理论新探基于追踪误差风险的多阶段指数追踪优化模型周景科，高岳林(北方民族大学信息与系统科学研究所，银川750021)摘要：文章主要研究多阶段指数追踪优化问题，提出了追踪误差风险的概念，并给出了基于CVaR的追踪误差风险度量的表达式和多元正态分布下的计算公式，构造了基于追踪误差风险最小的多阶段指数追踪优化模型；使用混合差分进化算法对型进行求解，利用上证50指数及其成分股的观测数据进行了实证分析，验证了模型的合理性。关键词：多阶段指数追踪；追踪误差风险；条件风险价值；混合差分进化算法中图分类号：文献标识码：A文章编号：1002-6487（2011）20-0008-03在保证投资组合的风险(用方差度量)不超过某一阈值的前0引言提下追求期望收益最大，或者在保证投资组合的期望收益不低于某一阈值的前提下追求风险最小，但文中并没有给出阈1952年，HarryMarkowitz提出了“均值—方差”投资组合值的具体设定方法，需要投资者根据自己的主观认识进行设优化模型，开创了现代金融理论。在该模型中，投资者可以定，而不当甚至错误的阈值设定可能导致模型的无法求解或基金项目：国家社会科学基金资助项目(07XJY038)作者简介：周景科(1983-)，男，河南安阳人,硕士研究生,研究方向:金融数学与金融工程。高岳林(1963-)，男，陕西榆林人,博士,教授，研究方向:金融数学与金融工程。贝叶斯网络作为分类工具和预测工具在多个领域的研[3]Altman,E.,Haldeman,R.,G.,Narayanan,:ANewModeltoIdentifyBankruptcyRiskofCorporations[J].JournalofBank-究中都有优秀的表现，本文将朴素贝叶斯网络模型应用于国ingandFinance,1977,l(1).内上市公司财务困境预测研究。本文分别将ST公司与非ST[4]Tam,.,Kiang,:The公司界定为财务困境公司与财务正常公司，以（t-2）年的数CaseofBankFailurePredictions[J].ManagementScience,1992,38(7).据为研究依据，在选取研究样本后，基于相关分析与偏相关[5]Sarkar,S.,Sriram,分析相结合的方法从19个预测指标变量中筛选出7个用以Failures[J].ManagementScience,2001,47(11).构建模型的预测指标变量，所构建的朴素贝叶斯网络对于财[6]LiliSun,务困境公司和财务正常公司的预测正确率分别达到了RootsandSeasonalMenasShifts[J].JournalofEconometrics,2002,%和%。贝叶斯网络方法对于样本观察值来说并(1).不要求必须是完整信息，在财务困境预测的研究中，因为财[7]陈静.上市公司财务恶化预测的实证分析[J].会计研究,1999,(4).务困境企业样本量一般都较少，数据也有不完整的情况，所[8]张玲.财务危机预警分析判别模型及其应用[J].预测,2000,(6).以贝叶斯网络的这个特点使其在财务困境预测研究中具有[9]吴世农,卢贤义.我国上市公司财务困境的预测模型研究[J].经济独特优势。由于本文研究数据非常完整，并没有将贝叶斯网研究,2001,(6).[10]陆志明,何建敏,姜丽莉.基于生存分析模型的企业财务困境预络的这个特点体现出来。如何在数据缺失的情况下应用贝测[J].统计与决策,2007,(21).叶斯网络进行财务困境预测，并且如何从预测变量选择与模[11]Gilbert,.,,型类型选择方面入手使预测模型达到一个可观的预测准确FirmsinFinancialDistress[J].JournalofBusinessFinanceandAc-性，是今后一个可能的研究方向。counting,1990,161～171.[12]Keefer,.,Bodily,-PointApproximationsforContinuous参考文献：RandomVariables[J].ManagementScience,1983,(29).[1]Beaver,[J].SupplementtoJournalofAccountingResearch,1966,(4).(责任编辑/亦民)[2]Altman,,DiscriminantAnalysisandthePredictionofCorporateBankruptcy[J].TheJournalofFinance,1968,23(4).统计与决策２０11年第20期（总第344期）8
理论新探[2]α者得到错误的结论。后来，RichardRoll提出了以当前市场在一定持有期内，追踪误差低于一定的置信水平下的环境为参考设定阈值，即投资组合的希望期望收益不低于同VaR风险时的期望追踪误差，即期某一市场指数的增长率，或者投资组合风险不超过某一指CVaR=E{TE|TE<VaR}αα数增长率的风险，这就是指数追踪问题。由于指数追踪问题以某一市场指数为基准参考，对投资组合的绩效可以提供更2基于追踪误差风险最小的指数追踪优化加客观的评价标准，因此引起了学术领域的学者和实务领域模型人士的极大关注，在实务领域还提出了指数追踪型投资产品——指数型基金。本节我们建立基于指数追踪误差的CVaR风险最小的在以往对指数追踪问题的研究中，人们主要从两方面对优化模型：指数追踪问题进行研究。一方面是借助于计量经济的协整min-CVaR=-E{TE|TE<VaR}αα理论，构造投资组合使得与基准指数具有一定的协整关系；S+.=1（t=1,2,⋯,T）∑iti=1另一方面，类似于投资组合优化模型，构建基于追踪误差在+x0（i=1,2,⋯,S;t=1,2,⋯,T）it某种意义下最小的优化模型。本文拟在传统投资组合的由于上述追踪误差的CVaR风险是投资组合在整个投VaR和CVaR风险度量研究的基础上，提出追踪误差的风险资期内的追踪误差风险，目标函数与决策变量之间的关系不度量，并建立基于追踪误差风险最小的指数追踪优化模型。太明确，可以使用下面的模型近似代替上述模型进行求解：目前存在的大多数文献都是研究单阶段指数追踪优化TTmin-CVaR=-E{TE|TE<VaR}∑ααt∑tttt=1t=1问题，而对于多阶段指数追踪优化问题的研究还较少。文献S+.=1（t=1,2,⋯,T）∑it[3]基于情景树的方法将随机动态优化问题转化为确定性动i=1+态规划问题；然后使用Pontryagin极大化原理的离散版本求x0（i=1,2,⋯,S;t=1,2,⋯,T）it解确定性，从而处理了多阶段指数追踪优化问题。但在实际α考虑到当CVaR>0时，即表示在置信水平下，第tαt问题中，情景树的构建是一件很困难的事情，甚至是不可能阶段投资组合的收益率高于基准指数的收益率，是我们构建的，因为，指数追踪优化问题往往涉及较多的备选股票，它们投资组合所期望出现的情形，我们更关注投资组合的收益率的收益率的随机特性具有很大的差异；而要分别对它们建立低于基准指数的收益率的情形，即CVaR<0的情形。因αt情景树，计算量将会非常庞大。本文将在多元正态分布的假此我们修改模型为：TT设下，求解多阶段指数追踪优化问题。minmax{-CVaR,0}=∑αt∑t=1t=1max-E{{TE|TE<VaR},0α}ttt1指数追踪误差的风险度量S+.=1（t=1,2,⋯,T）∑iti=1+x0（i=1,2,⋯,S;t=1,2,⋯,T）我们在投资组合的风险度量定义的基础上提出了追踪it误差的CVaR风险度量，定义如下：3模型求解设当前市场上共有S种股票资产可供投资，计划分T个阶段进行投资，令r=(r,r,⋯r,⋯r)表示第模型假设与参数的估计(t=1,2,⋯T)个阶段资产的收益率向量，其中r为第t个it+为了简化模型的计算与求解，我们对模型中的参数做如x阶段第i(i=1,2,⋯,S)种资产的收益率，表示在第t个it下假设：阶段初持有的第i种资产的投资比例，表示第t个阶段基ty(1)在每个阶段，备择股票和基准指数的收益率r和tt准指数的增长率，则第t个阶段的追踪误差TE可以表示yt服从多元正态分布，即为：S+(r,r,⋯,r,)∼N(μ,μ,⋯,μ,μ,∑)x()1t2tStt1t2tSttTE=r-yyt∑itittyi=1可以使用样本均值向量和样本协方差矩阵作为随机变因而
