例1 赌场中有一种叫做幸运轮的赌具，在轮子上有均匀连续的刻度，范围为0~1,。当转动的轮子停止时，固定的指针会留在刻度上。这样，产生的实验结果是[0,1]之间的一个数，是指针所指向的位置的刻度。 因此样本空间为Ω=[0,1]。
如果随机变量X表示指针所指向的刻度，则X是一个连续型的随机变量，取值[0,1],且每一个x，事件{X=x}概率均为0。
一般的，连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
每一个取值对应的概率均为0.
因此，连续型随机变量不能象离散型随机变量那样,用分布列的方法，对它的每个值指定概率的方式,给出其概率分布.
为此，我们考虑一个包含x的一个邻域：
1、连续随机变量和概率密度函数
若对
考虑区间 (x,x+ε) 上的概率：
如果存在极限
则近似的有：
于是对于
取
称为随机变量X的“概率密度函数”
1导数的定义：
3定积分：分割、近似、求和、取极限
2不定积分：
为
的原函数
的所有原函数称为
的不定积分记为：
如果
则
4牛顿-莱布尼兹公式
对于随机变量X如果存在一个非负可积的函数 f(x),x∈R，使得对任一区间[a, b]都有
则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度函数，简称密度，简记为X~ f(x)， x∈R
2、概率密度函数的定义：
样本空间
a
b
x
对于单点集a，有：
所以：
所以概率密度函数的性质：
故密度函数f(x)也可以理解为：X落入x附近的单位长度的概率。
对于很小的δ，我们有：
由于f(x)是概率律，不是某一事件的概率，故f(x)可以大于1.
密度函数必须是非负的，且必须满足归一性条件：
连续型随机变量的概率密度未必是连续函数。
例 (连续的均匀随机变量)赌客在赌场转动幸运轮，幸运轮上具有连续的刻度，从0到1.每次轮子停止转动时，指针会指向轮子的一个数。假定指针指向幸运轮上任意两个长度相同的区间的概率相等，试将这样的的随机试验用一个随机变量X来刻画。
X的密度函数为：
应用归一化条件：
故c=1.
更一般的有：
取值于区间[a,b]上的随机变量，如果X取值于[a,b]的任意两个长度相同的子区间的概率是相同的，称这种随机变量为具有均匀分布的随机变量。
密度函数为：
1、均匀分布若随机变量X的密度函数为
则称X服从在[a，b]上的均匀分布
显然，
且
若
则
在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后第一位小数引起的误差服从[,]上均匀分布；在[a,b]上随机的掷质点，X表示质点坐标，X服从[a,b]上均匀分布
P53例10
f(x) =
则称X为指数随机变量。其中λ是分布的参数，λ>0
2、指数分布 若随机变量X的密度函数为
其中：
λ较小
λ较大
λ
λ
指数随机变量具有广泛的用处。例如：一台仪器的使用寿命，一辆汽车出一次车祸所用时间等等。指数随机变量与离散的几何随机变量十分相似。
无后效性
例（教材P54）已知连续型随机变量X有概率密度
求（1）常数A（2）
解（1）
（2）
例（教材P55）已知连续型随机变量X有概率密度
且P(1<X<3)=，求：常数a,b, P(X>)
解
附：定积分方法
1、直接用牛顿莱布尼兹公式
是常数);
2、凑微分法
其中
例：
3、第二类还原积分法
其中
例 求
当x=0时，t=0；当x=8时，t=2，
例 求
解
原式
4、分部积分法
