， 分 别是 参加 第一 合 同竟标 的供 应
商人数 与新参加第二 合同竞标 的供 应商人数 。
证 明 买方选 择拆 分 招标 则 他要 付 出 比整体
招标额 外的费用
△ (口，竹)= EP(口)一 EP(1) (17)
其 中 EP(1)一C2(竹)，若拆分招 标优 于整体招
标 ，则需△ (口，竹)<O，即
口{=—圭 +[(1一口)／口]· 竹T l
丽 1 丽 1}+(1一 (竹+ + )(竹+ )(竹+ 一 )～ 一 ～
高 1 1< ㈣ (竹+ 一)(竹+ )(竹+ +)、竹+1 ⋯
经计算得 (16)式 。 证毕
定理 4假设供应商 的成本 服从[o，1]累计 分
布函数为 G(c)的均匀分布 ，
1。期望采购成本 随 a的增 大而增 大 ，如果 ，
满 足
>√号竹 +竹一号 (16)
2。否则 ，期望 采购成本随 a的增大而减小
其 中 竹， 分 别是 参加 第一 合 同竟标 的供 应
商人数与新参加第二合同竟标的供应商人数
证 明 若 令 (15)式 中 口 的 系 数 nq。_- 1 一
二!
(竹+ + 1)(竹+ )(竹+ 一 1)
一 竿 1>0，则期望采购 (竹+m一1)(竹+ )(竹+ +)⋯ n¨yJ一，。一
成本随a的增大而增大，若令 a的系数 -_ 一
竹(竹一 1)
一
1 聂 1<0，则期望采购 (竹+m一)(竹+ )(竹+ +)⋯ 一 一
成 本随 a的增 大而减小 。 证毕
观察定理 3可 以发现 ，拆 分招标 的期望采 购
成本与整体招标 的期望采 购成本的相对 大小 ，与
a的大小无关 ，即按 何 种 比例拆 分整 个合 同并 不
会影响到拆分招标与整体招标 的选择 。究竟是拆
分招标对买方 有利还是 整体 招标 对买方 有利 ，只
与第二合 同新 引入 的供 应商 数 目有关 ，即买方 究
竟选择拆 分招 标还是选 择整体 招标 ，只要看 竹和
的大小 ，将 竹， 带 入 (15)式 ，如 果该 不等 式成
立则选择拆 分招标 ，如果 该不 等式不成 立则 选择
整体招标 。
比较定理 3和定 理 4可 以发 现 ，当拆 分招标
的采 购成本 小于整 体招标 的采 购成本 时 ，采购成
本 随 a的增大 而增 大 。因此 ，为 了使 期望 价格变
小 ，则 a值尽可 能选择小 。也就是说 ，保证拆分招
标 的第一合 同大于第二 合 同的前提 下 ，第 一合 同
尽量小一些 ，第二合 同尽量 大一些 。另外 ，新 引入
供 应 商 数 目 越 大 ，则 a 的 系 数 —n
-
-_
{-1 一
丝 丝二
(竹+ + 1)(竹+ )(竹+ 一 1)
一 鲁 1 4 -葛 4- 1越大，这时增大 (竹+ 一)(竹 )(竹 +) ’
第二合同减小第一合 同。降低期望价格 的效果会
更 明显 。因此如果 因拆分 引入 了比较多 的生产能
力较小供应商时 ，可 以考 虑选择 a值接 近 1／2，即
第一合 同和第 二合 同大小 相近 。另外 ，如果 买方
从降低供货成本等方面考 虑 ，在 和 竹的数 目不
满足 (16)式 的情况 下依然 选择拆 分招 标 ，则 此 时
拆分招标 的采 购成 本高 于整体 招标 的采 购成本 ，
并且期望采 购成本 随 a的增 大 而减小 ，也 就是 在
这种情况下买方应该尽量使第一合 同所 占比例 大
来 降低采购成本 。
3．模拟计算
· 54· 《上海管理科学}2006年第 1期
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假设某企业进行 招标 采购 ，候选 的供 应商 中
有 4个是有足够生产能力的供应商，另外 个是
生产能力较小 的供应 商(最 大 的生产能力 均为整
个合同的一半 )。根据命 题 四 ，m<3时采 用整体
招标 的采购成本较 低 ，并且期 望 价格将 随 a的增
大而增大 ； ： 3时 采用拆 分 招标 的采 购成 本较
低 ，并且期望价格将随 a的增 大而增 大。
下面通过模 拟计算分 别分析 m=2，m一3，m
一4，三种情况下 ，不 同拆 分 比例 的拆 分招标 的采
购成本 。模拟过程如 下 ：将整个 合 同拆分 为两个
合同 ，第一合同所 占的 比例为 a(1／2 a≤ 1)，，第
二合 同所 占的 比例为 1一a，首 先通过计算 机生成
4个服从 F0，1]均 匀 分布 的 随机数 1，n2，r／3， 4，
它们分别代表 4个能够参与第一合 同竞标 的有足
够生产能力 的供 应商 的成本 ，这 4个供 应商 先对
第一合 同进行竞标 ，根 据 每个供 应商 的成本 计算
出它们各 自的报 价 ，其 中报价最 低 的供 应商 以次
低 的报价 中标 ；接着生成 m个 服从[0，1]均匀
分布 的随机数 ，第一合 同未 中标 的 3个 供应 商连
同另外新引入 的生产 能 力较 小 的 m 个供 应商 共
同参与第二合同的竞标 ，其 中成本最低的供应商
以成本次低的供应商 的成 本 中标 。最后 计算
出拆分招标后整个 合同的 中标价格 P。将 该拆分
招标过程模拟 50次 ，得到 50组拆 分招 标 的采购
成本 ，计算 出 50次模拟 的均值 和方差 。
衰 1 不同拆分比例的采购成本的均值和方差
m=2 m=3 优=4
的取值 50次模拟的均值 50次模拟的方差 a的取值 50次模拟的均值 50次模拟的方差 的取值 50次模拟的均值 50次模拟的方差
1 0．415885 【1．181360 1 0．415885 O．181360 1 0．415885 【】．181360
0．95 0．417959 【】．174401 0．95 0．415879 0．175255 0．95 f)．4112786 0．172331
0．9 0．420033 ()．167749 0．9 0．415873 0．169521 0．9 0．409687 0．165407
0．85 0．422107 (J．162422 0．85 0．415867 0．164197 0．85 0．406588 0．158804
0．8 0．424180 0．155522 0．8 0．415861 0．159324 0．8 0．403489 0．152561
0．75 0．426254 (】．150035 0．75 0．415854 0．154943 0．75 0．40{．)390 0．146726
0．7 0．428328 I)．145029 0．7 0．415848 0．151099 0．7 0．40039(J 0．141348
0．65 0．430401 0．140566 O．65 0．415842 0．147833 0．65 394191 0．136483
0．6 0．432475 0．136669 0．6 0．415836 0．145184 0．6 0．390()92 0．132186
()．55 0．434549 0．133418 0．55 0．518829 0．143187 0．55 0．387993 0．128514
0．5 0．436622 0．130852 0．5 O．415823 0．141868 0．5 0．384894 0．125523
由表 1可见 ，m一2时拆分招标 的采购成本的
均值大于整体招标 的采购成 本 的均 值 ，且 拆分 招
标 的采购成本 的均值 随 a值 的减小 而增 大 ，另 外
采购成本的方 差随 a的减小 而减小 ，这说 明拆 分
招标能够降低采购成本 的风险 ；m一3，m一4时拆
分招标 的采购成本 的均值小于整体招标的采购成
本的均 值 ，且拆分招标 的采 购成 本 的均 值随 值
的减小 而减小 ，另外 采购成 本 的方差也 随 a的减
小而减小 ，这说 明拆 分招标 降低 采购成本 的 同时
能够降低采购成本的风险，因此此时应该选用拆
分招标并且拆分 比例 a应尽可能小 。
参 考 文 献
1 Anton，J．and D．Yao．Second Sourcing and the Experience
Curve：Price Competition in Defense Procurement[J3．RAND
Journal of Economics，I987，18(1j．57~76
2 Anton，J．and D．Yao．Split Awards，Procurement and Innova—
tion[J3．RAND Journal of Economics，1989，20(4)．538～
552
3 Anton，J．and D．Yao． Coordination in Split Award Auctions
[J3．Quarterly Journal of Economies，1992，107，681～7o8．
4 Klemperer Paul_Auction Theory：A Guide to the Literature[_7]．
Journal of Economic Surveys，1999，Vo1．13，Nov 3，227~285
Research on the number of suppliers
in split-award auctions
Gong Xiujin Zhou Rong
Abstract： In many procurement practices，the buyer
splits his requirement into two contracts and awards them to
different suppliers．The primary contract and the secondary
contract are awarded sequentially by using second-price auc—
tion．There are suppliers who participate the auction of pri—
mary contract．The existing of secondary contract can in—
crease new suppliers of low capacity to participate it． We
formulate a model of sequential split award auction and prove
that when and satisfied a certain inequation，the expected
procurement COSt of split-award auctions is less than that of
sole—source auction．Further more，the optimal strategy on
how to split the contract is discussed to help the buyer bene—
fit more．
Key words： split award auction，the number of suppli—
ers，primary contract，secondary contract
· 55 ·
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